第3讲 力与曲线运动

第3讲 力与曲线运动1．(2011·新课标全国卷，20)(单选)一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc 从a 运动到c ，已知质点的速率是递减的．关于b 点电场强度E 的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b 点的切线)( )．解析 因质点做减速运动，故其所受电场力F 的方向与v 的方向夹角为钝角，又因为质点带负电荷，其所受电场力F 与电场强度E 方向相反，故只有选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．答案 D2．(2012·新课标全国卷，15)(多选)如图1－3－1所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )．图1－3－1A ．a 的飞行时间比b 的长B ．b 和c 的飞行时间相同C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大解析 小球做平抛运动，在竖直方向上满足h ＝12gt 2，得t ＝2hg可知A 错，B 正确．在水平方向上x ＝v 0t 即v 0＝x ·g2h，且由题图可知h b ＝h c ＞h a ，x a ＞x b ＞x c ，则D 正确，C 错误．答案 BD3．(2013·新课标全国卷Ⅱ，21)(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图1－3－2，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )．图1－3－2A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c的值变小解析当汽车行驶的速度为v c时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速度稍大于v c时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于v c时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．v c的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误．答案AC4．(2013·新课标全国卷Ⅰ，20)(多选)2012年6月18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是()．A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析由v＝GMr知两者的运行速度都小于第一宇宙速度，故A错误．轨道处的稀薄大气会对天宫一号产生阻力，不加干预其轨道会缓慢降低，同时由于降低轨道，天宫一号的重力势能一部分转化为动能，故天宫一号的动能可能会增加，B、C正确；航天员受到地球引力作用，此时引力充当向心力，产生向心加速度，航天员处于失重状态，D错误．答案BC5．(2013·新课标全国卷Ⅱ，20)(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()．A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析在卫星轨道半径逐渐变小的过程中，地球引力做正功，引力势能减小，气体阻力做负功，机械能逐渐转化为内能，机械能减小，选项B 正确，C 错误．卫星的运动近似看作是匀速圆周运动，根据G Mmr 2＝m v 2r得v ＝GMr，所以卫星的速度逐渐增大，动能增大，选项A 错误．减小的引力势能一部分用来克服气体阻力做功，一部分用来增加动能，故D 正确．答案 BD主要题型：选择题、计算题 热点聚焦(1)曲线运动及运动的合成与分解 (2)平抛运动(3)万有引力定律的应用 (4)人造卫星的运动规律(5)平抛运动、圆周运动与其他知识点综合的问题 命题趋势(1)单独考查曲线运动的知识点时，题型一般为选择题．(2)人造卫星问题仍是2014年高考的热点，题型仍为选择题，涉及的问题一般有： ①结合牛顿第二定律和万有引力定律考查．②结合圆周运动知识考查卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系． ③结合宇宙速度进行考查．(3)将曲线运动与功和能、电场与磁场综合考查时题型一般为计算题．(后面讲)考向一 运动的合成与分解1.2.曲线运动的特点(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．(2)合力：合力不为零，指向曲线凹侧．(3)轨迹：夹在速度与合力的方向之间．3．运动的合成与分解和力的合成与分解遵从相同的法则，具有类似的规律，要注意方法的合理迁移．【典例1】(2013·江苏卷，7)如图1－3－3所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则()．图1－3－3A．B的加速度比A的大B．B的飞行时间比A的长C．B在最高点的速度比A在最高点的大D．B在落地时的速度比A在落地时的大解析两物体都只受重力，因此它们加速度相同A项错；由题意和抛体运动规律知，竖直方向分运动完全相同，因此飞行时间一样，则B项错，再根据水平方向，同样的时间内B物体水平位移大，则B物体在最高点的速度较大，由机械能守恒定律知B落地速度比A的也大，则C、D项正确．答案CD解决运动合成和分解的一般思路(1)明确合运动或分运动的运动性质．(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解．(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)．(4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．【预测1】如图1－3－4甲所示，在长约1m的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个圆柱形的红蜡块R，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．将此玻璃管迅速竖直倒置(如图乙所示)，红蜡块R就沿玻璃管由管口A上升到管底B.若在将玻璃管竖直倒置、红蜡块从A端上升的同时，将玻璃管向右水平移动(玻璃管的初速度可能为零、也可能不为零)(如图丙～丁所示)，直至红蜡块上升到管底B的位置(如图丁所示)．描出红蜡块的运动轨迹如图戊所示，则红蜡块和玻璃管的运动情况可能是()．图1－3－4A．红蜡块沿玻璃管向上做匀速运动，玻璃管向右做匀速运动B．红蜡块沿玻璃管向上做匀加速运动，玻璃管向右做匀速运动C．红蜡块沿玻璃管向上做匀加速运动，玻璃管向右做匀加速运动D．红蜡块沿玻璃管向上做匀速运动，玻璃管向右做匀加速运动解析由运动轨迹可知，合力方向一定指向轨迹的凹侧，那么对于水平方向和竖直方向的运动即有两种情况：一是竖直方向是匀加速，水平方向是匀速；二是竖直方向和水平方向都是匀加速，但竖直方向加速度较大．综合分析，应该选B、C.答案BC【预测2】“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分发射升空，如图所示，在“神舟”十号靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小．在此过程中“神舟”十号所受合力的方向可能是()．解析做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确．答案 C考向二平抛运动的规律及应用1.2．位移关系【典例2】如图1－3－5所示，图1－3－5水平屋顶高H ＝5m ，围墙高h ＝3.2m ，围墙到房子的水平距离L ＝3m ，围墙外空地宽x ＝10m ，不考虑空气阻力，为使小球从屋顶水平飞出并落在围墙外的空地上，g 取10m/s 2，则小球离开屋顶时速度v 0的大小范围是( )．A ．v 0>5m/sB ．v 0<13m/sC ．5m/s ≤v 0≤13m/sD ．5m/s ≤v 0≤22m/s审题流程第一步：抓关键点―→获取信息第二步：找突破口―→构建思路解析 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v 01，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 01t 1小球的竖直位移：H －h ＝12gt 21解以上两式得：v 01＝5m/s设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 02，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 02t 1 小球的竖直位移：H ＝12gt 22解以上两式得：v 02＝(L ＋x )g2H＝13m/s 小球抛出时的速度大小为5m/s ≤v 0≤13m/s ，所以选项C 正确． 答案 C研究平抛运动的方法(1)“化曲为直”的思想方法——运动的合成与分解 (2)常用的分解方法：①分解速度 ②分解位移【预测3】如图1－3－6所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd ，一个小球从a 点以初动能E k0水平抛出，落在斜面上的b 点，速度方向与斜面之间的夹角为θ，若该小球从a 点以初动能2E k0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )．图1－3－6A ．小球将落在c 点B ．小球将落在c 点下方C ．小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角大于θD ．小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角等于θ解析 当小球从斜面上以初速度v 水平抛出后，又落在斜面上时，满足关系式tan β＝yx ＝12gt 2v t ＝gt2v (其中β为位移与水平方向的夹角，其大小等于斜面倾角)可得t ＝2v tan βg ，即小球下落的时间与初速度v 成正比；设题中小球第1、2次运动时间分别为t 1、t 2，因为E k ＝12m v 2，且t ∝v ，所以t 2＝2t 1，即第2次下落时间是第1次下落时间的2倍，根据y ＝12gt 2可知，第2次下落高度是第1次下落高度的2倍，所以第2次小球将落在c 点，选项A 正确、B 错误；根据tan β＝y x ＝12gt 2v t ＝gt 2v ＝v y 2v x ＝tan α2(其中α为小球落在斜面时速度方向与水平方向的夹角)，可得tan α＝2tan β，可见，斜面倾角β不变时，速度方向与水平方向的夹角α不变，速度方向与斜面的夹角当然也不变，选项C 错误、D 正确． 答案 AD 【预测4】如图1－3－7所示，球网上沿高出桌面H ，网到桌边的距离为L .某人在乒乓球训练中，从左侧L /2处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘．设乒乓球运动为平抛运动．则乒乓球( )．图1－3－7A ．在空中做变加速曲线运动B ．在水平方向做匀加速直线运动C ．在网右侧运动时间是左侧的2倍D ．击球点的高度是网高的2倍解析 乒乓球击出后，只受重力，做平抛运动，可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，选项A 、B 错误；网左侧和右侧水平距离之比12L L ＝v 水平t 1v 水平t 2＝t 1t 2＝12，选项C 正确；击球点到网的高度与击球点到落点的高度之比为h 1h ＝12gt 2112g (t 1＋t 2)2＝t 21(t 1＋t 2)2＝19，又h 1＝h －H ，所以h ＝98H ，选项D 错． 答案 C考向三 圆周运动的动力学问题【典例3】如图1－3－8所示，半径为R 的光滑圆轨道竖直固定放置，小球m 在圆轨道内侧做圆周运动．对于半径R 不同的圆轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是( )．图1－3－8A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 思维提示抓住关键的两点①物理建模②小球通过轨道最高点时的临界条件解析 小球恰好过最高点，小球与轨道间没有压力，小球的重力充当向心力，由牛顿第二定律可得：mg ＝m v 2R 所以v ＝gR ，可得半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大，A 正确，B 错误；设小球在最低点的速度为v 0，由机械能守恒定律可得：12m v 20＝mg (2R )＋12m v 2，其中v ＝gR 可解得v 0＝5gR ，由v 0＝ωR 得ω＝5gR，可知半径R 越大，小球通过轨道最低点的角速度越小，C 错误，D 正确．答案 AD•匀速圆周运动 ①合力一定指向圆心②利用F 合＝m v 2r ＝mω2r 求解即可．•竖直面内的圆周运动可分为三种模型①轻绳模型：临界条件：mg ＝m v 2高R图1－3－9②轻杆模型 临界条件：v 高＝0图1－3－10③外轨模型图1－3－11球在最高点时，若v <gR ，将沿轨道做圆周运动，若v ≥gR ，将离开轨道做抛体运动． 【预测5】有一种杂技表演叫“飞车走壁”．由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动．如图1－3－12中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h .下列说法中正确的是( )．图1－3－12A ．h 越大，侧壁对摩托车的支持力将越大B ．h 越大，摩托车做圆周运动的向心力将越大C ．h 越大，摩托车做圆周运动的周期将越小D ．h 越大，摩托车做圆周运动的线速度将越大解析 摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动的向心力由摩托车所受重力和侧壁对摩托车的支持力的合力提供，支持力N ＝mg /cos θ，向心力F 向＝mg tan θ，可见，N 和F向只与侧壁的倾角θ有关，而与高度h 无关，即h 变化时，N 和F 向不变，选项A 、B 错误；根据F 向＝m v 2r ，可得v 2＝gr tan θ，所以h 越大，则轨道半径r 越大，线速度v 越大，选项D正确；根据T ＝2πrv ，v 2＝gr tan θ，可得T ∝r ，所以h 越大，则r 越大，T 越大，选项C 错误．答案 D 【预测6】如图1－3－13所示，长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球，另一端有固定转轴O .现使小球在竖直平面内做圆周运动，P 为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为92gL ，则以下判断正确的是( )．图1－3－13A ．小球到达P 点时的速度等于12gLB ．小球不能到达P 点C ．小球能到达P 点，且在P 点受到轻杆向上的弹力D ．小球能到达P 点，在P 点受到轻杆的作用力为零解析 从最低点到最高点的过程中，由机械能守恒定律得－mg ·2L ＋12m v 2＝12m v 2P，得v P＝2gL2，A 错误、B 错误；设小球在最高点时，杆对它的弹力方向向下，则mg ＋F ＝m v 2P L，可得F ＝－12mg ，则轻杆对小球的弹力方向向上，C 正确、D 错误．答案 C考向四 万有引力定律及天体的运动【典例4】为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心、半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离该星球更近的半径为r 2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2，则下列说法正确的是( )．A ．该星球的质量为M ＝4π2r 1GT 21B ．该星球表面的重力加速度为g ＝4π2r 1T 21C ．登陆舱在半径为r 1与半径为r 2的轨道上运动时的速度大小之比为v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1D ．登陆舱在半径为r 2的轨道上做圆周运动的周期为T 2＝T 1r 32r 31解析 根据G Mm 1r 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 12r 1可得，该星球的质量为M ＝4π2r 31GT 21，选项A 错误；根据m 1a 1＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 12r 1可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度为a 1＝4π2r 1T 21，该加速度不等于星球表面的重力加速度，选项B 错误；根据G Mm 1r 21＝m 1v 21r 1可得，v 1＝GM r 1∝1r 1，同理可得v 2＝GMr 2∝1r 2，所以v 1v 2＝r 2r 1，选项C 错误；根据G Mm 1r 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 12r 1和G Mm 2r 22＝m 2⎝⎛⎭⎫2πT 22r 2，得T 1T 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 232，所以T 2＝T 1r 32r 31，选项D 正确． 答案 D 【典例5】(2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )．A ．n 3k 2T B ．n 3k T C ．n 2kT D ．n kT 解析 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2，G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L ，解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当双星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3kT 故选项B 正确．“一、二、三”跑步解决天体问题1．“一”理解一个定律——万有引力定律 2．“二”构建两大模型 (1)“天体公转”模型某天体绕中心天体做匀速圆周运动 ①万有引力提供向心力G Mmr 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝ma n ＝mg ′(g ′表示轨道处的重力加速度)——可称为“天上公式”．②在地球表面：GMmR 2＝mg .(g 表示地球表面的重力加速度)―→可称为“地面公式”，GM ＝gR 2也称为“黄金代换公式”．(2)“天体自转”模型绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体． 3．“三”个区别(1)中心天体和环绕天体的区别； (2)自转周期和公转周期的区别；(3)星球半径和轨道半径的区别． 【预测7】2013年2月16日凌晨，2012DA14小行星与地球“擦肩而过”，距离地球最近约2.77万公里．据观测，它绕太阳公转的周期约为366天，比地球的公转周期多1天．假设小行星和地球绕太阳运行的轨道均为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2，以下关系式正确的是( )．A ．R 1R 2＝366365B ．R 31R 32＝36623652C ．v 1v 2＝365366D ．v 1v 2＝3365366解析 设太阳、行星的质量分别为M 和m ，行星的公转周期为T ，线速度为v ，则G mMR 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝m v 2R ，有T ＝2πR 3GM、v ＝GM R ，对小行星和地球，可得R 31R 32＝36623652，v 1v 2＝3365366，所以选项B 、D 正确．【预测8】“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球．如图1－3－14所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，轨道2和轨道3是变轨后的椭圆轨道．A 点是轨道2的近地点，B点是轨道2的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7km/s，则下列说法中正确的是()．图1－3－14A．卫星在轨道2上经过A点时的速率一定大于7.7km/sB．卫星在轨道2上经过B点时的速率一定小于卫星在轨道2上经过A点时的速率C．卫星在轨道3上所具有的机械能小于在轨道2上所具有的机械能D．卫星在轨道3上所具有的最大速率小于在轨道2上所具有的最大速率解析因为卫星的发射高度越高，需要克服地球对其万有引力做的功越多，最终运行时的机械能越大，所以卫星在轨道3上所具有的机械能大于在轨道2上所具有的机械能，卫星在轨道2上所具有的机械能大于在轨道1上所具有的机械能，选项C错误；因为卫星在轨道2上所具有的机械能大于在轨道1上所具有的机械能，而卫星在两个轨道上经过A点时的势能相等，所以卫星在轨道2上经过A点时的速率大于卫星在轨道1上经过A点时的速率，即卫星在轨道2上经过A点时的速率一定大于7.7km/s，选项A正确；同理，选项D错误；根据卫星在椭圆轨道上的运行特点，卫星在远地点的速率一定小于在近地点的速率，选项B正确．答案AB技法三逆向思维法思考问题的顺序，沿着正向(由前到后、由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决问题，这种解题方法叫逆向思维，也叫逆思法，是一种具有创造性的思维方法．物理学中的可逆过程如：运动形式(直线运动、曲线运动、带电粒子在电磁场中的运动)的可逆性等．往往正向思维解题较繁难，用逆向思维则简单明了．如图1－3－15所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M 、N 、P 三点．假设不考虑飞刀的转动和空气阻力，并可将其看作质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( )．图1－3－15A ．三把飞刀在击中板时的动能相同B ．三把飞刀的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．三把飞刀的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设三把飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θM 、θN 、θP ，则有θM >θN >θP解析 因为三把飞刀都是垂直打在木板上，所以飞刀在竖直方向上做匀减速直线运动，且末速度为零，而在水平方向上做匀速直线运动．采用逆向思维法，把．．．．．．．M ．、．N ．、．P ．三点看成．．．．运动的起点，飞刀的运动为平抛运动，．．．．．．．．．．．．．．．．．可分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动，由匀变速直线运动推论可知，三把飞刀的飞行时间之比为t M ∶t N ∶t P ＝3∶2∶1，根据公式v ＝gt 可知，三把飞刀的初速度的竖直分量之比为v yM ∶v yN ∶v yP ＝3∶2∶1，选项B 、C 错误；设O 点到竖直墙的水平距离为L ，三把飞刀的初速度的水平分量分别为v xM 、v xN 和v xP ，它们分别也是三把飞刀击中木板时的合速度，则v xM t M ＝v xN t N ＝v xP t P ＝L ，又t M ∶t N ∶t P ＝3∶2∶1，所以v xM ∶v xN ∶v xP ＝33∶22∶1，可见，它们末速度大小不等，所以三把飞刀在击中木板时的动能不相同，选项A 错误；因为tan θ＝v yv x ，则tan θM ∶tan θN ∶tan θP ＝3∶2∶1，则θM >θN >θP ，选项D 正确．答案 D 【即学即练】(2013·安徽卷，18)由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m 3/min ，水离开喷口时的速度大小为163m/s ，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g 取10m/s 2)( )．A ．28.8m 1.12×10－2m 3B ．28.8m 0.672m 3C ．38.4m 1.29×10－2m 3D ．38.4m 0.776m 3解析 对倾斜向上的水柱，逆向思考为平抛运动，则喷口处竖直分速度为v 2＝v sin60°＝24m/s ，所以水柱的高度h ＝v 222g ＝28.8m ，时间t ＝v 2g ＝2.4s ，即空中水量V ＝Qt ＝0.2860×2.4m 3＝1.12×10－2m 3，故正确选项为A.答案 A(在1～9题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～9题有多项符合题目要求．)1．有两颗绕地球做匀速圆周运动的卫星A 和B ，它们的轨道半径r A ∶r B ＝1∶2，关于它们的向心加速度a A 、a B 的关系，以下判断正确的是( )．A ．根据a ＝ω2r ，可得a A ∶aB ＝1∶2 B ．根据a ＝v 2r ，可得a A ∶a B ＝2∶1C ．根据a ＝v ω，可得a A ∶a B ＝1∶1D ．根据a ＝G Mr2，可得a A ∶a B ＝4∶1解析 不同轨道高度的线速度、角速度都不同，A 、B 、C 均错．根据万有引力定律：G Mm r 2＝ma ，则a ＝G Mr2，显然D 对． 答案 D2．(2013·云南部分名校统考，20)如图1－3－16为湖边一倾角为30°的大坝横截面示意图，水面与大坝的交点为O .一人站在A 点以速度v 0沿水平方向扔一小石子，已知AO ＝40m ，不计空气阻力，g 取10m/s 2.下列说法正确的是( )．图1－3－16A ．若v 0>18m/s ，则石块可以落入水中B ．若v 0<20m/s ，则石块不能落入水中C ．若石子能落入水中，则v 0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大D ．若石子不能落入水中，则v 0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大解析 石子从A 到O 过程中，由平抛运动规律有AO sin30°＝12gt 2，AO cos30°＝v 0t ，联立得v 0＝17.3m/s ，所以只要v 0>17.3m/s 的石子均能落入水中，A 项正确B 项错误；若石子落入水中，由平抛运动规律有AO sin30°＝12gt 2，v y ＝gt ＝20m/s ，设其落入水中时的速度与水平面夹角为θ，则tan θ＝v yv 0，v y 一定，v 0增大，θ减小，C 项错；不能落入水中时，根据中点定理得石子落到斜面上时的速度方向与斜面夹角都相等，与v 0大小无关，D 项错误．答案 A3．2012年10月25日，我国将第十六颗北斗卫星“北斗－G6”送入太空，并定点于地球静止轨道东经110.5°.由此，具有完全自主知识产权的北斗系统将首先具备为亚太地区提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，将具短报文通信能力．其定位精度优于20m ，授时精度优于100ns.关于这颗“北斗－G6”卫星以下说法中正确的有( )．A ．这颗卫星轨道平面与东经110.5°的经线平面重合B ．通过地面控制可以将这颗卫星定点于杭州正上方C ．这颗卫星的线速度大小比离地350km 高的“天宫一号”空间站线速度要大D ．这颗卫星的周期一定等于地球自转周期解析 由题意知该卫星是一颗地球同步卫星，它的轨道平面与赤道平面重合，它的周期等于地球的自转周期，它离地高度大于350km ，它的线速度要比离地高度等于350km 的“天宫一号”空间站线速度要小，故只有选项D 正确．答案 D4．(2013·广东卷，14)如图1－3－17，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )．图1－3－17A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大解析 由万有引力提供向心力得G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝ma ＝m 4π2T 2r ，变形得：a ＝GM r 2，v＝GMr，ω＝GMr 3，T ＝2πr 3GM，只有周期T 和M 成减函数关系，而a 、v 、ω和M 成增函数关系，故选A.答案 A5．(2013·江苏卷，2)如图1－3－18所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )．图1－3－18A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小解析 因为物体的角速度ω相同，线速度v ＝rω，而r A <r B ，所以v A <v B 则A 项错；根据a ＝rω2知a A <a B ，则B 错；如右图，tan θ＝a ng ，而B 的向心加速度较大，则B 的缆绳与竖直方向夹角较大，缆绳拉力T ＝mgcos θ，则T A <T B ，所以C 项错，D 项正确．答案 D6．(2013·安徽卷，17)质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r ，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )．A ．GMm ⎝⎛⎭⎫1R 2－1R 1B ．GMm ⎝⎛⎭⎫1R 1－1R 2C ．GMm 2⎝⎛⎭⎫1R 2－1R 1 D ．GMm 2⎝⎛⎭⎫1R 1－1R 2 解析 由万有引力提供向心力知G Mm r 2＝m v 2r ，所以卫星的动能为12m v 2＝GMm2r ，则卫星在半经为r 的轨道上运行时机械能为E ＝12m v 2＋E p ＝GMm 2r －GMm r ＝－GMm2r.故卫星在轨道。