高中数学《对数函数》导学案 北师大版必修1(1)

第6课时对数函数

1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性和特殊点.

2.理解反函数的概念,能求简单的对数函数或指数函数的反函数.

3.掌握对数函数的图像和性质,并利用对数函数的单调性解决综合性问题.

噪音与对数

声音一般用分贝(dB)来度量(见下表).

感觉声源分贝(dB)

有听觉蚊子飞过的声音0-10

安静图书馆31-40

中度大

声电视机70

很大声火车90

40分贝以内是正常的环境声音,太大声便会造成噪音.噪音不仅会影响睡眠和休息,干扰工作,使听力受损,甚至会引起心血管系统、消化系统、神经系统等疾病.

分贝的值是如何计算的呢?首先,设B为我们听觉所能觉察到的最低强度,如有一声源发出的声音强度为x,则此声源的分贝y的计算公式为y=10lg.

问题1:(1)设一只蚊子飞过时的声音强度刚好为10B,则此强度所对应的分贝数为

(列出等式);

(2)在(1)的条件下,10只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数

为,100只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数

为.

问题2:(1)一般地,函数叫作对数函数,其中.x是自变量,函数的定义域为,值域是.

(2)两种特殊的对数

常用对数函数:以10为底的对数函数y=log10x写成,

自然对数函数:以e为底的对数函数y=log e x写成.

问题3:反函数的定义:指数函数y=f(x)=a x和对数函数x=log a y(a>0,a≠1)刻画的是同一对变量之间的关系,所不同的是:在指数函数y=f(x)=a x中,是自变量,是

的函数,其定义域是,值域是;在对数函数x=log a y中,是自变量,是的函数,其定义域是,值域是.像这样的两个函数叫作互为反函数.通常情况下,x表示自变量,y表示函数,所以此时对数函数表示成y=f-1(x)=log a x(a>0且a≠1),这样对数函数y=f-1(x)=log a x(x∈(0,+∞))和指数函数y=a x(x∈R)互为.

问题4:作出对数函数y=log a x当a>1和0

y=log a x(a>1) y=log a x(0

图像

(续表)

y=log a x(a>1) y=log a x(0

性

质

定义域

值域

过定点

,即x=

时,

y=

当时,y>0; 当时,y<0 当时,y<0; 当时,y>0

在(0,+∞)上是

函数在(0,+∞)上是函数

1.已知点(2,m)是f(x)=lo x的反函数图像上的一点,则m的值为().

A.5

B.

C.10

D.

2.函数y=x+a与y=log a x的示意图画在同一平面直角坐标系中,可能是().

3.已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)= .

4.若实数a满足log a<1,求a的取值范围.

对数型函数的定义域

求函数y=log3x-1(x-1)的定义域.

反函数的概念

写出下列函数的反函数.

(1)y=3x;(2)y=lo x;(3)y=ln x;(4)y=()x.

对数型函数的恒成立问题

已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.

求函数y=的定义域.

已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则().

A.f(2x)=e2x(x∈R)

B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)

C.f(2x)=2e x(x∈R)

D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0)

已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的值域为R,试求m的取值范围.

1.函数y=1+lo x的反函数是().

A.y=2x-1(x∈R)

B.y=()x-1(x∈R)

C.y=2x-1(x∈R)

D.y=21-x(x∈R)

2.函数f(x)=log2(3x+1),x≥1的值域为().

A.(2,+∞)

B.[2,+∞)

C.(0,+∞)

D.[0,+∞)

3.对于0

式:①log a(1+a)log a(1+);③a1+a<;④a1+a>,其中成立的是.

4.已知f(x)=log2x,g(x)=lg x.

(1)当x为何值时,f(x)=g(x)?

(2)当x为何值时,f(x)>1?

(3)当x为何值时,0

(2013年·广东卷)函数f(x)=的定义域是().

A.(-1,+∞)

B.[-1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞)

D.[-1,1)∪(1,+∞)

考题变式(我来改编):

答案

第6课时对数函数

知识体系梳理

问题1:(1)y=10lg=10(2)y=10lg=20

y=10lg=30

问题2:(1)y=log a x a>0且a≠1(0,+∞)R

(2)y=lg x y=ln x

问题3:x y x R(0,+∞)y x y (0,+∞)R反函数

问题4:(0,+∞)R(1,0)10x>1010

基础学习交流

1.D因为对数函数f(x)=lo x的反函数为y=()x,将(2,m)代入得m=.

2.C C中,0

3.-2由已知求出当x<0时,f(x)=-3-x+1,再由互为反函数的关系得-3-x+1=-8,求出x=-2.

4.解:原不等式可化为log a<1=log a a.

①当a>1时,对数函数y=log a x是增函数,

∴有a>,即a>1;

②当0

∴有>a,即0

综上可知a∈(0,)∪(1,+∞).

重点难点探究

探究一:【解析】要使函数y有意义,必须同时成立,

解得综上所述,函数的定义域为(1,+∞).

【小结】已知函数解析式求定义域,常规为:零指数次幂中,底数不为0;偶次根式被开方式(数)非负;对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.

探究二:【解析】(1)指数函数y=3x的反函数为对数函数y=log3x(x>0);

(2)对数函数y=lo x的反函数为指数函数y=()x(x∈R);