1.3条件概率

设事件 B 为“任取一件为次品”,
事件 Ai 为"任取一件为i 厂的产品", i 1, 2,3.
A1 A2 A3 ,
Ai Aj , i, j 1,2,3.
30%
2%
1% 20%
1%
50%

由全概率公式得
P( B) P( A1 )P( B A1 ) P( A2 )P( B A2 ) P( A3 )P( B A3 ).
S B1 B2 Bn AB2
ABn )
对任何事件 A 有
A AS AB1 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | Bn ) P( Bn )
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1 个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球, 求取得红球的概率.
1
2
3
四、贝叶斯公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有 1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装 有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出 一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
解 :由P( A B) P( B) P( AB)
P( AB) P( B) P( A B) 0.1
P( AB) 1 从而P( B | A) P( A) 7
5、概率 P(A|B)与P(AB)的区别与 联系
联系：事件A，B都发生了
区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，
后抽比先抽的确实吃亏吗？
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P( A1 ) 0.3, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.2, P(B A1 ) 0.02, P(B A2 ) 0.01, P(B A3 ) 0.01,
故 P( B) P( A1 )P( B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( A3 )P(B A3 )
B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S
因而有
。
P( A B) P( AB)
生活中的概率问题
据说有个人很怕坐飞机．说是飞机上有恐怖分子 放炸弹．他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能 性是百万分之一．百万分之一虽然很小，但还没小到 可以忽略不计的程度，所以他从来不坐飞机．可是有 一天有人在机场看见他，感到很奇怪．就问他，你不 是说飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机 上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，但每架飞机上 同时有两棵炸弹的可能性只有百万的平方分之一，也 就是说只有万亿分之一．这已经小到可以忽略不计 了．
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
考题
1.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=________ 2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6, P( A B) 0.5
则P( B | A)
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说，
抽签不必争先恐后.
三、全概率公式
如何将一个复杂概率计算问题分解为 简单计算问题之和? 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A1为“第一次取到一等品”，事件A2为“第二次取 到一 等品”，求概率P(A2)。
P ( B)
(2)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
n
P( A) P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
A
B1
Bn1
B3
Bn
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件 A的发生有各种可能的原因 ，如果 A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(A|B)= 1/3.
容易看到wenku.baidu.com
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
通常要求 则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个 P(分划 Bi ) 0, i 1, 2, , n
将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1
B2 Bn S
B1
B2 B4
上计算然后求和
B3
A
Bn
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
P Bi A P Bi A i 1 i 1

4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
掷骰子
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2 点}， B={掷出偶数点}
P(A|B）=
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
第三节 条件概率与乘法公式
条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 小结
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
定理(贝叶斯公式)
设 A1 , A2 ,, An 为一个完备事件组 ,
P( Ai ) 0 , i 1,, n , 对任一事件 B,若 P( B) 0 ,有
故
P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
2、推广
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
P ABC P C | AB P B | AP A.
一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
A1
A1
A2
S
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
1
A1
2
3
A2
B
A3
S
设 S 为样本空间，若事件 B1, B2, , Bn 满足： B1, B2, , Bn 两两不相容，即 Bi Bj (i j, i, j 1, 2, , n)
?
1红 4白
1
2
3
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红 4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B)
1
3
2
3
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
即“事件B已发生”相当给了我们一个“情报”，使 我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P | A 具备概率定义的三个条 件:
1 非负性 : 对于任意的事件 B , P B | A 0 ; 2 规范性 : P S | A 1 ; 3 可列可加性 : 设 B1 , B2 ,是两两互斥事件 , 则有
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
1 3
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点}
应用 定义
P ( AB) 3 36 1 解法1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2 P ( A | B) 6 2
P A1 A2 An P A1 P A2 | A1 P( A3 | A1 A2 )
P An | A1 A2 An1
例 抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
在B发生后的缩减样本 空间中计算
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
(1)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
AB A
S
若事件B已发生, 则为使 A也 发生 , 试验结果必须是既在 B 中又 在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等品}， B={取到正品}
则
P(A )=3/10，
3 3 10 P ( AB) P(A|B) 7 7 10 P ( B)
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
朋友说这数字没错，但两棵炸弹与你坐不坐飞机 有什么关系？他很得意的说：当然有关系 啦．不是说同时有两棵炸弹的可能性很小吗， 我现在自带一颗．如果飞机上另外再有一颗炸 弹的话，这架飞机上就同时有两棵炸弹．而我 们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地 去坐飞机．
二、 乘法公式
1、定义 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)