二次函数最值问题类型题总结

二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的最大值或最小值问题 知识点：1、配方法：将二次函数的一般式),,,0(2

都是常数c b a a c bx ax y ≠++=化为顶点式()k m x a y ++=2 （1）若0>a ，y 有最小值.当m x -=时，y 取得最小值k

（2）若0

2、公式法：直接利用二次函数图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--a b ac a b 44,22求解.

（1）若0>a ，y 有最小值，没有最大值，当a

b x 2-=时，a b a

c y 442-=最小值. （2）若0

b x 2-=时，a b a

c y 442-=最大值. 考察方向：一、1、已知二次函数的图像确定二次函数的最值

例1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的部分图象如图所示，则该函数有最 值，

最值为 .

2、已知二次函数表达式求函数最值⎩

⎨⎧数最值定义域区间范围内求函在给定函数最值在函数整个定义域内求 ②①

①在函数整个定义域内求函数最值

例2、二次函数522-+=x x y 有（ ）

A.最大值5-

B.最小值5-

C.最大值6-

D.最小值6-

②在给定 定义域区间范围内求函数最值

二次函数在自变量n x m ≤≤的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3、当22≤≤-x 时，求函数322

--=x x y 的最大值和最小值

例4、二次函数()512

+--=x y ，当n x m ≤≤且0

3、由二次函数的最大值或最小值求二次函数表达式中的待定系数（解答最值问题忽略二次项系数的符号）

例5、已知二次函数()()012

≠-+=a b x a y 有最小值1，则b a ,的大小关系是什么

例6、已知二次函数()()0112

≠-+-+=m m x m mx y 有最小值0，则m 的值是多少

二、4、二次函数最值在实际应用题间的应用（①生活中的应用②几何图形面积最值问题）

例7、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-

，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．

（1）试确定b c 、的值；

（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；

（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少

y 2

例8、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．