高中数学《对数函数》导学案 北师大版必修1(1)

第6课时对数函数1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性和特殊点.2.理解反函数的概念,能求简单的对数函数或指数函数的反函数.3.掌握对数函数的图像和性质,并利用对数函数的单调性解决综合性问题.噪音与对数声音一般用分贝(dB)来度量(见下表).感觉声源分贝(dB)有听觉蚊子飞过的声音0-10安静图书馆31-40中度大声电视机70很大声火车9040分贝以内是正常的环境声音,太大声便会造成噪音.噪音不仅会影响睡眠和休息,干扰工作,使听力受损,甚至会引起心血管系统、消化系统、神经系统等疾病.分贝的值是如何计算的呢?首先,设B为我们听觉所能觉察到的最低强度,如有一声源发出的声音强度为x,则此声源的分贝y的计算公式为y=10lg.问题1:(1)设一只蚊子飞过时的声音强度刚好为10B,则此强度所对应的分贝数为(列出等式);(2)在(1)的条件下,10只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数为,100只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数为.问题2:(1)一般地,函数叫作对数函数,其中.x是自变量,函数的定义域为,值域是.(2)两种特殊的对数常用对数函数:以10为底的对数函数y=log10x写成,自然对数函数:以e为底的对数函数y=log e x写成.问题3:反函数的定义:指数函数y=f(x)=a x和对数函数x=log a y(a>0,a≠1)刻画的是同一对变量之间的关系,所不同的是:在指数函数y=f(x)=a x中,是自变量,是的函数,其定义域是,值域是;在对数函数x=log a y中,是自变量,是的函数,其定义域是,值域是.像这样的两个函数叫作互为反函数.通常情况下,x表示自变量,y表示函数,所以此时对数函数表示成y=f-1(x)=log a x(a>0且a≠1),这样对数函数y=f-1(x)=log a x(x∈(0,+∞))和指数函数y=a x(x∈R)互为.问题4:作出对数函数y=log a x当a>1和0<a<1时的图像,比较其性质如下:y=log a x(a>1) y=log a x(0<a<1)图像(续表)y=log a x(a>1) y=log a x(0<a<1)性质定义域值域过定点,即x=时,y=当时,y>0; 当时,y<0 当时,y<0; 当时,y>0在(0,+∞)上是函数在(0,+∞)上是函数1.已知点(2,m)是f(x)=lo x的反函数图像上的一点,则m的值为().A.5B.C.10D.2.函数y=x+a与y=log a x的示意图画在同一平面直角坐标系中,可能是().3.已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)= .4.若实数a满足log a<1,求a的取值范围.对数型函数的定义域求函数y=log3x-1(x-1)的定义域.反函数的概念写出下列函数的反函数.(1)y=3x;(2)y=lo x;(3)y=ln x;(4)y=()x.对数型函数的恒成立问题已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.求函数y=的定义域.已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则().A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0)已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的值域为R,试求m的取值范围.1.函数y=1+lo x的反函数是().A.y=2x-1(x∈R)B.y=()x-1(x∈R)C.y=2x-1(x∈R)D.y=21-x(x∈R)2.函数f(x)=log2(3x+1),x≥1的值域为().A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(0,+∞)D.[0,+∞)3.对于0<a<1,给出下列四个等式:①log a(1+a)<log a(1+);②log a(1+a)>log a(1+);③a1+a<;④a1+a>,其中成立的是.4.已知f(x)=log2x,g(x)=lg x.(1)当x为何值时,f(x)=g(x)?(2)当x为何值时,f(x)>1?(3)当x为何值时,0<g(x)<1?(2013年·广东卷)函数f(x)=的定义域是().A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):答案第6课时对数函数知识体系梳理问题1:(1)y=10lg=10(2)y=10lg=20y=10lg=30问题2:(1)y=log a x a>0且a≠1(0,+∞)R(2)y=lg x y=ln x问题3:x y x R(0,+∞)y x y (0,+∞)R反函数问题4:(0,+∞)R(1,0)10x>10<x<1x>10<x<1增减基础学习交流1.D因为对数函数f(x)=lo x的反函数为y=()x,将(2,m)代入得m=.2.C C中,0<a<1满足题意.3.-2由已知求出当x<0时,f(x)=-3-x+1,再由互为反函数的关系得-3-x+1=-8,求出x=-2.4.解:原不等式可化为log a<1=log a a.①当a>1时,对数函数y=log a x是增函数,∴有a>,即a>1;②当0<a<1时,对数函数y=log a x是减函数,∴有>a,即0<a<.综上可知a∈(0,)∪(1,+∞).重点难点探究探究一:【解析】要使函数y有意义,必须同时成立,解得综上所述,函数的定义域为(1,+∞).【小结】已知函数解析式求定义域,常规为:零指数次幂中,底数不为0;偶次根式被开方式(数)非负;对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.探究二:【解析】(1)指数函数y=3x的反函数为对数函数y=log3x(x>0);(2)对数函数y=lo x的反函数为指数函数y=()x(x∈R);(3)对数函数y=ln x的反函数为指数函数y=e x(x∈R);(4)指数函数y=()x的反函数为对数函数y=lo x(x>0).【小结】求反函数的步骤:(1)由y=f(x)解出x=φ(y);(2)互换:x,y对换得反函数的解析式;(3)注意反函数的定义域.探究三:【解析】该函数的定义域为R,意味着不等式x2-2x+m+2>0的解集为R,即不等式对一切x∈R恒成立,也就是函数u(x)=x2-2x+m+2的图像在x轴上方.由题设,得不等式x2-2x+m+2>0,对一切x∈R恒成立.∴Δ=(-2)2-4(m+2)<0,解得m>-1.【小结】研究复合函数的性质时,要分层研究.思维拓展应用应用一:要使函数有意义,则⇒∴其定义域为{x|0<x≤且x≠}.应用二:D∵f(x)与y=e x互为反函数,∴f(x)=ln x,故f(2x)=ln 2x=ln x+ln 2,x>0.应用三:要使函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域为R,则x2-2x+m+2>0恒成立,所以应用Δ=(-2)2-4(m+2)<0,解得m>-1,即m的取值范围为(-1,+∞).[问题]上述解法正确吗?[结论]错误,上述解法错误的原因在于没有准确地理解函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域为R的意义.令u(x)=x2-2x+m+2,根据对数函数的图像和性质可知,当且仅当x2-2x+m+2的值能取到一切正实数时,函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域才是R.而当Δ<0时,由图可知x2-2x+m+2>0恒成立,只能证明函数的定义域为R,而不能保证u(x)可以取到一切正数.要使u(x)能够取到一切正数,结合二次函数图像可知,u(x)的图像应与x轴有交点才能满足.于是,正确解答如下:Δ=(-2)2-4(m+2)≥0,解得m≤-1.即m的取值范围为(-∞,-1].基础智能检测1.D∵y-1=lo x,∴()y-1=x,即21-y=x.∴反函数为y=21-x(x∈R).2.B设y=f(t),t=3x+1.∵t=3x+1在[1,+∞)上是增函数,∴t≥31+1=4.又∵y=log2t在[4,+∞)上是增函数,∴y≥log24=2,∴函数f(x)的值域为[2,+∞).3.②④由于0<a<1⇒a<⇒1+a<1+,∴log a(1+a)>log a(1+),a1+a>.∴成立的是②④.4.解:(1)由f(x)=g(x)得log2x=lg x,此时x=1;(2)由f(x)>1得log2x>1=log22,∴x>2;(3)由0<g(x)<1得lg 1=0<lg x<1=lg 10,∴1<x<10.全新视角拓展C对数真数大于零,分母不等于零,所以选C.思维导图构建②常数自变量x ③1y=x。