模糊集理论简介

模糊集理论简介
一、经典数学的基础及其缺陷
19世纪末，德国数学家康托尔（Cantor）建立了集合论,奠定了经典数学的基础。

集合可以表示概念、性质、运算和变换，可以表现判断和推理。

因此，经典数学成为能描述和表现个门学科的语言和系统。

如：圆、关系、函数等；又如：钢笔A与笔。

经典集合论中，一个元素x要么属于集合X，要么不属于集合X，两者必居其一，且仅居其一，不存在模棱两可的中间状态。

这种规定就是所谓的排中律，它使得经典集合只能表现非此即彼的现象。

因此经典数学研究的是确定性的事物。

如苹果B与水果。

集合的定义本身存在一定的缺陷，产生了一些关于集合的悖论，如“罗元素（B.Russell）悖论”（ A={Z|Z Z},即A的元素是一切不以自身为元素的集合）等。

后来经过策梅罗（Clairaut）等数学家的努力，建立了集合论的公理化体系，制定了集合论的应用条件。

但对于一些自然语言中出现的如“年青”、“秃头”、“亚金属”、“植物”、“半导体”等概念，经典集合论则显得无能为力。

二、模糊数学的基础
1. 模糊现象与模糊概念
模糊概念来源于模糊现象，而模糊现象在自然界中客观存在的。

例如，“下雨”是常见的自然现象，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”，各种程度的雨都会经常发生，这种不是以固定不变
的一种或几种程度（或方式）出现，使得人们很难用确定的尺度（或模型）来刻画的现象就是模糊现象。

模糊现象在人的大脑中所形成的概念就是模糊概念，它处处存在。

例如，在日常生活中的厚、薄，快、慢，大、小，长、短，轻、重，高、低，稀、稠，贵、贱，强、弱，软、硬，锐、钝，深、浅，美、丑；白天、黑夜，早晨、中午、傍晚，黎明、黄昏，夕阳，多云、晴天、阴天、雨天，中雨、暴雨、大暴雨等。

在生命科学、经济管理领域中模糊现象也无处不在。

如感冒，胃病，心脏病；高产作物、低产作物；早熟小麦；红壤，黄壤，棕壤；蔬菜，水果；动物，植物，微生物；通货膨胀，经济繁荣，经济萧条，失业；劳动密集型企业；信得过产品，次品；贫困，温饱，小康，富强，富有等，都是模糊概念。

当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求量化、数学化。

当然也迫切要求将模糊概念（或现象）定量化、数学化，这就促使人们必须寻找一种研究和处理模糊概念的数学方法。

2. 模糊划分与模糊推理
人们了解、掌握和处理自然现象时，在大脑中所形成的概念往往是模糊概念，这些概念的类属边界是不清晰的。

由此产生的划分、判断与推理也是具有模糊性。

比如，人们为描述雨下的程度，也可划分为“小雨”、“中雨”和“大雨”。

然而，什么样的雨是“小雨”，什么样的雨是“中雨”，什么样的雨是“大雨”，又很难说清楚，这样的概念（小雨、中雨或大雨）就是模糊概念，这样的划分就是模糊划分，假如今天下雨了，人们会根据雨下的程度定为小雨、中雨或大雨，这就是模糊概念判断，再根据判断的结果猜测今年的收成是“好”、“一般”、还是“坏”，这就是模糊推理。

再如：命题：如果你们将来成了名人，大家一定很高兴的。

这里涉及到模糊推理。

人类的大脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。

人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透着模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能的信息。

由于历史的原因，人们习惯追求精确性或清晰性。

总希望把事物以数字的形式清晰地表达出来，看来这是事物的必然趋势，L.A扎德认为：“一种现象，在能用定量方法表征它之前，不能认为已被彻底地理解，就是现代科学的基本信条之一”。

但是，面对模糊现象，人们使用传统数学会遇到实质性的困难，
早在古希腊时期，人们就讨论过这样一个问题：多少粒种子算着一堆？正因为“一堆”是个模糊概念“因此找不出一个适当界限来判定一些种子是否为一堆。

3. 电脑不能处理模糊现象
计算机的出现是人类大脑延伸的一个飞跃，它能在几秒或几十秒内完成人在几天甚至几年才能完成的计算或其它问题，比如解一个高阶线性方程或证明“四色定理”。

然而在许多问题中，计算机的智力水平还不如一个婴儿，一个两岁婴儿可以准确而迅速地识别出他的母亲，如果计算机来完成这件事，真不如需要提供多少个参数，其结果很可能还是个笑话。

由于人们重视精确、严格和定量的东西，藐视模糊、不严格和定性的东西，因此采用计算机的定量方法在大部分领域内得到了迅速发展。

无疑，计算机在处理机器系统方面已被证实是高度有效的。

例如，要你在某日上午10时到校门口去接一个“胡子高个子长头发戴宽边黑眼镜的中年男人“尽管这里只提供了一个精确信息—男人，而其他信息—大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念。

但是，你将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。

如果年龄与身高，胡子、头发的准确长度与根数，眼镜的边宽厘米数，黑色的程度等一一输入计算机，才可以找到此人了。

由此可见，有时太精确了未必一定是好事。

所谓机器系统是指力学、物理、化学和电磁学所规定的无生命系统。

可惜关于人文系统不能作出相同的结论，这类系统至少到现在为此，与数学的分析和计算机的模似还有一段距离，对于生理学、心理学、文学、法律、政治、社会学和其它与人类判决所及的领域中的基本论题，计算机的应用却没能提供有效的帮助，这一点已得到普遍的承认。

所谓人文系统是指行为受人类的判断、感觉或情感影响的重大系统。

例如，经济系统、管理系统、教育系统、法律系统等。

随着科学的深化，数学的应用对象不得从“物理”进入“事物”，而这恰恰是模糊性最集中的地方，因此人们不得不与模糊现象打交道。

4. 精确性与模糊性的对立引发了模糊集的建立
模糊性在日常生活中随处可见，模糊概念比比皆是。

例如，“高个子”、“多云”、“黄昏”、“四肢无力”、“性能良好”等。

可以说模糊性是绝对的，而清晰性或准确是相对的。

所谓精确性或清晰性是人们对不确定性或模糊性实行的一种分离是具
有重要意义的，它使得人们能方便地对事物进行严格的定量表示，即建立数学模型。

但是随着科学的深化，研究对象越来越复杂化。

复杂的事物有两个突出的特点：一是影响该事物的因素众多，人们又不可能掌握全部因素，只能在有限的一些因素上考察事物，这样一来，本来是清晰的现象也变得模糊了；二是深度延长(难度增大)，这带来了数学模型的复杂化，于是模糊性逐次积累，变得不可忽略。

因此，精确性或清晰性与模糊性的对立是当今科学发展所面临的严格十分突出的矛盾。

Zadeh正是注意到了这个矛盾，总结出一条互克性原理：“随着系统复杂性的增长，我们对其特征性作出精确而有意义的描述能力相应地降低，直到达到一个阀值，一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个互相排斥的特征。

”这就是说，复杂程度越高，模糊性越强，精确化程度便越低；也说明模糊性来源于复杂性。

解决这个矛盾的有效方法之一，就是在“高复杂性”与“高精度”之间架起一座桥梁——模糊集合论。

1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(Zadeh L A)教授在《Informatroin and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,这标志着模糊数学的诞生。

三、模糊集合的朴素思想
“概念”是人们常使用的名词，例如“男人”就是一个概念。

一个概念有其内涵和外延。

所谓内涵是指符合此概念的对象所具有的共同属性；而外延值的是符合此概念的全体对象。

自从有了
“集合”这个名词之后，概念的外延亦解释为：符合此概念的全体对象所构成的集合。

因此，集合可以表现概念（从外延角度）；集合之间还有运算和变换，它们可以表现判断与推理。

现代数学是以集合论为基础的，这意味着现代数学成为描述和表现各门学科的形式语言和系统。

集合论是由德国数学家G.Cantor 于1987年创立的Cantor 创立集合的重要方法之一就是概括原则。

所谓概括原则是指：给一个性质P 的对象，也仅由具有性质P 的对象汇集在一起构成一个集合，用符号表示为
}{()A a P a =
其中A 表示集合；a 表示A 中任何一个对象，称为集合A 的元素；()P a 表示元素a 具有性质P ；{}表示把所有具有性质P 的元素a 汇集成一个集合。

用逻辑的语言，概括原则陈述为 ()(())a a A p a ∀∈⇔
Cantor 的集合论对于数学基础的奠定有重大贡献，但对数学的应用也带来了限制。

事实上，Cantor 要求组成集合的对象是确定的，彼此有区别的；这意味用以构造集合的性质P 必须是界限分明的，亦即要求任何对象要么具有性质P ，要么具有性质P ，因此排中律被满足，按照这一要求，集合所表现的概念（性质或命题），真就是真，假就是假，只有真假二字以供推理，形成一种二值逻辑。

于是，数学对于客观事物便作了一个绝对化的写像，然而，人脑中的概念几乎都是没有明确外延的，例如像“高个子”（性质P ）这样一个概念在Cantor 的意义下能够构成集合。

因此对于任何一个人来说，他是否具有性质P （高个子）是不能明确判定的。

对于论域U 与给定的性质P ，造集的过程主要是人们对元素
u U ∈与性质P 之间的关系的识别过程。

假如对识别过程规定如下准则：
（1）元素u (u U ∈)具有性质P;
而且要求对每个元素u U ∈，这两命题有且仅有一个成立。

这样建立起的集合即是Cantor 。

没有明确外延的概念就是模糊概念。

模糊概念能否硬性地用Cantor 集合来刻画？“秃头悖论”将给出否定答案。

对于秃与不秃，一根头发不能区分“楚河”与汉界“，于是我们承认下列的公设：
公设 若具有n 根头发的人是秃头，则具有1n +根头发的人亦秃头。

基于此公设，可用数学归纳法证明
秃头悖论:任何人都是秃头。

“秃头悖论”启示我们：只容许1（是）与0（否）这两个值的二值逻辑来刻画模糊概念是不够的，必须在1与0之间采用其他中介过渡的逻辑值来表示不同的真确程度。

这就要求改造Cantor 集。

1、文氏图（略）
我们先从直观上来描述这种“中介状态”。

设论域U 。

取具有单位长度的线段。

把U 上模糊集合记为A %。

若元素x 位于A %（圆圈）的内部，记为1；若元素x 位于A %内又部分地在A %外部，记为0,；若元素x 部分地在A %外，则表示隶属的“中介状态”，元素x 位于A %内部的长度则表示了x 对于A %的隶属程度。

为了描述这种“中介状态”，需要将经典集合A 的特征函数()A x χ的值域{}0,1推
广到闭区间[0,1]上。

这样，经典集合的特征函数就扩展为模糊集合的隶属函数。

2、集合构造
对于论域U 与给定的性质P ，造集的过程主要是人们对元素
u U ∈与性质P 之间的关系的识别过程。

假如对识别过程规定如下准则：
（1）元素u (u U ∈)具有性质P;
（3）容许存在这样的中间元素u U ∈，它使得前两个命题各在一定程度上成立。

3、 模糊子集的概念
经典集合可由其特征函数A χ唯一确定，即
定义：设()A X ξ∈具有如下性质的映射:{0,1}A X
χ→称为集合A
的特征函数： ()1,;0,.A x x A x A χ∈⎧=⎨∈⎩ 确定了X 上的经典子集A .()A x χ表明x 对A 的隶属程度，不对仅有两种状态：一个元素x 要么属于A ，要么属于不属于A .它确切地、数量化地描述了“非此即彼”现象，但现实世界中并非如此。

比如，在生物学发展的历史上，曾把所有生物分为动物界与生物界两大类。

牛、羊、鸡、犬划到动物界，这是无疑的。

而有一些生物，如猪笼草、捕蝇草、茅膏草等，一方面能扑食昆虫，分泌液体消化昆虫，像动物一样；另一方面又长有叶片，能进行光合作用，自制养料，像植物一样，并不完全是“动物即植物”因此，不能简单地一刀切。

可见在动物与植物之间存在有“中介状态”。

定义1 设U 是论域，称映射
:[0,1]A U μ→%
, ()[0,1]A x x μ∈%
a 确定了一个U 上的模糊子集A %.映射A μ%称为A %的隶属函数，
()A x μ%称为x 对A %的隶属程度，使()0.5A x μ=%的点x 称为A %的过渡点。

此时该
点最具模糊性。

由定义可以看出，模糊子集A %是由隶属函数A μ%唯一确定性的，以后总是把模糊子集A %与隶属函数A μ%看成是等同的，还应指出，隶属程度的思想是模糊数学的基本思想。

当A μ%的值域为{}0,1时，模糊子集A %就是经典子集，而A μ%就是它的特征函数。

可见经典子集是模糊子集的特殊情形。

四、 模糊数学中的辩证思想
模糊数学是描述模糊系统、研究和处理模糊现象的数学。

恩格斯说：辩证法不知道什么绝对分明和固定不变的界限，不知道什么五条件的“非此即彼“，它使固定的形而上学的差异互相过渡，除了”非此即彼“，又在适当地方承认”亦此亦彼“，并且使对立互为中介”。

1965年查德托广了经典集合论，建立了模糊集合等开创性理论。

所谓模糊集合是：假设论域U 上的一个模糊集A ，对于论域U 中任意一个元素X 都指定了一个[0,1]上的数，这个数叫做X 对于模糊集A 的隶属程度。

可以用隶属函数来刻画元素X 属于模糊集合A 的程度。

例如，以年龄作为论域，[]0,100U =，“老年人” A 是一个模糊集合。

查德给出了一个隶属函数。

经过计算，可用0.5说明55岁的人“老”的程度，同样经过计算，可用0.8说明60岁的人“老的程度”，用0.94说明说明70岁的人老的程度。

因此我们勿需判断这人是不是“老年人”，只需确定他属于“老年人”集合的隶属程度。

如上述举例，数值大的比数值小的人属于“老年人”的程度高，成分大。

模糊数学是一门崭新的学科。

模糊系统理论的内容相当丰富，包括模糊集合论、模糊关系、模糊聚类、模糊规划、模糊数、模糊积分、模糊综合评价、模糊逻辑、模糊控制、模糊决策等等。

科学概念和理论，都是现实世界某一侧面或某一层次本质和规律的反映，而现实中又充满着辩证思想，因此，科学的概念和理论也必然在本质上是辩证的。

这种辩证关系主要表现在如下五个方面。

1、精确与模糊性
模糊数学的诞生，没有否定数学本身，也没有否定数学思维的严密性和精确性；相反，它加深了人们对数学思想的辩证运动的理解，具有重要的认识意义。

首先，它说明了精确性与模糊性的对立统一。

精确性与模糊性是相互对应、相互排斥，又是相互联系、相互渗透，并在一定的条件下互相转化。

精确性是相对于一定的精确度而言，超过了这一精确度，就带有模糊性，所以精确与模糊互为前提，具有相对性。

比如说物体的长度，当然应该说是精确的；然而，任何测量仪都不可能做到绝对精确，都有一定的误差，有一定的模糊性，相反，对复杂系统进行模糊描述和控制，往往能达到精确的目的。

如判断对面走过来的人是谁，我们可以根据这个人的高矮、体型、面型、走路姿势等等信息，与人脑记忆的信息对照，很快就能做出正确的判断。

所以精确性中包括模糊性，模糊性中又包含着精确性，精确和模糊是辩证的统一的。

通常意义下客观事物的精确与模糊的描述，都具有精确、模糊两重性。

2、特殊性与一般
模糊数学是把数学从描述明晰的量托广到描述模糊的量。

普通集合与模糊集合之间的关系，可由特征函数与隶属函数之间的关系刻画。

当然隶属函数的值域取[0,1]闭区间的两端点，即取{}
0,1时，隶属函数便退化为特征函数，模糊子集也就退化成一个普通集合，普通集合是模糊集合的特征情形，而模糊集合是普通集合的拓广、一般情形。

又如：分解定理与扩张原则，它们是模糊数学的理论支柱。

分解定理是联系模糊数学与传统数学的纽带。

模糊集合问题，都可以通过取人截集而化成普通集合的问题，而扩张原则能把普通集合论的方法扩张到模糊数学里去。

因此从概念上来说，模糊数学是经典数学的推广和发展，而模糊数学与经典数学有着难解难分的紧密联系，具有特殊与一般的辩证关系。

3、非此即彼与亦此亦彼
模糊数学打破形而上学的束缚，认识到对立事物的“非此即彼”的精确性形态，又认识到对立事物的“亦此亦彼”的过渡性形态的必然发展。

在普通集合中，元素X对集合A的集合关系，要么属于，要么不属于，绝对不能模棱两可。

它承认对立事物中的“非此即彼”，反映对立事物的相对稳定性，具有明确
质的差异和界限的明确性。

然而辩证唯物主义在承认对立事物具有的差异和界限的明确性同时，也承认对立事物的相互联系、相互渗透，它们之间没有一条绝对分明和固定不变的界限。

这说明对立事物之间还具有“亦此亦彼”的模糊性的一面。

因为客观事物内部的矛盾双方，即对立又统一，是变化发展的，需要经过“中间环节”的过渡阶段，最后才互相转化。

所以一个元素X可以按照一定的隶属程度属于集合A，用介于0和1之间的实数来表示隶属程度。

拿“老年人”这个模糊概念来说，40岁肯定不算老年人，它的隶属度为0.55岁的人属于“老”的程度为0.5,60岁属于“老”的程度为0.8,70岁的人属于“老”的程度为0.94，这说明“中年人”与“老年人”两个概念是相互联系的，其间没有一条绝对分明和固定不变的界限，它们之间有一个变化发展的过程。

模糊集合正反映了者一过程。

4、客观性与抽象性
模糊数学如同绝对数学一样，是对客观世界抽象思维的结果。

客观实际中有各种事物，存在不同的相互联系，这种联系有时很难用“有”或“没有”简单衡量，必须考虑这种联系的程度，模糊数学理论就把它抽象成模糊关系，模糊关系也要建立隶属函数。

例如考虑苹果与梨的相似关系，这就是模糊关系，它可以说既有些地方相似，但又不完全相似。

若求出它的相似隶属度0.6，说明苹果与梨相似程度不大。

又如健康人的身高与体重的关系，也是模糊关系。

模糊关系就是一种客观事物的抽象，它用模糊关系这一种数学模型来描写事物之间的联系。

后来又现象地提出用模糊矩阵及一系列运算来描述模糊关系，进而又引进模糊图。

正如恩格斯所说：“自然界对于这一切相像的数量都提供了原型”。

因此，模糊数学理论，它既是抽象思维的产物，又具有客观实在性，本质而言是辩证的。

5、划分性与综合性
客观世界中千差万别的事物全混在一起，如果没有划分，没有聚类，就不能认识世界，便没有判断和思维。

实践中所遇到的
划分，有硬划分也有软划分。

多数是属于软划分，也就是模糊划分。

研究和处理模糊划分、分类，人们就提出了模糊聚类分析理论。

模糊聚类分析，首先是在被分类的全体对象上，确定相似关系，进而获得相似矩阵；其次聚类。

相似关系是一种模糊关系，取其传递闭包，得一模糊等价关系，在任意水平面λ上，对它进行截割、聚类。

模糊集合的任何λ截集都是普通集合。

分类首先要确定λ，然后按不同的λ，也就是按不同的水平来进行划分、截割、聚类。

另外，在模糊首先理论里，模糊识别也可以看成一种划分、分类，不过是一种有模式是分类。

臂如在气象系统里，曾有人在进行气象预报时，将历史上的天气样本，先进行聚类分析，把它分成若干类，得到若干天气模式，然后再将待报的天气，进行模式识别、分类，若分到天晴那一类，就预报天晴。

显然，这实际是聚类分析与识别的综合应用过程。

当前，学科之间相互渗透是一个很大特点。

学科渗透就是一个学科领域中的思想、原理、方法，应用或移植到另一个科学领域去，综合渗透学科双方的某些属性，特别是一些优点，获得新的发现或新的领域。

模糊规划、模糊决策、模糊计划管理方法（FPERT）等就是将模糊思想、理论、引进规划论、决策科学、PERT 中，创造性地综合双方理论、方法，得到的一种能有效解决各种模糊性问题的新理论。

从某种意义上说，模糊数学理论正是充分运用了划分与综合等辩证法，才获得今天的蓬勃发展。

总之，模糊数学运用数学的精确方法。

深入研究现实世界中过去一直未被经典数学和随机数学处理过的“亦此亦彼”的模糊事物和模糊现象，一探索它们的数量规律，达到理论认识的数值化和明晰化，使模糊转化为精确。

模糊数学把现实世界中的明晰性事物与模糊事物沟通起来，体现了人们从数量方面认识事物的精确性和模糊性等方面的辩证。

五、模糊数学应用
在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类：确定性与不确定性的。

而不确定性又可分为随
机性和模糊性。

我们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量：
量
——
——
——.⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
确定性经典数学，
随机性随机数学，不确定性
模糊性模糊数学
在这种框架内，数学模型可以分为三大类。

第一类是确定性数学模型。

这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具有必然的关系。

最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型。

第二类是随机性数学模型。

这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具有偶然性的关系。

如用概率分布方法、马氏链所建立的数学模型。

第三类模糊性数学模型。

这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性。

这就是本书所要讨论的模型。

模糊数学从诞生至今，已经40多年了。

早在1978年，国际上第一本以模糊数学为主题的学术刊物《Fuzzy Sets and Systems》在荷兰创刊了。

模糊数学自1976年传人我国后，在我国得到了迅速发展。

1980年成立了中国模糊数学与模糊系统学会，1981年创办了《模糊数学》（武汉，华中理工大学等）杂志，1987年创办了《模糊系统与数学》（长沙，国防科技大学）杂志。

我国已经成为模糊数学研究的四大中心（美国、西欧、日本、中国）之一。

北京师范大学汪培庄、四川大学刘应明、陕西师范大学王国俊等教授对模糊数学研究取得了显著成绩。

模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济各个领域及部门。

农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用。

比如，在生物学发展史上，由于科学技术的不断进步，人们发现在动物与植物之间也存在着“中介状态”，于是又分出一类微生物。

即使分成三类后，又发现还存在有“中介状态”，于是又有人主张将生物分为五类、六类。

这一现象用模糊集合就可得到合理的解释。

在耕作土壤的分类中，红壤、黄壤、棕壤之间的。