基本不等式教师版
基本不等式的比较几大题型(教师版)
基本不等式的比较几大题型(教师版)基本不等式是数学中的重要概念，它帮助我们比较数字大小关系并解决实际问题。
在这份文档中，我们将介绍基本不等式的比较几大题型，帮助教师更好地教授这一知识点。
1. 常见的不等式类型在教学中，我们常见到以下几种类型的不等式：- 单变量一次不等式：类似于 $ax + b < 0$ 或 $cx + d > 0$ 的形式。
- 单变量二次不等式：类似于 $ax^2 + bx + c < 0$ 或 $dx^2 + ex + f > 0$ 的形式。
- 双变量不等式：例如 $ax + by < c$ 或 $dx + ey > f$ 的形式。
针对每种类型的不等式，我们可以采用不同的解题方法和策略，下面将介绍其中的一些重点。
2. 单变量一次不等式的解法对于单变量一次不等式，我们可以通过以下步骤来解题：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
通过这种方法，我们可以清晰地展示单变量一次不等式的解题过程，并帮助学生理解不等式的含义。
3. 单变量二次不等式的解法单变量二次不等式的解法也可以采用类似的步骤：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
单变量二次不等式相对于一次不等式来说更加复杂，因此需要更多的练和理解。
4. 双变量不等式的解法对于双变量不等式，我们需要利用平面直角坐标系的图形来解题。
通过绘制不等式的图形，我们可以找到满足条件的区域。
常见的解题方法包括：- 绘制不等式的边界线，确定边界线上的点是否满足不等式。
5.含参不等式及基本不等式(教师版) WPS文字 文档
参数不等式与基本不等式学习目标：① 含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式； ②不等式的解集与方程的根相关； ③基本不等式及其应用一、基础知识1、含参不等式20ax bx c ++≥需讨论二次项系数正负或零以及两根的大小； 2、含参分式不等式先将其转化为整式不等式；3、基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤ 4、利用重要不等式求函数最值时，谨记：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针5、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题（有解问题 ）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立, 则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立, 则等价于在区间D 上的()min f x B <.如3). 恰成立问题不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价()A x f >的解集为D ； 不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价()B x f <的解集为D .二、题型归类（一）含字母参数一元二次不等式的问题1. 当0a <时，不等式22420x ax a +-≤的解集是____________2. 已知不等式210ax bx ++≥的解集为{51}x x -≤≤，则2a b +=____________ 3. 实数k 在什么范围内取值时，不等式220kx kx -+>的解集是实数集R ？解集会不会是空集？4. 若不等式组()22201ax x x x a x ⎧--≤⎨-≥-⎩的解集为R ,求a 的取值范围是____________5.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
第六章第3讲基本不等式(教师)
第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a>0且b>0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。
基本不等式实战方法大全--教师版
基本不等式【知识梳理】12a b+≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥.(2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.(3)其中2a b +称为正数a ，b 称为正数a ，b 的几何平均数.2、几个重要的不等式（1）222222a b a b ab ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（2）2(2a b a b ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（3）222()22a b a b ++≤.（4）熟悉一个重要的不等式链：211a b +2a b +≤≤≤222b a +总结：基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，所以在学习过程中要感悟配凑技巧。
拓展：若+∈R c b a ,,，3a b c ++≥c b a ==时等号成立；【典例分析】技巧1：直接法例1、已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为________。
【答案】3【解析】因为x >0，y>0，所以34x y +≥(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于1≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3.例2、已知+∈R y x ,若16=xy ，求11x y+的最小值.并求y x 、的值【答案】12【解析】1112x y +≥==，当且仅当4==y x 时等号成立例3、若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是．【答案】-2当1a b ==-时取等号。
例4、若实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为__________．【答案】由题意可知可以利用基本不等式，12a b =+≥=，当且仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩技巧2：“添项”配凑法例1、已知函数1(0)y x x x =+>，求y 的最小值.【答案】2例2、已知函数3(2)2y x x x =+>-，求y 的最小值.【答案】2例3、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一秋-03-不等式的性质与基本不等式-教师版
知识点一、不等式的性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A ．120km/h v ≤且10m d ≥B ．120km/h v ≤或10m d ≥第3讲 不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C ．120km/h v ≤且10m d >D ．120km/h v <或10m d >【难度】★ 【答案】A【解析】由速度v 的最大值为120km/h ，故120km/h v ≤，由车间距d 不得小于10m ，故10m d ≥，即有120km/h v ≤且10m d ≥.【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★ 【答案】D题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★ 【答案】C【例2】下列说法正确的是（ ）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★ 【答案】D【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★ 【答案】D【解析】选项A ，若0,0a b <>，则结论错误，故选项A 错误； 选项B ，根据糖水不等式可知，10,1b ba b a a+>>>+，故选项B 错误； 选项C ，当0c =时，220ac bc ==，故选项C 错误；选项D ，22,ac bc >可知20c >，a b ∴>，故选项D 正确.【例4】 若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①④⑥【解析】因为0a b <<，则0a b −>−>，所以()()22a b −>−，即22a b >，故①正确； 由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确； 由()()()11a a b ba b a a b a a b a −−−==−−−，因为0,0a b a −<<，所以()0a b a −>，又因为0b <，所以110a b a −<−，即11a b a<−，故⑤错误； 由0a b <<可得，a b b >=−，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”） 【难度】★ 【答案】<【解析】()(22a b b −−=，因为0a b >>，所以20abb b >，所以()20a b −−<，()2a b <−，0>，0a b −【例2】在下列空格上填适当的不等号： （1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −； （2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c bc．【难度】★【答案】 > > <【解析】（1）由于x y ≠，故()()()20y x y x x x y y −−=−−>，即()()y x x x y y −>−，（2）由于0a b <<，则1>ab，又0c >，a b c c <，【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★ 【答案】()()22cca cb d >−−【详解】0c d <<，0c d ∴−>−>，又0a b >>，∴0a c b d −>−>，∴()()22a cb d −>−，∴()()2211a cb d <−−，又∵0c <，∴()()22cca cb d >−−.题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【解析】23(1)(1)1x x x x −++=−，23(1)(1)1x x x x +−+=+，因为()331120x x +−−=>，所以3311x x +>−，即22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+>−++.【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【解析】()()()()()()()32221111121a a a a a a a a a a a +−+=+−+−+=+−+()()211a a =+−，因为1a ≥−，所以10a +≥，又()210a −≥，所以()()()()2321110a a a a a +−+=+−≥，所以321a a a +≥+.【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【解析】因为0a b >>，0x >，所以0a x b x +>+>，所以1b xa x+<+； 又()()()()()ab bx ab ax x b a b b x a a x a a x a a x +−+−+−==+++， 因为0a b >>，0x >，所以()0x b a −<，()0a a x +>， 所以()()0x b a b b x a a x a a x −+−=<++，即b b xa a x +<+ 综上，1b b xa a x+<<+.【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【详解】依题意，,a b R +∈， 当a b =时，a b b a a b a b =；当ab 时，a ba b b a a b a a b b −⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >−>，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<−<，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件． 【难度】★★【解析】由题意可知：()()()()23322a b ab ba a b a b +−+=+−，因为0,0a b >>，则0a b +>，且()20a b −≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以()()()()233220a b ab ba a b a b +−+=+−≥，即3322a b ab ba +≥+，等号成立的条件为a b =.【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>−−. 【难度】★★【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><， 则0a c b c −>−>，则()()0a c b c −−>，则10()()a cbc >−−，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅−>⋅−>−−−−，则110b c a c>>−−，又0c < 则c c a c b c>−−.命题得证.【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−； （2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【难度】★★【解析】证明：（1）因为0c d <<，所以0c d −>−>． 又0a b >>．所以0a c b d −>−>，所以110a c b d<<−−． 又因为0b a <<，所以b a ac bd <−−． （2）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+， 即ad bc ≤，0bc ad −≥ 因为0bc ad −≥成立，所以a b c db d++≤成立．题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】()2,8−【详解】因为13a <<，24b −<<，所以226a <<，42b −<−<，故228a b −<−<.【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【难度】★★ 【答案】ABC【解析】设()()()()2a b m a b n a b m n a n m b −=−++=++−，则21m n n m +=⎧⎨−=−⎩，解得31,22m n ==，()()31222a b a b a b ∴−=−++， ()()3313,12222a b a b ≤−≤≤+≤，()()5315222a b a b ∴≤−++≤，即52,52a b ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<−<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y + ”“x y − ”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+−−，所以需分别求出51(),()22x y x y +−−的范围，两范围相加可得23x y +的范围．【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★ 【答案】B【解析】设()()22z x y m x y n x y =+=++−，故21m n +=且2m n −=， 所以,11m n ==−，故()()22z x y x y x y =+=+−−，由于329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，所以()()()39296x y x y +−≤+−−≤+−，623x y −≤+≤，故最小值为6−，此时4,5x y ==−，【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（ ） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★ 【答案】BD【解析】对于A ：[][][]1,3,1,22,6a b ab ∈−∈∴∈−,故A 错误.对于B ：[][][]1,3,1,20,5a b a b ∈−∈∴+∈,故B 正确. 对于C ：[][]1,23,2b a b ∈∴−∈−,故C 错误.对于D;[][]()()[]10,4,10,1,110,4a b a b +∈−∈∴+−∈,故D 正确.【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】13,42⎛⎫⎪⎝⎭【详解】∵24b <<，∴11142b <<，又∵13a <<，∴1342a b <<，∴a b 的取值范围是13,42⎛⎫⎪⎝⎭.【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（ ） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★ 【答案】C【详解】因为125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，所以1(1)2253x y x y −+−≤++−≤+，即228x −≤≤得14x −≤≤.知识点一、基本不等式 （1）算术平均数与几何平均数 对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． （2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式． 知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若a ，b ∈R ，则（1）222ab ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2. 常用结论 （1）2b aa b+≥（a 、b 同号）； （2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）； （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a+≥中，等号成立的条件是（ ） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★ 【答案】D【详解】由基本不等式可知22224424a a a a+≥⋅=，当且仅当224a a =， 即2a =±时等号成立，【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（ ） A ．12m m = B ．12m m >C ．21m m >D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★ 【答案】C【详解】解：根据题意可得120202220202ab abm aba b ab a b+==≤=++．当且仅当=a b 等号成立； 例题分析266122a b a bm ++==≥，当且仅当=a b 等号成立，由题意可得a b ≠，所以12m m <>，则21m m >.【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1C ．因为a ＜0，所以4a+a 4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以2x yx y y y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A.因为a ，b 为正实数，所以0,0b a a b >>，所以b a a b + 2.故A 正确；对于B.当x =0，有211x +=1.故B 错误；对于C.当a =-1时，左边4a+a =-5，右边，所以4a +a 4不成立，故C 错误.对于D. 因为0x y R xy ∈<、，，0,0x yy x −>−>， 所以2x yx y y yx y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦.故D 正确.【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b ≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★ 【答案】C【详解】解：由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++−===−=−=，在Rt OCD △中，CD ==，所以OC OD ≤，即)0,02a b a b +>>，【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是 ．【难度】★22a b aba b+≥≥+ 【解析】∵222a b ab +≥，∴()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，即22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，2a b+≥当且仅当a b =时等号成立∵2ab a b =+a b =时等号成立，又2a b+≥a b =时等号成立，22a b ab a b +≥≥≥+，当且仅当a b =时等号成立【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★ 【答案】AC【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =3=>D 选项错误.【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A ，,R a b ∀∈，不等式222a b ab +≥成立，A 正确；对于B ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，0a b ，而0>，不等式不成 对于C ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，11a b +<0>，不等式不成对于D ，由,R a b ∈，且0ab >，得0,0b a a b >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时【例6】下列不等式恒成立的是（ ）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★ 【答案】D【详解】对于A ：取2a =−，1b ，则3a b +=−，−=−a b +<−故A 错误；对于B ：取2a =，1b =，则3a b +=，=a b +> 故B 错误；对于C ：取2a =，1b =，则225a b +=，24ab =，此时222a b ab +>. 故C 错误；对于D ：因为()22220a b a ab b +=++≥，所以222a b ab +≥−.题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【详解】()()()222222a b c b c a c a b +++++2226a bc b ac c ab abc ≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当a b c ==时取等号，证毕.【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★22x y时等号成立．【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++． 【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++． 【难度】★★★【解析】（1）因为22222()2()a b c d ab bc cd ad +++−+++ 2222()()()()0a b b c c d a d =−+−+−+−≥，当且仅当a b c d ===时，等号成立， 所以22222()2()a b c d ab bc cd ad +++≥+++， 所以2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）因为22116261266a a a a+++≥⋅=，当且仅当2166a a +=，即1a =−时取等号， 所以1261113611266aa a a++=≤++，当且仅当2166a a+=，即1a =−时取等号， 因为2251311()63321212b b b −+=−+≥，综上216536163a ab b +≤−++．【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ） A ．54100x y +< B ．54100x y +≥ C ．54100x y +> D ．54100x y +≤【难度】★ 【答案】B【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★ 【答案】C师生总结巩固练习【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()3,10【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y −<−<C ．218xy <<D ．1621xy <<− 【难度】★★ 【答案】ACD【巩固5】（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为3a >，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立 【难度】★★ 【答案】ABD【详解】对于A ，,a b 为正实数，有0,0b a a b>>，且1b a a b ⋅=，又当且仅当a b =时，b aa b =成立，满足均值不等式的条件，A 正确；对于B ，44a a +≥=，当3a >时，40a >，且44a a ⋅=，显然不存在大于3的正数a使4a a =成立，所以44a a+>，B 正确； 对于C ，因为0a <，则40a<，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；对于D ，,R,0x y xy ∈<，则0,0x y y x −>−>，且()()1x yy x−⋅−=，又当且仅当0y x =−≠时，x yy x−=−成立，满足均值不等式的条件，D 正确.【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy、中最大的一个是 ． 【难度】★★ 【答案】x y +【解析】01x <<，01y <<，由基本不等式得222x y xy +≥；x y +≥又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★ 【答案】B【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（ ）A ．2a b +>B ．2a b +<C 2a b+≤D 2a b+<【难度】★★ 【答案】BD【详解】0,0a b >>，且ab ，所以2222()()0244a b a b a b ++−−=>，即2a b +<A 错误，B 正确；所以a b +>2a b+<，故C 错误，D 正确.【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A 2a ba b +<<< B ．2a ba b +<<<C 2a ba b +<< D ．2a ba b +<<< 【难度】★★ 【答案】D【详解】因为0a b <<2a b+<； 因为0,02222a b b a a b a ba b +−+−−=>−=<， 所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，【巩固10】比较大小： （1）22a b +和2(1)a b −−；（2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【答案】(1)()2221a b a b +−−≥(2)22b aa b a b+≤+【详解】（1）因为()()()222221110a b a b a b +−−−=−++≥，所以()2221a b a b +−−≥；（2）因为0,0a b <<，所以()()()223333+−+=+++−+=−ab a b b a ab a b b a b a a b a b ab ab ab()()()()2220b b a a a b b a b a abab−+−−+==≤，所以22b a a b a b+≤+.【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−； （3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【解析】（1）因为,0a b c >>，可得ac bc >，所以ac bc −<−， 又因为f e <，可得f ac e bc −<−. （2）因为0c d <<，所以0c d −>−>， 又因为0a b >>，所以0a c b d −>−>，可得110b d a c>>−−， 因为0a b >>，根据不等式的性质，可得a bb d ac >−−，即以b a ac b d<−−. （3）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，即0bc ad −≥， 又因为0bc ad −≥，所以a b c db d++≤.【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【解析】因为a 、b 是正数，1=≥=当且仅当a b =时，等号成立，1≥+【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【难度】★★【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为22m ,m a b ，则10%220ab a b ⎧≥⎪⎨⎪+=⎩，所以1010%ab a ≤=，所以22010a b a a +=≤+，所以20a ≥. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a 和b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b n <<>， 则()()()n b a a n a ab bn ab an b n b b b n b b n −++−−−==+++. 因为0,0b n >>，所以()0b b n +>. 又因为a b <，所以()0n b a −>. 因此0a n a b n b +−>+，即a n ab n b+>+. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++． 【难度】★★当且仅当x y =时，等号成立． （2）∵0a >，0b >，0c >，∴2bc acc a b+≥，2bc ab b a c +≥，2ac ab a b c +≥， ∴()22bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，故bc ac aba b c a b c ++≥++，当且仅当bc ac ab a b c==，即a b c ==时等号成立．【巩固15】已知a ，b 都是正数.（1）若1a b +=，证明：4+≥b a a b ab ； （2）当a b ≠时，证明：+>+a a b b b a a b . 【难度】★★【详解】（1）证明：由于a ，b 都是正数，()11ab b a b a a b ab ab a b++==+()112224b ab aa b ab a b a b⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当14a b ==时等号成立.所以4+≥b a a b ab . （2）证明：()()()a a b b b a a b a a b b a b +−+=−−− ()()()()2a b a b a ba b =−−=−+.因为a b ，0,0a b >>，所以()20a b−>，0a b +>，所以+>+a a b b b a a b成立.【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明： （1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++． 【难度】★★★能力提升【解析】（1）()222a b ab ab a b ab +=+=，因为0a >，0b >，2a b =+≥01ab <≤，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以222a b ab +≤；（2）()()()()3333332222111111a ab b a a b b a b b a a b a b a b −+−++−+−+++=+=+++++++ ()()()()22112112221111a a ab b b a b a b a b a b +−++−+=+=+−−++++++ ()()()()222221122221111a b a b a b ab a b a b ++⎛⎫=+++−=+−+− ⎪++++⎝⎭ 88222213ab ab ab a b ab =−+=−+++++，由（1）有01ab <≤，有34ab +≤，1ab −≥−，有1134ab ≥+，22ab −≥−， 有8122822234ab ab −+≥⨯−+=+，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以33211a b b aa b +++≥++．。
高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。
2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。
-传递性：若a>b,b>c，则a>c。
-对称性：若a>b，则b<a。
-加法性：若a>b，则a+c>b+c。
3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。
2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。
-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。
3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。
2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。
3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。
2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。
-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。
3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。
利用基本不等式求范围的四个典例 教师版
1
1
2 6 (3 y
8
32
)
4
2 ，当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2 取等号
3 y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解.
28k 2 40k 4 2 4k 6k 2 2
，令 g (k)
0 ，得k
4
2 5 ， 7
∵ g(k) 在(0, 4 2 5) 上递减，在( 4 2 5 ,1) 上递增，
7
7
∴g k
g(4
2 5) 3 2
2
，∴
2
1
32 2
的最小值
；
min
7
4
x 3y x y
2
；
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本
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不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行.
点评：换元更好：令 x 3y m,
1 b
1，则 1 a 1
4 的最小值为 b 1
.
答案：4 ； 1 1 1，得a b 4 ，∴[(a 1) (b 1)]( 1 4 ) 5 b 1 4(a 1) 9 ，
ab
a 1 b 1
a 1 b 1
好像不对？
点评：如果a b 4 ，则可以做；
六不等式基础教师版
六、不等式一、不等式的解法：（1）一元一次不等式：Ⅰ、)0(≠>a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；Ⅱ、)0(≠<a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对∆进行讨论：（5）绝对值不等式：若0>a ，则⇔<a x || ；⇔>a x || ；注意：(1).几何意义：||x ： ；||m x -： ； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若0>a则=||a ；②若0=a 则=||a ；③若0<a 则=||a ；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)()(x g x f ； ⑶⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。
专题基本不等式常见题型归纳(教师版)
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
第三节 基本不等式 教师版
基本不等式一、基础知识 1、基本不等式ab b a 222≥+，222b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号） 2、均值不等式定理：（1）根式形式：2a b+≥ a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号) 变形式子2)2(b a ab +≤（a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号） 分式形式：2≥+ba ab （0>ab ），2-≤+b a a b （0<ab ）倒数形式：若0>x ，则21≥+x x ；若0<x ，则21-≤+xx . （2）推广：nn n a a a na a a ......2121≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正数）33abc c b a ≥++（a 、b 、c 均为正数） （3）极值定理：“和定积最大”、“积定和最小”（“一正二定三等”）（技巧：配、凑）已知x 、y 都是正数，则有：①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值241s . 3、常用不等式链：2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（a 、b 均为正数） （调和平均数≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数） 二、课堂练习 1.“1”的活用例1.已知0,0a b >> 1a b += 则11a b+的最小值为_________. 【答案】4变式1.已知0,0a b >> 11=4a b+ 则a b +的最小值为_________. 【答案】1变式2.已知0,0a b >> 1a b += 则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为_________.【答案】9变式3.已知0,0a b >> 23a b += 则21a b+的最小值为_________. 【答案】83变式4.已知0,0,0a b c >>> 35a b ab += 则34a b +的最小值为_________. 【答案】5变式5.已知0,0,0a b c >>> 1a b c ++= 则111a b c++的最小值为_________. 【答案】9 2.拆项例1．函数24()(0)x f x x x+=>的图象最低点横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解答】解：24()(0)x f x x x+=>Q ，44x x =+…当且仅当4x x=即2x =时取等号，此时()f x 取得最小值4， 即的图象最低点横坐标为2x =． 故选：B ．变式1．函数24(0)1x x y x x++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6【答案】A【解答】解：根据题意，函数2444(1)1111x x y x x x x x ++==+=++-+++；又由0x >，则11x +>，此时有4(1)41x x ++=+…，当且仅当12x +=即1x =时等号成立，此时2431x x y x ++=+…，即函数24(0)1x x y x x++=>+的最小值是3；故选：A ． 3.凑项例1．若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D【解答】解：2x >Q ，20x ∴->，∴44(2)22622y x x x x =+=-++=--…，当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号，∴函数42y x x =+-的最小值为6． 故选：D ．变式1．若1x >，则91211x x x +++-的最小值是 ． 【答案】8【解答】解：若1x >，919121181111x x x x x x x ++=+++-++-+-…， 当且仅当13x +=，11x -=，即2x =时取等号， 故91211x x x +++-的最小值是8， 故答案为：8． 4.凑系数 例1．已知104x <<，则函数()(14)f x x x =-的最大值为 ． 【答案】116【解答】解：Q 104x <<， 041x ∴<<，140x ->，∴2114141()(14)[4(14)]()44216x x f x x x x x +-=-=-=g g „，当且仅当414x x =-，即18x =时取等号，()f x ∴的最大值为116． 故答案为：116． 变式1．设102x <<，则(12)x x -的最大值为( ) A ．19B ．29 C ．18D ．14【答案】C【解答】解：Q 102x <<， 则2112121(12)2(12)()2228x x x x x x +--=⨯-=„当且仅当212x x =-即14x =时取得最大值18故选：C ． 5.加零法 例1.已知111924x y x y +++= 求3716x y-的最小值. 【答案】14-变式1.2211274x y x y +++=求1534x y- 的最小值. 【答案】66.构造一元二次不等式例1．若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 ． 【答案】18【解答】解：由条件利用基本不等式可得266xy x y =++…，令2xy t =，即0t =>，可得260t --…．即得到(0t t -…可解得t t 剠又注意到0t >，故解为t 所以18xy …． 故答案应为18．变式1．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ． 【答案】4【解答】解：考察基本不等式2228(2)8()2x y x y x y ++=--g …（当且仅当2x y =时取等号）整理得2(2)4(2)320x y x y +++-…即(24)(28)0x y x y +-++…，又20x y +>，所以24x y +…（当且仅当2x y =时即2x =，1y =时取等号） 则2x y +的最小值是4． 故答案为：4．变式2．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ．【解答】解：221x y xy ++=Q2()1x y xy ∴+=+2()4x y xy +Q „22()()14x y x y +∴+-„，整理求得x y+x y ∴+7.多变量例1．设正实数x ，y ，z 满足22240x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，211x y z +-的最大值为( ) A ．1 B ．4C ．94D ．92【答案】B【解答】解：根据题意，22240x xy y z -+-=，则22222442422z x xy y x y xy xy xy xy =-+=+--=…， 即2z xy …，且224x y =，即2x y =，等号成立， 此时222244z x xy y y =-+=，当xyz取得最大值时，2221121112244x y z y y y y y +-=+-=-+，分析可得：当14y =时，xyz取得最大值4． 故选：B ．变式1．设正实数a ，b ，c 满足22340a ab b c -+-=，则当ab c 取得最大值时，212a b c+-最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．94D ．3【答案】B【解答】解：正实数a ，b ，c 满足22340a ab b c -+-=， 可得2234c a ab b =-+，2214343ab ab a b c a ab b b a==-++-，由44a b b a +…，当且仅当2a b =取得等号， 则2a b =时，abc取得最大值， 且22c b =，22212211(1)1a b c b b b+-=-=--+， 当1b =时，212a b c+-取得最大值，且为1． 故选：B ．变式2．若x ，y ，z 是正实数，且230x y z -+=，则2y xz的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解答】解：230x y z -+=Q ， 32x zy +∴=， ∴2229666344y x z xz xz xz xz xz xz+++==…， 当且仅当3x z =时取“=”． 故选：B ． 三、课后练习1．已知实数0a >，1b >满足5a b +=，则211a b +-的最小值为( )A B C D 【答案】A【解答】解：因为0a >，1b >满足5a b +=， 则21211()[(1)]114a b a b a b +=++-⨯--， 12(1)1[3](3414b a a b -=+++-…， 当且仅当2(1)1b aa b -=-时取等号， 故选：A ．2．若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为( )A ．2B ．C ．5D ．【答案】C【解答】解：根据题意，若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33333235333b b a b b a a b a b a b ++=+=++=…， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C ．3．已知0x >，0y >，且191x y+=，则xy 的最小值为( ) A ．100 B ．81 C ．36 D ．9【答案】C【解答】解：0x >Q ，0y >，且191x y+=，由基本不等式可得1…，当且仅当1912x y ==即2x =，18y =时取等号， 解可得36xy …，即xy 的最小值36． 故选：C ．4．已知正数a 、b 满足23a b +=ab 的最大值为( )A ．19B ．14 C ．13D ．12【答案】B【解答】解：由于正数a 、b 23a b =+…，12，14ab „， 故选：B ．5．若a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=，则4111a b +--的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解答】解：若a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=， 所以(1)(1)1a b --=，即111b a =--， 故414(1)(1)4511b a b a a b +=-+-=+---， 同时a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=，整理得111a b+=．所以1144()(4)415549b a a b a b a b a b +=++=+++++=…，（当且仅当2a b =时，等号成立）故45b a +-的最小值为954-=． 故选：B ．6．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74 D ．95【答案】D【解答】解：当2m n +=时，1311351111212(1)(2)(1)(2)n m n m n m n m n m n ++++=++=+=+++++++++g g ， 因为21225(1)(2)()24m n m n +++++=g „， 当且仅当12m n +=+，即31,22m n ==时取等号，则139125n m n ++++…，即最小值为95．故选：D ．7．已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为( )A．2B．2C．3-D．3+【答案】C【解答】解：0ab>Q，则22(2)1322()(2)323a a a ab a b aba ba b a b a b a b a ab bb a+---====-++++++++„当且仅当2a bb a=时取等号，此时取得最大值为3-故选：C．8．已知a，b为正数，2247a b+=，则() ABC．D．2【答案】D【解答】解：因为2247a b+=，则221141(22222a ba++=⨯=⨯=，当且仅当2241a b=+时，取得最大值．故选：D．9．已知0x>，0y>，428x y=g，则142x y+的最小值是() A．3B．94C．4615D．9【答案】A【解答】解：0x>Q，0y>，428x y=g，23x y∴+=，∴14114181()(2)(5)(53 232323y yx yx y x y x y+=++=+++=…，当且仅当82y xx y=，即12x=，1y=时取等号，∴142x y+的最小值为3．故选：A．10．函数22(1)1y x xx=+>-的最小值是()A．2B．4C．6D．8【答案】C【解答】解：因为22(1)1y x x x =+>-，22(1)2261x x =-++=-…， 当且仅当22(1)1x x -=-即2x =时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．11．若正数a 、b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是( ) A ．[9，)+∞ B ．(-∞，1][9U ，)+∞C ．(0，1][9U ，)+∞D ．[1，9]【答案】A【解答】解：正数a 、b 满足3ab a b =++，a b +Q …a b =时取等号，33ab a b ∴=++…31-（舍) 则9ab … 故选：A ．12．已知x ，y 为正实数，且满足2245x y xy ++=，则2x y +的最大值是( )A B ．C D ．【答案】B【解答】解：由基本不等式可知，21122()222x y xy x y +=g „，当且仅当2x y =时取等号 x Q ，y 为正实数，且满足2245x y xy ++=，2(2)35x y xy ∴+-=即22(2)3(2)538x y xy x y +=+-⨯„，（当且仅当y ，x =时取等号）解可得，02x y <+„，则2x y +的最大值是 故选：B ．1113．已知0x >，0y >，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为 ． 【答案】18【解答】解：18102y x x y +++=，变形为2281022x y x y+++=． 0x >Q ，0y >，222(2)16(2)(2)10(2)101018222x y y x x y x y x y x y +++∴+=+++++=+…，当且仅当443y x ==或12时取等号． 化为(218)(22)0x y x y +-+-„，解得2218x y +剟．2x y ∴+的最大值为18．故答案为：18．14．已知0x >，0y >，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值．【解答】解：化简2241x y xy ++=得，23(2)1xy x y =+-；2x y +Q …故28(2)xy x y +„，即228[(2)1]3(2)x y x y +-+„， 即28(2)5x y +„，故(2)max x y += 15．已知：0x >，0y >，x y ≠，且22x y x y xy +=++，求证：413x y <+<． 【答案】【解答】证：由已知得：2()x y x y xy +=+-；即2()()xy x y x y =+-+；0x >Q ，0y >，x y ≠；12 ∴20()2x yxy +<<； 即220()()()2x y x y x y +<+-+<； ∴0()14x yx y +<+-<； 解得413x y <+<；∴结论成立．。
3.4 基本不等式 (3)教师版
3.42a b +（三） 教学目标分析：2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题；2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
情感目标：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重难点分析：2a b +≤的应用；2a b +求最大值、最小值； 互动探究：一、课堂探究：复习巩固：（1）重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（2）基本不等式：如果,a b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a （3）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数； ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数. 例1、（1）用篱笆围成一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少m 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，则100xy =，篱笆的长为2()x y m +；由2x y +≥可得x y +≥2()40x y +≥。
等号当且仅当x y =时成立，此时10x y ==.因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为xm ，则长为(362)x m -，其中102x <<， 其面积2211236236(362)2(362)()2228x x S x x x x +-=-=-≤=当且仅当2362x x =-，即9x =时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9m 时菜园面积最大为281m .变式:一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为xm .,宽为ym ,则236x y +=,矩形菜园的面积为2xym ，362162x y xy =+≥≤（当且仅当223618,9x y x y x y =+===且即时取“=”.因此，这个矩形的长为18m 、宽为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是2162m .归纳：已知,x y 都是正数，（1）如果积xy 是定值P ,那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +是定值S ,那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 例2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ,深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++= 240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯= 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.二、课堂练习：教材第100页练习第2、3、4题.1、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？2、用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？3、做一个体积为332m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：教材第101页习题3.4A 组第2、3、4题，B 组第1、2题1、一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？2、已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3、某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？4、设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC ∆沿AC 向ADC ∆折叠，AB 折过去后交DC 于点P .设AB x =，求ADP ∆的最大面积及相应x 的值.5、树顶A离地面am，树上另一点B离地面bm，在离地面cm的C处看此树，离此树多远时看,A B 的视角最大？课后反思：。
2.2 基本不等式 -(必修第一册) (教师版)
基本不等式1 基本不等式若a>0 ,b>0，则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立).①a+b2叫做正数a ,b的算术平均数，√ab叫做正数a ,b的几何平均数.②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 ,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立) (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2√ab，积定求和；②ab≤(a+b2)2，和定求积：③a2+b2≥(a+b)22(联系了a+b与平方和a2+b2)④ab≤a 2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数①概念形如y=x+ax (a>0)的函数.②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增.④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值y min=2√a，其与基本不等式x+ax ≥2√x∙ax=2√a (x=√a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 ,b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x ≥2√x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x ,b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0∴−x>0 ,−1x>0，∴−x+(−1x )≥2√−x∙(−1x)=2(当x=−1取到等号)∴x+1x =−(−x−1x)≤−2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为−2，没有最小值.情况2二定：ab定值求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x−1≥2√x∙1x−1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“(x−1)∙1x−1=1”)故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=2√x2+4的最值.【误解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2√√x2+4√x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=√x2+4 ,b=√x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则√x2+4=√x2+4⇒√x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明√x2+4+√x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t 在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=2√x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x ()A．都大于4B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x +4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x +4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有()①(x+1x )(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③2√x2+5≥4；④x+y√xy≥4；A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x ≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，2√x2+5=√x2+5√x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+√xy ≥2√xy√xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题 本题中④ x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y =1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， x +y ≥2√xy 是当x =y 时取到等号，2√xy +√xy≥4是当xy =1时取到等号，即要同时满足方程组{x =yxy =1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x =y =1， 即x +y √xy≥4是成立的，当x =y =1取到等号.再看一例子：设x,y ∈R ∗,x +y =1，求(x +1x )(y +1y )的最小值. 误解1：∵x +1x ≥2 ,y +1y ≥2，∴(x +1x )(y +1y )≥4.误解2：∵(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +x y +y x ≥2√xy ∙1xy +2√x y ∙yx =4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a ，b 满足ab >0，则a a+b −aa+2b 的最大值为 . 【解析】a a+b −aa+2b =a (a+2b−a−b )(a+b )(a+2b )=ab a 2+3ab+2b 2=1ab +2b a+3 (分子、分母均为二次项同除ab )∵ab >0 ∴a b +2b a≥2√2，当且仅当ab =2b a⇒a =√2b 时取等号，∴1ab +2ba+3≤2√2+3=3−2√2，故最大值为3−2√2．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x 与1x ，ab 与2b a，2√xy 与√xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x >1，则函数y =4x +1x−1的最小值为 .【解析】y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥2√4+4=8，当且仅当x =32时取等号． ∴函数y =4x +1x−1的最小值为8．【点拨】把4x 凑项成4(x −1)，目的是使得4(x −1)与1x−1的乘积为定值.【典题2】若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是 ．分析：2x 、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x +1与 x −1，而它们的和刚好是2x ，故想到令2x =(x +1)+(x −1)，完成凑项. 【解析】2x +9x+1+1x−1=x +1+9x+1+x −1+1x−1≥2√(x +1)⋅9(x+1)+2√(x −1)⋅(1x−1)=8当且仅当x +1=3，x －1=1，即x =2时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故2x +9x+1+1x−1的最小值是8.【典题3】设a >b >0，则ab +4b2+1b(a−b)的最小值是 ．【解析】∵a >b >0 ∴a −b >0； ∴ab +4b2+1b (a−b )=ab −b 2+1b(a−b)+b 2+4b2(这里巧妙地"−b 2+b 2"完成凑项)=[b (a −b )+1b (a−b )]+[b 2+4b2]≥2√b(a −b)×1b(a−b)+2√b 2×4b2=2+4=6．当且即当b(a −b)=1b(a−b)且b 2=4b2，即a =3√22,b =√2 时取等号， ∴ab +4b2+1b(a−b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab 为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b 2、1b(a−b)的分母之和b 2+b (a −b )=ab ，刚好是所求式子的第三项ab .方法3 凑系数【典题1】若0<a <12，则a(1−2a)的最大值是 ． 【解析】∵0<a <12，∴a >0且1−2a >0， 则a (1−2a )=2a (1−2a )2≤12(2a+1−2a 2)2=18，当且仅当2a =1−2a ,即a =14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为18. 【点拨】基本不等式的变形ab ≤(a+b 2)2，和定求积(若a +b 为定值，可求ab 的最值).本题中a +(1−2a )不是定值，故通过凑系数，使得2a +(1−2a )=1为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a ,b 为正数，4a 2+b 2=7，则a√1+b 2的最大值为 ． 【解析】因为4a 2+b 2=7， 则a√1+b 2=12(2a )√1+b 2≤12×(2a)2+(√1+b 2)22=12×4a 2+1+b 22=2，(这里用到了不等式ab ≤a 2+b 22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】①不等式ab≤a 2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则√x+√y的最大值是．【解析】∵x+1≥2√x ,y+1≥2√y(当x=y=1时取到等号)(加“1” 巧妙的把x与√x，y与√y联系起来)相加得x+y+2≥2√x+2√y即2(√x+√y)≤4⇒√x+√y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x +1y=2，则x+2y的最小值是．【解析】∵2x +1y=2∴12(2x+1y)=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2√xy⋅4yx)=4，当且仅当xy =4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为．【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，又由a>2 ,b>0，则ba−2+a−2b≥2√ba−2∙a−2b=2，当a=52,b=12时取到等号，则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为.【解析】令t =x −1，则x =t +1，t >0， 原式=t(t+1)2+(t+1)−1=t t 2+3t+1=1t+1t +3≤√t⋅1t+3=15，当且仅当t =1即x =2时等号成立. 故y =x−1x 2+x−1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y =a 1x 2+b 1x+c 1a 2x 2+b 2x+c 2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b ∈R ∗，a +b =1，则√a +12+√b +12的最大值 .【解析】设s =√a +12,t =√b +12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)则a =s 2−12 ,b =t 2−12， ∵a +b =1 ∴s 2+t 2=2(这相当已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b 2≤√a 2+b 22)∴s+t 2≤√s 2+t 22=1⇒s +t ≤2即√a +12+√b +12≤2，故最大值为2. 【点拨】① 本题本来是“已知a +b =1求√a +12+√b +12的最大值 (1)”，通过换元法后变成“已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.你说√a+12+√b+122≤√(√a+12)2+(√b+12)22=√a+12+b+122=1⇒√a +12+√b +12≤2不更简洁？是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路. ② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a 、b 是正实数，且a +2b =2，则a 2a+1+4b 22b+1的最小值是 .【解析】令a +1=s ，2b +1=t ，则a =s −1，2b =t −1； 由题意得s ,t 为正实数，且s −1+t −1=2⇒s +t =4； ∴a 2a+1+4b 22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s +t −4+1s +1t =1s +1t(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s +t =4，求1s +1t 最小值”，较易想到巧“1”法)=14(1s+1t)(s +t)=14(2+ts+st)≥14(2+2√t s⋅st)=1．当且仅当s =t =2即a =1 ,b =12取到等号，即a 2a+1+4b 22b+1的最小值是1.【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6 不等式法【典题1】已知a ,b ∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a +b 的取值范围是 .分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab 与a +b 的方程”，而由基本不等式a +b ≥2√ab 又确定了“关于ab 与a +b 的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a +b 的不等式么？！其范围就有了！ 【解析】∵a ,b ∈(0,+∞)，∴a +b ≥2√ab (∗)， 由1+2ab=9a+b得ab =2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a +b ≥2√2(a+b )9−(a+b )， 整理可得，(a +b )2－9(a +b)+8≤0， 解得1≤a +b ≤8.【典题2】 已知2a +b +2ab =3，a >0，b >0，则2a +b 的取值范围是 . 【解析】∵a >0，b >0，∴0<2ab ≤(2a+b)24(这要确定2ab 与2a +b 的关系，想法与上题相似，利用2ab 与2a +b 的等式关系与不等关系最终得到关于2a +b 的不等式) 而3−(2a +b)=2ab ∴0<3−(2a +b)≤(2a+b)24，解得2≤2a +b <3，∴2a +b 的取值范围是[2,3)． 巩固练习1 (★★) 已知a +b +c =2，则ab +bc +ca 与2的比较 ． 【答案】 ab +bc +ca <2 【解析】已知a +b +c =2，因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，且a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 所以3(ab +bc +ca)≤4， 解得ab +bc +ca ≤43，所以ab +bc +ca 的值小于2．2 (★★) 已知x ，y ∈R +，若x +y +xy =8，则xy 的最大值为 ． 【答案】 2【解析】∵正数x ，y 满足x +y +xy =8，∴8－xy =x +y ≥2√xy ，xy +2√xy −8≤0， 解得0<√xy ≤2，故xy ≤4，当且仅当x =y =2时取等号． ∴xy 的最大值为43 (★★) 若x ，y ∈R +，且3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是 ．【答案】5【解析】∵x ，y ∈R ∗，且3x+1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4y x)≥135+35⋅2√x y⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1，y =12时等号成立， 4 (★★) 函数y =x 2+x−5x−2(x >2)的最小值为 ．【答案】 7【解析】令x －2=t ，t >0； y =f(x)=x 2+x−5x−2=(t+2)2+t+2−5t=t 2+5t+1t=t +1t +5≥7(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)， 故函数f(x)=x 2+x−5x−2，x ∈(2，+∞)的最小值为7，5(★★) 已知实数a 、b ,ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为 ． 【答案】 16【解析】由于a 2+b 2≥2ab >0， 所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab 2ab+a 2b 2+4，故：ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a =b 时，等号成立)．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( ) A ．x +1x (x >0)的最小值是2 B 2√x 2+2的最小值是√2C 2√x 2+4的最小值是2 D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3【答案】 AB【解析】由基本不等式可知，x >0时，x +1x≥2，当且仅当x =1x即x =1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x =0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t在[2，+∞)上单调递增，当t =2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x <0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．7 (★★★) [多选题]设a >0，b >0，且a +2b =4，则下列结论正确的是( ) A ．1a +1b 的最小值为√2 B ．2a +1b 的最小值为2C ．1a +2b 的最小值为94 D ．ba+1+ab+1>87恒成立【答案】 BC【解析】因为a >0，b >0，且a +2b =4， 对于A ，1a+1b=14(1a+1b)(a +2b)=14(3+2b a+a b)≥14(3+2√2)，当且仅当a =4√2−4，b =4−2√2时取等号，故选项A 错误； 对于B ，2a+1b=14(2a+1b)(a +2b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+4)=2，当且仅当a =2，b =1时取等号，故选项B 正确； 对于C ，1a +2b =14(1a +2b )(a +2b)=14(5+2b a+2ab)=14(5+4)=94， 当且仅当a =43，b =43时取等号，故选项C 正确； 对于D ，当a =43，b =43时，a +2b =4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D 错误．故选：BC ．8(★★★)若实数m ，n >0，满足2m +n =1，以下选项中正确的有( ) A ．mn 的最小值为18 B ．1m +1n 的最小值为4√2 C ．2m+1+9n+2的最小值为5 D ．4m 2+n 2的最小值为12【答案】 D【解析】∵实数m ，n >0，∴2m +n =1≥2√2mn ，整理得：mn ≤18，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项A 错误；∵1m +1n =(2m +n)(1m +1n )=3+nm +2m n≥3+2√2，当且仅当{m =2−√22n =√2−1时取“=“，故选项B 错误；∵2m +n =1，∴2(m +1)+(n +2)=5， ∴2m+1+9n+2=15[2(m +1)+(n +2)](2m+1+9n+2) =15[13+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2√36)=5，当且仅当{m =0n =1时取“=“，∴2m+1+9n+2>5，故选项C 错误； ∵2m +n =1，∴1=(2m +n )2=4m 2+n 2+4mn =4m 2+n 2+2√4m 2•√n 2≤2(4m 2+n 2)， ∴4m 2+n 2≥12，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项D 正确，故选：D ．9 (★★★) 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为 ．【答案】 11【解析】正实数a ，b 满足a +b =1， 则2a 2+1a+2b 2+4b =2a +2b +1a +4b =2+(1a +4b )(a +b)=7+b a +4a b≥7+4=11，当且仅当ba=4a b且a +b =1即b =23，a =13时取等号，10 (★★★) 若正数x 、y 满足x +4y −xy =0，则4x+y 的最大值为 ． 【答案】 49【解析】∵正数x 、y 满足x +4y −xy =0， ∴y =x x−4>0，解得x >4，∴4x+y=4x+x x−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤2√(x−4)⋅4x−4+5=49，当且仅当x －4=4x−4时等号成立， ∴4x+y的最大值为49．11 (★★★) 已知0<a <1，则11−a +4a 的最小值是 ． 【答案】 9【解析】0<a <1，则11−a+4a=(11−a+4a)[(1－a)+a]=5+a1−a +4(1−a)a≥5+4=9，12 (★★★) 已知a ，b ∈R ，a +b =2，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 ． 【答案】 √2+12【解析】a ，b ∈R ，a +b =2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2=4−2(ab−1)(ab−1)2+4， 令t =ab －1=a(2－a)－1=－(a －1)2≤0， 则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2tt 2+4，令4－2t =s(s ≥4)，即t =4−s 2，可得4−2tt 2+4=s 4+(4−s)24=4s+32s−8，由s +32s ≥2√s ⋅32s=8√2，当且仅当s =4√2，t =2－2√2时上式取得等号， 可得4s+32s−8≤8√2−8=√2+12， 则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 13 (★★★) 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则aa−1+4bb−1的最小值为 ． 【答案】 9【解析】∵正数a ，b 满足1a +1b =1，∴a >1，且b >1；1a+1b=1变形为a+b ab=1，∴ab =a +b ，∴ab −a −b =0，∴(a －1)(b －1)=1，∴a －1=1b−1；∴a －1>0，∴aa−1+4bb−1=5+1a−1+4b−1=5+1a−1+4(a −1)≥5+2√1a−1×4(a −1)=9， 当且仅当1a−1=4(a －1)，即a =1±12时取“=”(由于a >1，故取a =32)， ∴a a−1+4bb−1的最小值为9；14 (★★★★) 已知实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1，则2a 2+1a+b 2−2b+2的最小值是 ．【答案】 53【解析】∵实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1， ∴b +2>0，2a +(b +2)=3， 又∵2a 2+1a +b 2−2b+2=1a+2a +b −2+2b b+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，∴2a 2+1a +b 2−2b +2=−1+13[2a +(b +2)](1a +2b +2)=－1+13(b+2a +4ab+2+4)≥－1+13(2√4+4)=53，当且仅当{a =34b =−12时取“=“，故答案为：53．15 (★★★★) 已知x >0，y >0，则2xyx 2+8y 2+xy x 2+2y 2的最大值是 ．【答案】 23【解析】2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2=3x 3y+12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4 =3(x y +4yx)(x y )2+16(yx)2+10=3(x y +4yx )(x y +4yx)2+2=3(x y +4y x)+2x y +4y x，令t =x y +4yx，则t ≥2√xy ⋅4y x=4，当且仅当x =2y 时取等号，∵函数y =t +2t ，在[4，+∞)上单调递增，∴y =t +2t的最小值为：92，∴y =t +2t ≥92， ∴3(x y +4y x)+2x y +4y x=3t+2t≤23．∴2xyx 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值为：23． 故答案为：23．16 (★★★★) 设实数x,y 满足x 24−y 2=1，则3x 2−2xy 的最小值是 .【答案】 6+4√2【解析】方法1 3x 2−2xy =3x 2−2xyx 24−y 2=3−2y x 14−(y x)2令t =yx ，∵x 24−y 2=1 ∴x 24−t 2x 2=1⇒t 2=14−1x2<14⇒−12<t <12， 则3x 2−2xy =3−2t14−t 2再令u =3−2t (2<u <4) 则3x 2−2xy =u14−(3−u 2)2=4u −u 2+6u−8=4−(u+8u)+6≥−4√2+6=6+4√2当且仅当u =2√2时取到等号， 方法2 ∵x 24−y 2=1 ∴(x 2−y)(x2+y)=1令t =x2+y ，则x2−y =1t ， ∴x =t +1t ,y =12(t −1t )∴3x 2−2xy =3(t +1t )2−2(t +1t )(t −1t )=2t 2+4t 2+6≥4√2+6=6+4√2 当且仅当t 2=√2时取到等号.挑战学霸方程(x 2018+1)(1+x 2+x 4+⋯+x 2016)=2018x 2017的实数解的个数为 ． 【答案】1【解析】由题意知x>0，设S=1+x2+x4+⋯+x2014+x2016①，则S=x2016+x2014+x2012+⋯+x2+1②，所以①+②得2S=(x2016+1)+(x2+x2014)+(x4+x2012)+⋯+(x2014+x2)+(x2016+1)≥2√x2016∙1+2√1∙x2016+2√x2∙x2014+⋯+2√x2016∙1=2018x1008(当且仅当x=1时等号成立)所以S≥1009x1008，又因为x2018+1≥2√x2018∙1(当且仅当x=1时等号成立)，所以(x2018+1)(1+x2+x4+⋯+x2014+x2016)≥2√x2018∙1×1009x1008=2018x2017当且仅当x=1时等号成立，因此实数解的个数为1.。
第三节 基本不等式教师版x
a +b =l 则—+ — 的最小值为2一、基础知识5、常用结论 （当且仅当x = — 1时取"=")第三节基本不等式若a,bER , 则a 2 + b 2:2: 2a b 变形为ab � 矿+ b22若a, bER *, 则a+ b �2✓c 访3、基本不等式的两个重要变形(1)若a, bER *, 则 a+b �矗；2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值（积定和最小）；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值（和定积最大）； 特别说明：以上不等式中，当且仅当a= b 时取"=" 4、求最值的条件： “一正，-,->--,（当且仅当x=l 时取"=")（当且仅当a= b 时取"=")(4)若a, bER , 则�(a +)b 2�矿+ b 2ab2 2a + bI I a b:::;矿+ b l特别说明：以上不等式中，当且仅当a= b 时取"="【答案】411a b—1 + —1 =4a b筑梦江苏高考数学精品群236802144(2)若a, bER *, 则ab ::::::(勹勹二、课堂练习12 - 2 ＞－2 >－l- +x 则' b -a xl- x+ + x a -b u ，> ,0 0 0 a 若) x 若 ) x 若） l 2 3 （（（【解答】解：·: f () == + +(+ a b3尸即 y【答案】l变式2. 已知a >O , b>O a +b = 则(+ 【答案】9±)(三］的最小值为变式3. 已知a >O , b>O a+ b = 3 则—+— 的最小值为 【答案】—8【答案】5【答案】9 2.拆项a +3b = Sa ba +b +c =ab c2+(X >0)的图象最低点横坐标为 XA. 1 【答案】2 C. 3D. 4= 2+ (X >0) =+i ;;:=4XX 当且仅当 =—4X= 时取等号，此时f (x )取得最小值4 即的图象最低点横坐标为x = .+x+x 2+x） A. 3 4【答案】A【解答】解：根据题意，函数y3D. 6=+x+x 2+x+x +x又山 >O 则+ > L 此时有4+(+ +x)�当且仅当x+ = 即此时 =+x+x2 +xX =时等号成立， +x+x +x2(x >0)的最小值是3;筑梦江苏高考数学精品群236802144>0, b >0, c >0 变式4. 已知a >0, b >0, c >0 变式5. 已知a 函数y =变式.X)— ; 2（ ）—2 气三—故选： A . 3.凑项例 1. 若x>2, 则函数y=x+ 4的最小值为（ ）XA. 3B. 4【答案】D【解答】解：·: X >2, :. X — 2>0, C. 5D . 6:. y = x+ 取等号，4 X —2= (x-2)+4 X —2 +2�+2 = 6, 当且仅当x-2=—4—，即x =4时x-2:. 函数y=x+ 4的最小值为6.X 2 故选： D .变式 1. 若X>L 则2x+ 9＋I的最小值是x+l x-I【答案】8【解答】解：若x>l,2x+—9 +—1 =x+l+—9+x-1+—I ??2x+I x-1 x+l x-I 当且仅当x+1=3, X — l =l, 即x =2时取等号， 故2x+ 9 + 1的最小值是8,x+l x-I故答案为： 8. 4.凑系数例 1. 已知O<x <—1，则函数f(x ) = x (l — 4x )的最大值为＿． 41【答案】— 16【解答】解：'.'0<X <—1,:.0<4x <1, 1 — 4x >O,:. f (x )=x (l-4x )=—1 •[4x (l-4x )]雯—1 ·(4x +1—4x )2 =—1 ，当且仅当4x =l — 4x , 即X=—1 时 4 4 2 16 8 等号，:. f(x )的最大值为—1·163取筑梦江苏高考数学精品群23680214421变式1. 设O <x <—1, 则x (l -2x )的最大值为（） 2A. —1【答案】C 【解答】解：1 2贝U x (l -2x )=—1 x 2x (l -2x )� —1 (2x +l — 2x ) 2=—12 2 2 8当且仅当2x=l — 2x 即x=—1 时取得最大值—14 8例1. 已知x 11 19 、3 7 6y4的最小值【答案】66.构造一元二次不等式例1. 若正实数X, y 满足2x +y +6=xy , 则xy 的最小值是＿．【解答】解： 由条件利用基本不等式可得xy =2x +y +6?2J 云y+6'令 xy =广，即t =✓正o, 可得t2— 2五t— 6?0. 即得到(t -3五）(t +五）?0可解得t � —五，彦3✓2.又注意到t > 0, 故解为彦3 ✓'X+2y+2 x y =8 , 则x+2y 的最小值为 ．【答案】4【解答】解： 考察基本不等式x +2y=8-x •(2y )?8-(x +2y )22(当且仅当x=2y 时取等号）4的最小值 求 —-— +y +-+-= — 已知X > 0, y > 0, 变式1. 1- 4Dl-8c2-9 B【答案】－ —121 1 27 15 3X y 4 X4y筑梦江苏高考数学精品群236802144故答案为： ——+4(x+2y )—32;,:0 即(x+2y — 4)(x +2y +S);,:O , 又x+2y>O,所以x+2y 亥4 (当且仅当x=2y 时即x=2, y=l 时取等号） 则x+2y 的最小值是4.变式2. 若实数X, y 满足x 2+y 2+xy =1, 则x+y 的最大值是 2✓3 【答案】 3【解答】解：·: x 2+y 2+xy =1 :.(x+y )2=l +xy ·: xy :( :.(x+y )2— 1:(' ✓32✓32✓3 3 322✓3 3 例1. 设正实数X, y, Z 满足x 2—2xy +4y 2—z=O , 则当竺取得最大值时， －2 ＋ －1 －－1的Z 最大值为（）A. 1B. 4【答案】B【解答】解： 根据题意， x 2—2xy +4y 2—z=O,4y 2=x 2+4y 2 - 2xy ;=:4xy - 2xy =2xy ,且x 2=4y 2 ' 即x=2y, 等号成立， 此时z=x 2—2xy +4y 2=4/,当—x y 取得最大值时， -2 +-1 --1 =—2 +-1 -—1 =-—1 +-2 , ZX y Z 2y y 4/4/ y57多变量整理得(x+2y )2整理求得- 则z =x 2 - 2xy +- 29 D9 -4c3筑梦江苏高考数学精品群236802144a 4b Ca 2—3ab +4b2b x z分析可得： 当丿=4 时， 竺 取得最大值 4.变式 1. 设正实数 a, b, c 满足矿- 3ab+4b 2 -c=0, 则当竺取得最大值时， ： 十_!_ - _?_最a b c大值为（）A. 0B . 1【答案】B【解答】解： 正实数 a, b, c 满足矿-3ab+4b 2-c=O , 可得 c=a 2—3ab+4b 气ababD. 3b a由勹b a 立厂b 五a=4, 当且仅当 a=2b 取得等号， 则 a=2b 时， —ab取得最大值，C且 C =2b 2 ' 2 1 2 21了h 勹勹了1= -(,;-1)2 +1' 当b =l 时， —2 ＋ —1 - —2取得最大值， 且为l .a c变式 2. 若 X, y, Z 是正实数， 且x — 2y+3z=O , 则 L 的最小值是（）A. 4【答案】BB . 3C. 2D. 1【解答】解： ·:x — 2y+3z=O , :. y=x+3z'2 y 2 = x 2 +9z 2+6xz 6xz+6xz.. —xz4x z;): 4xz=3,1. 已知实数 a>O , b>l 满足 a+b =S , 则 —2 + 1a b-l6当且仅当x=3z 时取"= ". 的最小值为（）9 - 4cl筑梦江苏高考数学精品群2368021449 9 X y X y66【答案】A【解答】解：因为 a>O, >满l 足a +=,5 判、 —+ 1 — =(—+ 1 —)[a +(—1)] X 1—, aI a 1 1— a —I 2 = [3+ +—1 修 (3+✓) , 当且仅当＝ a时取等号，2. 若正实数 a , 满,足a +l ,= 则—3a＋ —3的最小值为（）A.2B. 次 【答案】C【解答】解：根据题意，若正实数 a, C. 5满,足a +=L 则二二3a +3 = !!__十竺心x 厂二产+3 =5,3ab 3ab3ab3a当仅当=3a = 3 —时等号成立， 即—3a+ —3的最小值为5;3. 已知x>O , y >,A. 100 【答案】C—+—=1, 则xy 的最小值为（ ）B. 81C. 36D. 9【解答】解： ... x>O , y >,—＋ —=1,山基本不等式可得1�尸，当仅当X ＝ y汇勹归= ,y =18时取等号，4. 已知正数 a 、满足a +3= Ji .凡则a 的最大值为（ ）筑梦江苏高考数学精品群236802144即x y 的最小值 36. xy 亥3,解可得 1 1 1 - 2．l- 3．c71 - 4．l- 9．》—，即最小值为—.2a — Ib — ln+322 4 a +b a +2b【答案】B【解答】解：山千正数a 、b 满足✓6=2a +3b �2✓云�'所以｀嘉妥—1 , ab :S; 1—4 ,5. 若a, b 为大千1的实数，且满足a+b=ab, 则 4 + 1的最小值是()A. 2 B . 4 C. 6 D. 8【答案】B【解答】解：若a, b 为大千l 的实数，且满足a +b=ab, 所以(a — l)(b — 1) = 1, 即 1故 4 I+1=4(b-l)+(a -1)=4b +a-5 , a- b-l1 I同时a, b 为大于1的实数，且满足a +b =ab, 整理得—a+—b =l.所以4a+b=(—1 +—I )(4a+b)=4+ 4b 飞a 少5+2f4b 二a =5+4=9, C 当且仅当a =2b 时，等 a b-;;a b故4b +a — 5的最小值为9 — 5 =4.6. 设m, n 为正数，且 m+n=2, 则1＋的最小值为（ ）A.—3【答案】D【解答】解：当m+n=2时，m+l n+2 1 +n+3 =1 + 1 +l= m+n+3 +l= 5+l, m+l n+2 m+l n+2 (m+l)•(n+2) (m+l)•(n+2) 因为(m+l)•(n +2)冬(m+l+n+2)2 =—25, 当且仅当m +l=n +2, 即m=—3 , n =—1 时取等号，则 1n+3992 2 m+l n+2 557. 已知实数a, b 满足ab>O, 则a a的最大值为（）D. 3+2✓2＋ C. 3-2✓29-5Dc85-3B筑梦江苏高考数学精品群236802144【解答】解：·:ab > 0,� = 当且仅当4a 2=1+矿时，取得最大值．b a2x y2x y 3 2x y 3 2x y 3则a �=—1X (2a)✓l勹?=11 4a2 +1+b 2=2,【答案】C则a — a =a(a+2b — a — b)= ab2a 2Ib 1a+b a+2b (a+b)(a+2b)a +3ab+2b —b +—a+3 2五+3当且仅当—a =—2b时取等号，此时取得最大值为3-2五一．8. 已知a, b 为正数，4a 2 +b 2=7, 则a✓I 勹了的最大值为（） 3A. 石 【答案】DB.✓D. 2【解答】解：因为4a 2 +b 2=7,22 29. 已知X > 0, y > 0, 4x .2y =8, 则—1 －＋ —4的最小值是（）A. 3 【答案】AD. 9y > Q , 4入一心=8, :. 2x +y =3,:. —1 +—4 =—1 (—1 +—4 )(2x+y)=—1 (5+—y +—8y )> —1 (5+2E —y —8x )=3' I 42x8x Iy2y:. —2x +—y的最小值为3. 2A. 2 【答案】C【解答】解：因为y) B. 4C. 6D. 82 =3 — 2✓2'【解答】解： '.' X > Q , =2x+(x > 1)的最小值是(=2x + 2(x > 1),99 - 4．筑梦江苏高考数学精品群2368021441 1 x +2y 2x3, (当且仅当y=——,2 2 X y22=2(x — 1)+x �l +2?2二+2=6,当且仅当2(x — 1)= 故选： C.1即x=2时取等号，此时取得最小值 6.11. 若正数a 、b 满足ab=a+b+3, 则ab 的取值范围是( )A. [9, +oo ) C. (0, l]LJ[9, 也 ） 【答案】AB. (—oo , l]LJ [9, +oo ) D. [1, 9]【解答】解：正数a 、b 满足ab=a+b+3, ·: a+b �2矗 ，当且仅当a=b 时取等号， :.ab=a+b+3):2矗+3解不等式可得，心屈复或｀盂乏— 1 (舍） 则ab 凌9 故选： A.12. 已知X, y 为正实数，且满足x 2+4y 2+.xy =5, 则x+2y 的最大值是（）A. ✓2【答案】BB. 2✓2C. fjD. 2✓3【解答】解：由基本不等式可知，xy =—2 x •2y ,s; —2 (2 ) '当且仅当x=2y 时取等号 ·: X'y 为正实数，且满足x 2+4y 2+xy =5,:.(x+2y)2— 3xy =5即3xy =(x +2y)2 —5::;;(x+2y) ✓X=五时取等82号）解可得，0< x+2y 霆✓2'则x+2y 的最大值是2✓2.故选： B.13. 已知x>O, y >O, 且满足x +—y +—l +—8= 1010, 则2x+y 的最大值为X —筑梦江苏高考数学精品群23680214455【答案】18【解答】解： x+—y +—1+—8=10, 变形为2x+y ＋ —2 ＋ —8 =10 . 2Xy 2 2x y·: x >O, y >0,10(2x+y )=(2x y ) 2 +10千气(2x y) 2+10+2尸=(2x y ) 2+18,当且仅当y =4x =—4或12时取等号．3化为(2x+y — 18)(2x+y — 2) ::;;0, 解得2::;;2x+y ::;;18 . :. 2x+y 的最大值为 18. 故答案为： 18.14. 已知x>O, y >O, 若4x 2+y 2+xy =I, 求2x+y 的最大值．【答案】2而【解答】解：化简4x 2+y 2+xy =1 得，3xy =(2x + y)2 —1; ·: 2x+y 哀喜； 故8xy ,s;(2x +y)2,即8[(2x+y)2 —l 长3(2x +y)2, 即(2x+y ) 2 8,s; —5 故(2x+Y)max =2而. 15. 已知： x >O , y >O, X'F-J, 且x+y =x 2+y 2+xy , 求证： l <x+y<—4.3【答案】【解答】证： 由已知得： x+y =(x+y)2 —xy ;即xy =(x+y)2 —(x+y);·: X >0, y >0, X 'F y ;:. 0<xy <(x+y )2; 211; ; ; ,筑梦江苏高考数学精品群236802144即0<(x +y)2 —(x +y)<(x +y )2; 2 :.O<(x +y)—1<x +y;解得l<x +y <—4;3 :.结论成立．声明：所有试题来自千网络，由山羊老师整理，恳请各位老师或者同学多多指点，提提意见。
基本不等式与柯西不等式(教师)
基本不等式与柯西不等式1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 推论：如果a 、b 、c ∈+R ，那么3a b c++≥ （当且仅当 时取“＝”号）4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．注意：利用均值定理求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；若条件不满足时，应进行适当的分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式，这是解决问题的关键所在。
若多次运用均值不等式求最值，必须保证每次取“=”的一致性。
5.柯西不等式：22222,,,,)(d )()a b c d R ab c ac bd ∈++≥+则（，当且仅当a b c d=时取“=”号推论：222111,,,()nnni iii i i i i i n N a b R a b a b ===∈∈=∑∑∑则，当且仅当1212n na a ab b b == 时取“=”号1. 若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 .答案 161 2. 已知a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，则a +2b 的最小值为 .答案 7+26 3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 .答案 44.x +3y -2=0，则3x+27y+1的最小值为 .答案 75.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 .答案 36.设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小 ．例1 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值； （2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（3）求函数xx y 22sin 4sin +=的最小值 变式训练：1.若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =9，求x +y 的最小值.2.已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+ybx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，．3.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2 -21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)= ()11--x ，即x =2（舍）或x =0时取等号.即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.例2. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x 162米.则总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162 =1 296x +x 1002961⨯+12 960=1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960≥1 296×2x x 100∙+12 960=38 880（元），当且仅当x =x100(x ＞0),即x =10时取等号∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. （2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(此时x 162=16),g (x )有最小值， 即f (x )有最小值.1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元.变式训练：甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v (千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］. （2）依题意，有s ,b ,a ,v 都是正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c ,则当且仅当v =bv a ⇒v =ba时,y 取到最小值. ②若ba≥c ,则y 在（0，c ］上单调递减， 所以当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ； 当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c . 例3.已知x 、y 、z 均为实数，（1）若x +y +z =1,求证：13+x +23+y +33+z ≤33； （2）若x +2y +3z =6，求x 2+y 2+z 2的最小值.（1）证明 因为（13+x +23+y +33+z ）2≤(12+12+12)(3x +1+3y +2+3z +3)=27.所以13+x +23+y +33+z ≤33.(2)解 因为(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)≥(x +2y +3z )2=36,即14(x 2+y 2+z 2)≥36, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为718. 例4．（1）求证：)(222222444c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++。
2.2基本不等式教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版
师生活动：学生讨论后回答.教师总结;分析法时一种“执果索因”的证明方法，即从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
追问2：根据刚刚的证明过程，说说分析法的证明格式是怎么样的？
叫作正数a,b的算术平均数。基本等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
问题2：能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢?
师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差法进行证明.教师在肯定该方法之后，给出教科书上44页用分析法证明的过程，同时指出，把上述分析过程倒过来，就能用不等式的性质来证明不等式了。
追问3：本题的解答过程中是否必须说明“当且仅当 时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.教师总结，并给出变式：
追问4：本题与例1的区别是什么？能用基本不等式解决吗？
师生活动：学生讨论后回答.教师总结：由于 ，与不等式中的正数条件不符，故需要进行转化，利用 从而求得原式的最大值，并注意验证等号成立条件。
教学设计
课程基本信息
学科
高中数学年级高一ຫໍສະໝຸດ 学期秋季课题
基本不等式不等式（1）
教科书
书 名：普通高中教科书 数学 必修 第一册 教材
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年4月
教学目标
1.理解基不等式的含义与几何解释，发展逻辑推理能力。
2.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算素养。
师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步都要用“要证......只要证......”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”.
专题2.2---基本不等式及其应用--教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
高中数学不等式知识点总结教师版
/ 12 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）abba（对称性） （2）cacbba,（传递性） （3）cbcaba（加法单调性） （4）dbcadcba,（同向不等式相加） （5）dbcadcba,（异向不等式相减） （6）bcaccba0,. （7）bcaccba0,（乘法单调性） （8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘） (9)0,0ababcdcd（异向不等式相除） 11(10),0ababab（倒数关系） （11）)1,(0nZnbabann且（平方法则） （12）)1,(0nZnbabann且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2aaRa则若 （2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 .2abab（当仅当a=b时取等号） 极值定理：若,,,,xyRxySxyP则： ○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
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2016-2017普集高中10月月考卷3考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师一、选择题1．下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．1y xx =+ B ．2y =C ．y =D ．3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠【答案】B 【解析】试题分析：A ．对于函数1y x x=+，当0<x 时，0<y ，不满足函数的最小值等于2，故排除A ；B ．对于函数211111112222222≥+++=+++=++=x x x x x x y ，当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时等号成立，故其最小值为2；C ．对于函数y =42+x 和412+x 不能相等，故有2>y ，故排除C ；D ．对于函数3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠，当10<<x 时，0<y ,故不满足函数的最小值等于2，排除D.故选B ． 考点：基本不等式.2．函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()13x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又因为点P在直线10mx ny +-=上，所以41m n +=，()141444417n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++⎪⎝⎭1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D.考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（ ） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以43=mn ，而182=≥+mn n m ，故选D.考点：基本不等式 4．若直线1x ya b+=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】试题分析：∵直线1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴111=+ba ．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等号．故答案为：C ． 考点：基本不等式.5．已知0a >，0b >.3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意233a b ⋅=，所以1a b +=，则1111()()2a ba b a b a b b a+=++=++24≥+=（当且仅当a b =时等号成立），即最小值为4．故选B ． 考点：基本不等式．【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把11a b +变为11()()a b a b++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意． 6．已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，因为1>x ，所以10x ->，则11)(-+=x x x f 1(1)11x x =-++-13≥=，当且仅当111x x -=-时，即2x =时等号的是成立的，故选C ． 考点：基本不等式的应用．7．若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴3311555x y xy y x+=+=，∴()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131231355555x y y x =++≥+=，当且仅当12355x y y x =即12x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ． 考点：基本不等式的应用．8．已知0,0a b >>且21a b +=，若不等式21m a b+≥恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：212122()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=,当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立，所以21a b +的最小值为9，又因为21m a b+≥恒成立，所以9m ≤，即m 的最大值为9，故选B. 考点：基本不等式.【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，中档题；就用基本不等式求最值时要保证所用的两个数均为正数、和或积为定值、且两个数相等，才能取到最大值或最小值，三者缺一不可，在求最值过程中，有时还需要配凑系数或进行适当变形，如本题中的变形212122()(2)5b aa b a b a b a b+=++=++. 9．设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为 A.22 B.22+1 C.22+2 D.22+3【答案】D 【解析】 试题分析：()212122133b a ab a b a b a b b a b a a b ⎛⎫∴=+∴+=∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时等号成立，所以最小值为3+ 考点：不等式性质10．函数()04)(2>+=x xx x f 的最小值为（ ）A.2B.3C.D.4 【答案】D 【解析】试题分析：()4424=⋅≥+=x x x x x f ，等号成立的条件为()04>=x xx ，即当2=x 时，函数的最小值为4，故选D. 考点:基本不等式11．如果实数,x y 满足4x y +=，则22x y +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：因4)2(2222=+≥+y x y x ，故22x y +8≥，所以应选C. 考点：基本不等式及运用．12．已知3x+y=10,则的最小值22y x +为（ ）A ．101B ．10C ．1D ．100 【答案】B 【解析】试题分析：()222221031060100x y x x x x +=+-=-+,结合二次函数性质可知函数最小值为10考点：函数求最值13．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ）A ．8M ≥B ．118M ≤<C ．18M ≤<D ．108M ≤< 【答案】A 【解析】试题分析：因为1a b c ++=，所以111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝(1)(1)a b c a b ca b++++--（1a b cc++-）＝()()()88b c a c a b ab bc ac abc +++≥=，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选A.考点：基本不等式．二、填空题 14．当时，函数224x x y x++=的最小值为_____________。
【答案】6. 【解析】试题分析：由已知0x >得，函数22444226x x y x x x x x ++==++≥=g ，所以函数224x x y x++=的最小值为6.故答案为：6. 考点：均值不等式.15．已知0x <，求21x y x+=的最大值= .【答案】-2. 【解析】试题分析：由0x <，则2112x y x x x +==+≤-=-. 故答案为：-2. 考点：均值不等式.16．已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为y x ,为正数，且22=+y x ，95822582)2)(81(8=+⋅≥++=++=+xyy x x y y x y x x y xy y x ， 当且仅当344==y x 时，等号成立，所以xy y x 8+的最小值为9.考点：基本不等式 17．设01x <<，则141x x+-的最小值为______________. 【答案】9 【解析】 试题分析：因为01x <<，所以011x <-<，则141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---59≥+=，当且仅当14113x x x x x -=⇒=-时，等号成立，故141x x+-的最小值为9.考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用011x <-<是解答本题的关键. 18．若对0,0x y >>，有21(2)()x y m x y++≥恒成立，则m 的最大值为 . 【答案】8 【解析】试题分析：21(2)()x y m xy ++≥恒成立min21(2)()0,0x y m x y x y ⇔++≥>>Q214(2)()448y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当20x y =>时取等号8m ∴≤考点：基本不等式 19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】()(),14,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.三、解答题20．求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++;（2）>【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明不等式可用综合法和分析法，结合特点可知（1）中证明时可利用不等式性质利用综合法证明，（2）中不等式证明时可采用分析法试题解析：（1） ∵222a b ab +≥,222a c ac +≥，222b c bc +≥将此三式相加得2222()222a b c ab ac bc ++≥++,∴原式成立（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2即证402422>。