无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
无穷级数
定理2 定理2 如果
a n +1 lim = ρ, n→∞ a n
n n +1 其中 an , an+1 是幂级数 ∑ an x n中 x , x 项的系数 且一切 项的系数,且一切
∞
an ≠ 0, 则
n =1
,
(1)当0 < ρ < +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 当
1
(2)当 (2)当 ρ = 0 时, 该幂级数的收敛半径为 R = +∞; (3)当 (3)当 ρ = +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 0.
∞
n
= C ∑ un
n =1 n
∞
(2)设级数 (2)设级数
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
分别收敛到 s , σ ,则 ∑ ( un ± vn )
n =1
∞
收敛到 s ± σ . 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. (3) 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. (4) 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
发散. 发散
2. 比较审敛法的极限形式 设
∑u
n =1
∞
n
与 ∑ vn 都是正项级数,如果 都是正项级数,
n =1
∞
则
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
∞
un lim = l (0 < l < +∞ ), n→∞ v n
∞ n
的敛散性相同. 的敛散性相同
比值审敛法(达朗贝尔审敛法) 3. 比值审敛法(达朗贝尔审敛法)
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
(完整版)无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数
第十章 无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散 （6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性 （6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛 （逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
第1节 无穷级数的敛散性
(u
n 1
n
vn ) S W un vn
n 1 n 1
证毕.
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
说明 两个收敛级数的和一定收敛
一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散 两个发散级数的和可能收敛也可能发散
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
n 1 n 1
级数收敛。 而级数
2
n 1
n 1
1 2 4 2
n 1
公比为 q 2 , q 2 1 , 所以该级数发散。
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第8章
无穷级数
例2 判断级数
1 1 1 1 1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4 n( n 1) n 1
1 n 解 因为 lim Sn lim 2n 1 2 n n 1 un 收敛， 所以级数 其和为 S ，由定理7.3 2 n 1 级数 un 2 收敛。
n 1
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第8章
无穷级数
u
n 1
n 2
u3 u4
级数为 a a a a （2）若 q 1 ，
Sn na , 则 lim Sn ，几何级数发散。 n
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第8章
无穷级数
级数为 a a a a （3）若 q 1 ，
S 当 n 为偶数时， n 0 ; 当 n 为奇数时， n a S
当 n 时， n 没有极限， S 几何级数发散。
高等数学级数的概念和敛散性
2021/4/14
1
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a 1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正32n形的面积 a 1 a 2 a n
A a 1 a 2 a n
2021/2 4/.14 1 3 1 3 0 1 30 13 00 0 1 0 3 n0
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10
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
例如级数
n
1 2 3 n ，
n1 n 1 2 3 4
n 1
lim
n
un
lim
n
n n 1
1
0 ，则该级数发散．
级数的一般项满足
lim
n
u
n
0 并不是级数收敛的
充分条件．
例如调和级数
n1
1 n
满足
lim
n
un
0 ，但它是发散的．
n
1)!]2 nn
(n!)2
lim 1 (11)n nn1 n
0
级数
nn
收敛.
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n1 (n!)2
31
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
un
1
n
设
un
为正项级数,如果
lim
n
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
高数无穷级数 数项级数敛散性判别法
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
无穷级数课件(同济第五版)
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法 如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
第七章 无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
7.1-7.2无穷级数的概念和性质
例2 判 无 级 别 穷 数
1 1 1 + +L+ +L 的 敛 . 收 性 1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1) ⋅ (2n + 1)
1 1 1 1 ), = ( − 解 Q un = ( 2n − 1)( 2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
1 1 1 + + L+ ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
n 2
1 1 1 1 1 1 = [(1 − ) + ( − ) + L + ( − )] 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 1 )= , ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
x a n+1 4、 ； 4、 ( −1) n−1 ； 3、 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n) 2n + 1 1 6、 5、 2k − 1.2k − 1,2k , ； 6、 q < 1, q ≥ 1 . 2k 收敛. 发散； 收敛； 三、收敛. 四、1、发散； 2、收敛； n 1 1 ) ]. 发散、 3、发散、[ s2 n = ∑ ( k + 10k k =1 2
练习题答案
1 1⋅ 2 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 一、1、 + ； + + + 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ； 1 2 3 4 5
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
常数项级数的概念和性质
变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
lim
n
S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
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一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1. 由定义, 若sn s , 则级数收敛;
2. 当 lim un 0, 则级数发散;
k
lim k 存在
n
k
lim sn
n
未必存在
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即 级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1
n
则 un sn sn1 ,
n n 0
三、由定义判别级数 1 1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 5 7 ( 2n 1)( 2n 1) 四、判别下列级数的收敛性: 1 1 1 1 1、 ； 3 6 9 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 2、( ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) ( n n ) ； 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 . 3、 n 2 10 4 20 2 10n 五、利用柯西收敛原理判别级数 1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 2 3 4 5 6
如果sn 没有极限, 则称无穷级数 un 发散.
n 1
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
即
sn s
误差为 rn ( lim rn 0)
n
un i i 1
无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
1 级数收敛, 和为 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1
n 收敛, 则
kun 亦收敛. n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数 s
un , v n , n 1 n 1
则级数
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
这是不可能的.
2项
2项
4项
8项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ( m m m 1 ) 2 1 2 2 2
1 每项均大于 2
有 lim un 0, 但级数是否收敛 ?
n
讨论
1 1 1 n 1 s2 n sn , n1 n 2 2n 2n 2
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 便有 0 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
a aq n a aqn , 1 q 1 q 1 q n a lim q 0 当q 1时, lim sn n
n
1 q n sn 发散 lim q lim 当q 1时, n n
重点
级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；
难点
常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；
基本要求
①掌握级数敛散性概念和性质
②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③掌握交错级数的Leibniz审敛法
n n n
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. (u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 证明 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
, m sn ,
第十一章 无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
则 lim lim s s . m n m n
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
收敛
1111
发散
事实上，对级数
( u1 u p1 ) ( u p1 1 u p2 ) ( u pk 1 1 u pk )
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题: 5 1 3 ( 2n 1) 1、若 a n , 则 a n =____________ ； 2 4 2n n 1 5 n! 2、若 a n n , 则 a n =______________________； n n 1 x x x x 则a n _______ ； 3、若级数为 2 24 246 a2 a3 a4 a5 则a n ________； 4、若级数为 3 5 7 9 1 1 1 5、若级数为1 2 3 4 5 6 则当n _____ 时 a n _____ ；当n ______ 时a n ________ ； 6、等比级数 aq ,当_____时收敛；当____时发散 .
sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
s , 即 lim sn s 则称无穷级数 数列 sn 有极限
n
s u 收敛 , 这时极限 叫做级数 un 的和. 并 n
n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
( un v n ) 收敛, 其和为 s . n 1
性质 3
若级数
u
n 1
n
收敛,则
n k 1
u
n 也收敛
( k 1) .且其逆亦真.
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk
收敛
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
例2
判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
n
3. 按基本性质.
思考题
设 bn 与 c n 都收敛，且bn a n c n
n 1 n 1
( n 1,2,) ，能否推出 a n 收敛？
n 1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4 第一次分叉：
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 1 2 3 n n 1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 n1