第三章 恒定电场和电流
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第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3.0第三章 恒定电流的电场和磁场
dq d S J dS dt dt V dV
定理 度 散
SJ dS V t dV
积 式 形 分
J dV 0 V t
对任 意的 体 积V 均成 立， 需
电流连续性方程
微 分 形 式
J 0 t
第三章 恒定电流的电场和磁场 在恒定电流场中，电荷分布与时间无关，即 则有恒定电流场方程：
当导体两端的电压为 U，流过的电流为 I 时，则在单位时间内电场力对 电荷所作的功（功率）是
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS 的体积元，该体 积元内消耗的功率为
P U I E l I EJ l S EJ V
焦耳定律的微分形式：导体内任一点的热功率密度（ΔV→0 ），
I J er 2rL
内、外导体间的电压为
E
1
J
b
I 2 rL
er
U
a
Edr
I 2 L
ln
b a
第三章 恒定电流的电场和磁场 例 3-1 设同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半径为 b，内、 外导 体间填充电导率为σ 的导电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。
r z
a
b
电流密度矢量是恒定磁场的源变量
电流密度 J: 单位时间内垂直穿过单位面积的 电荷量，反映电流分布的不均匀性，其方向 为正电荷的运动方向。则
J lim I dI n n S 0 S dS
dS
dS
dS
E dS E
电流密度的单位是安培/米2 (A/m2)。
J E E
v
I
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
恒定电场
S
R1 r
R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来 表示，需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。
解：根据
tan1 tan 2
1 2
5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时，可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知，载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。
6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见，只要 190，tan1∞，
12
则 tan 20，20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直，
第三章恒定电场
20
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
恒定电流的电场
如果导体的横截面不均匀，上式应写成积分式
式中的σ称为电导率，它由导体的材料决定。
从欧姆定律，可导出载流导体内任一点 上电流密度与电场强度的关系。 如图所示，在电导率为σ的导体内沿电流 线取一极微小的直圆柱体，它的长度是 Δ l ，截面积是Δ s，则圆柱体两端面 之间的电阻 。通过截面Δ s的电 流Δ I＝J Δ s ，圆柱体两端面之间的电 压是Δ U =E Δ l，根据式有
这就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，上式中的 面积分可化为体积分 闭合曲面s是任意选的，因此，它所限定的体积v也是任意的。
这是电流连续性方程的微分形式
恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定 的。任一闭合面内都不能有电荷的增减，即
这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。 它的物理含义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷 等于流出该面的电荷。电流线是连续的闭合曲线。由 上式，应用高斯散度定理可得恒定电流的连续性方程的 微分形式。这说明恒定的电流场是无源场（管形场）
电流的强弱用电流强度来描述。 它的定义是，单位时间内通过导体任一横截面 的电荷量。 如果在时间Δ t内流过导体任一横 截面的电量是Δ q，便取下式作为时变电流强 度的定义。 恒定电流的电流强度的定义是
式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电 荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。
二、电流密度
J表示传导电流密度，如果所取的面积元的法线方向n0与电流方 向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是
通过导体中任意截面s的电流强度I与电流密度矢量J的关系是
电流密度矢量J在导体中各点有不同的方向和数值，从而构成一个 矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每 点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。 从电流强度I与电流密度矢量J的关系看出，穿过任意截面s的电流 等于电流密度矢量J穿过该截面的通量．如图所示。
第三章 恒定电流的电场和磁场1-4
1
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有
E E 2 2 n 1 1 n
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b
a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有
E E 2 2 n 1 1 n
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b
a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2
第三章恒定电场
2) 横定电场产生的原理
电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷从 负极板推向正极板。
两极板间还存在库仑电场，是有两极板上的电 荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电场将从负 极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持平衡 。
图3-1a 蓄电池内的电场
本讲稿第三页，共四十三页
导电媒质中的恒定电场
解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
J1
I0
2R
R1 R R2
E1
I0
21R
R1 R R2
J2
I0
2R
R2 R R3
E2
I0
22R
R2 R R3
+τ
U0
R3EdRI0 2lnR R121lnR R23
R1
2
12
I0
2
212U0
lnR2 R1
1
lnR3 R2
趋於表面分布，可用电流线密度表示。
本讲稿第六页，共四十三页
3.2.3 欧姆定律的微分形式
取一电流管 IJS
电流管压降 UEl
电阻定义
R l U
S I
J E
J与E之关系
J(Eq E0)
恒定电流场与恒定电场相互依存。电流密度与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
本讲稿第七页，共四十三页
表明 1 导体表面是一条电流线。
E 2n 0
E 1n
J 1n 1
0
D2n D1n 2E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡
下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。
电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第3章答案)
Z Y
5.2
(3, 2. 5, 4. 5)
I = ∫∫ JV ⋅ dS
(S )
则穿过面积 x = 3 ， 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 ，沿 ex 方 向的总电流为
3.3 5.2
3.8 2
3
Ix =
∫
2 3.8
2 2 2 ∫ (10 y ze x − 2 x ye y + 2 x ze z ) ⋅ e x dydz
o
题 3-12 图
解 （1）由题知，介质中的电阻率非均匀，因而电导率非均匀。利用关系
ρV = ∇ ⋅ D
有
⎡ ρ R − ρ R2 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ J ⎞ ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ (ε 0E ) = ∇ ⋅ ⎜ ε 0 V ⎟ = ∇ ⋅ ⎢ε 0 J 0 ⎜ ρ R1 + 1 z ⎟ ez ⎥ d ⎝ σ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ =
解 根据电荷体密度ρV 与电通密度矢量 D 之间的关系，有
ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ⎡ ⎣ε ( x, y,z ) E ⎤ ⎦ = ε∇ ⋅ E + E ⋅∇ε
由于电流恒定，则有
∇ ⋅ JV = ∇ ⋅ ⎡ ⎣σ ( x, y,x ) E ⎤ ⎦ = σ∇ ⋅ E + E ⋅∇σ = 0
求解可得
⎡ 1 ρ R1 − ρ R2 2 ⎤ 1 = J 0 ⎢ ρ R1 z + z ⎥ = J0d ⎡ ⎣3ρ R1 − ρ R2 ⎤ ⎦ 2 d ⎣ ⎦0 2
（3）假设介质板的面积为 A，可得介质板中的功率损耗为
d ρ R − ρ R2 ⎛ JV ⋅ JV dV = J 02 ∫ ⎜ ρ R1 + 1 σ d 0⎝
第03章 恒定电流与恒定电场
R U I
(l )
E dl
V
(S )
J
dS
(l )
E dl
（3-20）
(S )
E dS
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
例3.1 长度为l的同轴电缆，内、外导体半径分 别为a和b，如图3-6所示，电介质的电导率为σ，计 算同轴电缆单位长度电介质的电导。 l
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
包括电荷运动量的大小和方向，需要引入电流密度 矢量的概念。 （一）体电流密度矢量Jv 如图3-1所示，在导体中电荷流动的方向上取 一微分面元ΔS，该面元的法线方向与正电荷流动 的方向平行，电荷流动的方向为n，ΔI为面元上通 过的电流，则定义体电流密度矢量为
V
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
（二）面电流密度矢量Js 在工程中，有时会遇到 电流仅分布在导体薄层中流 动，此时可认为导体薄层的 厚度趋于零，电流是在导体 表面上流动，如图3-2所示。 定义面电流密度矢量为
A
(l )
B
dI
dl
dl n
图3-2 面电流的定义
I dI J S lim n n l 0 l dl
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
而介于导体和电介质之间的材料称之为半导体。 电导率取决于环境温度和材料的纯度等因素。通 常，金属导体的电导率随温度下降而增加，在接 近绝对零度的低温时，某些导体的电导率变为无 穷大，这就是超导体。
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
表3-1 部分常用材料20℃时的电导率 材 料 导体 银 铜
(l )
E dl
V
(S )
J
dS
(l )
E dl
（3-20）
(S )
E dS
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
例3.1 长度为l的同轴电缆，内、外导体半径分 别为a和b，如图3-6所示，电介质的电导率为σ，计 算同轴电缆单位长度电介质的电导。 l
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
包括电荷运动量的大小和方向，需要引入电流密度 矢量的概念。 （一）体电流密度矢量Jv 如图3-1所示，在导体中电荷流动的方向上取 一微分面元ΔS，该面元的法线方向与正电荷流动 的方向平行，电荷流动的方向为n，ΔI为面元上通 过的电流，则定义体电流密度矢量为
V
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
（二）面电流密度矢量Js 在工程中，有时会遇到 电流仅分布在导体薄层中流 动，此时可认为导体薄层的 厚度趋于零，电流是在导体 表面上流动，如图3-2所示。 定义面电流密度矢量为
A
(l )
B
dI
dl
dl n
图3-2 面电流的定义
I dI J S lim n n l 0 l dl
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
而介于导体和电介质之间的材料称之为半导体。 电导率取决于环境温度和材料的纯度等因素。通 常，金属导体的电导率随温度下降而增加，在接 近绝对零度的低温时，某些导体的电导率变为无 穷大，这就是超导体。
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
表3-1 部分常用材料20℃时的电导率 材 料 导体 银 铜
恒定电流场的基本方程
能量转为电能的装置称为电源。
恒定电流的形成
◇ 电源电动势与局外场强
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
电源内的一种非静电场称为局外场，设局外场强为 E f
则电源电动势为 e A E • dl (V) B
q
◇ 路经电源内部绕电路一周的环量
ห้องสมุดไป่ตู้
( E E ) • d l E •d l E •d l 0 E•dl A E•dl e
第 3 章 恒定电场
3.2 恒定电场的基本方程
Postulates of Steady Electric Fields
恒定电场的基本方程
1. 电流连续性方程： 依据：电荷守恒定律
从任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量在单位时间的减
少
s J
• dS
dQ dt
• J
t
电流连续性方程的积分形式 电流连续性方程的微分形式
c
c
c
c
B
局外场 E是非保守场。
4. 导体中的电位方程
• J •(E ) • E • E
• 2 0
导体均匀， = c 导体不均匀， = (r)
5. 恒定电场与静电场的比较
2 0 2 • 0
恒定电场
静电场
产生根源： 区域外的电源
全部区域的静电荷
场特性： 无散无旋
有散无旋
平衡状态： 动态平衡
静态平衡
总结恒定电场的基本方程：
导电媒质内
导电媒质外
sJ • dS 0 c E • dl 0
J E
•J 0 E 0
J E
s D • dS Q cE • dl 0
D E
第3章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场 将非静电力对电荷的影响等效为一个非保守场(非库仑 场)，其电场强度E'只存在于电源内部(如图)。在电源外部只 存在由恒定分布的电荷产生的电场(库仑场)，用E表示。 在电源内部既有库仑场,也有非保守场，二者方向相反。 电动势：在电源内部搬运 单位正电荷从负极到正极时非 静电力所做的功，用ε表示。其 数学表达式为
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
运动的电荷在它周围不但产生电场，同 时还产生磁场。由恒定电流或永久磁铁产生 的磁场不随时间变化，称为恒定磁场，也称 静磁场。本章主要讨论恒定电流产生的电场 和磁场的基本特性以及磁场计算等，主要内 容有：
第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.7 3.8 3.9 恒定电流的电场 恒定电流的电场* 磁感应强度 磁感应强度* 恒定磁场的基本方程* 恒定磁场的基本方程 矢量磁位 磁偶极子 恒定磁场的边界条件* 恒定磁场的边界条件 标量磁位 标量磁位 互感和自感* 互感和自感
ε = ∫ E' ⋅ d l
B
A
图 3-3 电动势
第三章 恒定电流的电场和磁场 电动势主要用来描述电源的特性。与有无外电路无关， 它是表示电源本身的特征量。 对恒定电流场来说，其性质与静电场相同，故有
∫ E ⋅ dl
l
A
=0
式中的积分路径是电源之内或之外的导体中的任何闭合回路。
ε = ∫ E ' ⋅ d l = ∫ ( E + E ') ⋅ d l
1. 电源外部的欧姆定律
J =σ E U = RI
σ
(3 − 11)
－－微分式 －－积分式
是电导率，单位为西门子/米（S/m）。
高中物理讲义.必修三.第三章：电路(知识点总结+习题)
电源和电流【引入】前面的两章我们都在学习静电场，激发静电场的是静止电荷。
那么电荷运动起来又会有什么作用呢？其实早在初中我们就学习了，电荷的定向移动产生了电流。
这一节课我们进一步思考，电荷在怎样的条件下会定向移动。
生活中比较常见的含有大量自由电荷的是导体，如何让导体内的电荷定向移动呢？如左图，导体两端连接AB两个金属球，分别带正负电荷。
导体内自由电荷（电子）在静电力作用下，沿导线定向移动，产生了电流。
随后AB之间的电势差消失，达成静电平衡，如右图。
整个过程只形成了短暂的电流。
【小结】电流的形成条件①导体内部有自由移动的电子②导体两端有电势差【思考】如何能持续形成电流呢？或者说如何维持导体两端的电势差？我们加一个装置，不断的把负电荷从A搬运到B，这样AB两球之间一直维持电势差，这样导线内就一直存在电流。
这个装置就是电源。
一、电源1.定义表述1：把电子持续的从正极搬运到负极的装置。
这个过程中在克服静电力做功，把其它能量转化为电能。
表述2：通过非静电力做功，把其它形式的能量转化为电能。
2.作用维持正负极之间的电势差，来维持电流。
在电源两极电荷、导线电荷的作用下，空间中形成了大小、方向都十分稳定的电场——恒定电场。
二、恒定电场1.定义由稳定分布的电荷激发的电场，强弱、方向都不变化。
注：（1）虽然电荷在定向移动，但是总会得到等量的补充，形成了动态稳定。
(2）恒定电场不是静电场。
但是在静电场中的电学概念同样适用。
2.导线中的恒定电场导线中的恒定电场是沿着导线方向的。
这个电场是接通电源后以光速建立的。
导线中的电荷在恒定电场的作用下形成了恒定电流。
三、恒定电流（一）概念大小和方向都不随时间变化的电流产生条件：①自由电荷②稳定的电场注：金属中自由电荷是电子；溶液中自由电荷是阴阳离子（二）电流大小单位时间内通过导线横截面的电荷量1.决定式I=qt单位：安培（A）电子定向移动速率为v、导线横截面积为s、单位体积内有电子n则，通过电荷量=通过体积*n*eq=svtne2.微观表达式I=neSv注：这里的e是电子的带电量（三）电流方向规定正电荷定向移动的方向为电流方向。
chapter3-恒定电场(zhang)
第三章
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
3.2 恒定电场基本方程
J E
J 0 E 0
J E
sD dS Q cE dl 0
D E
D
E 0
D E
t
电流连续性方程的积分形式 电流连续性方程的微分形式
2. 恒定电场的基本方程：
恒定电流: 电荷分布不随时间变化
0
t
sJ dS 0
J 0
cE dl 0
E 0
驻立电荷：电荷分布不随时间变化
3. 路经电源内部的环量
◇电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠
非静电力将B 极板的正电荷抵抗电场力搬
第 3 章 恒定电场
3.2 恒定电场的基本方程
Postulates of Steady Electric Fields
恒定电场的基本方程
1. 电流连续性方程： 依据：电荷守恒定律
从任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量在单位时间的减少Βιβλιοθήκη sJ dS
dQ dt
J
( E E ) dl E dl E dl 0 E dl A E dl e
c
c
c
c
B
局外场 E是非保守场。
4. 导体中的电位方程
J (E ) E E
2 0
到A 极板。这种提供非静电力将其它形式
的能量转为电能的装置称为电源。 ◇电源电动势与局外场强
恒定电流的形成
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
电源内的一种非静电场称为局外场，设局外场强为 E f
则电源电动势为
A
e E dl (V)
B
q
J 0 E 0
J E
sD dS Q cE dl 0
D E
D
E 0
D E
t
电流连续性方程的积分形式 电流连续性方程的微分形式
2. 恒定电场的基本方程：
恒定电流: 电荷分布不随时间变化
0
t
sJ dS 0
J 0
cE dl 0
E 0
驻立电荷：电荷分布不随时间变化
3. 路经电源内部的环量
◇电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠
非静电力将B 极板的正电荷抵抗电场力搬
第 3 章 恒定电场
3.2 恒定电场的基本方程
Postulates of Steady Electric Fields
恒定电场的基本方程
1. 电流连续性方程： 依据：电荷守恒定律
从任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量在单位时间的减少Βιβλιοθήκη sJ dS
dQ dt
J
( E E ) dl E dl E dl 0 E dl A E dl e
c
c
c
c
B
局外场 E是非保守场。
4. 导体中的电位方程
J (E ) E E
2 0
到A 极板。这种提供非静电力将其它形式
的能量转为电能的装置称为电源。 ◇电源电动势与局外场强
恒定电流的形成
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
电源内的一种非静电场称为局外场，设局外场强为 E f
则电源电动势为
A
e E dl (V)
B
q
第三章 恒定电流的电场和磁场
ab cd
又⊿l很小，所以⊿l上电场强 度可看成常数
E dl E1 l0l E 2 l0l 0
l
1 2
或 E 2 t E 1t
20
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
• 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
13
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I e 2 r 2r 则电场强度为： E J
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m）
恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0 静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI 注意：只适用于传导电流、电源外部，不适用于运流电流
8
如右图，考虑一横截面为S，长度为 ，电导率为 的均匀导电媒质。该导电媒质横界面S的总电流为：
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
3、线电流密度 如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度 J l In l v 6 电流密度动态演示：
V 0
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近。
又⊿l很小，所以⊿l上电场强 度可看成常数
E dl E1 l0l E 2 l0l 0
l
1 2
或 E 2 t E 1t
20
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
• 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
13
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I e 2 r 2r 则电场强度为： E J
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m）
恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0 静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI 注意：只适用于传导电流、电源外部，不适用于运流电流
8
如右图，考虑一横截面为S，长度为 ，电导率为 的均匀导电媒质。该导电媒质横界面S的总电流为：
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
3、线电流密度 如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度 J l In l v 6 电流密度动态演示：
V 0
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近。
第3章+恒定电场
恒定电流的形成
电源的作用在于源源不断地向导体的两端提供正 负电荷，以便补充被电流运走的电荷，维持导体内 电场的恒定。因此导体内的电场仍然是电荷产生的； 电荷在该电场的作用下定向运动形成电流。
恒定电场的基本物理量——电流密度 3.2 恒定电场的基本物理量 电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 强度方向一致。 强度方向一致。 1.电流面密度 1.电流面密度
E1t >>= E1n E2t << E2n
2.良导体表面外侧，电场切向分量 2.良导体表面外侧， 良导体表面外侧 很小，电场近似垂至于良导体表面。 很小，电场近似垂至于良导体表面。 3.恒定电场中，由于内部存在电场， 3.恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等 恒定电场中 势体。但是对于良导体，内部电场很小， 势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小 的尺度范围内电位降落不大， 的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视 为等位面。 为等位面。
2
导体与理想介质分界面上必有恒定（ 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态
平衡下的）面电荷分布。 平衡下的）面电荷分布。
E1t = E2t
电场切向分量不为零，导体非等位体， 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导 体表面非等位面。 体表面非等位面。
理想导体），导体内部电场为零， ），导体内部电场为零 若 γ1 → ∞ （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
i (r ', t ) 0 J(r', t) = lim r '(r', t) ' S ' → 0 S q (r ', t ) 0 = lim lim r '(r', t) S '→ 0 t →0 t S ' q (r ', t )dr' 0 r '(r', t) = lim lim ' 图2.1.2 电流面密度 S '→ 0 t →0 t S dr' 亦称电流密度 = ρv A m2
电源的作用在于源源不断地向导体的两端提供正 负电荷，以便补充被电流运走的电荷，维持导体内 电场的恒定。因此导体内的电场仍然是电荷产生的； 电荷在该电场的作用下定向运动形成电流。
恒定电场的基本物理量——电流密度 3.2 恒定电场的基本物理量 电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 强度方向一致。 强度方向一致。 1.电流面密度 1.电流面密度
E1t >>= E1n E2t << E2n
2.良导体表面外侧，电场切向分量 2.良导体表面外侧， 良导体表面外侧 很小，电场近似垂至于良导体表面。 很小，电场近似垂至于良导体表面。 3.恒定电场中，由于内部存在电场， 3.恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等 恒定电场中 势体。但是对于良导体，内部电场很小， 势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小 的尺度范围内电位降落不大， 的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视 为等位面。 为等位面。
2
导体与理想介质分界面上必有恒定（ 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态
平衡下的）面电荷分布。 平衡下的）面电荷分布。
E1t = E2t
电场切向分量不为零，导体非等位体， 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导 体表面非等位面。 体表面非等位面。
理想导体），导体内部电场为零， ），导体内部电场为零 若 γ1 → ∞ （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
i (r ', t ) 0 J(r', t) = lim r '(r', t) ' S ' → 0 S q (r ', t ) 0 = lim lim r '(r', t) S '→ 0 t →0 t S ' q (r ', t )dr' 0 r '(r', t) = lim lim ' 图2.1.2 电流面密度 S '→ 0 t →0 t S dr' 亦称电流密度 = ρv A m2
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J dS 0 S
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无散源场 。
推论：基尔霍夫第一方程
N
Ii 0
i 1
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不
随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。
而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场
一样也是一个保守场。
nˆ
J1 1E1
1
1E1 cos1 2 E2 cos 2 E1 sin1 E2 sin 2 所以可推出折射关系
1
2
2
J2 2E2
tan1 1 tan 2 2
图3－16 分界面两侧电场与电流
如果媒质1为电导率很低的不良导电媒质，而媒质2为高电导
率的良好导体，即 1 2 时，根据折射关系可知
E1t E2t J1n J 2n
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
另一方面由于 1 2，利用欧姆定律可得
J1t 1E1t 2 E 2t J 2t
E1n
J1n
1
J 2n
2
E2n
所以分界面两侧的总电流密度矢量和总电场强度矢量都是不连续的。
2、E 和 J 的折射关系
根据边界条件得
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势
E ＝
() () Es dl
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
①在电源的内部存在着两个电场：
E
J
一个是非静电力的等效电场，另一
I
个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向
电 源
Es
E
E
负 载
正好相反。
J (E Es )
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依
靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。
2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作
的功称为该电源的电动势。
E = AS Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
根据高斯定律 可得
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd
0 v 2
1 a
2
1 2
eE
m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne
在①②③条件下，得
J
mvd
1 2
Ne 2
m0
E
1 Ne2
J
E
2 m0
引入电导率
1 Ne2
则有
2 m0 J E
欧姆定律的微分形式
§3.2 恒定电流场的基本定律
1、第一基本定律
电荷守恒定律 应用散度定理得
s
J
dS
d
t
Jd
d
t
由此得到电荷守恒定律的微分形式 J
t
在恒定电场中 0
t
得恒定电流场第一基本定律
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得
J ( E) E 0
故有
E 0
再由高斯定律
D ( E) E ຫໍສະໝຸດ 因此0D0
结论：
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位
恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
E U
U
P0
E
dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体
导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是 常量，这与静电场中的导体概念是不同的。
只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
得恒定电流场第二基本定律
l
E dl
0
E 0
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。
3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。 在恒定电场中高斯定律仍然成立
D ds
s
d Qin
D
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
C1 C2
S
p JE J E
P J Ed s Jds Edl IV
§3.5 恒定电流场的边界条件
1、E 和 J 的边界条件
nˆ
J1 1E1
将恒定电流场两个基本方程应用到边界上
1
l E dl 0
得到边界条件：
s J ds 0
1
2
2
nˆ
(E1
E
2
)
0
或
nˆ (J1 J 2 ) 0 或
1 2
因此，只要良好导体一侧的电流不平行于分界面，不良绝缘材 料一侧的电流和电场就几乎与分界面垂直，因而分界面可以近似为 等电位面。
3、电位的边界条件
根据欧姆定律 J E U 和电流的边界条件 J1n J 2n
可得
1
U1 n
2
U 2 n
根据电场强度的边界条件可得
U1 U2
4、D 的边界条件
I
②在电源外部的媒质或空间中，只存
J
E
在由分布电荷所产生的库仑电场。
图3－5 恒定电流回路中的电场
开路电压： V0
()
E dl ＝ E
()
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解：
2、焦耳定律 微分形式 低频电路形式
J E
V RI
R l dR l
dl
I
Js
lim l 0
l
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系
I
m dsdl
dt
m v ds
其中 m为运动电荷密度
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为
I Jds
J v
ds m
dl
所以
J mv
写成矢量形式
J mv
v 是大量运动电荷的定向平均速度
图3－2 电流中的柱状体元
5、欧姆定律的微观解释
第三章 恒定电场和电流
§3.1 电流与电流密度
1、电流：电荷有规则的宏观运动。 传导电流、运流电流
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。
★表达式： ★单位：安培 A
Q
I lim
t0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向
作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流
正方向一致时，电流强度取正值。
3、电流密度：
①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运
动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
I
J lim
S sn 0
n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。