4.1 有理数指数幂
湘教版高中数学必修第一册课后习题 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1.1--4.1.2
第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。
实数指数幂和幂函数 教学设计-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
《实数指数幂和幂函数》教学设计 4.1.1有理数指数幂一.课程标准认识有理数指数幂mna 含义，掌握指数幂的运算性质.二.教学目标1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算性质；2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.三、教学重点：根式的概念及n 次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.四、教学难点：n 次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 五、教学过程一、创设情境，引入课题 1. 平方根和和立方根. 2.正整数指数幂的运算性质 二、归纳探索，形成概念 1. n 次方根若一个(实)数x 的n 次方,(2)n N n ∈≥等于a ，即n x a =，就说x 是a 的n 次方根。
那么如何表示n 次方根呢？我们分n 为奇数和n 为偶数两种情况来分别讨论n 次方根的表示方法。
例如，2=2=-；33x =-时，有x =若23x =，则x =43x =，则x =（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n当a ＞00；当a ＝00；当a ＜00.（2）当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，即：其中正的n 0a <时, a 的n 次方根不存在。
（3）0的n 次方根为0=0. 2.根式,(2)n N n ∈≥，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．a =，问题3：n 与aa =是否一直成立？你能举出那些例子？7...===-7...=== 由此我们可得到1。
当na =。
2。
当na =。
问题4：那么，n 又能化简成什么呢？一直成立吗？预案：n a =，根据定义易知成立。
3.分数指数幂问题5：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。
,,(,0)(),()m n m n mm n nm n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== 在这里,m n 均为正整数。
人教版高中数学必修第一册 4.1指数【课件】
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
21-22版：4.1.1 第一课时 有理数指数幂（创新设计）
A.R C.12，＋∞
B.－∞，21∪12，＋∞ D.－∞，21
解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
解得 x<21.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
3.(多选题)下列说法：①16 的 4 次实数方根是 2；②4 16的运算结果是±2；③当 n
///////
【例 3】 化简：(1)5x－23y21·－14x－1y12·－65x13y－16(其中 x>0，y>0)；
4
(2)0.064－13－－780＋（－2）3－3＋16－0.75. 解 (1)原式＝5×－14×－65x－23＋(－1)＋13·y12＋12－16＝2254x－43y56.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
索引
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)3 a a(a>0)；(2)
1
；(3)( 4
22
b－3)－3(b>0).
3 x（5 x2）2
解 (1)原式＝ 3
1
a·a2＝
3
3
a2＝
3
31
a4＝a4.
(2)原式＝
3
1＝
x·x252
3
1＝
4
x·x5
3 1x59＝（x195）13＝x135＝x－35.
（a－b）2＋5 （a－b）5＝|a－b|＋(a－b)＝02， （aa≤ －bb， ），a>b.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
有理数指数幂
13 6
a 5 a9
9 5
1
6
b13
3.用分数指数幂表示下列各式 （1） a 1 （2） 5 4
3 2
b
解： 2 3 a2 a 3 （1） 4 1 （2） 5 4 b 5
b
4.求值 1 （1） 492 1 （2）32 5 解： 1 （1） 492 （2） 32 1
n 次根试 二、
1、 次根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n>1且n∈N*），那 么这个数叫做a的n次方根。即：若xn=a，则x叫 n 做a的n次方根，其中n>1且n∈N*。式子 a 叫 做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开放数。
n
2.根式的性质
1、当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数，a的n 次方根用符号 n a 表示。 2、当n为偶数时，正数的n次方根有两个， 它们互为相反数，这时，正数的正的n次 n 方根用符号 a 表示，负的n次方根用符号 n a 表示。正负两个 n次方根可以合作为 （a>0 ）。 n a 4、负数没有偶次方根。 5、零的任何次方根都是零。
课堂练习
计算： （1） 0.013
3 2 ( ) （2） 2
（3）(3a )
2 2
解答
（1）
1 3 0.01 ( ) 100 3 10 6 1000000 100
3
（2） （3）
3 2 2 2 4 ( ) ( ) 2 3 9
4.1.1有理数指数幂(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
《有理数指数幂》中职数学基础模块上册4.1ppt课件2【语文版】
（2）（a） a
（3）（ab） a b
课后作业：
• 练习册4.1
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
③（5 23）5 23 8 ④ 2
⑤4（3）4 | 3 | 3
整数指数幂
正整数指数幂:
a2 aa
a3 aaa
指数
幂
an a a ......a
底数
n个
运算法则:（1）aman amn
（2）（am）n anm （3）aamn amn （m n，a 0）
（3）正数的奇次方根是一个正数，负数
的奇次方根是一个负数。都记为 n a 。
根式性质
由n次根式的意义，可得
1. ( n a )n a
a
2. n an a
n是奇数 n是偶数
3.n 0 0
即：n a n 与n an 不一定相等
例1
5 ①(4 5)4
②（3 5）3 5
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
教案 高教版《数学》(基础模块)——4.1有理数指数幂(2)
4.1有理数指数幂（2）——实数指数幂【教学目标】知识目标：1、掌握实数指数幂的运算法则；2、通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点。
能力目标：1、正确进行实数指数幂的运算；2、培养学生的计算技能；3、通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力。
【教学重点】实数指数幂的运算法则，有理数指数幂的运算。
【教学难点】有理数指数幂的运算。
【教学设计】1、在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；2、通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；3、通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；4、通过知识应用巩固有理数指数幂的概念。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、实数指数幂 1、复习导入整数指数幂，当*n ∈N 时，na = ； 规定当0a ≠时，0a = ； n a -= ； 分数指数幂：mna = ；0a ≠时，m na-= 。
其中*m n n ∈N 、且＞1。
当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，0a。
例1、将下列各根式写成分数指数幂：（2．例2、将下列各分数指数幂写成根式：(1)3465-；（2）232.3（）2、扩展：整数指数幂的运算法则为： (1) m n a a ⋅= ； (2) ()nm a= ；(3) ()nab = 。
其中()m n ∈Ζ、运算法则同样适用于有理数指数幂的情况3、概念当p 、q 为有理数时，有p q p q a a a +⋅=； ()qp pq a a =； ()pp p ab a b =⋅运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义。
说明：可以证明，当p 、q 为实数时，上述指数幂运算法则也成立。
4、典型例题例1、计算下列各式的值：（1）130.125； （2分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用；（2）题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算。
4.1.1指数课件(人教版)
(a ) a (a 0, r , s Q
R)
r S
rs
(a b) a b (a 0, b 0, r Q
R)
r
r
r
完成课本109页习题
根式与分数指数幂的互化
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
n
a a
n
m
(a 0, m , n N , 且n 1)
分母为根指数
2.正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m 1 (a 0, m , n N , 且n 1)
n m
n
a
a
a
p
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)( )
81
2
3
2.用分数指数幂的情势表示下列各式(其中a>0):
3
（1）a a
2
2
3
（2） a a
3.计算下列各式（式中字母都是正数）
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
（3）
1
4
3
8 8
(2)( m n )
分数指数幂运算技能
1.有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算
（ + ）
5
2
3
−2
=
1
3
m
n
分数指数幂
整数指数幂
a a a
r
s
r s
有理数指数幂
(a 0, r , s Q)
4.1.1有理数指数幂课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
二、新知探究|根式
1.若 2 = ,那么叫作的 平方根 ；
记作： = ± ，
3
2.若 = ,那么叫作的 立方根 ； 记作： =
3
3.若 4 = ,那么叫作的 4次方根 ； 记作： = ± 4
5
4.若 = , 那么 叫作 的5次方根
；记作： =
− =
− ， 当 > 时.
二、新知探究|有理数指数幂
分数指数幂：
当a > 0，m, n ∈ N且n ≥ 2时，规定：
=
，
1
=
−
二、新知探究|有理数指数幂
在 > 0时，对于∀, ∈ 仍有以下运算法则：
∙ = +
( ) =
3
3
3
2
2 =_______;
32 =_______;
3
5
3
(−2) =_______;
-2
4
2
(−3) =_______;
3
5
5
2 =_______;
2
2
24 =_______;
由此你能得出 的值吗？
性质2.
=
,
,
为奇数；
为偶数
4
(−2)5 =_______;
-2
(−2)4 =_______;
(3) ∙ =
=
∙ = ∙ =
三、典例精析|有理数指数幂
例4、计算下列各式
有理数指数幂ppt课件
例 2 求值：
（1）16
3 4
；（2）
25
1 2
；（3）
1 3
3
；（4） 125 64
3 2
解： 3
（1）164
3
24 4
43
24
23
8；
1
（2） 25 2
1
52 2
21
52
51 1 5
（3） 1 3 3
3 1 3 33 27
2
（4） 125 3 64
2
53 3
43
32 1
53
32
43
52 1 16
4.1.1 有理数指数幂
湘教版（2019）必修第一册
学习目标
1.了解根式及其性质. 2.了解分数指数幂的意义 3.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.
学习重点
根式的概念, 分式指数冥的概念及运算法则
学习难点
根式概念和分式指数幂的理解，根式与分式指数幂的互化， 根式、分数指数幂及其运算法则的综合应用.
解析：对于
A，原式
1
(3a)3 3
0.3a1
3a 10 3
a
10a2
(a
0) ，故
A
正确；
1 2 1 2 1 1 1 1
对于
B，原式
a3
1
b3
1
a3
b3
1
a3
1
b3
1
a3
1
b3
(a, b
0)
，故
B
正确；
a3 b3
a3 b3
对于 C，原式
1
1
1
(2 2 3)2 (3 2 2)2 2 [(2 2 3)2 ]2 (3 2 2)2 2 (2 2 3)(3 2 2) 1 ，故 C
有理数指数幂--参考教案
这时， 的 次方根用符号 表示.
例如，
当 是偶数时，正数 的 次方根有两个，
两数互为相反数.
这时，正数 的正的 次方根用符号 表示，
负的 次方根用符号- 表示.
正的 次方根与负的 次方根可以合并写成 .例如，
负数没有偶次方根.
的任何次方根都是 ，记为 .
形如 的式子叫作根式，
（4） ；（5）81的4次方根.
解（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5）因为 ，所以81的4次方根是 ，即
例2化简（1） ；（2） .
解（1） ；
（2） .
例3将下列根式用分数指数幂表示（式中字母均为正实数）.（1） ；（2） ；（3） .
解（1） ；
（2） ；
（3） .
例4化简
（1） ；（2） ；
第七单元4.1《实数指数幂》教案
授课题目
有理数指数幂
授课课时
1
课型
讲授
教学
目标
知识与技能：
⑴ 复习整数指数幂的知识；
⑵ 了解n次根式的概念；
⑶ 理解分数指数幂的定义.
过程与方法：
通过指数范围的扩大，使学生能理解指数运算的本质，认识到知识之间的联系和转化.
情感态度与价值观：
通过对根式与分数指数幂的转化关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
解（1） ；
（2） .
四、课堂练习
1 填空题
（1）16的4次方根为；
（2） ;
（3）-13的5次方根表示为.
2计算
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） .
3用分数指数幂表示下列根式.
有理数指数幂
解析 (1)
(2)
3
4
3+
4
4
(3-3)4 (a≤1);
(1 − )4 .
根据根式的性质化简,注意被开方数的符号.
(3-3)4 =|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
3+
4
(1 − )4 =a+|1-a|=
1, ≤ 1,
2-1, > 1.
课前预学
课堂导学
方法总结：根式化简求值解题思路:解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是
方法总结：指数幂运算的常用技巧:(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运
算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,
要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
提醒:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
(3)(ab)r=
(a>0,b>0,r∈Q).
有理数指数幂的运算性质的理解与巧记
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的,可以
用文字语言叙述:①同底数幂相乘,底数不变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指数
相乘;③积的幂等于幂的积.
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘.
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问题 2: 问题 1 中没有 a<b<0 的限制条件,根号内的式子还能“穿墙”吗?
答案
能,但要注意讨论.
问题 3: ( a)n 中实数 a 的取值范围是任意实数吗?
答案 不一定,当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R;
语文版中职数学基础模块上册4.1《有理数指数幂》教案
有理数指数幂教案一、条件分析1．学情分析在上个单元中，学生学习了函数的概念、表示方法、单调性、奇偶性，对函数有了初步的认识，但是还远远不够，函数是个大家庭，需要我们继续深入学习已到达实际运用的目的。
对于这个章节的内容，学生在初中已经学过，加之初数内容的补充，学生对这方面的知识掌握起来比较容易，难点在于对八个公式的记忆可能混淆，因此在学习本章节的内容时应多做练习巩固所学知识。
2.教材分析本节内容由整数指数幂、n次根式、分数指数幂构成，这三个内容环环相扣，层层递进，所以，在学习这个章节的内容时，应注意知识的内在联系。
二、三维目标知识与技能目标A层：1. 理解有理数指数幂的概念；2. 识记正整数指数幂的运算法则；3. 识记分数指数幂的运算法则；4. 理解n次方根、n次算术根的概念。
B层：1. 理解有理数指数幂的概念；2. 识记正整数指数幂的运算法则；3. 识记分数指数幂的运算法则。
C层：1. 识记正整数指数幂的运算法则；2. 识记分数指数幂的运算法则。
过程与方法目标讲授法、练习法、游戏法。
在学习有理数指数运算时通过竞答游戏激发学生学习兴趣，通过练习加深学生对所学知识的巩固。
情感态度和价值观目标通过对有理数指数幂的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过学习有理数指数幂的知识，让学生明白，对于问题的解决，我们可以采用多种方法，其中有效的方法是转化，把不熟悉的问题转化成我们所熟悉的问题就能轻松解决。
三、教学重点有理数指数幂的运算法则四、教学难点n次方根与n次算术根的区别和联系五、主要参考资料：中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。
六、教学进程：故事导入：谣言的力量某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人．而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人。
如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？只凭直觉，是很难正确判断的。
教案 高教版《数学》(基础模块)——4.1有理数指数幂(1)
4.1有理数指数幂(1)——分数指数幂【教学目标】知识目标：1、复习整数指数幂的知识；2、 了解n 次根式的概念；3、理解分数指数幂的定义。
能力目标：1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；2、会利用计算器求根式和分数指数幂的值；3、培养学生观察、分析问题的能力；培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
【教学重点】分数指数幂的定义及运算性质，运用有理数指数幂性质 进行化简、求值。
【教学难点】对分数指数幂概念的理解，根式和分数指数幂的互化。
【教学设计】1、通过复习二次根式而拓展到n 次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；2、复习整数指数幂知识以做好衔接；3、利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；4、加大学生动手计算的练习，巩固知识；5、小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、根式1、在初中时，我们已经把指数幂推广到了零指数和负整数指数幂，大家来回忆一下： a 0= (a ≠0),a -n= (a ≠0,n ∈N) 并且满足如下运算法则：(1) ),,0(Z n Z m a a a a n m n m ∈∈≠=⋅+ (2) ()()Z n Z m a a a mn nm ∈∈≠=,,0(3) ()()Z n b a b a ab n n n∈≠≠=,0,0例如：（师生共同完成）（1） 10001.011.011.022===- （2） a 3a -2=a 3-2=a （3）（2a -2）-3=2-3a（-2）（-3）=681a2．我们学习了n 次根式，知道当n a 有意义时，有下列性质：（1）a a nn =)(（2）⎩⎨⎧=)(|,|)(,为偶数；为奇数n a n a a n n利用这个运算性质，引导学生得出下列各式： （1）362=332)2(=22=362， （2）5103=552)3(=32=5103，（3）32a =3332)(a =32a由此，可得出式子：362=362，5103=5103，32a =32a 。
4.1.1有理数指数幂4.1.2无理数指数幂课件高一上学期数学
式的性质进行化简;化简( ) 时,关键是明确 是否有意义,只要 有意
n
义,则( )n=a.
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的
取值范围,即确定 中 a 的正负,再结合 n 的奇偶性给出正确结果.
探究点三
指数幂的简单计算
【例3】 计算:
2
(1)
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
2+1
9
;④ -2 .其中无意义的有( A )
探究点二
根式的化简(求值)
【例2】 求下列各式的值:
5
6
(1)( -) +( - )6(b>a);
5
解 原式=a-b+b-a=0.
(2) 2 -2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3<x<3).
=
73
33
=
343
.
27
(x>0);
解 原式=
5
6
3
34 4
74
1 2 1
+ 2 3 6
3 -1
5
3 -1
5
=x.
-1
;
-1
=
5 5 -1
6 3
=
5 -1 6
- 6 =-5.
1
3
(6)0.064 −
解
1
4
0
7
+(23)-3 +16-0.75+|-0.01|2 ;
8
1
3
1
1
-4
-1
3 -3
新教材2021-2022学年湘教版必修第一册 4.1.1 有理数指数幂 作业
课时跟踪检测(二十二) 有理数指数幂[A 级 根底稳固]1．假设4a －2＋(a －4)0有意义，那么a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)解析：选B 由题意可知，a －2≥0且a －4≠0，∴a 的取值范围是a ≥2且a ≠4，应选B.2．化简4m 6(m <0)的结果为( )A ．m mB ．m －mC ．－m mD ．－m －m解析：选D ∵m <0，∴4m 6＝－m 3＝－m －m .应选D.3．假设(1－2x )－34有意义，那么x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选D ∵(1－2x )－34＝14〔1－2x 〕3，∴1－2x >0，得x <12. 4．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B ．32b 2 C ．－32b 73 D ．32b 73 解析：选A 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 5．(多项选择)以下各式中一定成立的有( )A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 17B.12〔－3〕4＝33 C.4x 3＋y 4＝(x ＋y )34 D.39＝33解析：选BDA 中应为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m －7；12〔－3〕4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确．应选B 、D.6．有以下说法： ①3－125＝5；②16的4次方根是±2； ③481＝±3；④〔x ＋y 〕2＝|x ＋y |.其中，正确的有________．(填序号)解析：n 为奇数时，负数的n 次方根是一个负数，3－125＝－5，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；〔x ＋y 〕2是正数，故〔x ＋y 〕2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④7．假设〔2a －1〕2＝3〔1－2a 〕3，那么实数a 的取值范围为________． 解析：〔2a －1〕2＝|2a －1|，3〔1－2a 〕3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 8．a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是________． 解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76. 答案：a 769．求以下各式的值：(1) 3＋22＋3－22；(2) 5＋26－ 6－42＋ 7－4 3.解：(1)法一：原式＝〔2〕2＋22＋1＋〔2〕2－22＋1＝〔2＋1〕2＋〔2－1〕2＝2＋1＋2－1＝2 2. 法二：令x ＝3＋22＋ 3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8x >0，所以x ＝2 2. (2)原式＝〔3＋2〕2－ 〔2－2〕2＋〔2－3〕2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 10．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－127－13＋－12－10(5－2)－1＋π0； (2)823－⎝⎛⎭⎫12－2＋⎝⎛⎭⎫1681－34－(2－1)0. 解：(1)⎝⎛⎭⎫－127－13－12－10(5－2)－1＋π0＝－3＋105－105－20＋1＝－22.(2)根据分数指数幂的定义，得823＝(23)23＝22＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝22＝4，⎝⎛⎭⎫1681－34＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278.从而原式＝4－4＋278－1＝198. [B 级 综合运用]11．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________． 解析：a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫384317n －3 ＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3.答案：3×2n －3 12．化简以下各式： (1)3xy 26x 5·4y 3(x >0，y >0)；(2)(x 23·y 14·z －1)·(x －1·y34·z 3)－13 (x >0，y >0，z >0)． 解：(1)原式＝x 13y 23x 56y 34＝x 13－56y 23－34＝x －12y －112.(2)原式＝(x 23y 14z －1)·(x 13y －14z －1)＝x 23＋13·y 14－14·z －1－1＝xz －2.。
4.1 指数运算(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
6
；
1
1
(2) 4x 2 3x 2
y 3
y
3 3
；
(3) a 3 a a ．
2．（2023 春·河北石家庄·高一校考阶段练习）计算下列各式的值.
(1)
1
0.064 3
3
16 4
1 9
0
4
81
(2)
25 9
1
8 3 27
Hale Waihona Puke (πe)011 2
4
(3)
3π
1 3
π
22
2
2 1 5
1
A． 6 y2 y3 （ y 0 ）
B．
3
x4
4
1 x
3
（
x
0
）
C．
1
x3
3
x
（
x
0）
3
D．
3
x2
2
x（
x
0
）
【例
1
3-2】（2023·高一课时练习）已知 a 2
1
a2
3 ，求下列各式的值：
(1) a a1 ；
a2 a2 2 (2) 3 3 ．
a2 a 2 3
【例 3-3】（2023 云南）计算下列各式：
(1)
1 2
0
22
2
1 4
1 2
0.010.5
；
(2)
2
7 9
0.5
0.12
2
10 27
2 3
3
π0
37 48
；
(3) a b 2 3 4a1b 12a4b2c a,b, c 0 .
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（2）12 的 4 次方根可以表示为 ，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
（3）-7 的 5 次方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
（4）8 的平方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ．
问题引入
1
思考 将整数指数幂的概念进行推广： 42 =
新知探究
概念
m
a n n am
说 其中 m、n N且n ＞1,
如果x2=5，则x= 5 ；x叫做5的 平方根 . 如果x3=8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 .
归 如果x2 a，那么x叫做a的平方根二次方根，表示为x a; 纳 如果x3 a，那么x叫做a的立方根三次方根，表示为x 3 a.
思 如果xn=a (n∈ N 且n>1)，那么x叫做a的
1
3
a 5.
5 a3
典型例题
例3计算：
1
8-13； 2
25 9
3 2
；3
a
1 2
b
a
3 2b2Fra biblioteka,b
0
.
解：1
-1
83
=
1
= 1；
38 2
2
25 9
-3
2
=
5 3
2
-
3 2
=
5 3
-3
=
27 ； 125
3
a
1 2
b
a
3 2
b
2
=
a
1 2
+
3 2
b1+2
=
a2b3.
4
（1） a 7 ；
3
（2） a 5 ；
（3）
3
a2
．
4
解：（1）a7
7
3
a4 ;(2)a5
5
a3
;
(3)a
3 2
1
.
2 a3
典型例题
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） 3 x2 ； （2） 3 a4 ； （3） 1 ．
5 a3
2
3
解：1 3 x2 =x3； 2 3 a4 a4； 3
考 根,表示为x=
.
次方
新知探究
概念
一般地，如果xn=a(n∈N 且n>1)，那么 x叫做a的 次方根．
1 当n为偶数时，正数a的n次方根有两个,表示
为 x n a 。,其中 n a 叫做的n 次算术根.
例如：x4 81,则x 4 81，读作：81的四次方根.
新知探究
2 当n为奇数时，实数 a的n次方根只有一个，
6
1 4
3 2
;
(6)
3
3 8
1 3
;
(7)
2
10 27
2 3
.
归纳小结
学习了哪些内容？ 重点和难点各是什么？ 采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？
布置作业
阅读 教材章节4.1
作
业
书写 教材习题一
思考 寻找有理数指数幂在生活中
的应用
3. ab m a mbm . 积的乘方，等于积的每个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘。 m, n Z . a 指数书写格式： m + b
小测验
1
0
23= 8 ； 32 = 9 ； 2 = 1 ；
2 3
4
=
16 81
；
1 5
2
=
25
；
问题引入
如果x2=9，则x= 3 ；x叫做9的 平方根 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 有理数指数幂
复习回顾
正整数指数幂的定义
an a a a a(n个a相乘）.
负整数、零指数幂的定义
an
1 an
a
0, n N ;
a0 1a 0.
复习回顾
整数指数幂的运算性质
1.a m a n a mn ; 同底数的幂相乘，底数不变指数相加。
2. a m n a mn ; 幂的乘方，底数不变指数相乘。
记作 x n a 。
例如：x5 32,则x 5 32，读作：-32的五次方根.
3 负数没有偶次方根；零的n次方根是零.
新知探究
归纳
若xn
a，则x
n
a , 当n为偶数且a
0时；
n a，当n为奇数, a R.
零的n次方根是零.
新知探究
概念
形如 n a ( n N+且n 1)的式子叫做a 的 n 次根式, 其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
a n
1 n a
n N+且n 1
性 质
a 2当n为奇数时，n an
a, a 0 当n为偶数时，n an a a, a 0.
典型例题
（2）25的算术平方根， （ 3 ） 81 的 4 次 算 术 根 ，
巩固练习
填空：
（1）25 的 3 次方根可以表示为
，
其中根指数为 ，被开方数为 ；
巩固练习 1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1) 4 6; (2) 5 73 ; (3) 1 ; (4) 3 52 ; 43
(5) 2 2 ; (6) 3 1 ; (7) 4 a b3 .
a
2．计算：
(1)27
2 3
;
(2)32
3 5
;
(3)
6
1 4
1 2
;
(4)
2
1 4
1 2
(5)
a 0．
明
概念
m
an
1
n am
说 其中 m、n N且n ＞1,
a 0．
明
注： 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义
复习回顾
有理数指数幂的运算性质
1.a m a n a mn ;
2. a m n a mn ;
3. ab m a mbm .
m, n Q.
典型例题
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式