数学精华课件：抛物线的简单几何性质(2)

p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
1 AF BF 2( y0 ) 4
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
3 4
3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交 于A、B，求AB中点的轨迹方程.
o
x
1 k2 由弦长 | AB | 1 k 2 k 2 4b 2 b 2 1 k 4 y1 y2 x1 x2 k2 y0 k( )b b 2 2 2 k2 1 1 k 2 1 1 y0 1 1 3 (当k 1时，取等号 ) 2 2 4 1 k 4 1 k 4 4 4
关于y轴对称
x∈R y≤0
关于y轴对称
关于x轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
复习回顾：
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：
y
A
O
B
C(2p,0)
y2=2px
x
L:x=2 p
变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点，求证：OA⊥OB.
y
2
A
设A x1, y1 、B x2 , y2
O
B
P(2p,0)
y2=2px
x
设l : x my 2 p代如y 2 2 px得
.
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y
A
（2）设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y kx b
y kx b 联立 2 k 2 x 2 (2kb 2) x b2 0 y 2x
y
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
y12 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) y2 2 x2 x1 x2 y1 y2


A
O
.
M Q
F

x
B
k AB
又k AB
1 y
抛物线的简单几何性质(2)
2013年7月14日星期日
方程
图 形 范围
对称性
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y
x2 = 2py （p＞0）
x2 = -2py （p＞0） y
（p＞0）
y
l O F x
l
y
F x
l x l
F
O
O
O
F
x
x≥0
y∈R x≤0 y∈R
关于x轴对称
x∈R y≥0
1 :y x k
A
x O F M y kx y 2 , x 2 联立 2 A A k k2 B y 2x 1 y x 联立 k yB 2k , xB 2k 2 y 2 2x 1 x A xB 1 2 2 k ( k )2 2 x k k 2 轨迹方程： 2 x 2 y 1 y A yB y k k 2
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知：

.
P
F
O
x
P到F的距离等于到直线 5的距离 y
即 ( x 2) 2 ( y 3) 2 | y 5 |
化简得： 2)2 4( y 4) (x
2、设P是曲线y 2 4( x 1)上一动点，则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是？
(| PA | d )min | AF | 5
3、过抛物线y ax 2 (a 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点，若线段PF , QF的长度分别是p, q，则 ? p q y 1 2 抛物线:x y a
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线：y 4a
由 0得 : m 36
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的 最小值. 解：设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y kx b
y
M A F
B
y kx b x 2 kx b 0 y x2
4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y
O
.
F
x
当y0 24时, d min 2 此时P(9,24)
另解： 设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
x1 , y1 Q . F

Px 2 , y2
O
x
焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立y=ax^2,x=ky+k/4a, 得16a^2k^2y^2+(8ak^216a)y+k^2=0 ∴y1+y2=(16a-8ak^2)/16a^2k^2=(2-k^2)/2ak^2, y1y2=k^2/16a^2k^2=1/16a^2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=[(y1+y2)+1/2a]/[y1 y2+(y1+y2)/4a+1/16a^2] =[(2-k^2)/2ak^2+1/2a]/[1/16a^2+(2k^2)/2ak^2/4a+1/16a^2](同乘8a^2k^2) =[4a(2-k^2)+4ak^2]/[k^2+2-k^2]=8a/2=4a
相离
二、讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
y
x F
问题：已知直线 l：y＝kx＋1 和抛物 2 线 C：y ＝4x，试判断当 k 为何值时， l 与 C 有： ① 一个公共点；②两个不同公共点； ③没有公共点.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
三、例题选讲：
例1、已知直线l：y＝－x＋1和抛物线 C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.
A
B
说明：直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线 两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1）， 求直线l的方程.
1、根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
y0 min 3 4
1 此时 l AB : y x 4
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的 最小值. 解法二： A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
2 MN AD BC , MN
1 AD BC 2( y0 ) 4
解：曲线y 2 4( x 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 的抛物线 2
所以抛物线的准线:x 0, 焦点:F (2,0)
d | PF |
y
d
P
A
O

.
F
x
又 | PA | | PF || AF |
当A, P, F共线时，PA | | PF |) min | AF | (|
以线段AB为直径作圆C(C为圆心），
试证明抛物线顶点在圆C上。
y
A
O
B
Q(2p,0)
y2=2px
x
l
l
y 2 pmy 4 p 0
2 2
....................
y 2 =2px(p>0)交于A、B两点， 变式2： 若直线l与抛物线
直线 且OA⊥OB ，则_____ l过定点(2p,0) _____.
y
A
设A x1, y1 、B x2 , y2
设l : x my a代如y 2 px得
2
O
B
P
y2=2px
x
y 2 pmy 2 pa 0
2
Leabharlann Baidu
l
y12 y2 2 y1 y2 2 pa又x1 、x2 2p 2p
x1 x2 a 2
....................
高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与
y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，
说明： （1）联立方程组，结合韦达定理求解 （2）直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 )，
则y0 2 64x0
y0 2 将x0 代入得： 64 2 y0 3 y0 46 2 y0 48y0 16 46 d 16 , ( y0 R ) 5 80
y 1 x2
1 y 1 即y 2 y x 2 0 y x2
当x1 x2 =2时， , y)为(2,0)满足y2 y x 2 0 (x
中点M轨迹方程为: y 2 y x 2 0
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法
练习：
1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相 切的直线方程.
说明：（1）联立方程组，结合判别式求解
（2）注意斜率不存在的情形
2、顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x－y－4＝0 所得弦长为 3 5 ，求抛物线方程.
4、抛物线y 2 x和圆( x 3)2 y2 1上最近两点间的距离为？
y
分析：如图， 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q
P
O F
Q

| PQ || PA |
PQ | 最小值时，连线必经过 | 圆心
.
A
C
x
设P( x, y), C (3,0)
| PC | ( x 3) y
2 2
x 5 x 9 ( x 0)
2
5 11 当x 时，PC |min | 2 2 11 | PQ |min 1 2
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y
解：(1)设lOA : y kx, 则lOB
O F M
.
x
B
b2 2b x1 x2 2 同理 y1 y 2 k k
b 2 2b 0 b 2k 由OA OB x1x2 y1 y2 0 即 2 k k
l AB : y kx 2k 与x轴交点(2,0)
6、已知直线l：x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点， 求证：OA⊥OB. 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB