模糊数学原理及其应用

绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强，逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。

模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。

这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。

而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。

清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。

模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。

实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。

传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。

但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。

如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。

根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。

这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。

类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。

它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。

客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。

模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。

模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。

如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1,那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。

这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。

现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。

各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。

自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。

随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。

模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。

研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑,,等众多的分枝。

和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。

自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。

如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25 C时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。

而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。

模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。

它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。

虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。

我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。

但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。

需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。

第二章模式识别§2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。

如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。

这样的问题就是模式识别。

一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。

但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。

模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设％，…，X n分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象X就对应一个向量（X「X2,…,X n），这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。

第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域U X n）:的模糊集，X i是识别对象的第i个特征。

第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。

常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。

二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。

最大隶属度原则：设/\,上2 A n F（U）是n个标准类型，X。

• U，若A(x°) — max： A k(x。

)仁k 乞n则认为X。

相对隶属于A所代表的类型。

例1通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型：通货稳定；轻度通货膨胀冲度通货膨胀；重度通货膨胀；恶性通货膨胀•以上五个类型依次用R （非负实数域,下同）上的模糊集AA,人，人，人表示,其隶属函数分别为:[1,A (x)=x -5 2.exp[—[ 3 ]],X -10、2、A2(x) = exp(-(5））x - 20 、A3(x) -exp(-(7))x —'30AJx) -exp(-())9r -.x -50.2.A(x)二expk( 15 )),其中对x _0,表示物价上涨x%。

问x二8,40时，分别相对隶属于哪种类型？解A(8) =0.3 6 7 9^(8) =0.8521A3 (8) = 0.0529，A4(8) = 0.0032A s(8) =0.0000A (40) = 0.0000，A (40) = 0.0000A (40) = 0.0003，A (40) = 0.1299A s(40) =0.6412由最大隶属原则，x = 8应相对隶属于A，即当物价上涨8%时，应视为轻度通货膨胀；x = 40 ,应相对隶属于A，即当物价上涨40%时，应视为恶性通货膨胀。

三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象X o 关于模糊集A I ,A 2 A n 中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合人，A2…代对元素X 不能识别；其二是有时待识别对象X 关于模糊集!\,愿 A 中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小X的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。

阈值原则：A,A 2…A n • F(U)是n 个标准类型，X 。

• U,d • (0,1］为一阈 值(置信水平)令：.=max' A k (X 0) 1 _ k _ n若::：:d 则不能识别，应查找原因另作分析。

若血d 且有A,X o )启d ， A 2(X O )王d , A m (X o )王d则判决X o 相对地属 于 A 1 A 2 Am例2 三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形I ,直角三角形R ,正三角形E ,非典型三角形T ,这四个标准类型,取定论域X=(x x = (A,B,C),A + B+C=180,AMBZC }这里A,B,C 是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的 隶属函数为：1 l(x)=1 [(A-B) (B-C)] 60 1 R(x) =1 ——A —90 90T(x^ —min[ 3(A — B),3(B —C), A —C,21 A —90 ] 180现给定，X O =(A, B, C)二(85, 50, 45)， x °对上述四个标准类型的隶属度 为：I(x 0) =0.916 R(x 0) =0.94 E(x 0) =0.7 T(x 0) =0.06由于X o 关于I , R 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取d = 0.8 ,因 I (x 0) =0.916 一 0.8 , R(x 0) =0.94 一 0.8 ,按阈值原则，x 0相对属于 I n R ,即X o 可识别为等腰直角三角形。

E(x)180(A-C)例3 癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞(M ),重度核异质细胞(N)，轻度核异质细胞(R)，正常细胞(T)。

选取表征细胞状况的七个特征：x-i :核面积，x 2 :核周长， x 2 :细胞面积, x 4 :细胞周长,x 5 :核内总光密度,x 6 :核内平均光密度,x 7 :核内平均透光率.根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是X = ：x: X =(%山2,…，x 7)[上的模糊集：B a 2A:核增大 A(x) = (1 L )」X i B :核染色增深，B(x) = (1 • 亠X 5C :核桨比例置,C(x) = (1」 E (x )=【1 2 5 r(X 2 一4二)2X 1 6 2 X 4 2 (亠 -4二)2X 3 上述《 …，飞是适当选取的常数细胞识别中的几个标准类型分别定义为：M =[A B C (D E)] FN 二 A B C M cR =A 2 B 2 C 2 M c N cT=M c N c R c111 1上述定义中的模糊集A 2的隶属函数为 A 2 (x)二(A(x))'。