教案_模糊数学概述

模糊数学概述

任何事物都具有质和量两个侧面。在分析和解决问题时，我们既可以考察对象的性质、属性等质的方面，也可以对对象的数量关系与空间位置进行分析。数学就是研究现实世界中量的关系和空间形式的学科。

现实世界中，客观现象在质的表现上具有确定性和不确定性，而不确定性又分为随机性和模糊性。这种属性反映在量的方面，自然导致研究量的数学学科要按照如下三种划分来分别刻画客观现象：

⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧模糊数学研究的领域—模糊性的量随机数学研究的领域

—随机性的量不确定性的量精确数学研究的领域—确定性的量量

因而，与精确数学和随机数学一样，模糊数学创立并发展为一门独立的数学学科，也是科学技术发展和社会实践需求的历史必然。

模糊数学是从量上来研究和处理模糊现象的一个数学分支，它以“模糊集合论”为基础。模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述模糊信息的有力工具，其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域。

由于模糊性数学发展的主流在于它的应用，因此人们也常称之为“模糊系统理论”、“模糊集与系统理论”或“模糊理论”。

1．模糊数学的产生

现代数学是建立在集合论基础之上的。集合论的重要意义就在于它能将数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处：用集合来描述概念，用集合的关系和运算表达判断和推理，从而将一切现实的理论系统都纳入集合描述的数学框架中。毫无疑问，以经典集合论为基础的精确数学和随机数学在描述自然界多种客观现象的内在规律中，获得了显著的效果。

但是，和随机现象一样，在自然界和人们的日常生活中普遍存在着大量的模糊现象，如多云，阴天，小雨，大雨，贫困，温饱等。由于经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的现象和概念上，它要求元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可，因而对于那些经典集合无法反映的外延不分明的概念，以前人们都是尽量回避它们。

然而，随着现代科技的发展，我们所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现；此外人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向，也把模糊性的数学处理问题推向中心地位；更重要的是，计算机科学、控制理论、系统科学的迅速发展，要求电脑要像人脑那样具备模糊逻辑思维和形象思维的功能。凡此种种，迫使人们再也无法回避模糊性，必须寻求途径去描述和处理客观现象中非清晰、非绝

对化的一面。

1965年，美国控制论专家扎德Zadeh(Lotfi A. Zadeh)教授在《Information and Control》杂志上发表了题为“Fuzzy Sets”的论文，提出用“隶属函数”来描述现象差异的中间过渡，从而突破了经典集合论中属于或不属于的绝对关系。Zadeh教授这一开创性的工作，标志着数学的一个新分支——模糊数学的诞生。

2．模糊性与模糊概念

概念总是在对比中形成的。概念的形成实际上就是一个划分过程，而划分是一种最简单、最基本的差异判决过程，测量则是一种特殊形式的划分。比如，人的性别是一种客观差异，由它产生男人和女人的划分，形成“男”、“女”这样确切的概念。再如，水到0°C以下要结冰，像这样具有突变性质的差异具有严格的界限，从而造就出确定的划分，形成确切的概念和度量。但是，“好”与“不好”、“健康”与“不健康”之间的差异则找不到严格的界限，无法形成确定的划分。从差异的一方到差异的另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡的过程。这种性质称为差异的中介过渡性，由中介过渡性造成的划分上的不确定性称为模糊性[1]。

所谓模糊对象就是没有严格的界限划分而很难用精确的尺度来刻画的现象，而反映模糊现象的种种概念就称为模糊概念[2]。因此，模糊现象就是具有模糊性的客观现象，模糊概念就是具有模糊性的概念。

3．模糊数学的基本思想

集合是概念外延的体现。经典集合论中元素对集合隶属关系的确定性，表现的是划分的确定性，反映了确切概念那种“非此即彼”的排中现象，或者说反映了确切概念外延的清晰现象。但是，模糊概念的“亦此亦彼”现象，或者说模糊概念外延的不清晰现象，是由客观差异的中介过渡性造成的，表现为无法确切地划分。因而，用集合描述模糊概念时，不能指明哪些元素一定属于它，哪些元素一定不属于它。于是Zadeh 提出，可用一个“模糊集合”A描述某个模糊概念，无需鉴别谁是或者谁不是它的成员，只需对每个元素x确定一个数A(x)，用这个数来表示元素x对集合A的隶属程度，用隶属度来刻画处于中介过渡的事物对差异一方所具有的倾向性，从“亦此亦彼”中提取“非此即彼”的信息。

因此，模糊数学的基本思想就是：用精确的数学手段对现实世界中大量存在的模糊概念和模糊现象进行描述、建模，以达到对其进行恰当处理的目的。

需要注意的是：模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，Zadeh 的功绩在于用模糊集合的理论将模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。

因此，①模糊数学不是“模模糊糊”的，是非常严密的；②此外，也不是什么对象都要用模糊数学去讨论。

4．模糊数学的主要研究内容

模糊数学处理的对象是那些难以用经典数学方法处理的模糊现象。

西瓜因大小不同而价格不等，但大瓜与小瓜并无天然的界限。人为地规定6斤以上者为大瓜，其余的为小瓜，便有了区分大小瓜的精确判据。对于模糊性较弱的事物，或简单的问题，这样的处理是许可的、方便的。但人为地划定界限毕竟是对本来相互联系着的事物之性质的一种歪曲，特别是在分界线附近，这种描述的失真性更明显。当研究的对象相当复杂时，这种处理方法便不适用了。例如，海关得到消息：凌晨将有一名走私者入境，男性，中年，微胖，矮个，黑皮肤，走路左右摇晃。除了男性这一点，其他特征均为模糊特征。当然，一名训练有素的侦察员，依照这些模糊特征凭经验把走私者从众多旅客中识别出来，并不很困难。但如果采用精确的数学方法建立模型，情形将会如何？但模糊数学则可为解决此类问题提供自然而有效的方法。

模糊数学的研究内容主要有三方面。

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

Zadeh以经典的集合论为基础，对数学的集合概念进行修改和推广。他提出以“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型，并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规则，开展有关的理论研究。由此思想出发，形成了研究现实世界中大量模糊现象的数学基础，并进而对看起来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理。

模糊理论的研究主要集中于经典数学概念的模糊化。由于模糊集自身的层次结构，使得这种理论研究更加复杂，当然也因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊图论、模糊测度、模糊概率、模糊计算机等分支。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。

人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成适当的数学模型，才能给计算机输入指令，这是运用数学方法的关键。Zadeh采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

目前，模糊语言学和模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。

第三，模糊系统理论的应用。

模糊理论是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，Zadeh的功绩在于用模糊集合的理论将模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。

模糊理论的应用研究主要是对模糊性的内在规律进行探讨，体现在对模糊逻辑及模糊信息处理技术进