无穷级数的定义,性质和及敛散性判别

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1

任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1

则加括号后级数成为
记
un n 1

的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1. 由定义, 若sn s , 则级数收敛;
2. 当 lim un 0, 则级数发散;
k
lim k 存在
n
k
lim sn
n
未必存在
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即 级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1

n
则 un sn sn1 ,
n n 0
三、由定义判别级数 1 1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 5 7 ( 2n 1)( 2n 1) 四、判别下列级数的收敛性: 1 1 1 1 1、 ； 3 6 9 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 2、( ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) ( n n ) ； 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 . 3、 n 2 10 4 20 2 10n 五、利用柯西收敛原理判别级数 1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 2 3 4 5 6
如果sn 没有极限, 则称无穷级数 un 发散.
n 1

即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
即
sn s
误差为 rn ( lim rn 0)
n
un i i 1

无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
1 级数收敛, 和为 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1

n 收敛, 则
kun 亦收敛. n 1


结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数 s

un , v n , n 1 n 1

则级数
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
这是不可能的.
2项
2项
4项
8项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ( m m m 1 ) 2 1 2 2 2
1 每项均大于 2
有 lim un 0, 但级数是否收敛 ?
n
讨论
1 1 1 n 1 s2 n sn , n1 n 2 2n 2n 2
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 便有 0 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
a aq n a aqn , 1 q 1 q 1 q n a lim q 0 当q 1时, lim sn n
n
1 q n sn 发散 lim q lim 当q 1时, n n
重点
级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；
难点
常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；
基本要求
①掌握级数敛散性概念和性质
②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③掌握交错级数的Leibniz审敛法
n n n
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. (u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 证明 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
, m sn ,
第十一章 无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
则 lim lim s s . m n m n
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
收敛
1111
发散
事实上，对级数
( u1 u p1 ) ( u p1 1 u p2 ) ( u pk 1 1 u pk )
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题: 5 1 3 ( 2n 1) 1、若 a n , 则 a n =____________ ； 2 4 2n n 1 5 n! 2、若 a n n , 则 a n =______________________； n n 1 x x x x 则a n _______ ； 3、若级数为 2 24 246 a2 a3 a4 a5 则a n ________； 4、若级数为 3 5 7 9 1 1 1 5、若级数为1 2 3 4 5 6 则当n _____ 时 a n _____ ；当n ______ 时a n ________ ； 6、等比级数 aq ,当_____时收敛；当____时发散 .
sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1

s , 即 lim sn s 则称无穷级数 数列 sn 有极限
n
s u 收敛 , 这时极限 叫做级数 un 的和. 并 n
n 1 n 1


写成 s u1 u2 u3
( un v n ) 收敛, 其和为 s . n 1
性质 3
若级数
u
n 1

n
收敛,则
n k 1
u

n 也收敛
( k 1) .且其逆亦真.
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk
收敛
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
例2
判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
n
3. 按基本性质.
思考题
设 bn 与 c n 都收敛，且bn a n c n
n 1 n 1



( n 1,2,) ，能否推出 a n 收敛？
n 1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4 第一次分叉：
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 1 2 3 n n 1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 n1
2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
1 1 调和级数的部分和 sn 1 2 n 1 把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积 sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义
n 1
这块面积显然大于定积分
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4 第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
第 n 次分叉： 周长为 Pn ( 4 )n1 P1 n 1,2, 3 面积为 n 2 1 n 1 An An1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
④掌握绝对收敛和条件收敛概念 ⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数 ⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor 其收敛半径 级数展开式及
⑦掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数 ⑧掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数
1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n 1
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
i 1
n
部分和数列 s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,,