第三章 恒定电场和电流
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靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。
2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作
的功称为该电源的电动势。
E = AS Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势
E1 sin1 E2 sin 2 所以可推出折射关系
tan1 1 tan 2 2
1
2
2
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
如果媒质1为电导率很低的不良导电媒质，而媒质2为高电导
率的良好导体，即 1 = 2 时，根据折射关系可知
1 = 2
因此，只要良好导体一侧的电流不平行于分界面，不良绝缘材 料一侧的电流和电场就几乎与分界面垂直，因而分界面可以近似为 等电位面。
P0
E
dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体 导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是
常量，这与静电场中的导体概念是不同的。
只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依
3、电流密度：
①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
J lim I
S sn 0
n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。
I
J lim
ps1 nˆ P1 nˆ 0 ( r1 1)E1
0 ( r1
1)
J
1
ps2 nˆ P2 nˆ 0 ( r2 1)E2
0 ( r2
1) J
2
分界面上的总极化电荷面密度是上面两式的代数和，即
ps
ps1
ps2
0
J
(
r1
1
1
r2
1 )
2
2 ( r1 1) 2d1
第三章 恒定电场和电流
§3.1 电流与电流密度
1、电流：电荷有规则的宏观运动。 传导电流、运流电流
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。
★表达式： ★单位：安培 A
Q
I lim
t0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向 作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流 正方向一致时，电流强度取正值。
D E
I
rˆ
4 r 2
3、电容和电阻的类比关系
I rr J Ea Ua
Q rr
D Eb Ub
Q
两电极之间的电阻为 两电极之间的电容为 两式相乘，得
R
U I
l
Ea
s Ea
dl ds
l
Ea
s Ea
dl ds
C
Q
s
Eb
ds
sEb
ds
U l Eb dl l Eb dl
RC
l
Ea
s Ea
dl ds
s
Eb
ds
l Eb dl
设两种情况下外加电压相同，则必有 Ea Eb
所以
RC
也可以写成
C G
注：这两个关系式对同一个恒定场问题中的电阻和电容也成立。
例3.5 求例3.4球形导体电极的对地电阻。已知导体球的半径为 a＝1 m，土壤的电导率为σ＝10－3（S/m)。
rr r 例3.4 求土壤中的 J , E,U , D
I
0, 0
解：静电场解
D0
Q
4 r 2
rˆ
,
E0
Q
4 r 2
rˆ
,
Q
U 0 4 r
用类比法得
J
I
rˆ ,
E
I
rˆ , U I
4 r 2
4 r 2
4 r
,
r
P
J ,E
图3－18 球形电极的恒定电流场
r 恒定 D 电场中的没有对偶量，需单独计算
1 2
Ne 2
m0
E
1 Ne2
J
E
2 m0
引入电导率
1 Ne2
2 m0
则有
J E
欧姆定律的微分形式
§3.2 恒定电流场的基本定律
1、第一基本定律
电荷守恒定律 应用散度定理得
Ñ s
v J
r dS
d
t
Baidu Nhomakorabea
r
Jd
d
t
由此得到电荷守恒定律的微分形式
r J
t
Ñ 在恒定电场中 0 t 得恒定电流场第一基本定律
r
S sn 0
n
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系
I
m dsdl
dt
m v ds
其中 m为运动电荷密度
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为
I Jds
J v
ds m
dl
所以
J mv
写成矢量形式
r
J
m v
v 是大量运动电荷的定向平均速度
图3－2 电流中的柱状体元
5、欧姆定律的微观解释
J ( E) E 0
故有
E 0
再由高斯定律
D ( E) E
因此
0
结论：
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位
恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
E U
U
rr J dS 0 S
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无源场 。
推论：基尔霍夫第一方程
N
Ii 0
i 1
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不
随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。
而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场
一样也是一个保守场。 得恒定电流场第二基本定律
E ＝
() () Es dl
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
E
J
①在电源的内部存在着两个电场：
一个是非静电力的等效电场，另一 个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向
电 源
Es
E
I
正好相反。
J (E Es )
I
E
负 载
②在电源外部的媒质或空间中，只存 在由分布电荷所产生的库仑电场。
vv
Ñ l
E dl v
0
E 0
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。
3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。
在恒定电场中高斯定律仍然成立
Ñ
s
v D
dsv
v
d
Qin
D
vv
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
C1 C2
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得
恒定电场的基本性质和计算与静电场是相同的，因此 通常把这两种场统称为静态电场。
1 1
J1
d1
（2）两媒质分界面上的 S和 pS
2 2
J2
d2
解：（1）设通过电容器的电流为I，
略去边缘效应则两媒质中电流密度为
S
I
J 1
J2
I S
J
两媒质中的电场分别为
图3－17 两层媒质的平板电容
J
E1 1
E2
J
2
所以
V0
E1d1
E2d2
( d1
1
d2 )J
2
2d1 1d2 1 2
§3.5 恒定电流场的边界条件
rr 1、E 和 J 的边界条件
将恒定电流场两个基本方程应用到边界上
nˆ
J1 1E1
1
l E dl 0
得到边界条件：
s
J
ds
0
1
2
2
nˆ (E1 E2 ) 0 或
nˆ (J1 J 2 ) 0 或
E1t E2t J1n J 2n
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
另一方面由于 1 2，利用欧姆定律可得
J1t 1E1t 2 E 2t J 2t
E1n
J1n
1
J 2n
2
E2n
所以分界面两侧的总电流密度矢量和总电场强度矢量都是不连续的。
rr 2、E 和 J 的折射关系
根据边界条件得
nˆ
J1 1E1
1
1E1 cos1 2 E2 cos 2
U1 n
2
U2 n
U1 U2
D
0
E 0
EDEU
2U
0
nˆ nˆ
(D1 (E1
D2 E2
) )
0 0
1
U1 n
U1
2
U2 n
U2
2、对偶关系
静电场 ( 0)
恒定电场（电源外）
E静 U静 E恒 U恒
D静 Q静 J恒 I恒
类比法：当两种场的基本方程和边界条件相同时，可以利用上 述对偶关系，由一种场中某类问题的已知解，通过对偶量的替 换来得到另一种场同类问题的解。
1 ( r2 1d2
1)
0V0
§3.6 恒定电流场与静电场的类比
1、重要关系式的类比
无外源区域恒定电流场
无电荷区域静电场
基本方程： 主要导出方程: 边界条件方程:
J
0
E 0
J E
E U
rr DJ
2U
0
nˆ (J1 nˆ (E1
J2 ) 0 E2 ) 0
1
I S
通过电容器的电流和电流密度分别为
I
1 2 2d1 1d2
SV0
J
1 2 2d1 1d2
V0
两种媒质中的电通量密度分别为
D2
2E2
2 2
J
D1
1E1
1 1
J
故分界面上的自由电荷面密度为
s
D1
D2
( 1 1
2 )J 2
21 2d1
1 2 1d2
V0
媒质分界面上的极化面电荷密度可由界面两侧的极化强度得到
开路电压： V0
() v v E dl ＝ E
()
J
E
图3－5 恒定电流回路中的电场
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解：
2、焦耳定律 微分形式 低频电路形式
J E
V RI
R l dR l
dl
S
p JE J E
P J Ed s Jds Edl IV
解：电极深埋地下时，可以近似为无限均匀媒质中的孤立导体球
静电场孤立导体电容为 C 4a
由类比关系得
R 1 80 (Ω ) C 4 a
4 、静态电场
就电场的本质而言，恒定电场与静电场是相同的。
原因： 由于电场的性质只决定于净电荷密度的分布，而与电
荷是否运动无关。对恒定电场和静电场，它们的场源电荷 的密度都是静止不变的，所以这两种电场都具有相同的性 质，都满足相同的场――源关系。
3、电位的边界条件
根据欧姆定律 J E U 和电流的边界条件 J1n J 2n
可得
1
U1 n
2
U 2 n
r 4、D 的边界条件
根据高斯定律 可得
U1 U2
vr
Ñ s D dS Qin
nˆ (D1 D2 ) s
D1n D2n s
例3.3 条件如图所示
S
I
求（1）通过电容器的漏电流
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd
0 v 2
1 a
2
1 2
eE
m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne
在①②③条件下，得
J
mvd
2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作
的功称为该电源的电动势。
E = AS Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势
E1 sin1 E2 sin 2 所以可推出折射关系
tan1 1 tan 2 2
1
2
2
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
如果媒质1为电导率很低的不良导电媒质，而媒质2为高电导
率的良好导体，即 1 = 2 时，根据折射关系可知
1 = 2
因此，只要良好导体一侧的电流不平行于分界面，不良绝缘材 料一侧的电流和电场就几乎与分界面垂直，因而分界面可以近似为 等电位面。
P0
E
dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体 导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是
常量，这与静电场中的导体概念是不同的。
只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依
3、电流密度：
①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
J lim I
S sn 0
n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。
I
J lim
ps1 nˆ P1 nˆ 0 ( r1 1)E1
0 ( r1
1)
J
1
ps2 nˆ P2 nˆ 0 ( r2 1)E2
0 ( r2
1) J
2
分界面上的总极化电荷面密度是上面两式的代数和，即
ps
ps1
ps2
0
J
(
r1
1
1
r2
1 )
2
2 ( r1 1) 2d1
第三章 恒定电场和电流
§3.1 电流与电流密度
1、电流：电荷有规则的宏观运动。 传导电流、运流电流
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。
★表达式： ★单位：安培 A
Q
I lim
t0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向 作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流 正方向一致时，电流强度取正值。
D E
I
rˆ
4 r 2
3、电容和电阻的类比关系
I rr J Ea Ua
Q rr
D Eb Ub
Q
两电极之间的电阻为 两电极之间的电容为 两式相乘，得
R
U I
l
Ea
s Ea
dl ds
l
Ea
s Ea
dl ds
C
Q
s
Eb
ds
sEb
ds
U l Eb dl l Eb dl
RC
l
Ea
s Ea
dl ds
s
Eb
ds
l Eb dl
设两种情况下外加电压相同，则必有 Ea Eb
所以
RC
也可以写成
C G
注：这两个关系式对同一个恒定场问题中的电阻和电容也成立。
例3.5 求例3.4球形导体电极的对地电阻。已知导体球的半径为 a＝1 m，土壤的电导率为σ＝10－3（S/m)。
rr r 例3.4 求土壤中的 J , E,U , D
I
0, 0
解：静电场解
D0
Q
4 r 2
rˆ
,
E0
Q
4 r 2
rˆ
,
Q
U 0 4 r
用类比法得
J
I
rˆ ,
E
I
rˆ , U I
4 r 2
4 r 2
4 r
,
r
P
J ,E
图3－18 球形电极的恒定电流场
r 恒定 D 电场中的没有对偶量，需单独计算
1 2
Ne 2
m0
E
1 Ne2
J
E
2 m0
引入电导率
1 Ne2
2 m0
则有
J E
欧姆定律的微分形式
§3.2 恒定电流场的基本定律
1、第一基本定律
电荷守恒定律 应用散度定理得
Ñ s
v J
r dS
d
t
Baidu Nhomakorabea
r
Jd
d
t
由此得到电荷守恒定律的微分形式
r J
t
Ñ 在恒定电场中 0 t 得恒定电流场第一基本定律
r
S sn 0
n
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系
I
m dsdl
dt
m v ds
其中 m为运动电荷密度
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为
I Jds
J v
ds m
dl
所以
J mv
写成矢量形式
r
J
m v
v 是大量运动电荷的定向平均速度
图3－2 电流中的柱状体元
5、欧姆定律的微观解释
J ( E) E 0
故有
E 0
再由高斯定律
D ( E) E
因此
0
结论：
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位
恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
E U
U
rr J dS 0 S
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无源场 。
推论：基尔霍夫第一方程
N
Ii 0
i 1
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不
随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。
而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场
一样也是一个保守场。 得恒定电流场第二基本定律
E ＝
() () Es dl
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
E
J
①在电源的内部存在着两个电场：
一个是非静电力的等效电场，另一 个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向
电 源
Es
E
I
正好相反。
J (E Es )
I
E
负 载
②在电源外部的媒质或空间中，只存 在由分布电荷所产生的库仑电场。
vv
Ñ l
E dl v
0
E 0
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。
3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。
在恒定电场中高斯定律仍然成立
Ñ
s
v D
dsv
v
d
Qin
D
vv
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
C1 C2
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得
恒定电场的基本性质和计算与静电场是相同的，因此 通常把这两种场统称为静态电场。
1 1
J1
d1
（2）两媒质分界面上的 S和 pS
2 2
J2
d2
解：（1）设通过电容器的电流为I，
略去边缘效应则两媒质中电流密度为
S
I
J 1
J2
I S
J
两媒质中的电场分别为
图3－17 两层媒质的平板电容
J
E1 1
E2
J
2
所以
V0
E1d1
E2d2
( d1
1
d2 )J
2
2d1 1d2 1 2
§3.5 恒定电流场的边界条件
rr 1、E 和 J 的边界条件
将恒定电流场两个基本方程应用到边界上
nˆ
J1 1E1
1
l E dl 0
得到边界条件：
s
J
ds
0
1
2
2
nˆ (E1 E2 ) 0 或
nˆ (J1 J 2 ) 0 或
E1t E2t J1n J 2n
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
另一方面由于 1 2，利用欧姆定律可得
J1t 1E1t 2 E 2t J 2t
E1n
J1n
1
J 2n
2
E2n
所以分界面两侧的总电流密度矢量和总电场强度矢量都是不连续的。
rr 2、E 和 J 的折射关系
根据边界条件得
nˆ
J1 1E1
1
1E1 cos1 2 E2 cos 2
U1 n
2
U2 n
U1 U2
D
0
E 0
EDEU
2U
0
nˆ nˆ
(D1 (E1
D2 E2
) )
0 0
1
U1 n
U1
2
U2 n
U2
2、对偶关系
静电场 ( 0)
恒定电场（电源外）
E静 U静 E恒 U恒
D静 Q静 J恒 I恒
类比法：当两种场的基本方程和边界条件相同时，可以利用上 述对偶关系，由一种场中某类问题的已知解，通过对偶量的替 换来得到另一种场同类问题的解。
1 ( r2 1d2
1)
0V0
§3.6 恒定电流场与静电场的类比
1、重要关系式的类比
无外源区域恒定电流场
无电荷区域静电场
基本方程： 主要导出方程: 边界条件方程:
J
0
E 0
J E
E U
rr DJ
2U
0
nˆ (J1 nˆ (E1
J2 ) 0 E2 ) 0
1
I S
通过电容器的电流和电流密度分别为
I
1 2 2d1 1d2
SV0
J
1 2 2d1 1d2
V0
两种媒质中的电通量密度分别为
D2
2E2
2 2
J
D1
1E1
1 1
J
故分界面上的自由电荷面密度为
s
D1
D2
( 1 1
2 )J 2
21 2d1
1 2 1d2
V0
媒质分界面上的极化面电荷密度可由界面两侧的极化强度得到
开路电压： V0
() v v E dl ＝ E
()
J
E
图3－5 恒定电流回路中的电场
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解：
2、焦耳定律 微分形式 低频电路形式
J E
V RI
R l dR l
dl
S
p JE J E
P J Ed s Jds Edl IV
解：电极深埋地下时，可以近似为无限均匀媒质中的孤立导体球
静电场孤立导体电容为 C 4a
由类比关系得
R 1 80 (Ω ) C 4 a
4 、静态电场
就电场的本质而言，恒定电场与静电场是相同的。
原因： 由于电场的性质只决定于净电荷密度的分布，而与电
荷是否运动无关。对恒定电场和静电场，它们的场源电荷 的密度都是静止不变的，所以这两种电场都具有相同的性 质，都满足相同的场――源关系。
3、电位的边界条件
根据欧姆定律 J E U 和电流的边界条件 J1n J 2n
可得
1
U1 n
2
U 2 n
r 4、D 的边界条件
根据高斯定律 可得
U1 U2
vr
Ñ s D dS Qin
nˆ (D1 D2 ) s
D1n D2n s
例3.3 条件如图所示
S
I
求（1）通过电容器的漏电流
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd
0 v 2
1 a
2
1 2
eE
m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne
在①②③条件下，得
J
mvd