基本不等式教师版

2016-2017普集高中10月月考卷3

考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师

一、选择题

1．下列函数中，最小值是2的是（ ）

A ．1

y x

x =+ B ．2y =

C ．

y =

D ．3log log 3

(0,1)x y x x x =+>≠

【答案】B 【解析】

试题分析：A ．对于函数1

y x x

=+，当0

111

111

22

22

22

2≥++

+=+++=

++=

x x x x x x y ，当且仅当

1

112

2+=

+x x ，即0=x 时等号成立，故其最小值为2；C ．对于函数

y =42

+x 和

4

12

+x 不能相等，故有2>y ，故排除C ；

D ．对于函数3log log 3

(0,1)x y x x x =+>≠，当10<

的最小值等于2，排除D.故选B ． 考点：基本不等式.

2．函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线

()100,0mx ny m n +-=>>上，则

14

m n

+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25

【答案】D 【解析】

试题分析：因为函数()1

3x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又

因

为

点

P

在直线

10

mx ny +-=上

，

所

以

41m n +=，

()141444

417n m m n m n m n m n ⎛⎫

∴

+=++=++

⎪⎝⎭

1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D.

考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（ ） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】

试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以4

3=mn ，而182=≥+mn n m ，

故选D.

考点：基本不等式 4．若直线

1x y

a b

+=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】

试题分析：∵直线

1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴11

1=+b

a ．则

()11a b a b a b ⎛⎫

+=++ ⎪⎝⎭

224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等

号．故答案为：C ． 考点：基本不等式.

5．已知0a >，0b >.3a 与3b

的等比中项，则

11

a b

+的最小值为（ ）

A ．8

B ．4

C ．1

D ．2 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意

2

33a b ⋅=，所以

1a b +=，则

1111()()2a b

a b a b a b b a

+=++=++24≥+=（当且仅当a b =时等号成立），即最小值为4．故选B ． 考点：基本不等式．

【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把

11a b +变为11

()()a b a b

++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意． 6．已知1>x ，则函数1

1

)(-+=x x x f 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，因为

1>x ，所以10x ->，则

11

)(-+

=x x x f 1(1)11x x =-++-13≥=，当且仅当111

x x -=-时，即2x =时等号的是成立的，故选C ． 考点：基本不等式的应用．

7．若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】

试题分析：∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴

331

1555x y xy y x

+=+=，∴

()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

131231355555x y y x =++≥+=，当且仅当

12355x y y x =即1

2

x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ． 考点：基本不等式的应用．

8．已知0,0a b >>且21a b +=，若不等式21

m a b

+≥恒成立，则m 的最大值等于（ ）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7 【答案】B 【解析】

试题分析：

212122()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=,当且仅当22b a a b =

，即13a b ==时等号成立，所以21a b +的最小值为9，又因为21

m a b

+≥恒成立，所以9m ≤，即m 的最大值为9，故选B. 考点：基本不等式.

【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，中档题；就用基本不等式求最值时要保证所用的两个数均为正数、和或积为定值、且两个数相等，才能取到最大值或最小值，三者缺一不可，在求最值过程中，有时还需要配凑系数或进行适当变形，如本题中的变形

212122()(2)5b a

a b a b a b a b

+=++=++

. 9．设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为 A.2

2 B.22+1 C.22+2 D.22+3

【答案】D 【解析】 试

题

分

析

：