因式分解(第三课时)
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
人教版八年级数学上册《因式分解-公式法》第3课时课件
分析
设： + = ，
2
则原式= − 12 + 36
2
2
= −2 ∙ ∙ 6 + 6 .
探究新知
例
1
分解因式：
+
2
− 12 + + 36；
解：原式= +
2
2
−2∙ + ∙6+6
2
= ห้องสมุดไป่ตู้−6 .
探究新知
例
2
分解因式：
2
49 − 28 + + 4 + ；
2
+ 2 ∙ − 4 ∙ 4 + 4
= 2 − 4 + 4
2 2
2
2
探究新知
例
2
2
已知 − 4 + − 10 + 29 = 0，
2 2
求 + 2 + 1 的值.
2
2
2
− 4 + 2
2
− 10 + 5
2
= −2∙∙2 +2
2
−2∙∙+
2
2
2
− 2 ∙ − ∙ 5 + 5
2
= − − 5 .
2
探究新知
例
3
分解因式：
−
2
2
+ 10 − + 25 ；
解：原式= −
2
= −
2
方法二
+ 10 − + 25
2
+ 2 ∙ − ∙ 5 + 5
2015年河北中考数学总复习课件(第3课时_因式分解与分式)
x2 x 4． [2014· 河北] 化简： － ＝ x－1 x－1 x A．0 B．1 C．x D. x－1
( C )
解 析
根据同分母分式加减运算法则．
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第3课时┃ 因式分解与分式
5． [2013· 河北] 若 x＋y＝1， 且 x＋y 的值为________ ． 1 x
冀考解读
B． 0
课前热身
C．± 1
考点聚焦
D． 1
冀考探究
第3课时┃ 因式分解与分式
(1)判断一个代数式是否为分式，只看它的原形，绝对不能 以它变形之后的形式来判断．(2)要使一个分式有意义，只需要 具备一个条件：分母 ≠0；要使一个分式无意义，也是只需要 具备一个条件：分母＝ 0；分式值为 0 要同时具备两个条件： 分子＝ 0，分母≠ 0，两者缺一不可．同样，对分式意义的考查 也必须针对原式，而不能是化简后的式子．
定义 分 有意义 式 的条件 值为 0 的条件
A B 形如________( A，B 都是整式，且 B 含有字 母，B≠0)的代数式叫做分式
分母不为 0 分子为 0，但分母不为 0
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第3课时┃ 因式分解与分式
考点3 分式的基本性质
分式的基 A A×M A A÷M ＝ ， ＝ (M 是不等于 0 的整式) B B 本性质 B×M B÷M 适用范围 约分、通分
(a＋b)(a－b) a2－b2＝____________ (a± b)2 a2±2ab＋b2＝____________ ①因式分解与整式乘法互为逆运算； 整式乘积 的形式， ②因式分解的结果为____________ 且分解彻底
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
七年级数学下册 9.6因式分解(二)(第3课时)教案 苏科版
9.6乘法公式的再认识教案——因式分解(二)第3课时综合运用法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1. 进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.2. 学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法.3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止.4. 通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.5. 综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想.6. 进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观.说明以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式.教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题具体分析的方法，体会到成功的喜悦.二、教学重点、难点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.三、教具、学具投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示四、教学过程(一)设置情境情境1 比一比，看谁算得快(投影)(1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1(3)482＋48×24＋122 (4)5×552－5×452说明学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式.要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法.思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)情境2 分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案)②a4－2a2b2＋b4说明由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况.如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题.思考 (1)在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流)情境3 把下列各式分解因式(练习)(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a说明练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨.思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明.(2)请写出平方差公式和完全平方公式.(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？情境4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法.提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征.(2)整理知识结构图提公因式法：关键是确定公因式因式分解运用公式法平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2说明公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.结论多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全.(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1. 先提取公因式后利用公式例1 把下列各式分解因式(课本P93例5)(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)分析①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解.②注意(3)的公因式是(x－y)解：(1)18a2－50=2(9a2－25) (2) 2x2y－8xy＋8y=2(3a＋5)(3a－5) =2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由学生口述，教师板书说明 (1)本题要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解.(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总结，培养学生良好的学习惯.(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解.2. 两个公式先后套用例2 (课本P94例6)把下列各式分解因式(1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)(2)81x4－72x2y2＋16y4=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b=(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2←注意这不是结果=(3x＋2y)2(3x－2y)2说明：(1)本题还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.例3 (供选择)分解因式(1)(a2＋b2)－4a2b2(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1解：(1)(a2＋b2)－4a2b2 (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1 =(a2＋b2)2－(2ab)2 =[(x2－2x)＋1]=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab] =(x2－2x＋1)2=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) =[(x－1)2]2=(a＋b)2(a－b)2 =(x－1)4说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式.(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想.(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想.(三)因式分解的应用例4 阅读下列材料，然后回答文后问题已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入.解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=2(x－3y)2(2x＋y)当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题：(1)上述问题体现了思想，这种思想在求值问题中经常用到.(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由学生完成).说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题中的应用.例5 已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.解：用代数式表示阴影部分的面积为：(2a)2－πa2 即4a2－πa2当a=10, π取3.14时，4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86(四)练习1、辨析分解因式 a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”2. 选择题：多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )A、①②B、③④C、①④D、②③3.填空：请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是，分解因式的结果是 .本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式.4. 把下列各式分解因式(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2(6)x4－2x2＋1 (7)x4－8x2y2＋16y4分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评.五、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.六、作业：必做：课本P95习题9.6 5、6选做：1. 分解因式(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4 (3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)22. 已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值3. 利用图形面积因式分解①a2＋3ab＋2b2②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。
第3课时 整式及因式分解(含代数式)
2、字母是
相同字母
；
3、字母的次数 相同字母的最低次数 。
练习：①5x2－25x的公因式为 5x ； ②－2ab2＋4a2b3的公因式为 -2ab2 ， ③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是 x-1 。
第一单元 数与式
（2）公式法
①a2 -b2 =
因式分解 整式乘法
(a b)(a b)
②a2 2ab+b2 =
1.
【解析】 a 5 6 5 1.
第一单元 数与式
【点评与拓展】解决此类问题,一般注意有 三种形式:①所给代数式已是最简形式,直接 代入数字求值即可;②所给代数式通过变形 后有的部分与已知代数式相同,可考虑用整 体代入法;③所求代数式虽复杂,但可进行因 式分解、合并同类项等,先化简代数式,再代 入求值．
。
7 、4 ( x
2
2y)
2
25 ( x y ) ＝
。
中考考点清单
3.一般步骤 （1）如果多项式各项有公因式,应先提取公 因式; （2）如果各项没有公因式,可以尝试使用公 式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时, 考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组 的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底,必须分解到每 一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”
酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价
格下降15％，那么最终每桶的价格是_____________元。
第一单元 数与式
3.代数式求值 (1)一般地，用数值代替代数式里的字母,按照代数式中 的运算关系计算得出结果,叫代数式求值. (2)常用代数式求值的方法:直接代入求值法、整体代入 求值法.如:①直接代入法:若 x 1, y 2,则代数式 x2 y2 的值为① 5 ．②整体代入法:已知ab=１,a-b=２,则
第3课时 整式与因式分解
一提(提取公因式)； 二套(套公式法)； 一直分解到不能分解为止
三、合作探究
C
2.（2014•山东威海，第4题3分）已知x2﹣2=y，
则x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值是（ B ）
A. -2
B. 0
C.2
D. 4
三、合作探究
3.（2014•山东威海）将下列多项式分解因式，结果中
不含因式x﹣1的是（ D ）
等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的 anbn n为整数) 幂相乘．即：(ab)n＝________(
底数不变，指数相减. 即：am÷an＝ am－n a≠0，m、n都为整数) ________(
m＋n
幂 的 运 算
幂的乘方
积的乘方
同底数幂 相除
二、知识梳理
单项式与单 项式相乘
把它们的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式
整 式 的 乘 法
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把 单项式与多 所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb 项式相乘 ＋mc
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 多项式与多 的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ 项式相乘 n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
二、知识梳理
把系数与同底数幂分别相除，作为商 单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字 项式 母，则连同它的指数作为商的一个因 式
2x2+6x﹣5的值为 -3 ．
7.（2014•娄底）按照如图所示的操作步骤，若
输入的值为3，则输出的值为—— 55 ——
三、合作探究
8.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现： 从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍， 于是她设： S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69① 然后在①式的两边都乘以6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610② ②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所S= ，得出 答案后，爱动脑筋的小林想：
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师:课件、直尺、计算器等。
学生:练习本、钢笔或圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想:上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加.教师问3:思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答:可以把乘法法则反过来利用.教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5:你是如何计算的呢？学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6:能不能试着完成下列各题:计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答:(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答:底数不变，指数相减.教师总结:同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8:以上法则能用字母表示吗？学生总结:a m÷a n＝a m－n.教师问9:对指数有何要求吗？学生回答:m，n都是正整数，且m>n.教师总结:a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10:如何验证其正确性呢？学生回答:验证:因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11:对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12:计算:a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定:a0＝1(a≠0).教师问13:为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答:因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨:（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定:a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1:计算:（出示课件7）(1)x8÷x2；(2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下:解:(1)x8 ÷x2=x8–2=x6；(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨:计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2:已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下:解:∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14:计算:4a2x3·3ab2学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15:计算:12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答:（出示课件11）解法1: 12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2:原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答:（1）2x2；（2）4n教师问16:通过计算，你又发现什么规律？学生回答:单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨:（出示课件12）单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3:计算:（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下:解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答:长为(ma+mb)÷m.教师问19:如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答:计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20:（）填什么呢？学生回答:a+b教师问21:am ÷m+bm ÷m=？学生回答:a+b教师问22:观察上边的问题，你发现了什么？学生回答:(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23:计算下列各式:(1)(ax＋bx)÷x；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答:(1) a+b；(2) a+b；(3) 2x+y.教师问24:说你是怎样计算的？学生回答:多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25:它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答:(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键:应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4:计算:(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下:解: (12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨:多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5:先化简，后求值:[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下:解:原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算: (1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值:(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值；（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值；（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案:1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解:(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解:原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。
【试题研究】江苏中考数学复习讲练：第3课时 整式及因式分解（word解析版）
第一章数与式第3课时整式及因式分解江苏～中考真题精选命题点1 代数式及其求值（近3年39套卷，考查6次，考查11次，年考查7次）命题解读代数式及其求值近3年共考查24次，题型以填空题为主，主要考查的形式有：①结合提公因式，完全平方公式求代数式的值；②与方程、函数图象结合求代数式的值；③列代数式和求代数式的最值.1. （苏州9题3分）已知x-1x=3，则4－12x2+32的值为 ( )A .1 B. 32C．52D.722. （盐城9题3分）“x的2倍与5的和”用代数式表示为 .3. （泰州11题3分）若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是 .4. （连云港11题3分）已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)= .5. （淮安14题3分）若m2－2m－1＝0，则代数式2m2-4m+3值为 .6. （宿迁16题3分）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2-2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2-2x+3的值为 .7. （盐城16题3分）已知x（x+3）=1，则代数式2x2+6x-5的值为 .8. （泰州14题3分）已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式b aa b的值等于 .9. （淮安18题3分）观察一列单项式：x,3x2,5x3,7x,9x2,11x3,…，则第个单项式是_________.10. （南通18题3分）已知实数m,n满足m-n2=1,则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_________.11. （南通18题3分）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于 .命题点2 整式的运算（近3年39套卷，考查12次，考查14次，考查17次）命题解读整式及其运算近3年共考查43次，选择题、填空题主要考查整式的运算，解答题主要考查整式化简及求值．考查的内容有：①下列运算正确的是；②计算XX的结果；化简XX或化简后再求值.1. （淮安2题3分）计算a×3a的结果是（）A. a 2B. 3a2C. 3aD. 4a2. （南京2题2分）计算（-xy3）2的结果是（）A. x2y6B. -x2y6C. x2y9D.-x2y93. （徐州2题3分）下列各式的运算结果为x6的是（）A. x9÷x3B. (x3)3C. x2·x3D. x3+x34. （扬州2题3分）若□×3xy=3x2y,则□内应填的单项式是( )A. xyB. 3xyC. xD. 3x5. （镇江15题3分）计算-3（x-2y）+4(x-2y)的结果是（）A. x-2yB. x+2yC. -x-2yD. -x+2y6. （连云港2题3分）下列运算正确的是（）A. 2a+3b=5abB. 5a-2a=3aC. a2·a3=a6D. (a+b)2=a2+b27. （苏州11题3分）计算：a4÷a2= .8. （连云港10题3分）计算：（2x+1)（x-3）= .9. （南通13题3分）计算：（x-y）2-x(x-2y)= .10. （镇江11题3分）地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍.11. （无锡19（2）题4分）计算：(x+1)(x-1)-(x-2)2.12. （南通19（2）题5分）化简：［x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)］÷x2y.13. （盐城20题8分）先化简，再求值：(a+2b)2+(b+a)(b-a),其中a=-1,b=2.命题点3 因式分解（近3年39套卷，考查7次，考查5次，考查5次）1. （盐城11题3分）分解因式：a2-2a= .2. （苏州12题3分）因式分解：a2+2a+1=.3. （南通12题3分）因式分解：a3b-ab= .4. （南京10题3分）分解因式(a-b)(a-4b)+ab的结果是 .【答案】命题点1 代数式及其求值1. D【解析】∵x-1x=3，∴x2-1=3x，∴x2-3x=1，∴原式=4-12（x2-3x）=4-12=72.2. 2x+5【解析】根据题中表述可得该式应为2x+5.3. 1【解析】∵m=2n+1，∴m-2n=1，∴原式=(m-2n)2=1.4. 1【解析】∵(m-1)(n-1)=mn-m-n+1=mn-(m+n)+1,由已知mn=m+n,得原式=1.5. 5【解析】由m2-2m-1=0得m2-2m=1，所以2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×1+3=5.6. 3【解析】由题意可知，二次函数y=x2-2x+3的对称轴是直线x=1，则m+n=2，把x=2代入x2-2x+3，得22-2×2+3=3.7. -3【解析】∵x(x+3)=1,∴2x2+6x-5=2x(x+3)-5=2×1-5=2-5=-3.8. -3【解析】∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=-3ab，∴原式=2233.b a abab ab+-==-9. 4025x3【解析】系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n-1；x的指数依次是1，2，3，1，2，3，可见三个单项式一个循环，故可得第个单项式的系数为4025；∵20133=671，∴第个单项式指数为3，故可得第个单项式是4025x3.10. 4【解析】∵m-n2=1，即n2=m-1≥0，得m≥1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=（m+3）2-12，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于（1+3）2-12=4.11. 3【解析】∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=2223+3222m n m n m n+++++=;又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=-2，∴3322m n++=-2，∴3m+3n+2=-4，即m+n=-2.∴当x=3（m+n+1）=3（-2+1）=-3时，x2+4x+6=（-3）2+4×（-3）+6=3.命题点2整式的运算1. B【解析】本题主要考查单项式的乘法.单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.a×3a=3a2.2. A【解析】根据积的乘方运算法则计算可得：（-xy3）2=(-x)2·(y3)2=x2y6.3. A【解析】A. x9÷x3=x9-3=x6，故本选项正确；B. （x3）3=33x⨯=x9，故本选项错误；C.x2·x3=x2+3=x5，故本选项错误；D. x3+x3=2x3，故本选项错误.4. C【解析】根据题意得：3x2y÷3xy=x.5. A【解析】-3(x-2y)+4(x-2y)=x-2y.6. B【解析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，通过上述考查点所涉及的运算法则和公式进行逐项分析.选项逐项分析正误A 2a和3b不是同类项，不能合并×B 5a-2a=(5-2)a=3a√C a2·a3=a2+3=a5≠a6×D (a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2×7. a2【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．原式=a4 -2=a2.8. 2x2-5x-3【解析】(2x+1)(x-3)=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3.9. y2【解析】（x-y）2-x(x-2y)=x2-2xy+y2-x2+2xy=y2.10. 7【解析】设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，则32n-1=323-1×324＝326，得n-1=6，n=7.11. 解：原式＝x2-1-x2+4x-4＝4x-5…………………………………………………………（4分）12. 解：原式=［x2y（xy-1）-x2y（1-xy）］÷x2y…………………………………………（3分）=x2y（2xy-2）÷x2y=2xy-2.…………………………………………………………………………（5分）13. 解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2……………………………………………………………（3分）=4ab+5b2,………………………………………………………………………（5分）当a=-1,b=2时，原式＝4×(-1)×2+5×22=12.……………………………………………（8分）命题点3因式分解1. a（a-2）【解析】提取公因式a，即求得a2-2a=a(a-2).2. （a+1）2【解析】a2+2a+1=（a+1）2.3. ab（a+1）（a-1）【解析】a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）.4. (a-2b)2【解析】化简（a-b）(a-4b)+ab=a2-5ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2，再利用完全平方公式因式分解得：a2-4ab+4b2=(a-2b)2.。
初三上册数学 第一章_因式分解备课、第三课时公式法公式法(3)
公式法(3)
八年级主备人使用人审核人时间
一、教学目标：
1、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
2、通过对原多项式变形分解因式，提高学生思维的灵活性。
二、重点和难点：重点、难点、：对多项式如何恰当变形
三、教学过程：
（一）复习回顾：分解因式的方法：提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）
（二）导入新课：多项式x(x+6)+9能因式分解吗？同学们交流一下。
1、师生共讨：通过观察分析，不能直接运用公式进行因式分解，怎么办？
2、同学们讨论。
3、师引导学生先将原多项式变形，再根据多项式的特点判断选用哪个公式进行因式分解。
4、同学们自己去括号，变形进行因式分解。
5、找同学板演。
6、师生点评总结。
（三）练一练：例题5、例题6、
师生共同总结：利用活动经验，先将原多项式去括号、合并同类项后，再判断运用哪种方法分解因式。
（四）议一议：多项式因式分解的一般步骤是什么？同伴交流。
学生发言：
1、判断多项式有无公因式，能否运用提公因式的方法分解因式；
2、根据多项式的特点选择平方差公式、完全平方公式或其他公式；
3、选用其他方法分解因式。
（五）巩固提高：随堂练习习题1.6
（六）堂清：伴你学
（七）作业：伴你学
四、教学反思。
多项式的因式分解(第3课时)(课件)-七年级数学下册课件(苏科版)
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用公式法
完全平方公式 : a2±2ab＋b2＝(a±b)2
公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.
课堂检测
1.下列各式能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
2．若关于x的多项式x2＋mx＋1可分解成(x＋n)2，则n等于( A )
④a2－8a+( 16 ) =a2－2∙( a )∙( 4 )+( 4 )2=( a－4 ) 2
例题讲解
练一练：
2.将下列各式分解因式.
(1)a2－18a+81
(2)4a 2 +9b 2 +12ab
解：原式＝a2－2·a·9＋92
原式＝4a2+12ab+9b2
＝(a－9)2
加法交换律
＝(2a)2+2·2a·3b＋(3b)2
第九章 · 整式乘法与因式分解
9.5
多项式的因式分解
第3课时 用完全平方公式分解因式
学习目标
1．进一步理解完全平方公式的形式和特征，会
运用完全平方公式分解因式；
2．通过对比乘法公式和公式法因式分解的联系，
进一步ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ展逆向思维．
知识回顾
我们已经学过哪些分解因式的方法？
提公因式法： ab+ac+ad = a (b+c+d)
20232－4046×2022＋20222
解：原式＝20232－2×2023×2022＋20222
＝(2023－2022)2
＝1
新知巩固
中考数学一轮总复习 第3课时 因式分解(无答案) 苏科版
第3课时：因式分解【课前预习】 （一）知识梳理 1、因式分解的概念：2、因式分解的常用方法：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法.3、配方的思想方法. （二）课前练习1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.2(2)(3)56x x x x ++=++ B.1()1ax ay a x y -+=-+ C.2323824a b a b =⋅ D.24(2)(2)x x x -=+-2.分解因式：① ab a 222-= ；② 442++a a = ；③ 4x 2－25= ；④ =+-342a a ；⑤ =--4432x x .3.在多项式142+x 中，添加一个单项式使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是___________. 4.若x 是实数，说明代数式3x 2-6x+9的值大于0. 【解题指导】例1 把下列各式分解因式：①29xy x -； ②21222m m -+； ③24212x x --； ④625a b a b -； ⑤3216x -例2 把下列各式分解因式：① ()()23a b c c b -+-； ② ()()269a b a b -+-+； ③ 22216)4(x x -+；④ ()()2223234x x x x +-++； ⑤ y x y x 2222-+-； ⑥ 22944x y x y -+-．例3：已知2y x -=，31x y -=-，求2243x xy y -+的值.例4：（1）若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值（ ） A. 大于零 B. 小于零 C. 大于或等于零 D. 小于或等于零（2）已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A.Q P > B. Q P = C. Q P < D.不能确定【巩固练习】1．把下列各式分解因式：（1）4x 2－16＝ ；（2）2x 2＋4x ＋2＝ ；（3）x 2－6x －7＝ ； 2．若3=+y x ，1=xy ，则=+22y x ___ ___． 3、若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．4、若代数式26x x b -+可化为 2()1x a --，则b a -的值是 ． 5、下列因式分解错误的是（）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+6、下列多项式为5x 2+17x -12的因式的是（ ）A ． 1x +B ．1x -C ．4x +D ．4x - 7、把下列各式因式分解：（1）34x x -； （2）22310x xy y --； （3）4254x x -+； （4）()()2710a b a b -+-+；☆（5）)()()(y x c x y b y x a -+---；☆（6）321a a a -+-； ☆(7) 2244x y x --+☆8、已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -2、列因式分解错误的是() A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +4、分解因式：① 328x x -=__________；② _____________223=---x x x ； ④ 2221a b b ---= ；⑤ =+-+)(3)(2y x y x ．5、如果214x ax -+是完全平方式，则a = . 6、如果()()2222x mxy ny x y x y ++=+-，那么m = ,n = .7、把下列各式因式分解：①22242x xy y -+； ②22253x xy y +-； ③ 2224)1(x x -+；④ ()()21236a b a b +-++8、利用因式分解计算：①2991981++； ②⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2210119119、给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．10、已知：3a b +=，2ab =，求下列各式的值： （1）22a b ab +； （2）22a b +.二．选做题：1、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+2、已知二次三项式215x kx --能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 可以为 .3、对于任意自然数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除？为什么？4、已知2222450243.a a b b a b ++-+=+-，求的值5、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．b图甲 图乙。
《整式的乘法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第3课时整式的除法)
2.下列算式中，不正确的是( D
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
)
3.计算：
(1)(103)÷(52) =
(2)66÷ (33) =2a3
(3)(－12s4t6) ÷(2s2t3)2 = -3
例2 已知:=4，=9，
求Hale Waihona Puke (1) -；(2) -.4
解：（1）-=÷=4÷9= 9 .
(2)-2=÷=()3÷()2
64
=43÷92= 81 .
例3
如果2-1 ÷ 2 =xm+1，求的值.
解：∵ 2-1 ÷ 2
∴2
（4）(a-b)5÷(a-b)3
3、计算：
（1）(－a)5÷a3
（3）(a8)2·a4÷a10
（2）x8÷x2÷x3
（4）(a－b)2m÷(a-b)m
由单项式与单项式的
乘法法则计算.
探究：
（1）计算：4a2x3·3ab2= 12a3b2x3 ;
（2）计算：12a3b2x3
观察：
÷
3ab2=
4a2x3
.
由乘除法互为逆运
算可得结果.
12a b x (3ab )
3 2
解:原式= 12 3
3
2
·
(a 3 a) ·(b 2 b 2 ) · 3
（系数÷系数) (同底数幂相除）×单独的幂
=4a2x3 .
你能总结单项式与单项式相除的法则吗?
单项式除以单项式法则
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂
八年级数学上第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解第3课时公式法__平方差公式新新人教1
答案显示
1．a2－b2＝__(a_＋__b_)_(_a_－__b_)__，即两个数的平方差，等于这 两个数的__和______与这两个数的___差_____的积．
2．(2020·金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式 的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式； 解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律； 解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性． 证明：设m，n为整数(m＞n)，两个奇数可分别表示为2m＋ 1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)． ①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数， ∴4(m－n)一定是8的倍数； ②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数， ∴4(m＋n＋1)一定是8的倍数． 综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－ m)(a＋2)(a－2)．
多项式的因式分解-第3课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
（2）(x-y)2-1=________(x_-_y_+_1_)_(_x_-_y_-1__) ___________.
01 知问识题精引讲入
Q2：下列四项式能否因式分解
（1）ax+bx+ay+by；
（2）x2-2xy+y2-1.
提公因式？ 运用公式？
× 【结论】不能因式分解？
没有公因式！ (灬ꈍ ꈍ灬)
或者 第一步：分组提公因式 （选择x、y作为公因式） 原式=(ax-bx)+(ay-by) =x(a-b)+y(a-b) 第二步：提公因式(a-b) =(a-b)(x+y)
02 知识精讲
【1】因式分解——二二分组： （2）ac2+bd2-ad2-bc2
【解答】
第一步：分组提公因式
第三步：运用平方差公式
平方差公式——两项 完全平方公式——三项 but now——四项
01 知问识题精引讲入
Q3：完成下列表格 因式分解 (a+b)(x+y)
(x-y+1)(x-y-1)
原式 x(a+b)+y(a+b)
(x-y)2-1
八年级上册 14.3因式分解(3个课时)
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
么？
（1） x2+y2；
×
（2） x2 -y2；
√
（3） -x2+y2； √
（4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
（1） a2 - 1 b2； 25
（3） -1+36b2；
（2）9a2 -4b2； （4）（2 x+y）2 -（x+2 y）2．
综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4 -y 4；（2）a3b-ab.
解：（1） x4 -y4 =（x2+y2）（x2 -y2） =（x 2 +y 2）（x+y）（x-y）；
解：（2） -x2+4xy-4 y2 =-（x2 -4xy+4 y2） =-（x-2 y）2．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2） -2 xy-x2 -y 2； （3） a 2 + 2a+1； （4）4x2 -4x+1．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay2 ； （ 2）（a+b）2-1（2 a+b）+36 ．ห้องสมุดไป่ตู้
应用完全平方式
例1 分解因式： （1） 16x2+24x+9 ； （ 2）-x2+4xy-4 y 2 ．