数列中分奇偶数项求和问题例题20170313

数列中分奇偶数项求和问题例题20170313

一、相邻两项符号相异；

例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N

解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =

-=-2n n n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=

-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n

解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++…

12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…

②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…

13222n n -+=+=

三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）

∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列

当n 为奇数时：11(1)22

n n a n +=+-•= 当n 为偶数时：4(1)222

n n a n =+-•=+ 即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦

∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…

②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n +=+++++⋅=+…

四、相间两项之比为常数；

例4：已知a n ，a n+1为方程21()03

n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。 解：依题意：11()3n n n a a +•= ∴213n n a a += 其中1212,6

a a ==。 ∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列

∴①n 为偶数时：11222211111()()()36323n n n n a a --=== ②n 为奇数时：11122112()2()33

n n n a +--== 则有：12212()21()311()2()23

{n

n n n k k N a n k k N -++=-∈==∈ 而C n =a n +a n+1

∴①n 为奇数时，n+1为偶数：11122211111312()()()32363n

n n n n n C a a -+-+=+=+=

则：

1352113163113n n C C C C -++++=-（1-）… ②n 为偶数时，n+1为奇数：222

111151()2()()23323n n n n n n C a a +=+=+= 则：

于是：

24625163113n n C C C C ++++=-（1-）… 21234212...11(1)(1)1359133..(1)1166231133n n n

n n n

S c c c c c c -=++++++-

-=+=---