第三章 恒定电场剖析
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03第三章_恒定电场(定稿2学时)
I =
∫ J ⋅ dS
S
（3.1-2）
根据上述同样的定义和推导，我们可以得到导体表面 上电流的线密度（面电流密度）J 为：
S
ρs ⋅Δl ⋅Δw ρυΔw ΔI JS = aJ = aJ = aJ s = ρυ s Δw Δt ⋅Δw Δw
（单位：安培/米） 其中，ρ s 是表面上运动电荷（载流子）的密度，
Δ t
= ρ vΔ S
(电流强度的定义：单位时间内流过某截面的电荷电量）
∴
J = ΔI
Δs
= ρv
写成矢量形式：
J = ρυ （3.1-1） ρ 此处，应特别注意， 是指载流子的体密度，在金
属导体中即是自由电子的密度，而不是导体中净电荷的 密度（下面就会讲到，导体中存在恒定电场时，净电荷 的密度恒定为零，它是单位体积中正电荷与负电荷的代 数和）。 已知 J 后，即可求出流过体积中任意一个曲面Ｓ的 电流为：
ΔI
ΔI J = ΔS
ρ
Δl
电流密度的方向规定为正电荷运动的方向。
可见，电流密度为一个矢量 J ，单位为安培／ 2。 米 体电流的面密度（体电流密度，简称电流密度）的 求解： 设某点处载流子的运动速度为 υ ，该点处的电荷体密 度为 ρ ，则在单位时间内流过面元 ΔS 的电荷为：
Δ I =
ρ ⋅Δ l ⋅Δ S
所以，许多恒定电场问题都可以化为静电场的问题 来解决。
例如，在静电场中，充满均匀介质
q C = U
ε
的两导体间的电容为：
而由高斯定律，得：
q = ∫ D ⋅ dS = ε ∫ E ⋅ dS
S S
另外， U =
∫
2
1
E ⋅ dl
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
故分界面上的自由电荷密度为
1 2 2 1 1 2 S D1 D2 ( ) J V0 1 2 2 d1 1 d 2
38
39
40
41
3.3 导电媒质分界面衔接条件
1.分界面条件
在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电 荷，也可能存在束缚面电荷。这造成分界面两侧 场矢量不连续。场矢量的不连续性不影响积分形 式基本方程却影响微分形式的基本方程的应用， 因此必须研究场矢量的分界面条件。
E
E
31
例 3-2-1 在均匀恒定电流场中，电流密度为 1，沿 x 方向。在 x 从 0 到 1 的区域，媒质的电导率从 1 均匀增加到 2，介质常数保持 0 不变，试求自由电 荷体密度。 解：根据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，由 E
1
J ， 1 x ，得
根据电源以外恒定电场的无旋性， 可由 E 定义标量电位 ， 代入基本方程和辅助方程，得
0
29
在均匀媒质中，得电位的基本方程
0
2
电源以外空间恒定电场的电位满足拉普拉斯 方程。 电源以外空间 （包括导电媒质） 的恒定电场是 由电荷产生的库仑场，空间电场也应满足高斯通 量定理
这电荷守恒原理的微分形式。
26
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化，
q 0, 0。 t t
得恒定电场的电流连续性方程
J 0
J dS 0
S
上式适合于电源和电 源以外恒定电场的任何区 域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流 场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终 止电流密度线，即电流密度线处处连续。 27
工程电磁场第三章剖析
简单证明： 对J E 两边取面积分
左边 J dS I S
右边 E dS U dS S U GU
S
Sl
l
所以 U RI
7
3. 2恒定电场的基本方程 1. 局外场
要维持导电媒质中的恒定电流。就必须有恒定的电场强度。 在一个闭合回路中库仑电场的电场强度E闭合线积分为零。要维持恒定电流，电荷 在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。
在电源中，除局外电场外，也存在库仑电场，故总的电场强度为 在电源以外的其他区域，只存在库仑电场，故总的电场强度
如果积分路径经过电源，则电场强度的闭合线积分等于电源的电动势
9
考虑电源以外的空间 电源以外的恒定电场是无旋场
10
3.电流连续性 根据电荷守恒原理，自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内的
密度为ρ的体电荷以速度v运动形成体电流密度J
穿过面积S的电流就是电流密度J在该面积上的通量
4
如果体积的厚度可以忽略，则可以认为电荷在面上运动，形成面电流，有面电流密度 如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。
5
2.电流密度与电场强度的关系 要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。 电场强度也是恒定电场的基本场矢量。
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。
14
• D • E • E • E • E • E
•
E
2
•
E
•
J
积累自由电荷的体密度与 的空间变化有关。
例 在均匀恒定电流场中，电流密度为1，沿 x 方向。 在 x 从 0 到 1 的区域，媒质电导率从1均匀增加到 2 ， 介电常数保持 0 不变，试求自由电荷体密度。 解 据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
工程电磁场第三章恒定电场
第三章 恒定电场3.0 概述1 本章的主要内容(1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场；(3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场一、导电媒质中的恒定电场恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。
两种情况：1．导电媒质中的恒定电场2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。
电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。
对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。
如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。
如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。
只要利用Eγδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。
二、 局外场强与电动势局外场强（局外力设想为一等效场强） q FE e e =电动势 l d qF C l d E C e e⋅=⋅=⎰⎰+-+-11ε局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。
e 与电荷数量即电流无关。
3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式1．电流密度失量（电流面密度矢量）I dtdq t q t ==∆∆→∆0lim电流强度 A 标量 对面而言 通量dS dIS I S =∆∆=→∆0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数δ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S⋅=⎰δ电流场——电流线描述电流线密度矢量n e dl dI K = A/m2．欧姆定律的微分形式导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 Eγδ=γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。
恒定电流的电场
在各向同性的导电媒质中，电流密度矢量和电场强度的方向相同，都是 正电荷运动的方向，上式可写成矢量形式 这就是欧姆定律的微分形式。 但要注意，面电流密度。 最后必须指出，运流电流不服从欧姆定律。 设在空间一点，电荷的运动 速度是v(米／秒)，该点的电荷密度是ρ(库／米3)，过该点取一垂直于电 荷运动方向的面积元ds，并沿电荷运动的方向取长度元dl，则体积元dv ＝dsdl内的电量dq= ρ dsdl ，这些电荷在dt=dl/v的时间内全部流过ds， 由电流强度的定义
说明在分界面上电流密度的法向分量是连续的。
E的边界条件
将 应用于图中的矩形闭合路径上得
说明分界面上电场强度的切向分量是连 续的。
电场方向的关系
3—5 恒定电场与静电场的比较
通过前面几节的讨论，我们发现导电媒 质中的恒定电场(电源外)与电介质中的静 电场(体电荷密度为0的区域)在许多方面 有相似之处。为了清楚起见，列表比较 如下。
有时电荷在一很薄的导体片上流动，称为面电流，如 图 所示。这时，与电流方向垂直的横截面积s近似为零， 面积元Δ s变为线元Δ l。为了描述面电流在横截面上 的分布，取面电流密度Js的定义为
面电流密度的方向仍然是正电荷运动的方向。为区别 起见，J又称为体电流密度。
3—2欧姆定律
实验证明，导体的温度不变时，通过一段导体的电流强度和导体 两端的电压成正比，这就是欧姆定律
第三章恒定电流的电场
电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为 恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流).如果在一个导 体回路中有恒定电流，回路中必然有一个推动电荷流动的恒定电场．这 是静电场以外的又一种不随时间变化的电场。这个恒定电场是由电源产 生的。我们知道，在静电场中，导体内部的电场强度等于零，但通有恒 定电流的导体内部的电场强度却不等于零。因此，有关导体在静电场中 的一些结论，例如电力线必须与导体表面垂直，导体表面是一个等位面 等概念，在恒定电流的电场中是否仍然成立，就需要重新研究。 导体表面上的恒定电荷分布在导体周围的电介质中也要产生一个恒定的 电场，达与静电场没有什么区别。 本章主要研究导体中恒定电场的基本性质，同时，还要由此推导出直流 电路理论中的一些基本定律，如欧姆定律，焦耳定律，基尔霍夫电流定 律和电压定律等。 当导体中有恒定电流时，导体内外还有磁场，这将在第四章中讨论。
恒定电场和磁场PPT课件
C G
关系式，得
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3.2.2 电导与接地电阻
Conductance and Ground Resistor 1 电导 (Conductance)
1). 通过电流场计算电导 思路
设
I
J
E J/
U l E dl
G I /U
或设
U
E
J E
I SJ dS
G I /U
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r0
Ib
2πU 0
为危险区半径（radius） 接地器接地电阻 R 1
2πa
r0
abIR U0
半球形接地器的危 险区
表明：工程上为减小危险区半径，应通过改变接地器 结构，修正电位的变化率，即减小接地器的接地电阻 值，或减小短路电流等方面，采取相应的工程对策。
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恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
第3章 恒定电场和磁场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它 与静电场有相似之处。
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
3.3.4 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
根据亥姆霍兹定理 Br r Ar
r 1 ' • B(r) dV
4π V r r
Ar 1 ' B(r) dV
4π V r r
r 0
第3章-恒定电场
v v J = γE
γ2 =0
如铁棒与土壤
E2只能是有限值，故有J2 = 0
E1n =
E2 n =
J1n = J 2 n = 0
如铜导线与空气
γ1
=0
导体内的电场与导体表面近似平行
E1t = E 2t ≠ 0 → E2n ≠ 0 γ2 v v v E 2 = E 2t + E 2 n 导体外的电场与导体表面不再垂直
v KdS
r r K =σv
《工程电磁场基础》
v v I =τ v
元电流段：
v v dq
v I dl
Zhang h j 2008
4
2. 电流密度与电场强度的关系
电场使电荷做定向运动，从而形成电流。 在均匀、线性、各向同性的导电媒质中
河北工业大学
《工程电磁场基础》
ΔI = ΔG ΔU v v J = γE
3
元电流
河北工业大学
v v 元电荷dq以速度 vv 运动,形成的电流叫做元电流： dq v v v dl dq v v r v dq = dq = dl = I dl J = ρv dt dt
v v v v dq = v ρdV = JdV v v v v dq = v σdS = KdS
v JdV
∫
3. 导体表面压降：
∫
l
v v E ⋅ dl = U 导电媒质压降
4. 对导电媒质以外的场——静电比拟。
Zhang h j 2008
15
3.4 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟
导电媒质内，无外源，或说无局外场。
无源区
河北工业大学
《工程电磁场基础》
ρ =0
方程 静 电 场 恒 定 电 场
第三章 恒定电场
相同数学模型
相同的泛定方程-泊松方程 相同的定解条件-边界条件 解等价
17
18
例如两导体电极间的电容为
Q ds E ds C 2 2 U E dl E dl
1 1
两导体电极间的电导为
I G U
2
J ds E ds E dl E dl
9
不同媒质分界面上的边界条件
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件
E dL 0
L
E1t E2t
10
恒定电场 折射定律
J dS 0 J J 2n 1n S c tan 1 1 J E tan 2 2 E1t E2t
积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
I J dS J cosdS
S S
3
有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入面 大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。
电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，
ΔI dI K lim n n ΔS 0 Δl dl
4
q 恒定电流:任一闭合面内没有自由电荷增减的变化，即： 0。 t
I
en dS1 t Jc dS2
dI dq Jc 电流密度－－电流线 dS dS dt
S S1 S2 S侧
en
J c dS J c dS J c dS J c dS ＝ J c en1dS J c en 2 dS
I ˆ J r 2 4r
J I ˆ E r 2 σ 4πr γ
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
相同的泛定方程-泊松方程 相同的定解条件-边界条件 解等价
17
18
例如两导体电极间的电容为
Q ds E ds C 2 2 U E dl E dl
1 1
两导体电极间的电导为
I G U
2
J ds E ds E dl E dl
9
不同媒质分界面上的边界条件
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件
E dL 0
L
E1t E2t
10
恒定电场 折射定律
J dS 0 J J 2n 1n S c tan 1 1 J E tan 2 2 E1t E2t
积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
I J dS J cosdS
S S
3
有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入面 大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。
电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，
ΔI dI K lim n n ΔS 0 Δl dl
4
q 恒定电流:任一闭合面内没有自由电荷增减的变化，即： 0。 t
I
en dS1 t Jc dS2
dI dq Jc 电流密度－－电流线 dS dS dt
S S1 S2 S侧
en
J c dS J c dS J c dS J c dS ＝ J c en1dS J c en 2 dS
I ˆ J r 2 4r
J I ˆ E r 2 σ 4πr γ
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
第三章 恒定电场
§3-1 导电媒质中的恒定电场,局外电场
导电媒质中的恒定电场 1.局外电场强度 E0 局外电场强度
F dF E0 = lim = dq q→0 q
(3-1)
2.库仑电场 Eq 库仑电场 3.恒定电流场 恒定电流场是恒定电场作用在 恒定电流场 导电媒质中所引起的电荷流动的 物理过程. 4.电源的电动势 电动势 图3-1 蓄电池 内的电场 (3-2)
(3-31)
恒定电场的旋度处处为零,说明恒定电场不存在 旋涡点,是一个无旋场,与静电场一样是位场.
22
恒定电场的拉普拉斯方程 综合式(3-28)及式(3-30)和式(3-4)同样可得 不存在局外电场的区域,恒定电场的电位函数所应 满足的拉普拉斯方程.
δ = (γE ) = (γ ) = γ 2 γ = 0
γ = 0 则得 2 = 0 当媒质均匀时
恒定电场中电位函数满足拉普拉斯方程是极其自 然的事,这是无源区域位场的必然结果.通常将无旋 又无源的场称之为调和场 调和场.调和场满足拉普拉斯方程. 调和场 而满足拉普拉斯方程的位函数,则称之为调和函数.
23
例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片,其形状,尺寸,电极 位置,电极上的电位如图3-8所示,若钢的电导率为 5×106S/m,R1=30mm, R2=60mm,求电极之间的 电阻.
21
对应于电场强度 E 的环路定理 E dl = 0 ,可 l 得导电媒质中不存在局外电场的区域,场的旋度方 程 ∫l E dl n rotE = lim (3-29) S
s →0
∫
∴ rotE = × E = 0
即为微分形式的 E 的环路定理. 上式的等效表达式 E = grad
(3-30)
(3-3)
电磁场导论恒定电场
C2 =
U ln R2 R2 ln R1
电位
R2 −U U U ϕ= ln r + ln R2 = ln R R R r ln 2 ln 2 ln 2 R1 R1 R1
∂ϕ er = ∂r U er R2 r ln R1 J =γ ⋅E =
E = −∇ϕ = −
γ ⋅U
R2 r ln R1
er
单位长度泄漏电流
A
B
U = ∫ E ⋅ dl
A
B
q = ∫ D ⋅ ds
S
I = ∫ J ⋅ ds
S
C =
q U
G =
I U
16
第三章恒定电场
方程形式一样，若边界条件也一样，只要已知 其中一个场的解答，就可以得到另一个场的解。
例如，内外半径分别为R1和R2的同轴电缆，外加电压U。 • 若内外导体间填充介质，则是静电场问题； • 若填充导电媒质，则是恒定电场问题。 由于两者的形状一样，边界条件也相同， 则两种场具有许多相同之处： U E= er R2 1）两种场的E线有相同的场图 r ln R1
解：由于轴对称性，ϕ只与r有关。∇2ϕ=0展开简化为 1 ∂ ∂ϕ
∂ϕ C1 = 不定积分求解 ∂r r
设外导体r=R2处ϕ=0 内导体r=R1处ϕ=U
r ∂r
(r
∂r
)=0
得
ϕ = C1 ln r + C 2
0=C1lnR2+C2 U=C1lnR1+C2
第三章恒定电场 8
联立求解，得
C1 =
−U R2 ln R1
2πγ ⋅U ⋅ (2πr ) = I = ∫ J ⋅ dS = S R2 R rln ln 2 R1 R1
第3章 恒定电场和恒定磁场 电磁场课件
真空中的安培环路定律
Hdl JcdS
l
S
HJc
BH
磁通连续性原理
BdS 0
S
B0
安培力定律
f214 0l1l2I2dl2(R I12dl1R)
d2f1 I2dl2dB
dB40 I1dlR12 R
I1
eR dl1
dl2 R
I2
毕奥沙伐定律
R
P
B(r)
0
4l
IdlR rr2
r’
r
B(r)0 4S
A40 V
JdV R
对应面分布和线分布电流，分别得
A 0 4
S
KdS R
借助矢量磁位求磁通的计算式
A
0 4
l
Idl R
B dS A dS
S
S
Adl
l
【 例 】 空 气 中 长 度 为 2L 的 长 直 载 流
细导线在其中截面上的矢量磁位和
磁感应强度。
z
A Azez
0I 4
L
L
dz R
e
z
0I 4
第3章 恒定电场和恒定磁场
§3-1恒定电场的基本方程与场的特性
1.恒定电场的基本方程
由电荷守恒定律，可得 恒定电流连续性原理
导电媒质中恒定电场和静电场 一样，满足环路定理：
Jc dS 0
S
Jc 0
E dl 0
l
Jc E
引入标量电位函数(r) ，即
E
2 0
2.电功率 电动势
dt时间内有dq电荷自元电流
G I
JcdS EdS
S
S
U Edl Edl
U0
电磁场导论 第3章 恒定电场
2
2
例3-1 铜和铝的电导率分别为 1=5.8107S/m和2=3.82107S/m， 介电常数102 ，铜中J1=1A/m 穿过分界面时与法线的夹角1=45 求：1）铝中的J2离开分界面时2=？ 2）分界面上的自由电荷密度。 解：
1 1=45 J1
2 J2 2 =？
A m2
分布的体电荷以速度v作匀速运动形成
I
S
J dS
2）电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流 K v Am
电流是积分量
I
(K e
l
n
)dl
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
工程意义： • 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示 • 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示 3）线电流 分布的线电荷沿导线以速度 v 运动形成的电流
必须依靠非静电力将B极板的正电 荷抵抗电场力搬到A极板。这种提
供非静电力将其它形式的能量转为
电能装置称为电源。 电源内部局外场强 电源电动势
Ee dl
l
fe Ee q
恒定电流的形成
(V )
电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量
3.2.2
电场强度
考虑局外场强 Ee
J ( E Ee )
I v
4）元电流的概念： 元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流
vdq vdv, vds, vdl
Jdv, Kds, Idl
3.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明
J E
式中：为电导率，单位：西门子/米（S/m) • 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致 • 欧姆定律的微分形式，电路理论中的 U=RI 由它积分而得 1）在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线 方向是否一致？ 2）电流线密度 K E 是否成立？
chapter3-恒定电场(zhang)
第三章
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
第3章+恒定电场
)
20 (2 1)U0 (1 2 )d
例2 设平行双输电线间距 d=50cm，电压U=100V，
a
•A
电流 I=300A，导体截面 •
S=150mm2，求导线内部 0 r
及表面场强。 5.8 10 7
B •
E1
E2n E2
d
分析：
J
E1
E1
E1t
J
0.035(V
m)
由边界条件 E2t E1t 0.035(V m)
E
E
D E
J E
0
0
2 f
f 0
2 0
5.恒定电流场基本方程
l E dl 0 E 0
S J dS 0 J 0
• 本构关系 J E
• 特点：在导体内部，恒定电流场无散无旋。
6.媒质交界面边条件
分界面上的衔接条件
LE dl 0 SJ dS 0
E1t E2t J1n J 2n
3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导 体表面非等位面。
若 γ1 → ∞ （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。
导体周围介质中的电场
E2 E2tex E2ney
载流导体表面的电场
（3）不良电介质分界面
媒质参数： 1 2 1 2
D2n D1n f
2
J2n
3.静电比拟的应用
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场 • 恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电
流场实验模拟
实验模拟方法： 固体模拟 （媒质为固体，如平行板静电场造型） 液体模拟 （媒质为液体，如电解槽模拟）
3.6 电导与电阻
1 电导与电阻－恒定电流场的电路参数
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E grad
divD 0
D E
2 0
E dl 0
B E
A
l
dl
A
B
I
S
dS
E
rotE 0
grad div 0 E
2 0
DE11nt
E2t D2n
E11nt
E2t
2n
静电场与恒定电场主要物理量的对应关系
1, 1 2, 2
导电媒质与电介质交界面 1 , 2 0
1.不同导电媒质交界面上的边界条件 1 2
比照静电场推演
恒定电场
静电场
S dS 0
l E dl 0
1n 2n E1t E2t
S D dS q
特性
l E dl 0
方程
D1n D2n 0 边界
E1t E2t
条件
基于基尔霍夫电压定律
l E dl 0
由于 E
l dl 0
➢在恒定电场中能量状态恒定
➢恒定电场为位场，无旋场
➢ E为库伦电场，用于电源内时应为 E（q区别于局外场 ）E0
§3-4 媒质分界面上的边界条件
位函数满足拉式方程，场量的求解依赖于边界条件
边界条件 不同导电媒质交界面
1 2
非理想电介质交界面 （电介质内存在漏电流）
第三章 恒定电场
第三章 恒 定 电 场
§3-1导电媒质中的恒定电场、局外电场 §3-2电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律的微分形式 §3-3恒定电场的积分形式定理 §3-4媒质分界面上的边界条件 §3-5恒定电场中基本定理的微分形式与拉普拉斯方程 §3-6导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟 §3-7接地电阻的计算
平行电极间导电媒 质中的电场
d
x
E
dl
U
d
d
x
I
s
dS
S
US
d
无自由电荷分布区域中静电场与 无局外场区域恒定电场的方程式 间存在对应关系
积分 形式
微分 形式
边界 条件
静电场与恒定电场的主要对应关系
l E dl 0
B
A E dl A B
q s D dS
rotE 0
2.焦尔楞次定律的微分形式
场中单位体积内所消耗的功率为
P0 E E 2
导出
P UI Edlds EV
l
s
P0
P V
E
E2
微分形式
适用于场的不均匀处。
§3-3 恒定电场的积分形式定理
静电场与恒定电场
电荷
媒质 净电荷
静电场
相对静止 不导电
恒定电场 相对运动，但 导电
分布相对静止
有矢
库伦电场强度 Eq
局外电场强度E0
电 解 液
蓄电池内的电场
电源：工作原理
E0 Eq库伦电场力做功，直至 E0 Eq
连接两极板，产生电流使得电荷中和，
从而有 E0 Eq ，库伦电场力做功
从而产生源源不断的电流
若 电荷中和速度= E0 推移电荷的速度
极板电量不变
Eq 不变
I 恒定
恒定电流场——恒定电场作用在导电媒质中所 引起的电荷流动的物理过程。
方向的 的S电流
方向：该点场强 E的方向
E
电源内 Eq E0 E
：媒质的电导率，
单位为西门子每米（S/m）
欧姆定律的微分形式，可与电路中欧 姆定律相互推出
1 ：媒质的电阻率，
单位为 m
通过截面S的电流：
I S dS
电流密度矢量与电场
强度矢量 的关系
电流是一个积分量、标量、单位：安培（A）
1n 2n
导电性
E1t E2t
介质特性
D2n D1n
1E1n 2E2n 1E1n 2E2n
2 2
1 1
1n
2 1 2 1
时
交界面处才不存在自由面电荷
3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件
1 , 2 0
通常情况下，导体表面电
场强度的法线分量En比切 线分量Et大得多，因而在绝
量
无
场
对恒定电场而言，媒质空间内部任意一点，不存在 电荷的堆积，亦不存在电荷随时间的变化。
1.电流连续性方程
基于基尔霍夫电流定律
对任意闭合曲面S
S
dS
I
q t
在恒定电流场中有 q t 0
S dS 0
➢电流密度矢量线（ 线）连续
➢恒定电场是无源场
穿过闭合曲面 的电流密度线
2. E的环路定理
tg1 1 tg2 2
tg1 1
折射
tg2 2
定律
1 2
1 2
2 0
接地体表面近似为等位面 应用：金属接地装置
电流由电导率大 的媒质流入电导
率小的媒质
电流由导体流入土壤
2.两非理想电介质交界面的边界条件 1, 1 2, 2
非理想电介质内存在漏电流 = E
既要考虑其导电性，又要考虑 其特有的介质性能
静电场
➢产生静电场的电荷相对于观察者静止
➢产生静电场的电荷量值不随时间变化
恒定电场 ➢产生恒定电场的电荷具有相对运动
相对静止
➢产生恒定电场的电荷分布情况不随时间变化
恒定电场中各处电流密度的分布不随时间而改变
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.局外力
非静电力——具有对电荷施力做功的能力
导电极板
2.局外电E0
q0
F q
dF dq
B
电源的电动势 A E0 dl
将其他形式的能量转 化为电能 ——仅存于电源之中
A：电源正极 B：电源负极
§3-2
次定律的微分形式
1.电流密度矢量
描述场中某点自由电荷的运动情况
lim
I dI
s0 S dS
I：通过垂直于该点正自由电荷运动
1.静电场与恒定电场的相似关系
d
U 0 E dl Ed
E U d
D E U d
平板电容器电介 质中的电场
d
x E dl
U d
d
x
q
s
dS
S
D
dS
DS
US
d
若将电容器的极板为良导体，而将电容器中的电介质，换以电
导率γ很小的导电媒质
d
U 0 E dl Ed
E U d
E U d
缘媒质中，电场强度线仍 然近似垂直于导体表面
1n 2n 0 E1t E2t
导体媒质表面 D2n E2n
架空输电线的电场
§3-5 恒定电场中基本定理的微分形式与 拉普拉斯方程
1.恒定电场基本定理
比照静电场推演
恒定电场
S dS 0 无源
E dl 0 无旋 l
静电场
S D dS q 有源
E dl 0 无旋 l
div 0 rot E 0
0 E 0
divD
rot E 0
D
E 0
E grad E 梯度场 位场
2.恒定电场的拉普拉斯方程
0
E
E 0
媒质均匀
E 0
E
0
2 0
恒定电场 无源 无旋
调和场 调和函数
§3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质中 静电场的比拟
divD 0
D E
2 0
E dl 0
B E
A
l
dl
A
B
I
S
dS
E
rotE 0
grad div 0 E
2 0
DE11nt
E2t D2n
E11nt
E2t
2n
静电场与恒定电场主要物理量的对应关系
1, 1 2, 2
导电媒质与电介质交界面 1 , 2 0
1.不同导电媒质交界面上的边界条件 1 2
比照静电场推演
恒定电场
静电场
S dS 0
l E dl 0
1n 2n E1t E2t
S D dS q
特性
l E dl 0
方程
D1n D2n 0 边界
E1t E2t
条件
基于基尔霍夫电压定律
l E dl 0
由于 E
l dl 0
➢在恒定电场中能量状态恒定
➢恒定电场为位场，无旋场
➢ E为库伦电场，用于电源内时应为 E（q区别于局外场 ）E0
§3-4 媒质分界面上的边界条件
位函数满足拉式方程，场量的求解依赖于边界条件
边界条件 不同导电媒质交界面
1 2
非理想电介质交界面 （电介质内存在漏电流）
第三章 恒定电场
第三章 恒 定 电 场
§3-1导电媒质中的恒定电场、局外电场 §3-2电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律的微分形式 §3-3恒定电场的积分形式定理 §3-4媒质分界面上的边界条件 §3-5恒定电场中基本定理的微分形式与拉普拉斯方程 §3-6导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟 §3-7接地电阻的计算
平行电极间导电媒 质中的电场
d
x
E
dl
U
d
d
x
I
s
dS
S
US
d
无自由电荷分布区域中静电场与 无局外场区域恒定电场的方程式 间存在对应关系
积分 形式
微分 形式
边界 条件
静电场与恒定电场的主要对应关系
l E dl 0
B
A E dl A B
q s D dS
rotE 0
2.焦尔楞次定律的微分形式
场中单位体积内所消耗的功率为
P0 E E 2
导出
P UI Edlds EV
l
s
P0
P V
E
E2
微分形式
适用于场的不均匀处。
§3-3 恒定电场的积分形式定理
静电场与恒定电场
电荷
媒质 净电荷
静电场
相对静止 不导电
恒定电场 相对运动，但 导电
分布相对静止
有矢
库伦电场强度 Eq
局外电场强度E0
电 解 液
蓄电池内的电场
电源：工作原理
E0 Eq库伦电场力做功，直至 E0 Eq
连接两极板，产生电流使得电荷中和，
从而有 E0 Eq ，库伦电场力做功
从而产生源源不断的电流
若 电荷中和速度= E0 推移电荷的速度
极板电量不变
Eq 不变
I 恒定
恒定电流场——恒定电场作用在导电媒质中所 引起的电荷流动的物理过程。
方向的 的S电流
方向：该点场强 E的方向
E
电源内 Eq E0 E
：媒质的电导率，
单位为西门子每米（S/m）
欧姆定律的微分形式，可与电路中欧 姆定律相互推出
1 ：媒质的电阻率，
单位为 m
通过截面S的电流：
I S dS
电流密度矢量与电场
强度矢量 的关系
电流是一个积分量、标量、单位：安培（A）
1n 2n
导电性
E1t E2t
介质特性
D2n D1n
1E1n 2E2n 1E1n 2E2n
2 2
1 1
1n
2 1 2 1
时
交界面处才不存在自由面电荷
3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件
1 , 2 0
通常情况下，导体表面电
场强度的法线分量En比切 线分量Et大得多，因而在绝
量
无
场
对恒定电场而言，媒质空间内部任意一点，不存在 电荷的堆积，亦不存在电荷随时间的变化。
1.电流连续性方程
基于基尔霍夫电流定律
对任意闭合曲面S
S
dS
I
q t
在恒定电流场中有 q t 0
S dS 0
➢电流密度矢量线（ 线）连续
➢恒定电场是无源场
穿过闭合曲面 的电流密度线
2. E的环路定理
tg1 1 tg2 2
tg1 1
折射
tg2 2
定律
1 2
1 2
2 0
接地体表面近似为等位面 应用：金属接地装置
电流由电导率大 的媒质流入电导
率小的媒质
电流由导体流入土壤
2.两非理想电介质交界面的边界条件 1, 1 2, 2
非理想电介质内存在漏电流 = E
既要考虑其导电性，又要考虑 其特有的介质性能
静电场
➢产生静电场的电荷相对于观察者静止
➢产生静电场的电荷量值不随时间变化
恒定电场 ➢产生恒定电场的电荷具有相对运动
相对静止
➢产生恒定电场的电荷分布情况不随时间变化
恒定电场中各处电流密度的分布不随时间而改变
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.局外力
非静电力——具有对电荷施力做功的能力
导电极板
2.局外电E0
q0
F q
dF dq
B
电源的电动势 A E0 dl
将其他形式的能量转 化为电能 ——仅存于电源之中
A：电源正极 B：电源负极
§3-2
次定律的微分形式
1.电流密度矢量
描述场中某点自由电荷的运动情况
lim
I dI
s0 S dS
I：通过垂直于该点正自由电荷运动
1.静电场与恒定电场的相似关系
d
U 0 E dl Ed
E U d
D E U d
平板电容器电介 质中的电场
d
x E dl
U d
d
x
q
s
dS
S
D
dS
DS
US
d
若将电容器的极板为良导体，而将电容器中的电介质，换以电
导率γ很小的导电媒质
d
U 0 E dl Ed
E U d
E U d
缘媒质中，电场强度线仍 然近似垂直于导体表面
1n 2n 0 E1t E2t
导体媒质表面 D2n E2n
架空输电线的电场
§3-5 恒定电场中基本定理的微分形式与 拉普拉斯方程
1.恒定电场基本定理
比照静电场推演
恒定电场
S dS 0 无源
E dl 0 无旋 l
静电场
S D dS q 有源
E dl 0 无旋 l
div 0 rot E 0
0 E 0
divD
rot E 0
D
E 0
E grad E 梯度场 位场
2.恒定电场的拉普拉斯方程
0
E
E 0
媒质均匀
E 0
E
0
2 0
恒定电场 无源 无旋
调和场 调和函数
§3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质中 静电场的比拟