3第四章短时傅里叶变换解析

4.1 概述
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语音的生成模型由线性系统组成，系统输出的傅里 叶频谱反映了激励与声道频率响应特性。 语音信号的频谱具有非常明显的语音声学意义，可 以获得某些重要的语音特征，如共振峰频率和带宽 等。 话音波是一个非平稳过程，标准傅里叶变换不能用 来直接表示语音信号。 由于语音信号的特性是随时间缓慢变化的，因而可 以假设它在一短段时间内保持不变。短时分析应用 于频域分析就是短时傅里叶变换，即有限长度的傅 里叶变换。 短时傅里叶变换可以精确地恢复语音波形。短时傅 里叶变换最重要的应用是语音分析-合成系统。
j 2 k N
X n (e
) X n (k )
m
x(m)w(n m)e

j
2 km N
0 k N 1
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4.2.1 短时傅立叶变换--定义
这两个公式都有两种解释：
① 当n固定不变时，它们是序列w(n-m)x(m) (-∞＜m＜∞)的标准傅里叶变换或标准的离散时间序 列的傅里叶变换。此时与标准傅里叶变换具有相同的 性质，而Xn(k)与标准的离散傅里叶变换具有相同的 特性。 ② 当ω或k固定时，和Xn(k)看做是时间n的函数。它们 是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口的作用 相当于一个滤波器。
当n固定时，序列w(n-m)的傅里叶变换为：
j m j jn w ( n m ) e W ( e ) e
m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释

根据傅里叶变换的频域卷积定理，有
j j jn
X n (e ) X (e ) *[e
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释

根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变 换之间的关系
S n (e j ) X n (e j ) X * n (e j ) | X n (e j ) |2


式中*表示复共轭运算。同时功率谱是短时自相关函数 Rn (k ) w(n m) x(m)w(n k m) x(m k ) 的傅里叶变换。 m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
如果
X n (e jn )
被看成是 w(n-m)x(m) 序列的标准傅里

叶变换，同时假设 x(m) 及 w(m) 的标准傅里叶变换
存在，为：
X (e ) W (e )
j
j
m
jm x ( m )e
m
w(m)e jm
j
π W ( e
π
j
)e
jn
X (e
j ( )
)d
可见，为了使X n (e j )能够充分地表现 X (e j ) 的特性，
要求对于X (e j ) 来说， W (e j ) 必须是一个冲激脉冲。
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释




用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。 为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 衰减大。（海明窗） 这两个要求实际上相互矛盾，不能同时满足。 窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关系 Δf＝1/NT 可见二者是矛盾的。 窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑

下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和 窗口序列的标准傅里叶变换为
X (e )
j m
x(m)e


jm
W (e )
j
m
w(m)e

jm
均存在。当n取固定值时，w(n-m)的傅里叶变换为
m jm jn j w ( n m ) e e W ( e )
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的 解释（n固定，ω的函数）

短时傅里叶变换可写为
X n (e j )


m
jm [ x ( m ) w ( n m )] e


当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动，所以 w(n-m)是一个“滑动的”窗口。 由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所以 这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同，短 时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2π。
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4.2.1 短时傅立叶变换--定义

频率分辨率Δf、取样周期T、加窗宽度N三者关系：
1 1 f NT TW


窗形状对短时傅立叶变换的影响 － 矩形窗——主瓣窄，衰减慢； － 汉明窗——主瓣宽，衰减快； 窗宽对短时频谱的影响 －窗宽长——频率分辨率高，能看到频谱快变化； －窗宽短——频率分辨率低，看不到频谱的快变化；
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4.2.1 短时(加窗)傅立叶变换的定义
短时幅度谱的计算过程
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4.2.1 短时傅立叶变换--定义

定义：短时傅立叶变换也叫短时谱（加窗的方式）
X n (e ) x(m) w(n m)e jm
j m

短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率ω 的函数又是时间n的函数 2)周期性：是关于ω 的周期函数，周期为2π

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4.2.1 短时傅立叶变换--定义



短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下 标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序列。 不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关于 时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散时间序列傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一 样，若令ω＝2πk/N，则得离散频率的短时傅里叶变换, 它实际上是在频域的取样。
短时傅里叶变换 语音信号x(n)的 标准傅里叶变换
W (e
j
)]
移动窗口的标 准傅里叶变换
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写成卷积积分形式：
π j jn j ( ) 1 X n (e ) W (e )e X (e )d π 2π j
将θ改换为-θ后，可以写成：
X n (e ) 1 2π