2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质

【典型例题】

[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱

AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP

.

►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,

AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC

.

►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：

①B,C,H,G四点共面；

②平面EF A1∥平面BCHG .

►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：

①EG∥平面BB1D1D；

②平面BDF∥平面B1D1H

.

【变式训练】

1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1

的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.

2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外

一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平

面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH

.

3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱

A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1

相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1

.

4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E

在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝

1,H是B1C1的中点.

(1)求证：E,B,F,D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .

题型2：直线、平面垂直的判断及性质

【典型例题】

[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点.

证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE

.

►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面

P AD ,AB ∥CD ,PD ＝AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF

＝12AB ,PH 为△P AD 中AD 边上的高.

①证明：PH ⊥平面ABCD ； ②证明：EF ⊥平面P AB .

[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB ＝BC ＝BD ＝2,

∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.

(I)求证：EF ⊥平面BCG ； (II)求三棱锥D -BCG 的体积

.

►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝1

2AA 1,D 是棱AA 1的中点. (I)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；

(II)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD ＝DC ＝BC ＝1,AB ＝2,AB ∥DC ,∠BCD ＝90°. ①求证：PC ⊥BC ；

②求点A 到平面PBC 的距离.

【变式训练】

1.如图,四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E

在线段AD 上,且CE ∥AB .

(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A =AB =1,AD =3,CD =2,∠CDA =45°,求四棱锥P -ABCD 的体积.

2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A - BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；

(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.

3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ＝PB ＝AB ＝BC ,∠PBC ＝90°,D 为AC 的中点,AB ⊥PD . (1)求证：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)如果三棱锥P -BCD 的体积为3,求P A .

4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,B 1C 的中点为O ,且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；

(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,BC ＝1,求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高.

☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合

【典型例题】

[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的

平面,下列命题中真命题是(写出序号).

①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；

②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；

③若α∥β,l∥α,则l∥β；

④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.

►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()

A.相交或平行

B.相交或异面

C.平行或异面

D.相交、平行或异面

►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相

等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱

垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为

A1C1,BC的中点.

(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(II)求证：C1F∥平面ABE；

(III)求三棱锥E-ABC的体积

.

►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；

(II)平面BDE⊥平面ABC.

[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四

面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

(I)求四面体ABCD的体积；

(II)证明：四边形EFGH是矩形

.

►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

(I)求证：DE∥平面A1CB；

(II)求证：A1F⊥BE；

(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

【变式训练】

1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：

①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；

②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；

③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

2.(2012·四川)下列命题正确的是()

A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行

C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()

A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α

B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α

C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α

D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α

5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()