素数定理的一个初等证明

[
º »¼

ª «¬
[ Байду номын сангаас
º »¼

ª « ¬
ª «¬
[
º »¼
u

º » ¼

ª «¬
[
º »¼

ªª «¬ «¬
[
º »¼
u
º »¼

ªª «¬ «¬
[
º »¼
u
º »¼

ªª «¬ «¬
[
º »¼
u
º »¼
u

»º ¼

ª « ¬
S
[ [H
ˈ>>[I@@
[I u
S
>>[I @@

!


䖭䞠 GL ᰒ✊ᇣѢ GL Ԛᑊϡᕅડ GL [ !
˄˅ G P [ G [ !
I [H
S
Sd S [H S

䖭ḋህᇚℷᭈ᭄ߚ៤᮴䰤Ͼ⬅᳝䰤᭄ᄫ㒘៤ⱘৄ䰊ˈህᇚℷᭈ᭄੠㋴᭄㘨㋏䍋ᴹњDŽ೼
↣Ͼৄ䰊Ё S [H ᰃϡবⱘˈ I [H гᰃϡবⱘDŽ [Q ߭⬅ DQ ব࣪ࠄ EQ DŽ೼ϡৠⱘৄ䰊Ё S [H ᰃব࣪ⱘˈ I [H гᰃব࣪ⱘDŽ

http://www.paper.edu.cn
ḍ᥂ᅮН ˈᇚ㞾✊ ᭄ [ Ьҹ Ă S [H ˈ᭄݊ؐ 䖒ࠄ [
S DŽ೼↣Ͼ
Sd S [H
S ऎ䯈ˈᇚ Ă S [H ঞ݊ড়᭄ㄯএˈ೼↣Ͼ S ऎ䯈࠽ԭⱘ᭄ᄫϾ᭄Ў
Sd S [H
[
c

ˈгᇚ
¦ ¦ G [cH ! G [sH
˄˅ GL [ G [ !
㢹ᇚ Ьҹ S [ S ˈ u 7
ᇍ ᴹ䆆ˈ SL S [ S
¦ ¦ 䙷М GL [ G [ ! ˈ݊ G [H

http://www.paper.edu.cn
D DŽᇚ ė 鹵Ў㄀ Ͼৄ䰊ˈ⫼ 7 㸼冫DŽ䆹ৄ䰊ЁӏᛣϔϾ᭄⫼ [ 㸼冫ᇚ 3 鹵Ў
㄀ Ͼৄ䰊ⱘৄ䰊㋴᭄DŽ⫼ S [H ៪ S [H 㸼冫DŽ 3 [H 3
> @ ᔧN
ˈ I [H
u
ԡѢ [ Пࠡⱘ࠽ԭ᭄ᄫᏆܼ䚼ᰃ㋴᭄ˈҸ
[I [H [
S
Sd S [H S

ᅮН ˖៥ӀᇚϞ䗳ㄯ⊩鹵Ў S ㄯ⊩ ˈᇚ [I [H 鹵Ў䇌 [ ऎ䯈᭄ᄫϾ᭄ⱘᑇഛؐDŽ
㋴᭄Ϣ໮⃵পᭈㅫ⊩
ᇚ [I [H ሩᓔˈᑊ↣䖯㸠ϔ⃵䖤ㅫৢेপᭈ
[

ª «¬
¦ S [ ˈ >>[I [ @@ ¦ G [ u

http://www.paper.edu.cn
¦>>[I [H @@ ¦ G [H u ˈ [ u
http://www.paper.edu.cn
㋴᭄ᅮ⧚ⱘϔϾ߱ㄝ䆕ᯢ
৥‫ڬ‬ำ ༘ᆴ੟ ॲુಘாٝྜࢳ༰ཙࡎၝ ಋཽ ॲુӖ༰೴༰༰ၝ ಋཽ
ᨬ 㽕˖ᴀ᭛߽⫼ᬍ䖯ⱘ඗ศㄯ⊩ˈⷨお໮⃵পᭈㅫ⊩Ϣ㋴᭄ঞᑇഛؐⱘ݇㋏ˈ㒭ߎњ㋴᭄ ᅮ⧚ⱘϔϾ߱ㄝ䆕ᯢDŽ
݇䬂䆡˖㋴᭄ᅮ⧚˗㋴᭄ߚᏗ˗ৄ䰊㋏᭄˗ㄯ⊩DŽ Ё೒ߚ㉏ো˖ 05˄˅ Џ乬ߚ㉏ো˖1 ᭛⤂ᷛ䆚ⷕ˖$
ᓩ㿔
ӫ᠔਼ⶹˈ㋴᭄ᅮ⧚ᰃ᭄䆎З㟇ᭈϾ᭄ᄺЁ᳔㨫ৡⱘᅮ⧚ПϔDŽ
ᑈˈгህᰃ催ᮃ ቕⱘᯊ‫ߎᦤˈ׭‬њ䖭ḋⱘ⣰ᛇ˖ S [ ੠ߑ᭄
³ /L [ [ GW ORJ W

⏤䖥ഄⳌㄝˈ⬅Ѣ /L [ a [ ORJ [ ˈ᠔ҹ䖭ⳌᔧѢ
S [ a [ ORJ [

S [ ˈ SP S [ S ˈ SQ S [H S I [H I ˈ I [ I
¦ G [ u ¦ G [H u
S ˈ䖭ѯ᭄ᄫᰃҹ
S ЎᎺেᇍ鹵DŽ
Sd S [H
Sd S [H
[ Ͼ S ऎ䯈࠽ԭⱘ᭄ᄫϾ᭄Ў [
S
Sd S [H
[ Ͼ S ऎ䯈гৃⳟ៤ S Ͼ [ ऎ䯈ˈᑇഛ↣Ͼ [ ऎ䯈ⱘ᭄ᄫϾ᭄Ў
[
S
Sd S [H S

¦ G [ ᰃ⬅ P 乍㒘៤ⱘˈ݊㄀ V 乍˖
G V [
[

I
[H u
SV

¨¨©§
ª « ¬
[ SV
º » ¼
ªª ««¬«¬
[ SV
º » ¼
u
º
S
» »¼

ª « «¬
ª « ¬
[ SV
º » ¼
u
S
º » »¼

ªªª
« «¬
[ !
¦ G [ ˖ᇚ [ ᠽ໻ SV ‫ ˈৢס‬G L [ ! ˈ G P [ G [ ! ˈ G V [ Ў
᳔ᇣؐDŽ
ħ
¦G [
P

!
GV
[

՟˖ [ ˈ S [ S ˈ S [H ˈ SV
º » ¼

ªª «« ¬¬
S
[ [H
º » ¼
u
º »¼
ĂĂ
¦ ¦ ᅮН ˖ੑϞᓣЎ >>[I [H @@[I [ ⱘሩᓔᓣⱘ໮⃵পᭈㅫ⊩Ў >>[I [ @@ˈ
¦ >>[I [H @@䰸њ [ ҹ໪䖬᳝ Q 乍ˈ݊Ё㄀ N 乍Ў
>>[IN @@
ª « ¬
¦ S [ t >>[I [H @@

¦ ¦ >>[I [H @@ˈ >>[I [ @@Ϣᑇഛؐ [I [H [I [ ⱘ݇㋏
¦ ¦ ᅮН ˖ੑ G [ >>[I [ @@ [I [ 䖭䞠ϔ݅⬅ P 乍㒘៤ˈ݊Ё㄀ N 乍Ў
䖭г᳒⬅ࢦ䅽ᖋϡकߚᯢ⹂ഄ⣰ᛇ䖛DŽ
ᑈˈજ䖒⥯੠⪺㦅Ꮧḥ߽⫼໡ߚᵤǃᇸ݊ᰃ咢᳐9 ߑ᭄‫ৢܜ‬⣀ゟഄ䆕ᯢњ݀ᓣ˄
˅ˈे⦄೼❳ⶹⱘ㋴᭄ᅮ⧚DŽ
䭓ᳳҹᴹˈ԰㗙䗮䖛㗗ᆳϔगғҹ‫ݙ‬㋴᭄೼ Ͼৄ䰊៪ऎ䯈ⱘব࣪ᚙ‫ˈމ‬ᡒࠄњ
㋴᭄ߚᏗⱘব࣪㾘ᕟˈᕫࠄњ䅵ㅫ㋴᭄Ͼ᭄ⱘϔ辵ᮄᮍ⊩ˈ䆕ᯢњ㋴᭄ᅮ⧚DŽ
S [H Ϣ S [ ⱘ݇㋏
ᅮН ˖Ҹ S [ ៪ SP ЎᇣѢᑊ᳔᥹䖥ㄝѢ [ ⱘ㋴᭄DŽ໻Ѣ䖭ϔ㋴᭄ⱘϟϔϾ㋴᭄ ⫼ S [ 㸼冫ˈᇣѢ䖭ϔ㋴᭄ࠡ䴶ⱘϔϾ㋴᭄⫼ S [ 㸼冫ˈᡞ S [ 鹵Ўᮍḍ㋴᭄DŽ
S [ d [ S [
««¬ «¬
[ SV
º » ¼
u
S
º »u »¼
S
º » ¼

¸¸¹·
¦ [ I [H >>[ I [H @@
¦ G V [ G [H

¦ 㢹
G [ H ! ߭ G V [
ᅮН ˖ੑ SL S [ d [ S [ SL ˈҢ ㋴ ᭄ 㸼 Ё ᕫ ⶹ ৄ䰊 П ৢ ˈ

ৄ䰊ЁӏᛣϔϾ᭄ [Q ˈᔧ [ 䕗ᇣᯊˈ S [H t S [ ೼㄀ϗৄ䰊ҹৢ
S [H ! S [H t S [

䱣ⴔ S [ ⱘ↨ؐ䗤⏤‫ޣ‬ᇥˈ S [H ੠ S [ ⱘᏂؐ᳈໻DŽ [
㋴᭄Ϣ໮⃵পᭈㅫ⊩
S ㄯ⊩ Ϣᑇഛؐ
¦ >>[I [ @@া㛑ㄯএϔϾ㋴᭄ˈ㗠 [I [ u ! S [
¦ ¦ ħ
G [H t G [

ੑ [ ⱘ S [H SG
[ [ SV DŽ 䱣ᇚ [ ᠽ໻ SV ‫ˈס‬೼ E Пৢ
¦ ¦ G [ H ! G [ H !
¦ ¦ ˄˅ G [H ! G [H
¦ ¦ G [H ! G [H
¦ 7 ˈ䆹ৄ䰊 G [sH Ў᳔໻ⱘϔϾ ᭄ [s ˈ 7 ˈ䆹ৄ䰊ⱘ
¦G
[
c

H
Ў᳔ᇣؐⱘϔϾ᭄
ᰒ✊ˈᔧ I [QH
u
u
uu
SQ SQ
ᯊˈ
EQ
>H I [H @ Ў 7Q ⱘৄ䰊ሒ᭄
EQ EQ Ў 7Q ⱘৄ䰊佪᭄ DQ ˈ 3Q Ў 7Q ⱘৄ䰊㋴᭄ˈ‫ݭ‬៤ S [H ៪ 3Q DŽ 7 Q ৄ䰊Ёӏᛣϔ
Ͼ᭄‫ݭ‬៤ [Q ˈ 7Q ⱘৄ䰊㋏᭄ > @
H
>@ >@
ᅮН ˖ᇚ 鹵Ў㄀ϔৄ䰊ሒ᭄ˈ⫼E 㸼冫ˈE ᇚ 鹵Ў㄀ϔৄ䰊佪᭄ˈ⫼D 㸼冫 ˈ
ᬊ〓᮹ᳳ˖ ᑈ ᳜ ᮹ ԰㗙ㅔҟ˖㔫䌉᭛ˈ⬋ˈ䖑ᅕⳕᕄ℺ওҎˈ ᑈ ᳜↩ϮѢ≜䰇䕏ᎹϮᄺ䰶DŽ䖑ᅕⳕ䕏ᎹϮ里ᄺⷨお䰶
催㑻Ꮉ⿟Ꮬˈ⬉䆱˖

ˈ
E
H
>@
ᰒ✊ˈS [H S 鹵Ў㄀ ৄ䰊ⱘৄ䰊㋴᭄ˈD ˈE ˈ o 7 ˈ
⫼ S [H 㸼冫ࠡϔϾৄ䰊ⱘৄ䰊㋴᭄ˈ S [H S ˈ⫼ S [H 㸼冫ৢ䴶ϔϾৄ䰊
ⱘৄ䰊㋴᭄ S [ H S DŽᡞ S [H ៪ S [H 鹵䖭 7 ⱘৄ䰊㋴᭄DŽ
‫ݡ‬ᴹⳟ ⱘ GL [

ħ ᇍѢ [ ᴹ䆆ˈ SL S [ S DŽ
ª º «¬ »¼
ˈ S
u
ৄ䰊ⱘߦߚϢৄ䰊㋴᭄
ৄ䰊ⱘߦߚϢৄ䰊㋴᭄
Ҹ I [N H
Sd SN
S ˈ S
S
S
S
SQ SQ
> @ EQ H I [NH

> @ ᔧ N ˈ I [H
S S
ˈ [

http://www.paper.edu.cn
G N [
[I N u
SN
>>[I N @@
¦ ¦ G [H >>[I [H @@ [I [H
㢹ᇚ [ 䗤⃵ᠽ໻ᇍ↨ㄯߚࠄ S [ SP ᯊˈԡѢ [˄ࣙᣀ [˅ПࠡᏆܼ䚼ᰃ㋴᭄੠ ˈ ೼ E Пৢˈ㢹㒻㓁ᠽ໻ᇍ↨ㄯߚࠄ S [ ᯊDŽ
[ SN
º » ¼
ªª

« «¬
« ¬
[ SN
º »u ¼
º »
S »¼

ªª ««¬ «¬
[ SN
º » ¼
u
S
º » »¼

ªª ª ««¬««¬ «¬
[ SN
º »u ¼
S
º » »¼
u
S
º » »¼
ĂĂ

ḍ᥂݀ᓣ >@ ˖ ᰒ✊
¦ S [ P >>[I [ @@ ¦ S [ Q >>[I [H @@