泛函分析线性赋范空间论文
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。
首先，理解下“泛函分析”这个概念。
泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。
在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。
所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。
在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。
第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。
§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X XR ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k ki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
泛函中四大空间的认识结课论文
泛函分析结课论文Functional Analysis Course Paper泛函中四大空间的认识- - 考试资料.一、泛函分析空间理论泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于nR。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R的空间结构。
事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert空间是完备的内积空间。
与一般的Banach空间相比较，Hilbert空间上的理论更加丰富、更加细致。
- - 考试资料.- - 考试资料.1 线性空间（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作z x y =+ ,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作 u x α=且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律： 10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间（2）维数：10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈，使得11220n n x x x ααα+++= 则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。
泛函分析课程总结论文
泛函分析课程总结论文第一部分：知识点体系第七章：度量空间和赋范线性空间度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ⨯→d ：.若对于任何x,y,z 属于X ，有1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）；3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称(),X d 为一个度量空间（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。
）2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称为序列空间。
例2.3 （3）有界函数空间B(A ）,x y X ∈1,(,)0,if x yd x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i id x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义例2.4 可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
纯数学泛函分析大学期末论文
纯数学泛函分析大学期末论文摘要：本文主要介绍了纯数学泛函分析的基本概念和应用。
首先，我们从泛函分析的起源和发展历程入手，介绍了泛函和泛函空间的概念。
接着，我们详细讨论了泛函分析的基本理论，包括线性算子、Banach空间和Hilbert空间等。
最后，我们探讨了泛函分析在实际问题中的应用，包括偏微分方程的解析和数值方法等。
1. 引言泛函分析作为现代数学的重要分支，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
它既是函数论的延伸，又是数学分析的发展。
纯数学泛函分析是泛函分析中的一个重要分支，主要研究无穷维线性空间的性质和结构。
本文将系统地介绍纯数学泛函分析的基本内容，以期对读者有所启发。
2. 泛函分析的起源和发展历程泛函分析是20世纪初发展起来的数学分支，源于对函数序列收敛性的研究。
随着对无穷维空间和泛函的研究深入，泛函分析逐渐形成了自己独特的理论体系。
通过对泛函的定义和性质的研究，人们逐渐发现了泛函分析在实际问题中的广泛应用。
3. 泛函和泛函空间的概念泛函是定义在一个函数空间上的函数。
泛函空间是所有满足一定条件的函数的集合。
泛函和泛函空间是泛函分析的核心概念。
在本节中，我们将详细介绍泛函和泛函空间的定义和性质，并给出一些常用的泛函空间的例子。
4. 线性算子和算子空间线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
算子空间是所有满足一定条件的线性算子的集合。
线性算子和算子空间是研究泛函分析中线性性质的基本对象。
在本节中，我们将讨论线性算子和算子空间的定义和一些重要性质，并给出一些经典的算子空间的例子。
5. Banach空间和Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范线性空间，Hilbert空间是一个完备的内积空间。
它们是泛函分析中最重要的两类空间。
在本节中，我们将详细介绍Banach空间和Hilbert空间的定义和性质，并讨论它们的一些重要的特征和例子。
6. 泛函分析的应用泛函分析作为数学的一种工具，具有广泛的应用领域。
高馨泛函分析论文
泛函分析论文摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系及算子定义和特征值关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间、算子一、空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.1、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。
我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。
设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式） 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ 因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为 122(())b a x x t dt =⎰由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间 定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数.2、Banach 空间定义2.1.1 设X 是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数:R X →∙: 满足条件：1) 对任意0,0;0,==≥∈x x x X x 当且仅当；2) 对任意（齐次性）及,,x a ax K a X x =∈∈； 3) 对任意（三角不等式）,,y x y x X y x +≤+∈. 称 ∙是X 上的一个范数，X 上定义了范数 ∙称为赋范（线性）空间，记为() , ∙X ，有时简记为X .在一个赋范线性空间() , ∙X 中通过范数可以自然地定义一距离，(),,y x y x d -= .,X y x ∈ ()1.1.2事实上，由范数公理，对任意()()，当且仅当当且仅当且0,0,0,,0,,,,=-=-==≥-=∈y x y x y x d y x y x d X z y x ()()()+-≤-+-=-==-=-==z x y z z x y x y x d x y d x y y x y x d y x ,,,,,即()()y z d z x d y z ,,+=-.称赋范空间中这个距离是由范数诱导的距离.这样，赋范空间是一个距离空间，以后凡说赋范空间的距离如无特别说明都指的是由范数诱导的距离.因此，在第一张所讨论的涉及距离空间、拓扑空间的一般概念、性质（如完备性、可分性、紧性等）都可以移植到赋范空间中来.特别地，设{}n x 是赋范空间X 中的点列，X x ∈,如果()∞→→-n x x n 0，称{}n x 强（或按范）收敛于x ，记为()∞→→n x x n ，或x xn n =∞→lim .如果赋范空间是完备的称它为Banach 空间.例2.1.1 空间[],C a b 。
泛函分析
试述Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系。
关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.一、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。
我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。
设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
从定义可以看出，内积()y x ,对于每一H y ∈，是H 上的一个线性泛函；当C K =时，对于每一H x ∈，()y x ,是H 上的一个共轭线性泛函，即它是可加的并且是共轭齐次的：()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式） 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为122(())b ax x t dt =⎰ 由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.3 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1）平行四边形法则： ()22222y x y x y x +=-++；2）极化恒等式：()()222241,iy x iy x i y x y x y x --++--+=.注：若赋范线性空间X 的范数不满足平行四边形公式，则X 不能成为内积空间。
泛函分析线性赋范空间论文
泛函分析线性赋范空间论文摘要：本论文主要围绕泛函分析线性赋范空间的基本理论进行研究，介绍了线性赋范空间的定义、性质、范畴和代数结构等方面。
对于赋范空间中的基本概念如范数、内积、对偶空间、共轭性等，进行详细阐述，并以此为基础，引入了Banach空间、Hilbert空间、算子空间等重要概念和定理。
论文最后还介绍了一些经典的应用和发展趋势。
通过本论文的研究，可以更好地理解和应用泛函分析线性赋范空间的基本理论。
关键词：泛函分析；线性赋范空间；范数；内积；对偶空间；共轭性；Banach空间；Hilbert空间；算子空间一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无限维向量空间及其上的函数或算子。
线性赋范空间是泛函分析中一个重要的概念，它是带有范数（norm）的线性空间，具有加法、数乘和范数这三个运算，是泛函分析的基础。
本论文旨在对于泛函分析线性赋范空间的基本理论进行系统的阐述和探讨。
二、线性赋范空间的定义与性质线性赋范空间是一个带有范数的线性空间，它的定义包括线性空间的定义和范数的定义。
线性赋范空间具有很多性质，如唯一的零元素、范数的非负性、齐次性、三角不等式等，这些性质为后续的研究提供了基础。
三、范数、内积、对偶空间和共轭性范数、内积、对偶空间和共轭性是赋范空间中的基本概念，范数是一种测量距离的方式，内积是一种度量夹角的方法，对偶空间是指所有从X到标量域的线性连续映射组成的空间，而共轭性则是指内积或对偶空间的一些特殊性质。
四、Banach空间、Hilbert空间、算子空间等Banach空间是指完备的赋范空间，Hilbert空间是一种特殊的Banach空间，具有良好的几何性质和完备性质，是应用广泛的空间之一。
在算子理论中，算子空间则是指线性映射所组成的空间，它也具有重要的应用和意义。
五、经典应用和发展趋势泛函分析线性赋范空间在数学和物理等领域都有着广泛的应用，如偏微分方程、量子力学、信号处理、数据挖掘等。
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泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析：一、度量空间和赋范线性空间1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。
19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。
20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。
这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
泛函分析
浅议对Hilbert空间的学习摘要：本文在由正交概念得到勾股定理、正交投影定理的基础上，将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间，建立了内积空间和Hilbert空间，并对Hilbert空间进行了进一步的研究。
关键字：内积空间；Hilbert空间；正交分解；投影定理1引言在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。
[1]2 内积空间和Hilbert空间2.1内积空间2.1.1 内积空间的定义：设X是数域F（实或复数域）上的线性空间，若，存在唯一的数，满足下列三条（内积公理）：i) 对第一变元的线性性质：ii) 共轭对称性：iii) 正定性：则称为x和y的内积，X为内积空间。
当F是实数域时，称X为实内积空间；F为复数域时，称X为复内积空间。
通常X指的是复内积空间。
当X为内积空间时，对有:i)ii)2.1.2内积空间的性质2.1.2.1 在内积空间U中，按内积导出的范数满足平行四边形公式证明：2.1.2.2判别定理若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式，则X可成为内积空间。
证明：①当X为实赋范线性空间时，定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；②当X为复赋范线性空间时，定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。
2.1.2.3内积的连续性在内积空间U中，内积是两个变元的连函数，即当（按范数）时，数列。
2.2 希尔伯特（Hilbert）空间定义:完备的内积空间X称为Hilbert空间，记作H.（即内积空间X按距离是完备的，亦是Banach空间）。
此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。
这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。
泛函分析范文
泛函分析范文泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
小波分析之泛函分析赋范内积空间
内积空间的性质
定理 设 X 为内积空间，u1,u2, ,un X ,
格拉姆(Gram)矩阵
(u1,u1) (u2,u1) (un ,u1)
G
(u1 (u1
, u2
, un
) )
(u2 ,u2 )
}有界。(证明从略)
• 此定理又称为一致有界定理.
• 共鸣定理的意义即:对于线性算子序列，若 代入每一个值都有界，则有界线性算子序
列本身有界。
有界线性算子空间
定理： • 可逆有界线性算子的逆算子仍是线性算子. • 有限维赋范线性空间的一切线性算子都有
界(连续).
泛函
当算子的像集为实（或复）数域时，称算 子为泛函.
设Tn,T∈B(X, X1) (n=1,2,…) • 若||Tn-T||→0,称Tn按算子范数收敛于T
(或称Tn一致收敛于T),记为Tn 一致T.
• 若对于任意的x，均有||Tnx-Tx||→0，则
称Tn强收敛于T ,记为 Tn 强 T.
算子的不同收敛方式
设Tn,T∈B(X, X) (n=1,2,…) • 若对每个x∈X及X上的任一有界线 性泛函f，都有 f(Tnx) f(x), 则称 算子序列弱收敛于T ,记为
L(p[fa,,gb)]上 的距离f 为(x)
g(x)
p
dx
1
p
.
[a,b]
其特例为L[a,b] , L2[a,b].
Lp[a,b]的距离与范数
Lp[a,b]上的距离
( f , g)
1p
f (x) g(x) p dx .
[a,b]
泛函分析论文范文
泛函分析论文范文泛函分析是数学中的一个分支，研究的是无限维空间中的向量和函数。
在泛函分析的研究过程中，论文是一种常见的学术产出形式。
下面是一篇关于泛函分析的论文范文，供参考。
Title：The Properties and Applications of Banach SpacesContinuous Linear Operators：In Banach spaces, continuous linear operators play an important role. They are linear transformations that preserve the norm and continuity of vectors. We present the definition and properties of continuous linear operators and prove several theorems related to bounded linear operators on Banach spaces. These theorems provide insight into the behavior of linear operators and their applications insolving mathematical problems.Applications of Banach Spaces：Banach spaces findapplications in various areas of mathematics. In this section,we discuss two specific applications: harmonic analysis and functional equations. Harmonic analysis deals with the representation of functions as superpositions of basic waves,and Banach spaces provide a framework for studying the convergence and properties of these representations. Functional equations involve finding functions that satisfy certainalgebraic conditions, and Banach spaces offer a tool forstudying the existence and uniqueness of solutions to these equations.。
线性赋范空间泛函有界性研究论文
目录1引言 (1)2线性赋范空间 (1)2.1预备知识 (2)2.2线性赋范空间的一些性质 (3)3线性有界泛函与共轭空间 (4)3.1线性有界泛函 (4)3.2线性有界泛函与线性连续泛函 (6)3.3共轭空间 (8)4线性有界算子 (11)4.1线性有界算子定义与举例 (11)4.2线性有界算子与线性连续的关系 (12)4.3线性算子空间 (14)4.4有界性与闭性 (16)致谢 (18)线性赋范空间泛函有界性研究数学系本1104班薛菊峰指导教师：何瑞强摘要：本文研究的是线性赋范空间泛函有界性。
从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的知识点；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出一些相关泛函理论的推导并给出一些相关的例题便于理解和掌握；最后，将泛函有界性推广到两个线性赋范空间之间，从而引入了两个人空间之间的映射即所谓的线性有界算子。
因此对线性赋范空间泛函有界性的研究是很有必要的，它有助于研究者的掌握和应用。
关键词：线性赋范空间；线性有界泛函；线性连续泛函；线性有界算子Normed linear space bounded functional studiesXue JufengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor:He RuiqiangAbstract:This paper studies is a normed linear space functional boundedness.Carries on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge;then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master; finally,the functional boundedness is extended to two linear normed space,then the mapping between the two personal space is called bounded linear operator.So the normed linear space of bounded functional of is very necessary,it is to grasp and study help beginners.Keywords:linear normed space;bounded linear functional;continuous linear functional;bounded linear operator1引言有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X 和Y ，从X 到Y 的全体线性有界算子()Y X B ,关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y 是完备空间时，()Y X B ,也是完备的。
强收敛、弱收敛和一致收敛
泛函分析在信号处理中的应用
a1 a2 a3 a4 mod 2 0 。其中任意两个正常码组间的最小度量为 2。如果，
任意码组中发生一位错误码，其与相邻组的度量缩小为 1，从而得到检验，故此得 校验码。当增加 a5 后，任意两个正常码组见的最小度量为 3.若有一组发生错误码， 则其与原正确码间的度量为 1， 而与相邻码组间的度量为 2， 这样不仅得到了检验， 而且便于纠正，故此为纠错码。
连续时间信号可构成连续时间空间，记作 C[T]空间，能量有限信号则可形成 可积空间，记作 L2 T ，等等。
2.1.2 度量空间
设 X 是非空集合 : X X R 0, 是二元函数，如果
1 ( x, y ) 0
( x, y) 0 x y
III
现代数学论文
第 1 章 绪论
1.1 引言
我所学的专业是电子信息科学，在学习的过程中总需要对捕获的信号进行相 关处理，而在之前的学习中一般使用普通函数来对信号进行处理，使用微分方程、 积分变换和线性代数来描述信号的特征和系统响应，虽然使用普通数学的方法物 理概念清晰但是却有着概念较为狭窄、方法不够概括、各种变换不能统一、综合 问题比较困难等的局限性。 泛函分析是现在数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些 变分问题，是分析数学的高度发展。其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算 子和泛函的基本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科的观点和 方法。 信号处理的广泛性与泛函理论的抽象性相结合，形成了更加严密而概括的分 析方法。这种方法将信号抽象为无穷维空间中的一个点，而将信号所处在的系统 抽象为算子，使信号与系统的表述更加概括与简便，从而得到广泛的应用。
有限维赋范空间与无限维赋范空间之比较
⎛−⎞ ⎝ ⎠
−
数学学院 2010 级泛函分析论文
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ − − − x x f ⎜ − ⎟ = − ≥ α ，由此推出 x ≥ α x ，我们有 α x ≤ x ≤ β x 。 ⎜ ⎟ x ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠
(X
,
• 1 ) 的完备性与考察 (X , ⋅ 2 )的完备性是一致的。据 Euclid 空间的完备性知有限维赋范
数学学院 2010 级泛函分析论文
空间都是 Banach 空间。 无限维赋范空间可能是不完备的。 事实上， 线性空间 l 0 − 只有有限项不为零的数列全体 按任何范数不完备。为此，命 X n = span e1, ⋯, en .在任何范数下， X n 是 l 0 的完备线性子 空间且无内点，因此 X n 是 l 0 的疏朗集。而 l 0 = ∪ X n n = 1,2,⋯ ,故 l 0 总是第一纲的。 定理 1 证明 任意 n 维赋范空间必与 R n 代数同构拓扑同胚
l 0 在 l ' 中稠密，因此 l 0 不是 l ' 的闭集。
4、 有界集的列紧性 有限维赋范空间的有界集都是列紧集而其有界闭集是紧集 (Heine-Borel 定理 )。无限 维赋范空间的单位球面 S 不是预紧集，因而不是列紧集也非紧集。为此取 x1 ∈ S 。因为
L1 = span{x1 }是 X 的真闭线性子空间，由 F.Riesz 引理，可取 x2 ∈ S 使 d (x2 , L1 ) ≻
1 1
n − ⎛ n 2 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2 其中 β = x = ∑ ξ k ek ≤ ∑ ξ k ek ≤ ⎜ ∑ ξ k ⎟ ⎜ ∑ ek ⎟ = β x ， k =1 k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
泛函分析中赋范线性空间上几种收敛之研究
摘要：本文主要研究了泛函分析中赋范线性空间上几种收敛之间的关系.在书本的基础上对序列的强收敛与弱收敛之间、算子列的一致收敛、强收敛与弱收敛的关系进行进一步地探究与讨论．本文给出了各种收敛性的定义，并讨论了各收敛性之间的关系，给出相应命题，并加以证明.在研究点列收敛性的关系时，本文在Schauder基存在的假设下，给出了Banach空间中强收敛与弱收敛的等价关系的一个充分条件.在研究算子列收敛性的关系时，本文对赋范线性空间加以较强的限制，得到了赋范线性空间中一致收敛与强收敛的等价性和强收敛与弱收敛的等价性.关键字：赋范线性空间 , 强收敛 , 弱收敛 , 一致收敛 , Schauder基ABSTRACT:In this paper, we study the relationships of various convergence in normed linear space in Functional Analysis. We will discuss the relationships between strong and weak convergence of sequences, as well as the relationships of uniform convergence, strong convergence and weak convergence of operator sequences. More precisely, we will give the definitions of convergences, discuss the relationships of the various convergences, and prove some results that explain the relationships of the convergence. Moreover, under the assumptions of Schauder basis，we will give the equivalence relation between strong and weak convergence . When we study the convergence of the operator sequences , we try to give strong restrictions on normed linear space, so that we gain the equivalence of the uniform and the strong convergence as well as the equivalence of the strong and weak convergence.KEY WORDS:Normed linear space; Strong Convergence; Weak Convergence; Uniform Convergence；Schauder basis目录引言 (3)1符号说明和预备知识 (3)1.1 符号说明 (3)1.2 相关定义 (3)1.3 重要引理 (4)2主要结果 (5)2.1 点列的强收敛与弱收敛 (5)2.1.1强收敛一定弱收敛，弱收敛不一定强收敛 (5)2.1.2 强收敛与弱收敛等价的一个充分条件 (5)2.2 算子列的强收敛、弱收敛与一致收敛 (6)2.2.1 一致收敛一定强收敛，强收敛不一定一致收敛 (6)2.2.2 强收敛一定弱收敛，弱收敛不一定强收敛 (7)2.2.3 较强限制条件下的一致收敛、强收敛、弱收敛的关系 (8)3小结 (9)4谢辞 (9)5参考文献 (10)6附录：外文翻译原文 (11)外文翻译译文 (14)引言在赋范线性空间中存在着多种收敛性，例如：强收敛、弱收敛等等，它们既有联系又有区别，因此讨论这些收敛性之间的关系十分有意义.文献[12]通过对距离、范数、内积的讨论从而得到收敛、强收敛、弱收敛之间的关系.本文将进一步讨论赋范线性空间的收敛性的讨论，主要研究点列以及算子列的收敛性之间的关系. 对于点列的强收敛与弱收敛的关系，本文将借助Schauder 基进行研究，给出弱收敛推出强收敛的一个充分条件.对于算子列的收敛性，我们容易验证: 一致收敛强于强收敛,而强收敛又强于弱收敛.但又有反例说明,上述结论反之一般不成立.本文将讨论这样一个问题: 即当{}m T 弱收敛于T ,是否存在子列{}{}k m m T T ⊂，使得{}k m T 强收敛于T ？或者当{}m T 强收敛于T ，是否存在子列{}{}k m m T T ⊂，使得{}k m T 一致收敛于T ？本文的结果表明, 若对线性赋范空间以较强的限制, 以上结论是可以成立的.1符号说明和预备知识1.1 符号说明首先对本文中采用的符号做以下说明: (1)下面的讨论中, 都设dim X n ≥；(2)X 、Y 等表示（赋范）线性空间，x,y 表示其中的点； (3)()m j α表示元素m x 用Schauder 基表示时，第j 项的系数.1.2 相关定义定义[2]1 设X 是实（或复）的线性空间，如果对每个向量x X ∈，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足： (1)0x ≥，且0x =等价于0x =；(2)x x αα=，其中α为任意实（复）数； (3),,x y x y x y X +≤+∀∈，则称x 为向量x 的范数，称X 按范数x 成为赋范线性空间. 完备的赋范线性空间称为Banach 空间.定义[2]2 设X 是赋范线性空间，令'X 表示X 上连续线性泛函全体所成的空间，称为X 的共轭空间.定义[2]3 设X 是赋范线性空间，{}m x X ⊂，如果存在x X ∈，使得(1)0()m x x m -→→∞，则称点列{}m x 强收敛于x , 记为sm x x −−→；(2)如果对于任意的'f X ∈，都有()()()m f x f x m →→∞，则称点列{}m x 弱收敛于x ，记为w m x x −−→.定义[1]4 设X 是Banach 空间，有序集{}i i e X ∈∧⊂.若对X 中每一个元素x ,都存在序列{}{}1i i i i e e ∞=∈∧⊂和唯一数列{}1i i α∞=，使得1i i i x x α∞==∑，则称X 是具有 Schauder 基的.{}i i e X ∈∧⊂叫做X 的一组Schauder 基.定义[2]5 设X 和Y 是两个赋范线性空间，()B X Y →表示X 到Y 中的有界线性算子全体所成的空间，(),1,2,,m T B X Y m ∈→=⋅⋅⋅ 若存在(),T B X Y ∈→ 使得 (1)0()m T T m →→→∞，则称算子列{}m T 一致收敛于T ；(2)对任意的x X ∈，0()m T x Tx m →→→∞，则称{}m T 强收敛于T ；(3)对任意的x X ∈和任意的'f Y ∈，()()()m f T x f Tx m →→∞，则称{}m T 弱收敛于T .定义[16]6 紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖. 定义[2]7 设X 是拓扑空间，D X ⊂.如果D 的闭包等于整个拓扑空间X ，即D X =，则称D 是X 的一个稠密子集.如果X 中有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.1.3 重要引理引理1 设X 是赋范线性空间，{}m x X ⊂，x X ∈，如果wm x x −−→，那么有(),1,2,m j j j αα→=⋅⋅⋅.引理2 若X 为有限维赋范线性空间, {}','m f X f X ⊂∈，若m f f −−→弱，则必存在子列{}{}k m m f f ⊂，使得k m f f →.2主要结果2.1 点列的强收敛与弱收敛2.1.1 强收敛一定弱收敛，弱收敛不一定强收敛首先，我们讨论在赋范线性空间中点列的强收敛与弱收敛之间的关系. 显然，强收敛一定蕴含弱收敛，所以，我们给出定理1.定理1 设X 是赋范线性空间，{}m x X ⊂，x X ∈，若s m x x −−→，则wm x x −−→. 证明：因为s m x x −−→，所以0,()m x x m -→→∞，又由f 线性，故()()m f x f x -=()m f x x -0()m f x x m ≤→→∞，故w m x x −−→.上述结论反之则不一定成立. 举一反例如下：反例1.设2,X l =(0,0,,0,1,0,),1,2,m e m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则1m e =，故可知{}m e 不强收敛于0，但对任何222121()',(,,),||i i y l l y ηηη∞=∈==⋅⋅⋅<∞∑，我们有,0m m e y η〈〉=→，m →∞, 故{}m e 弱收敛于0.2.1.2 强收敛与弱收敛等价的一个充分条件由上述讨论，我们知道，强收敛蕴含弱收敛，但在一般情况下, 弱收敛却导不出强收敛.在什么条件下, 强收敛与弱收敛能够等价呢? 这是一个仍待研究的问题.下面的定理将给出弱收敛与强收敛等价的一个充分条件.首先，我们假设X 是Banach 空间, 且具有Schauder 基{}i e .序列 {}m x X ⊂，x X ∈，分别可以表示成()1,1,2,m m i ii x e k α∞===⋅⋅⋅∑,1i i i x e α∞==∑.定理2设X 是赋范线性空间，{}m x X ⊂，x X ∈，若wm x x −−→，并存在00N >，使得当0N N ≥时，[]1()()imi i i N f xf x e ∞=+-∑是单调的减函数，则sm x x −−→.m －1个证明：由于对1,2,m =⋅⋅⋅，有()1()m m i i i i x x e αα∞=-=-∑，故根据Schauder 基的定义，知0ε∀>，存在0m 和10N N ≥，满足01()()2i m i i i N f x f x e ε∞=+⎡⎤-<⎣⎦∑. 又因为wm x x −−→，由引理1知，(),1,2,,m j j j αα→=⋅⋅⋅ 从而必存在20N m ≥，使得当2m N ≥时，有1()11||,1,2,,.2m j j N ii j N e εαα=-<=⋅⋅⋅∑所以，当2m N ≥时，有0m m ≥，并由上述结论得11()()()111()()()N m m m m i i i i i i i i i i i i N x x e e e αααααα∞∞===+-=-≤-+-∑∑∑11()11||[()()N m i i i imi i i i N e f xf x e αα∞==+≤-+-∑∑1011111[()()222N i i m i i N i i N ii e f x f x e e εεεε∞==+=<+-<+=∑∑∑.即sm x x −−→.2.2 算子列的强收敛、弱收敛与一致收敛与点列收敛性类似，一致收敛也蕴含着强收敛，强收敛也蕴含着弱收敛. 我们同样给出下面的命题.2.2.1 一致收敛一定强收敛，强收敛不一定一致收敛定理3设X 和Y 是两个赋范线性空间，()X Y B →表示X 到Y 中的有界线性算子全体所成的空间，(),1,2,,m T B X Y m ∈→=⋅⋅⋅(),T B X Y ∈→ 如果算子列{}m T 一致收敛于T ，那么{}m T 强收敛于T .证明：因为算子列{}m T 一致收敛于T ，所以0()m T T m →→→∞，又由m T 、T 的线性性质得，()0()m m m T x Tx T T x T T x m -=-≤-→→∞，即{}m T 强收敛于T .上述结论反之不一定成立. 举一反例如下：反例2.设2X Y l ==，m T 为()B X Y →中如下定义的算子：1212(,,)(0,0,,0,,,)m m m T ξξξξ++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，212(,,),1,2,x l m ξξ=⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅显然，每个m T 都是线性算子，并且1m T ≤，这时 22100()m k k m T x m ξ∞=+-=→→∞∑，即{}m T 强收敛于0，但{}m T 不一致收敛于0.事实上，对任意的正整数m ，令1(0,0,,0,1,0,),1,2,m e m +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则11m e +=，但11m m m T e e ++=，故1m T ≥，因此1m T =不收敛于0，即{}m T 不一致收敛于0.2.2.2 强收敛一定弱收敛，弱收敛不一定强收敛定理4 设X 和Y 是两个赋范线性空间，()X Y B →表示X 到Y 中的有界线性算子全体所成的空间，(),1,2,,m T B X Y m ∈→=⋅⋅⋅(),T B X Y ∈→ 如果算子列{}m T 强收敛于T ，那么{}m T 弱收敛于T .证明：因为算子列{}m T 强收敛于T ，则有x X ∀∈，0()m T x Tx m →→→∞，所以x X ∀∈，'f Y ∀∈，由f 的线性得，()()()0()m m m f T x f Tx f T x Tx f T x Tx m -=-≤-→→∞，即{}m T 弱收敛于T . 推论1：设X 和Y 是两个赋范线性空间，()X Y B →表示X 到Y 中的有界线性算子全体所成的空间，(),1,2,,m T B X Y m ∈→=⋅⋅⋅(),T B X Y ∈→ 如果算子列{}m T 一致收敛于T ，那么{}m T 弱收敛于T .上述结论反之则不一定成立. 举一反例如下：反例3.设2X Y l ==，m T 为()B X Y →中如下定义的算子：1212(,,)(0,0,,0,,,)m T ξξξξ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，212(,,),1,2,x l m ξξ=⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅这是平移算子，显然m T 都是线性算子，并且m T x x =，所以1m T =. 对任意()()22121,,',,k m m k k y l l T x y ηηξη∞+==⋅⋅⋅∈=<>=∑，m 个m 个所以由施瓦兹不等式可得111222222111,()()())0()m k k m k k k k m T x y x m ξηη∞∞∞+===+<>≤=→→∞∑∑∑，即{}m T 弱收敛于0.但{}m T 不强收敛，只要取1(1,0,)x e ==⋅⋅⋅，则当n m ≠时，就有1111n m n m T e T e e e ++-=-=，故{}1m T e 不收敛.2.2.3 较强限制条件下的一致收敛、强收敛、弱收敛的关系下面进一步讨论，对线性赋范空间加以哪些较强的限制，可以让弱收敛能推到强收敛，强收敛能推到一致收. 对此，我们研究当{}m T 弱收敛于T ，是否存在子列{}{}km mT T ⊂，使得{}km T 强收敛于T ？或者当{}mT 强收敛于T ，是否存在子列{}{}km mT T ⊂，使得{}km T 一致收敛于T ？定理5 设X Y 、为赋范线性空间,{}()m T B X Y ⊂→、()T B X Y ∈→ .若X 的单位球面{1,}E x x x X ==∈为紧集（即X 为有限维），则当{}m T 强收敛于T 时，必有子列{}{}km mT T ⊂，使得{}km T 一致收敛于T .证明:因为1sup ()m m x T T T T x =-=-，令()()()m m f x T T x x E =-∈，则()m f x 为紧集E 上的连续函数，故必有m x E ∈，使得x E ∀∈，都有()()m m m f x f x ⊂，即()()()m m m T T x T T x x E -≤-∈.从而有()m m m T T x T T -=-. 因为{}m x E⊂,且E 为紧集，故必有{}{}km mx x ⊂及0x E ∈，使得00,()k m x x k -→→∞.不妨设01(1,2,)2k m x x k -<=⋅⋅⋅，则：00()k k k k k k m m m m m m T T T T x T T x x T T x -=-≤--+-01()2k k m m T T T T x ≤-+-.即02()k k m m T T T T x -≤-.又因为{}m T 强收敛于T ，所以0()0k m T T x -→，故0k m T T -→，即{}k m T 一致收敛于T .定理6设X Y 、为赋范线性空间,{}()m T B X Y ⊂→，()T B X Y ∈→.若满足条件： (1)存在0M >，,(1,2,)m T M m <=⋅⋅⋅； (2)X 为可分空间；(3)'Y 的单位球面'{1,'}E f f f Y ==∈为紧集.则当{}m T 弱收敛于T ，存在子列{}{}k m m T T ⊂，{}k m T 强收敛于T .证明：因为{}m T 弱收敛于T ，所以,'x X f Y ∀∈∈，()()0m f T x f Tx -→. 对于任意固定的,,m x T x Tx Y ∈，有()'''',()''''n T x Y Tx Y ∈∈， 且0()''()()(0,1,2,,)m m T x f f T x m T T ==⋅⋅⋅=.由假设，x X ∀∈，*()''()''m T x Tx −−→弱，设{}m x 为X 的稠密子集.因为*11()''()''m T x Tx −−→弱，由引理5知存在子列11{}{}m T T ⊂，使得111()''()''m T x Tx →.又因为*122()''()''T x Tx −−→弱，所以存在子列21{}{}m m T T ⊂，使得222()''()''m T x Tx →.由此我们可以得到一系列序列12{}{}{}m m km T T T ⊃⊃⋅⋅⋅⊃⊃⋅⋅⋅，满足()''()''(1,2,)km i i T x Tx i →=⋅⋅⋅.取对角序列()''()''mm i i T x Tx →，对任意的x X ∈，由设0{}i i x x ∈，使得0min ,2()2i x x M T εε⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭，其中ε为任意小的正数.又对0i x ，0N ∃>，当m N >时，00()''()''2mm i i T x Tx ε-<，所以，当m N >时，00()''()''mm mm i mm T x Tx T T x x T T x ε-≤--+-<.所以，x X ∀∈，mm T x Tx →，即{}mm T 强收敛于T .小结本文在总结借鉴国内外文献的基础上，较为系统地讨论了点列的强收敛、弱收敛的关系和算子列的一致收敛、强收敛、弱收敛之间的关系，并给出了在特定条件下各种收敛性的等价性，但是等价性的限制条件不仅限于本文给出的这些，这是以后可以继续讨论的方向.谢辞时光荏苒，岁月如梭，大学四年马上就要过去了，而毕业论文就是我给这四年画下一个完美的句点.经过几个月的查阅资料文献、整理材料、与导师同学探讨、写作论文，今天终于可以向学校、向导师、向自己交出一份答卷了！从论文的撰写到完成的整个过程中，我要感谢所有关心过我，陪我一路走到最后的人.首先，要感谢学校，感谢学院给我提供了这样一个学习的平台和良好的学习环境.也要感谢院系所有的老师们，感谢他们在这四年来对我的悉心教导，他们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪;他们的言传身教，将使我在今后的人生中受益匪浅.其次，要特别感谢我的指导老师郭飞老师，从论文的立题到论文的撰写直至完成，整个过程无不浸透着老师的心血.正是在老师的悉心指导下，这篇论文得以顺利完成，在此对老师致以深深的谢意.老师广博的学识，严肃的科学态度，严谨的治学精神，灵活的思维方式，耐心细致的言传身教深深感染激励着我；但生活中他却是平易近人的，对学生关怀备至，这份师恩令我永生难忘！最后，我要感谢专业的所有同学们，感谢他们的鼓励和支持，感谢他们和我一路走来，让我在此过程中倍感温暖！感谢所有关心和帮助过我的老师、同学、朋友，谢谢你们！参考文献[1]SiRger,I.,Bases in Banach Space I,Berlin-Heidelberg-New York,Springer :1970.[2]程基嚷．张莫字．魏国强．等．实变函数论与泛函分析基础[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3]胡适耕，刘金山．实变函数与泛函分析：定理·方法．问题[M]．北京：高等教育出版社，2O03：100—250．[4]阎革兴. n-赋范空间[J] . 哈尔滨师范大学学报, 1985,1(1) : 7-14.[5]赵目．赵玉华．关于弱收敛的一些结果[J]．安徽教育学院学报．2007．2S(3)：9·10．[6]夏道行等: 《实变函数论与泛函分析》下册, 人民教育出版社, 1979.P.161.[7]Kreyszig.E, 张石生等译. 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The following discussion will address this issue.1 Maclaurin (Maclaurin) formulaPolynomial power series can be seen as an extension of reality, so consider the function f (x ) can expand into power series, you can from the function f (x )and polynomials start to solve this problem. To this end, to give here without proof the following formula.Taylor (Taylor) formula, if the function f (x ) at 0x x = in a neighborhood that until the derivative of order 1n +, then in the neighborhood of the following formula :20000()()()()()()n n f x f x x x x x x x r x =+-+-++-+… (9-5-1)Among10()()n n r x x x +=-That r n (x ) for the Lagrangian remainder. That (9-5-1)-type formula for the Taylor.If so 00x =, get2()(0)()n n f x f x x x r x =+++++…, (9-5-2) At this point,(1)(1)111()()()(1)!(1)!n n n n n f f x r x x x n n ξθ+++++==++ (01θ<<). That (9-5-2) type formula for the Maclaurin.Formula shows that any function ()f x as long as until the 1n +derivative, n can be equal to a polynomial and a remainder.We call the following power series ()2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n '''=+++++…… (9-5-3) For the Maclaurin series.So, is it to f (x ) for the Sum functions? If the order Maclaurin series (9-5-3) the first 1n + items and for S n +1(x ), which()21(0)(0)()(0)(0)2!!n n n f f S x f f x x x n +'''=++++… Then, the series (9-5-3) converges to the function f (x ) the conditions1lim ()()n n s x f x +→∞=. Noting Maclaurin formula (9-5-2) and the Maclaurin series (9-5-3) the relationship between the known1()()()n n f x S x r x +=+Thus, when()0n r x =There,1()()n f x S x +=Vice versa. That if1lim ()()n n s x f x +→∞=, Units must()0n r x =.This indicates that the Maclaurin series (9-5-3) to f (x ) and function as the Maclaurin formula (9-5-2) of the remainder term ()0n r x → (when n →∞).In this way, we get a function f (x ) the power series expansion:()()0(0)(0)()(0)(0)!!n n n n n f f f x x f f x x n n ∞='==++++∑……. (9-5-4) It is the function f (x ) the power series expression, if, the function of the power series expansion is unique. In fact, assuming the function f (x ) can be expressed as power series20120()n n n n n f x a x a a x a x a x ∞===+++++∑……, (9-5-5)Well, according to the convergence of power series can be itemized within the nature of derivation, and then make 0x = (power series apparently converges in the 0x = point), it is easy to get()2012(0)(0)(0),(0),,,,,2!!n n n f f a f a f x a x a x n '''====……. Substituting them into (9-5-5) type, income and f (x ) the Maclaurin expansion of (9-5-4) identical.In summary, if the function f (x ) contains zero in a range of arbitrary order derivative, and in this range of Maclaurin formula in the remainder to zero as the limit (when n → ∞,), then , the function f (x ) can start forming as (9-5-4) type of power series. Power Series()20000000()()()()()()()()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-……, Known as the Taylor series.Second, primary function of power series expansionMaclaurin formula using the function f (x ) expanded in power series method, called the direct expansion method.Example 1Test the function f (x )=e x expanded in power series of x .Solution because()()n x f x e =,(1,2,3,)n =…Therefore()(0)(0)(0)(0)1n f f f f '''====…, So we get the power series21112!!n x x x n +++++……, (9-5-6) Obviously, (9-5-6)type convergence interval (,)-∞+∞, As (9-5-6)whether type ()x f x e = is Sum function, that is, whether it converges to f (x )=e x , but also examine remainder r n (x ). Because1e ()(1)!xn n r x x n θ+=+ (01θ<<)，且x x x θθ≤≤, Therefore11e e ()(1)!(1)!xx n n n r x x x n n θ++=<++, Noting the value of any set x ,x e is a fixed constant, while the series (9-5-6) is absolutely convergent, so the general when the item when n →∞, 10(1)!n x n +→+ , so when n → ∞, there10(1)!n x x e n +→+, From thislim ()0n n r x →∞=This indicates that the series (9-5-6) does converge to f (x )=e x , therefore21112!!x n e x x x n =+++++…… (x -∞<<+∞). Such use of Maclaurin formula are expanded in power series method, although the procedure is clear, but operators are often too Cumbersome, so it is generally more convenient to use the following power series expansion method.Prior to this, we have been a function x-11, x e and sin x power series expansion, the use of these known expansion by power series of operations, we can achieve many functions of power series expansion. This demand function of power series expansion method is called indirect expansion .Example 2Find the function f (x )=cos x ,x =0,Department in the power series expansion.Solution because(sin )cos x x '=, And3521111sin (1)3!5!(21)!n n x x x x x n +=-+-+-++……，（x -∞<<+∞） Therefore, the power series can be itemized according to the rules of derivation can be342111cos 1(1)2!4!(2)!n n x x x x n =-+-+-+……,（x -∞<<+∞） Third, the function power series expansion of the application exampleThe application of power series expansion is extensive, for example, can use it to set some numerical or other approximate calculation of integral value.Example 3 Using the expansion to estimate arctan x the value of π. Solution because πarctan14= Because of357arctan 357x x x x x =-+-+…, (11x -≤≤), So there1114arctan14(1)357π==-+-+…Available right end of the first n items of the series and as an approximation of π. However, the convergence is very slow progression to get enough items to get more accurate estimates of πvalue.译文：幂级数的展开及其应用在上一节中，我们讨论了幂级数的收敛性，在它的收敛域内，幂级数总是收敛于一个和函数．对于一些简单的幂级数，还可以用逐项求导或求积分的方法，求出这个和函数．本节将要讨论另外一个问题，对于任意一个函数f (x )，能否将其展开成一个幂级数，以及展开成的幂级数是否以f (x )为和函数?下面的讨论将解决这一问题．1. 马克劳林(Maclaurin)公式幂级数实际上可以视为多项式的延伸，所以在考虑函数f (x )能否展开成幂级数时，可以从函数f (x )与多项式的关系入手来解决这个问题．为此，这里不加证明地给出如下的公式．泰勒(Taylor)公式 如果函数f (x )在x =x 0的某一邻域内，有直到n +1阶的导数，则在这个邻域内有如下公式：()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+-++-+…,(9-5-1) 其中(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+． 称r n (x )为拉格朗日型余项．称(9-5-1)式为泰勒公式．如果令x 0=0，就得到2()(0)()n n f x f x x x r x =+++++…， (9-5-2)此时，(1)(1)111()()()(1)!(1)!n n n n n f f x r x x x n n ξθ+++++==++, (01θ<<)． 称(9-5-2)式为马克劳林公式．公式说明，任一函数f (x )只要有直到n +1阶导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和．我们称下列幂级数()2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n '''=+++++…… (9-5-3) 为马克劳林级数．那么，它是否以f (x )为和函数呢?若令马克劳林级数(9-5-3)的前n +1项和为S n +1(x )，即()21(0)(0)()(0)(0)2!!n n n f f S x f f x x x n +'''=++++…， 那么，级数(9-5-3)收敛于函数f (x )的条件为1lim ()()n n s x f x +→∞=．注意到马克劳林公式(9-5-2)与马克劳林级数(9-5-3)的关系，可知1()()()n n f x S x r x +=+．于是，当()0n r x =时，有1()()n f x S x +=．反之亦然．即若1lim ()()n n s x f x +→∞= 则必有()0n r x =．这表明，马克劳林级数(9-5-3)以f (x )为和函数⇔马克劳林公式(9-5-2)中的余项()0n r x → (当n →∞时)．这样，我们就得到了函数f (x )的幂级数展开式： ()()20(0)(0)(0)()(0)(0)!2!!n n n n n f f f f x x f f x x x n n ∞='''==+++++∑……(9-5-4) 它就是函数()f x 的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的．事实上，假设函数()f x 可以表示为幂级数20120()n n n n n f x a x a a x a x a x ∞===+++++∑……， (9-5-5)那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令0x =(幂级数显然在0x =点收敛)，就容易得到()2012(0)(0)(0),(0),,,,,2!!n n n f f a f a f x a x a x n '''====……． 将它们代入(9-5-5)式，所得与()f x 的马克劳林展开式(9-5-4)完全相同．综上所述，如果函数f (x )在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限(当n →∞时)，那么，函数f (x )就可展开成形如(9-5-4)式的幂级数．幂级数()00000()()()()()()1!!n n f x f x f x f x x x x x n '=+-++-……, 称为泰勒级数．二、 初等函数的幂级数展开式利用马克劳林公式将函数f (x )展开成幂级数的方法，称为直接展开法．例1 试将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数．解 因为()()n x f x e =, (1,2,3,)n =…所以()(0)(0)(0)(0)1n f f f f '''====…，于是我们得到幂级数21112!!n x x x n +++++……， (9-5-6) 显然，(9-5-6)式的收敛区间为(,)-∞+∞，至于(9-5-6)式是否以f (x )=e x 为和函数，即它是否收敛于f (x )=e x ，还要考察余项r n (x )．因为1e ()(1)!xn n r x x n θ+=+ (01θ<<)， 且x x x θθ≤≤， 所以11e e ()(1)!(1)!x x n n n r x x x n n θ++=<++． 注意到对任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数(9-5-6)是绝对收敛的，因此其一般项当n →∞时，10(1)!n x n +→+，所以当n →∞时，有 10(1)!n x x e n +→+， 由此可知lim ()0n n r x →∞=． 这表明级数(9-5-6)确实收敛于f (x )=e x ，因此有21112!!x n e x x x n =+++++…… (x -∞<<+∞)． 这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法．在此之前，我们已经得到了函数x-11，x e 及sin x 的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式．这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法．例2 试求函数f (x )=cos x ,x =0在x =0处的幂级数展开式．解 因为(sin )cos x x '=，而3521111sin (1)3!5!(21)!n n x x x x x n +=-+-+-++……,（x -∞<<+∞）， 所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得342111cos 1(1)2!4!(2)!n n x x x x n =-+-+-+……,（x -∞<<+∞）． 三、 函数幂级数展开的应用举例幂级数展开式的应用很广泛，例如可利用它来对某些数值或定积分值等进行近似计算．例3 利用arctan x 的展开式估计π的值．解 由于πarctan14=， 又因357arctan 357x x x x x =-+-+…， (11x -≤≤)， 所以有1114arctan14(1)357π==-+-+…．可用右端级数的前n 项之和作为π的近似值．但由于级数收敛的速度非常慢，要取足够多的项才能得到π的较精确的估计值．。
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线性赋范空间上算子的一致连续性定理
摘 要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致
连续个充要条件是任意两个
ε>0,存在正数c,使得对x 、y ∈D,当‖Tx-Ty ‖>c ‖x-y ‖时,恒有‖Tx-Ty ‖<ε。
关键词: 连续; 一致连续; 线性赋范空间
满足
n n n lim x -y →∞
（）{}
n x {}n y 的序列 和 都有
n
n
n lim Tx -Ty =→∞
（）0; 或对任意Cuchy 序列{xn},{Txn}是Y 中的Cuchy 序列;或对任意
前言
众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成部分.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析中大家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(X,‖・‖1)、(Y,‖・‖2)分别表示两个线性赋范空间(实的或复的),简记为X、Y。
定义1设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,x0∈X,若对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖x-x0‖<δ时有:‖Tx-Tx0‖<ε,则称算子T在x0处是连续的;如果T在X中的每一点处都连续,则称T在X上是连续的。
定义2 设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点x1,x2,当‖x1-x2‖<δ时都有‖Tx1-Tx2‖<ε成立,则称T在X上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:若对任意ε>0,存在δ>0,使得对X中的任意两个点x1,x2,如果‖Tx1-Tx2‖≥ε,那么必有‖x1-x2‖≥δ,则T在X上是一致连续的。
从以上的定义不难看出,如果T在X上是一致连续的,那么T必在X上的每一点处都是连续的;反之不真。
所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念。
定义3 设M是线性赋范空间X的一个子集,若M中的任何序列都有在M 中收敛的子列,则称M是X的一个紧集.若X本身是紧的,则称Y为紧的线性赋范空间。
连续算子一致连续的两个充分条件
我们有如下一些主要结果:
定理1 设A是线性赋范空间X的紧子集,若T是从A到线性赋范空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的。
证明用反证法,设T在X上不是一致连续的,则由定义知,存在某ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在X中的相应两个点x′,x″,虽然‖x′-x″‖<δ,但是
有‖Tx ′-Tx ″‖≥ε0 (1)
上面的(3)式与(4)式矛盾。
所以T 在X 是一致连续的。
对空间R 而言,由于任何有限闭区间[a,b]都是紧集,所以上述定理2是我们在数学分析中熟悉的一致连续性定理(即闭区间上的连续函数一定是一致连续的)的推广。
定理2 设X 是紧的线性赋范空间,T 是从X 到线性赋范空间Y 的一连续算子,则T 是一致连续的。
证明 可用反证法：具体过程与定理1完全类似。
算子一致连续的几个充要条件
定义4 设X 是一线性空间,x1,x2为X 中的两个点,称集合{x ∶x=(1-t)x1+tx2,0≤t ≤1}为连接点x1,x2的线段;对于X 的一子集S,若S 包含连接S 中任意两点的线段,则称S 为X 的凸子集。
定理3设D 是线性赋范空间X 的一个凸子集,T 是从D 到线性赋范空间Y 上的一算子,则T 一致连续的充分必要条件是对任意ε>0,存在正数c,使得对x,y ∈D,当
‖Tx-Ty ‖>c ‖x-y ‖ (7) 时,恒有
‖Tx-Ty ‖<ε (8)证明 充分性: 根据已知条件,对任意ε>0,存在正数c,使得对x,y ∈D,当 ‖Tx-Ty ‖≥ε (9)
对任意的自然数n,取δ-1/n,则分别存在 n n x ,x '''n n 1x x n
'''-<
虽然
但是 n n 0
Tx x T ε'''-≥(2)
从而得X 中的两个序列 分别有收敛子列
，由于A 是紧子集，所以 {}{}
n n x ,x '''
{}{}
n n
x ,x '''
易知此时有 {}
nk nk x ,x '''nk 0
x x ''→则由
若设 nk nk 1
x x n
'''-<
nk 0x x '→nk nk 0n0Tx x Tx x =0
T T '''-→-(3)
由T 的连续性，有
{}{}
n
n
x ,x '''(4)
的取法以及（2）知，有
但是另一方面，由
nk nk 0
Tx x T ε'''-≥
时,成立
‖Tx-Ty‖≤c‖x-y‖(10) 此时由(10)、(9)式可得
‖x-y‖≥c ‖Tx-Ty‖≥ε/c
所以对任意ε>0,只需取δ=ε/c,则当x,y∈D，且满足‖Tx-Ty‖≥ε时,必有
‖x-y‖≥δ,利用一致连续的等价定义可知,T是一致连续的.
必要性:设T在D上一致连续的,则由一致连续的等价定义知,对任意ε>0,存在δ>0,使得对D中的任意两个点x,y,如果‖Tx-Ty‖≥ε,那么必有‖x-y‖≥δ.现取自然数k,使得
kδ≤‖x-y‖≤(k+1)δ(11) 令xi=（1-i/k+1）x+（i/k+1）y, i=0,1,2,…,k+1,则由(11)式易见有,
‖xi+1-xi‖=‖x-y‖k+1<δ
,所以此时有:‖Tx-Ty‖≤∑k‖Txi+1-Txi‖/kδ<(k+1)ε/kδ<2ε/δ若令
c=[2ε/δ]+1,则对D中的任意两个点x,y,如果‖Tx-Ty‖≥ε,那么必有
‖Tx-Ty‖≤c‖x-y‖成立,即如果(7)式成立,那么必有(8)式成立。
结论
从上面的证明过程可以看出,定理的充分性对任意的子集D都成立,不需要凸这一假设;而对定理的必要性,子集D的凸性只是为了保证D具有某种“连通性”。
不难看出,对任意子集D,当D中任意两点都可以通过折线时,定理仍然成立。
如果只要求D是道路连通的,定理就不一定成立。
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