泛函分析线性赋范空间论文

线性赋范空间上算子的一致连续性定理

摘 要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致

连续个充要条件是任意两个

ε>0,存在正数c,使得对x 、y ∈D,当‖Tx-Ty ‖>c ‖x-y ‖时,恒有‖Tx-Ty ‖<ε。 关键词: 连续; 一致连续; 线性赋范空间

满足

n n n lim x -y →∞

（）{}

n x {}n y 的序列 和 都有

n

n

n lim Tx -Ty =→∞

（）0; 或对任意Cuchy 序列{xn},{Txn}是Y 中的Cuchy 序列;或对任意

前言

众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成部分.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析中大家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(X,‖・‖1)、(Y,‖・‖2)分别表示两个线性赋范空间(实的或复的),简记为X、Y。

定义1设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,x0∈X,若对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖x-x0‖<δ时有:‖Tx-Tx0‖<ε,则称算子T在x0处是连续的;如果T在X中的每一点处都连续,则称T在X上是连续的。

定义2 设T是从线性赋范空间X到线性赋范空间Y的一算子,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点x1,x2,当‖x1-x2‖<δ时都有‖Tx1-Tx2‖<ε成立,则称T在X上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:若对任意ε>0,存在δ>0,使得对X中的任意两个点x1,x2,如果‖Tx1-Tx2‖≥ε,那么必有‖x1-x2‖≥δ,则T在X上是一致连续的。

从以上的定义不难看出,如果T在X上是一致连续的,那么T必在X上的每一点处都是连续的;反之不真。所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念。

定义3 设M是线性赋范空间X的一个子集,若M中的任何序列都有在M 中收敛的子列,则称M是X的一个紧集.若X本身是紧的,则称Y为紧的线性赋范空间。

连续算子一致连续的两个充分条件

我们有如下一些主要结果:

定理1 设A是线性赋范空间X的紧子集,若T是从A到线性赋范空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的。

证明用反证法,设T在X上不是一致连续的,则由定义知,存在某ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在X中的相应两个点x′,x″,虽然‖x′-x″‖<δ,但是

有‖Tx ′-Tx ″‖≥ε0 (1)

上面的(3)式与(4)式矛盾。所以T 在X 是一致连续的。

对空间R 而言,由于任何有限闭区间[a,b]都是紧集,所以上述定理2是我们在数学分析中熟悉的一致连续性定理(即闭区间上的连续函数一定是一致连续的)的推广。

定理2 设X 是紧的线性赋范空间,T 是从X 到线性赋范空间Y 的一连续算子,则T 是一致连续的。

证明 可用反证法：具体过程与定理1完全类似。 算子一致连续的几个充要条件

定义4 设X 是一线性空间,x1,x2为X 中的两个点,称集合{x ∶x=(1-t)x1+tx2,0≤t ≤1}为连接点x1,x2的线段;对于X 的一子集S,若S 包含连接S 中任意两点的线段,则称S 为X 的凸子集。

定理3设D 是线性赋范空间X 的一个凸子集,T 是从D 到线性赋范空间Y 上的一算子,则T 一致连续的充分必要条件是对任意ε>0,存在正数c,使得对x,y ∈D,当

‖Tx-Ty ‖>c ‖x-y ‖ (7) 时,恒有

‖Tx-Ty ‖<ε (8)证明 充分性: 根据已知条件,对任意ε>0,存在正数c,使得对x,y ∈D,当 ‖Tx-Ty ‖≥ε (9)

对任意的自然数n,取δ-1/n,则分别存在 n n x ,x '''n n 1x x n

'''-<

虽然

但是 n n 0

Tx x T ε'''-≥(2)

从而得X 中的两个序列 分别有收敛子列

，由于A 是紧子集，所以 {}{}

n n x ,x '''

{}{}

n n

x ,x '''

易知此时有 {}

nk nk x ,x '''nk 0

x x ''→则由

若设 nk nk 1

x x n

'''-<

nk 0x x '→nk nk 0n0Tx x Tx x =0

T T '''-→-(3)

由T 的连续性，有

{}{}

n

n

x ,x '''(4)

的取法以及（2）知，有

但是另一方面，由

nk nk 0

Tx x T ε'''-≥

时,成立

‖Tx-Ty‖≤c‖x-y‖(10) 此时由(10)、(9)式可得

‖x-y‖≥c ‖Tx-Ty‖≥ε/c

所以对任意ε>0,只需取δ=ε/c,则当x,y∈D，且满足‖Tx-Ty‖≥ε时,必有

‖x-y‖≥δ,利用一致连续的等价定义可知,T是一致连续的.

必要性:设T在D上一致连续的,则由一致连续的等价定义知,对任意ε>0,存在δ>0,使得对D中的任意两个点x,y,如果‖Tx-Ty‖≥ε,那么必有‖x-y‖≥δ.现取自然数k,使得

kδ≤‖x-y‖≤(k+1)δ(11) 令xi=（1-i/k+1）x+（i/k+1）y, i=0,1,2,…,k+1,则由(11)式易见有,

‖xi+1-xi‖=‖x-y‖k+1<δ

,所以此时有:‖Tx-Ty‖≤∑k‖Txi+1-Txi‖/kδ<(k+1)ε/kδ<2ε/δ若令

c=[2ε/δ]+1,则对D中的任意两个点x,y,如果‖Tx-Ty‖≥ε,那么必有

‖Tx-Ty‖≤c‖x-y‖成立,即如果(7)式成立,那么必有(8)式成立。

结论

从上面的证明过程可以看出,定理的充分性对任意的子集D都成立,不需要凸这一假设;而对定理的必要性,子集D的凸性只是为了保证D具有某种“连通性”。不难看出,对任意子集D,当D中任意两点都可以通过折线时,定理仍然成立。如果只要求D是道路连通的,定理就不一定成立。