高等数学(下)练习题和答案.

高等数学

一、填空 、选择题〔每题3分，共30分〕

1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,那么

D

yd σ=⎰⎰ .

3.假设曲线L 是2

2

1x y +=在第一象限的局部,那么L

xds =⎰

.

4.设(,)ln()2y

f x y x x

=+

,那么(1,0)xx f = . 5.假设级数

1

(2)n

n u

∞

=+∑收敛,那么lim n n u →∞

= .

6.函数3

2

2

(,)42f x y x x xy y =-+-,以下说法正确的选项是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2

2

(,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2

24x y +=顺时针一周,那么

12

L

xdy ydx -=⎰

( ).

(A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9.

累次积分1

(,)y

dy f x y dx ⎰

改变积分次序后等于( ).

(A) 2

1

(,)x x

dx f x y dy ⎰⎰

; (B)

21

(,)x

x

dx f x y dy ⎰

⎰;

(C)

10

(,)x

dx f x y dy ⎰ ;

(D)

21

(,)x dx f x y dy ⎰.

10. 以下各级数中条件收敛的是〔 〕

(A)

1

1

(1)

n n ∞

+=-∑; (B) 1

2

1

1

(1)n n n ∞

+=-∑; (C)

1

1

(1)

1

n n n

n ∞

+=-+∑; (D) 1

1

1

(1)

(1)

n n n n ∞

+=-+∑;

二解答题(6*4)

1.设函数22

ln()y x

z x y e =++,求(1,0)

dz

.

2.设sin ,,2u

z e v u xy v x y ===-,求

,z z x y

∂∂∂∂. 3.

设()xy

z f e y =,求

,z z x y

∂∂∂∂.

4. 设方程sin y z

e

x z e +-=所确定的隐函数),(y x z z =求

(0,1)(0,1)

,

z z x

y

∂∂∂∂.

三 计算题(5*5) 1.

求(2D

dxdy ⎰⎰，其中D 4:2

2≤+y x . 2.求

⎰⎰⎰

Ω

zdv ，其中Ω是曲面22

z x y =+及平面1z =所围成的闭区域. 3.

求

∑

⎰⎰

,其中∑为曲面2

2y x z +=在10≤≤z 之间的局部.

4. 计算曲面积分

⎰⎰∑

zdxdy ，其中∑为曲面22y x z +=

在10≤≤z 之间局部的下侧。

5.求

()()L

x y dx x y dy +--⎰

,其中L 为沿222x y +=顺时针方向一周.

四解答题(5+5+6) 1.判别级数

1

1

(1)3n n

n n

∞

-=-∑是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 2. 求幂级数

1

1

n n nx

∞

-=∑的收敛区间及和函数)(x s ,并求12

n

n n

∞

=∑

3. 将函数1

()f x x

=展成(x -2)的幂级数 五证明题(5)

设函数()f x 连续,证明: 2

11()

()()()1b

x

b

n n a

a

a

dx x y f y dy b x f x dx n ---=--⎰

⎰⎰ 参考答案 一 1.

122211x y z ---==

-. 2.0.[因为积分区域D 关于x 轴对称,被积函数y 是关于y 的奇函数] 3.1. 4.1

4

-. 5.-2. 6.B 7.选(A)或(B)都对. 8. (C)[利用格林公式,注意此题中的方向是顺时针] 9. (B); 10. (A)

二 1. 因为22222221(),)y y

x x

z x y z y e e x x y x y x y x ∂∂=+-=+∂+∂+,那么(1,0)

(1,0)

2,

1z z

x

y

∂∂==∂∂,所以(1,0)

dz

2dx dy =+.

2. 由sin ,,2u

z e v u xy v x y ===-,得sin(2)xy

z e x y =-.于是

sin(2)cos(2),xy xy z

ye x y e x y x

∂=-+-∂. sin(2)2cos(2)xy xy z

xe x y e x y y

∂=---∂.

3.

xy z z u z v z ye x u x v x u ∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂