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高考数学抛物线试题汇编

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十年高考分类汇编抛物线性质学生版

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抛物线性质1、抛物线y x =2的准线方程是_______，抛物线24y x =的准线方程为_______.，抛物线241x y =的准线方程是_______.2、抛物线28y x =的焦点坐标是3、已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为________4、抛物线28y x =的焦点到准线的距离是______________5、抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .6、抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .7、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是8、若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．9、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =10、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为（ ）A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D. 28y x =11、已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。

12、抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.13、已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43- B ．1- C ．34- D ．12- 14、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在15、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．3 16、将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3≥n17、设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________18、平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.19、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）7220、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 21、已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是22、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是（ ）A ．4B ．C ．D ．8选C 。

高中数学抛物线习题精选(带答案)

高中数学抛物线习题精选(带答案)

抛物线习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

高中抛物线试题及答案

高中抛物线试题及答案

高中抛物线试题及答案一、选择题1. 抛物线的标准方程为 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。

下列哪个选项不是抛物线的标准形式？A. \( y = 3x^2 - 4x + 5 \)B. \( y = -2x^2 + 3 \)C. \( x = 4y^2 - 6y + 7 \)D. \( y = 0 \)答案：D2. 对于抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \)，如果 \( a > 0 \)，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A3. 抛物线 \( y = x^2 \) 的焦点坐标是：A. (0, 0)B. (0, 1/4)C. (0, -1/4)D. (1/4, 0)答案：B二、填空题4. 抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 3 \) 的顶点坐标是 _________ 。

答案：(1, 1)5. 抛物线 \( y = -3x^2 + 6x - 5 \) 的对称轴方程是 _________ 。

答案：x = 1三、解答题6. 已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 (1, 2) 和 (-1, 6)，求抛物线的方程。

解：将点 (1, 2) 代入方程得 \( 2 = a(1)^2 + b(1) + c \)，即\( a + b + c = 2 \)。

将点 (-1, 6) 代入方程得 \( 6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \)，即\( a - b + c = 6 \)。

解得 \( b = -2 \)，\( a + c = 4 \)。

假设 \( a = 1 \)，则 \( c = 3 \)，抛物线方程为 \( y = x^2- 2x + 3 \)。

7. 已知抛物线 \( y = x^2 + 4x + 5 \)，求其焦点坐标。

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（抛物线）练习一. 基础小题练透篇1．已知点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．[2023ꞏ江西省南昌市摸底]设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝－1，点A 为C 上一点且|AF |＝5，过点A 作AP ⊥l 于P ，则|AP |＝( )A.4 B ．3 C ．2 D ．13．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点P 是抛物线上的动点，直线l 1的方程为2x －y ＋3＝0，过点P 分别作PM ⊥l ，垂足为M ，PN ⊥l 1，垂足为N ，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．655 B ．755C ．5D ．2＋3554．已知抛物线y 2＝16x ，过点M (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|AF |＝12，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是( )A.202 B ．102 C ．52 D ．5225．[2023ꞏ湖南省湘潭市一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52 ，若点M 的坐标为(0，1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x6．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若AF → ＝2FB →，则k 的值是( )A ．13 B ．223 C ．22 D ．247．[2023ꞏ江苏省高三月考]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，||PF ＝8，则点P 到x 轴的距离为____________．8．[2023ꞏ广东省深圳市月考]已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且△ABF 为正三角形，则p ＝________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广西柳州市摸底考试]已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l 是抛物线的准线，则F 到直线l 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若∠P AF ＝30°，则sin ∠PF A ＝( )A ．12B ．33C ．34D ．323．[2023ꞏ四川大学模拟]设点P 是抛物线C 1：x 2＝4y 上的动点，点M 是圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，d 是点P 到直线y ＝－2的距离，则d ＋|PM |的最小值是( )A ．52 －2B ．52 －1C ．52D ．52 ＋14．[2023ꞏ四川省高三模拟]已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，点M (2，0)为△ABC 的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB 的长为( )A ．8B ．6C ．5D ．45．[2023ꞏ广东省开平市高三检测]已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM → ＝2MN →，则||FN ＝__________．6．[2023ꞏ江苏省南京模拟]已知圆C: (x －3)2＋y 2＝4，点M 在抛物线T ：y 2＝4x 上运动，过点M 引直线l 1，l 2与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则|PQ |的取值范围为________．三. 高考小题重现篇1.[2022ꞏ全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若||AF ＝||BF ，则||AB ＝( )A ．2B ．2 2C ．3D ．322．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)4．[2020ꞏ北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．[2021ꞏ北京卷]已知抛物线C ：y 2＝4x ，C 的焦点为F ，点M 在C 上，若|FM |＝6，则M 的横坐标是________．6．[2021ꞏ山东卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ湖北省高三联考]记以坐标原点为顶点、F (1，0)为焦点的抛物线为C ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)已知点M 的坐标为(－2，0)，求∠AMB 最大时直线AB 的倾斜角；(2)当l 的斜率为12 时，若平行l 的直线m 与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．2．[2023ꞏ山西省运城市模拟]已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由题意，点P 到点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，则点P的轨迹是以F 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．答案：C答案解析：抛物线方程C ：x 2＝16y ，准线方程为：y ＝－4，因为|AF |＝5，所以点A 到准线的距离为5，且y A ＞0，直线l ：y ＝－1与准线方程的距离为d ＝3，所以|AP |＝5－3＝2 .3．答案：B答案解析：令抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，则F （2，0），连接PF ，如图，因为l 是抛物线y 2＝8x 的准线，点P 是抛物线上的动点，且PM ⊥l 于M ，于是得|PM |＝|PF |，点F （2，0）到直线l 1：2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×2－0＋3|22＋（－1）2＝755 ，又PN ⊥l 1于N ，显然点P 在点F 与N 之间，于是有|PM |＋|PN |＝|PF |＋|PN |≥d ，当且仅当F ，P ，N三点共线时取“＝”，所以|PM |＋|PN |的最小值为d ＝755.4．答案：A答案解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的定义可知，x 1＋4＝12，x 1＝8，y 21 ＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y 1＝82 ，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝16x ， 得y 2－16my －32＝0，y 1y 2＝－32，∴y 2＝－22 ，四边形OAFB 的面积S ＝12 |OF |·|y 1－y 2|＝12×4×102 ＝202 .5．答案：A答案解析：设T （x 0，y 0），则MT → ＝（x 0，y 0－1），又由F （p 2 ，0），所以MF →＝（p 2，－1），因为MF ⊥MT ，所以MF → ·MT →＝0，可得p 2x 0－y 0＋1＝0，由y 20 ＝2px 0，联立方程组，消去x 0，可得y 20 －4y 0＋4＝0，所以y 0＝2，x 0＝2p，故T（2p，2），又由|FT |＝x 0＋p 2 ＝52 ，所以52 －p 2 ＝2p ，即p 2－5p ＋4＝0，解得p ＝1或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝2x 或y 2＝8x .6．答案：C答案解析：直线l ：y ＝k （x －2）（k ＞0）过（2，0），即直线l 过抛物线的焦点F （2，0），画出图象如图所示，过A 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D ；过B 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 于E .依题意AF → ＝2FB →，设|AF |＝2|BF |＝2t （t ＞0）， 则|AE |＝|AD |－|BC |＝t ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，|BE |＝（3t ）2－t 2＝22 t ，所以直线l 的斜率k ＝|BE ||AE | ＝22 . 7．答案：43答案解析：由抛物线的定义可知：||PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x 中，得y 2p ＝48，所以||y p ＝43 ，故点P 到x 轴的距离为43 . 8．答案：2答案解析：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，|AF |＝3＋p 2 ，|FD |＝3－p2，又|FD |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ，所以12 ⎝⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ＝3－p2 ，解得p ＝2；当B 在焦点F 的左侧时，同理可得p ＝18，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意．二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由y 2＝8x 得p ＝4，所以F 到直线l 的距离为p ＝4. 2．答案：B答案解析：过P 作准线的垂线，垂足为Q ，由∠PAF ＝30°，可得∠APQ ＝30°，由题意如图所示：在Rt△AQP 中，cos ∠APQ ＝|QP ||PA | ＝32， 由抛物线的性质可得|PQ |＝|PF |，所以|PF ||PA | ＝32 ， 在△PAF 中，由正弦定理可得：|PA |sin ∠PFA ＝|PF |sin ∠PAF ，所以sin ∠PFA ＝|AP ||PF | ·sin ∠PAF ＝23·12 ＝33 . 故选B.3．答案：B答案解析：由题知圆C 2：（x －5）2＋（y ＋4）2＝4， ∴C 2()5，－4 ，r ＝2F （0，1）为抛物线焦点，y ＝－1为抛物线准线， 则过点P 向y ＝－1作垂线垂足为D ，如图所示：则d ＝1＋||PD ，根据抛物线定义可知||PD ＝||PF ， ∴d ＝1＋||PF ，∴d ＋|PM |＝1＋||PF ＋||PM ，若求d ＋|PM |的最小值，只需求||PF ＋||PM 的最小值即可， 连接FC 2与抛物线交于点P 1，与圆交于点M 1，如图所示，此时||PF ＋||PM 最小，为||FC 2 －r ，()d ＋||PMmin＝1＋||FC 2 －r ，∵F （0，1），C 2()5，－4 ，∴||FC 2 ＝52 ，∴()d ＋||PM min ＝1＋||FC 2 －r ＝52 －1. 故选B. 4．答案：B答案解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F （1，0）.根据题意可知，点M （2，0）为△ABC 的重心，若直线AB 的斜率不存在， 则不妨取A （1，2），B （1，－2），则结合重心可得C 为（4，0），不合题意； 故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1），k ≠0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （m ，n ），则有y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，n 2＝4m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）， 得ky 2－4y －4k ＝0，Δ＝16（1＋k 2）>0， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，因为点M （2，0）为△ABC 的重心，所以n ＋y 1＋y 23＝0， 即n ＝－()y 1＋y 2 ，所以m ＋x 1＋x 23 ＝2，∴m ＋x 1＋x 2＝n 2＋y 21 ＋y 22 4＝2()y 1＋y 22－2y 1y 24 ＝6，即32k2 ＋8＝24，解得k 2＝2，则||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝()y 1＋y 22－2y 1y 24＋2＝4k2 ＋4＝6，故线段AB 的长为6，故选B.5．答案：16答案解析：易知焦点F 的坐标为（4，0），准线l 方程为x ＝－4，如图， 抛物线准线与x 轴交点为A ，作MB ⊥l 于B ，NC ⊥l 于C ，AF ∥MB ∥NC ，则||MN ||NF ＝||BM －||CN ||OF ，由3FM → ＝2MN →，得||MN ||NF ＝35，又||CN ＝4，||OF ＝4，所以||BM －44 ＝35 ，||BM ＝325 ，||MF ＝||BM ＝325 ，||MF ||NF ＝25，所以||FN ＝16.6．答案：[22 ，4）答案解析：如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，CP ⊥MP ，CQ ⊥MQ ，而|CP |＝|CQ |＝2，而|MP |＝|MQ |，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt△CPM 面积的2倍，从而得12 |PQ |·|CM |＝2·12 |CP |·|MP |，即|PQ |＝2|CP |·|MP ||CM | ＝4|CM |2－|CP |2|CM | ＝41－4|CM |2 ，设点M （t ，s ），而C （3，0），s 2＝4t （t ≥0），则|CM |2＝（t －3）2＋s 2＝t 2－2t ＋9＝（t －1）2＋8≥8，当且仅当t ＝1时取“＝”，∀t ≥0，|CM |2∈[8，＋∞），因此得0<4|CM |2 ≤12 ，即12 ≤1－4|CM |2 <1，得22 ≤|PQ |<4， 所以|PQ |的取值范围为[22 ，4）.三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由题意得，F （1，0），则||AF ＝||BF ＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A （1，2）， 所以||AB ＝（3－1）2＋()0－22＝22 .故选B.2．答案：C答案解析：设焦点为F ，点A 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9， ∴9＋p2 ＝12，∴p ＝6. 3．答案：B答案解析：由抛物线的对称性不妨设D 在x 轴上方、E 在x 轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px得D （2，2p ），E （2，－2p ），∵OD ⊥OE ，∴OD → ·OE → ＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 . 4．答案：B 答案解析：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），P （x 0，y 0）（x 0>0），则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0 ，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02 ，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02 ＝py 0 （x －0），即2px －2y 0y ＋y 2＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20 ＝0，又2px 0＝y 20 ，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上．5．答案：5答案解析：设点M 的坐标为（x 0，y 0），则有|FM |＝x 0＋1＝6，解得x 0＝5.6．答案：x ＝－32答案解析：不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋p2，0 ， PQ →＝（6，－p ），因为PQ ⊥OP ，所以p2×6－p 2＝0，∵p >0，∴p ＝3，∴C 的准线方程为x ＝－32.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设直线的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）()y 1>0，y 2<0 . 记∠AMF ＝α，∠BMF ＝β，则tan α＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， tan β＝－y 2x 2＋2 ＝－y 2my 2＋3， 则tan ∠AMB ＝tan ()α＋β ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3()y 1－y 2()m 2＋1y 1y 2＋3m ()y 1＋y 2＋9. 由题设得抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1 消去x 得y 2－4my －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4，y 1－y 2＝4m 2＋1 ，∴tan ∠AMB ＝12m 2＋18m 2＋5，令t ＝m 2＋1 ，则t ≥1，∴tan ∠AMB ＝12t 8t 2－3 ＝128t －3t. 由单调性得当t ＝1时，tan ∠AMB 最大为125，此时m ＝0，直线AB 的倾斜角为90°. （2）设T ()x 0，y 0 ，TM → ＝λTA → ()λ≠1 则由AB ∥MN 得TN → ＝λTB →， ∴⎩⎨⎧y M －y 0＝λ()y A －y 0y N －y 0＝λ()y B －y 0 ，∴y M ＋y N －2y 0＝λ()y A ＋y B －2y 0 . 又∵k AB ＝12，∴y A －y B x A －x B ＝4y A ＋y B ＝12 ⇒y A ＋y B ＝8，同理y M ＋y N ＝8，∴8－2y 0＝λ()8－2y 0 ，又∵λ≠1，∴8－2y 0＝0，∴y 0＝4， ∴点T 在定直线y ＝4上．2．答案解析：（1）将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px 得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1 ＝y 1－2y 21 4－1 ＝4y 1＋2，同理：k PB ＝4y 2＋2 ， 由题意：4y 1＋2 ＋4y 2＋2＝2，4（y 1＋y 2＋4）＝2（y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4），解得y 1y 2＝4，有－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点（－1，0）.。

高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。

高中数学抛物线经典例题(含解析)

高中数学抛物线经典例题(含解析)

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

高考数学专题练习-抛物线含解析

高考数学专题练习-抛物线含解析

高考数学专题练习-抛物线含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A.h2B.2h2C.h2D.h22.若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2B.C.D.3.已知抛物线y2=2px的焦点为F，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且A（1，2），+=，则BC边所在的直线方程为（）A.2x-y-2=0B.2x-y-1=0C.2x+y-6=0D.2x+y-3=04.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若，则|AF|-|BF|=（）A.2B.3C.4D.55.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过P 作PM⊥l，垂足为M，记与MN交于点T，若|NF|=2|PF|，且△PNT的面积为，则p=（）A. B.2 C. D.6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A. B. C.或 D.7.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l与C及其准线分别相交于A、B、D三点，则的值为（）A.2或B.3或C.1D.4或8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.-1B.-C.-D.-9.正三角形ABC的两个顶点A，B在抛物线x2=2py（p＞0）上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（）A.0B.1C.2D.310.已知直线l：y=kx-k与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则实数k等于（）A. B.±1 C. D.±211.设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.212.过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（）A. B.±3 C. D.13.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=10xD.y2=20x14.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.±B.-C.±D.-16.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2+y2=1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（）A. B. C. D.17.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P（x1，x2），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=（）A.9B.8C.8D.618.已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x-1）与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A.3B.C.D.19.已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A.4B.5C.6D.720.抛物线y2=-4x的焦点坐标为（）A.（0，-2）B.（-2，0）C.（0，-1）D.（-1，0）二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为______ ．22.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，-1）满足，则p的取值范围是 ______ ．23.已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为-3，则∠PBQ= ______ ．24.已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ______ ．25.斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF 的面积是△BOF面积的2倍，则k= ______ ．26.已知点P（2，1）是抛物线上x2=4y上的一点，点M，N是抛物线上的动点（M，N，P 三点不共线），直线PM，PN分别交y轴于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线MN的斜率为 ______ ．27.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为______ ．28.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为 ______ ．29.若抛物线y2=8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是 ______ ．30.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l，若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A，B，且|AB|=2．则p的值为 ______ ．31.圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为______ ．32.过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ．33.在平面直角坐标系x O y中，抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为 ______ ．34.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为 ______ ．35.抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为 ______ ．36.以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为______ ．37.已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为 ______ ．38.若点A（-6，y）在抛物线y2=-8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为 ______ ．39.已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点 ______ ．40.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为 ______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交C 于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若S△BOF=S△AOD，求l的方程．42.已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点D（2，0）的直线l与抛物线C 交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．43.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|．（1）求C的方程；（2）边焦点F的直线l斜率为-1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l 对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．44.已知圆M：（x-a）2+（y-b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，-t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=-t上运动，过点P作C 的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．45.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=-m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．46.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．47.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．48.如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．（1）求弧所在圆的半径；（2）求桥底AE的长．49.已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2-2，O为坐标原点．（1）已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；（2）过抛物线E上一点P（x0，y0）作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标．50.已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．51.已知动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）记P点的轨迹为E，过点S（2，0）斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q（1，0），延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．52.如右图抛物线顶点在原点，圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．53.已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足⊥，求直线l的方程．54.已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：①x1•x2=1，y1•y2=-4；②A、O、D三点共线（O为坐标原点）．55.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．56.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2）（1）求抛物线的标准方程．（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．57.（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x-y-4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．58.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．59.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x轴的负半轴交于点P．（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求|AB|；（Ⅱ）判断直线PA与C的交点个数，并说明理由．60.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=-1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【答案】1.B2.D3.B4.C5.D6.C7.D8.D9.C 10.C 11.A 12.D 13.D 14.A 15 .D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.D21.622.（0，2]23.24.y2=8x25.226.-127.28.x2=16y29.430.4或831.（x±1）2+（y-）2=132.1233.234.435.436.y=37.2或638.839.（1，0）40.y=±x41.解：（Ⅰ）解法一：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），C的准线方程为，（1分）由抛物线的定义，可知|BF|等于点B到C的准线的距离．（2分）又因为点B到x轴的距离比|BF|小1，所以点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1，（3分）故，解得p=2，所以C的方程为x2=4y．（4分）解法二：C的焦点为，（1分）将代入x2=2py，得x=p或x=-p，故，因为点B到x轴的距离比|BF|小1，，即，（2分）解得p=2，所以C的方程为x2=4y，（3分）经检验，抛物线的方程x2=4y满足题意．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则．（5分）联立方程组消去y，得x2-4kx-4=0．（6分）△=（-4k）2-4×1×（-4）=16k2+16＞0，由韦达定理，得x1+x2=4k，x1x2=-4．（7分）设点O到直线l的距离为d，则，．又S△BOF=S△AOD，所以|BF|=|AD|．（8分）又A，B，D，F在同一直线上，所以，即，（9分）因为，（10分）所以，整理，得16k4+16k2-1=0，故，解得，（11分）所以l的方程为．（12分）42.解：（1）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0），准线方程x=-；．…（3分）（2）证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），因为直线l不经过点E，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），与抛物线方程联立得到，消去x，整理得：ky2-2y-4k=0，则由韦达定理得：y1+y2=，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）．方法二：证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），设直线l方程为x=my+2，于抛物线方程联立得，整理得：y2-2my-4=0，则由韦达定理得：y1+y2=2m，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）43.解：（1）设Q（x0，2），P（0，2）代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以|PQ|=，|QF|=+，由题设得+=2×，解得p=-2（舍去）或p=2．所以C的方程为y2=4x．（2）设直线l的方程为x+y-1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则k MN=，MN的中点T的坐标为（，），∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴=1①，∵中点T在直线l上，∴=-+1②，由①②可得y1+y2=4，y1y2=4，∴y1，y2是方程y2-4y+4=0的两个根，此方程有两个相等的根，∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称．44.解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，故，（1分）因为圆过原点，所以a2+b2=9，所以，（2分）又a2=2pb，所以，（3分）因为p＞0，所以p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆M必过抛物线的焦点，（1分）又圆M过原点，所以，（2分）又圆的半径为3，所以，又a2=2pb，（3分）又，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以，（1分）且圆过又圆过原点，故，可得，（3分）解得p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）（Ⅱ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，-t），C方程为，所以，（5分）∴抛物线在点A处的切线的斜率，所以切线PA方程为：，即，化简得，（6分）又因过点P（m，-t），故可得，，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x2-2mx-4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=-4t，（9分）因为Q（0，-t），所以，（10分）化简=．（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）解法二：依题意设点P（m，-t），设过点P的切线为y=k（x-m）-t，所以，所以x2-4kx+4km+4t=0，所以△=16k2-4（4km+4t）=0，即k2-km-t=0，（5分）不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），所以k1+k2=m，k1•k2=-t，又，所以，所以，（6分）所以x1=2k1，，即点，同理点，（7分）因为Q（0，-t），所以，同理，（9分）所以=+=，（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）45.解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4．∵=λ，=μ，∴=λ（-y1），=μ（-y2），∴λ+μ=-1--1-=-2-=-2-=-1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，-y0），R（-m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（-m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2-4ty-4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=-4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．46.解：（1）设抛物线的C方程x2=2py（p＞0），则焦点F（0，），准线方程：y=-，过点Q向准线l作垂线，垂足为Q1，由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ1丨，∴2-（-）=3，p=2，∴抛物线方程：x2=4y；（2）设直线AB的方程：y=kx+m，则，整理得：x2-4kx-4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4m，由AB为直径的圆经过原点，则⊥，•=0，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（1+k2）×（-4m）+km×4k+m2=0，整理得m2-4m=0，解得：m=4或m=0，由m＞0，则m=4，∴m的值4；（3）设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y-y1=k（x-x1），即y=kx+y1-kx1，∴，整理得：x2-4kx+4kx1-4y1=0，∴x1+x2=4k，x2=-x1+4k，丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]，=（1+k2）[（4k）2-4x1（-x1+4k）]，=4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），同理丨AD丨=4[1+（-）2][x12-4（-）x1+4（-）2]，=4（1+）（x12+x1+），由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），=4（1+）（x12+x1+），整理得：x1==k-，则丨AB丨2=4（1+k2）[（k-）2-4k（k-）+4k2]=4（1+k2）（k+）2，丨AB丨=2（k+），丨AD丨2=4（1+）[（k-）2+（k-）+]4（1+）（k+）2，丨AD丨=2（k+），∴△ABD面积S=×丨AB丨×丨AD丨=×2（k+）×2（k+），==2（k+）3≥2（2）3=16，当且仅当k=时，即k2=1，即k=1，取等号，∴△ABD面积的最小值16．47.解：（Ⅰ）设点，由x2=2py（p＞0）得，，求导，而直线MQ的斜率为1，∴且，解得：．∴抛物线的标准方程：x2=4y；…（4分）（Ⅱ）因为点M处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得d=r，即，化简得，4p2=x04-4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，由方程组，解得：Q（，），由丨PQ丨=丨x P-x Q丨=丨x0-丨=（x02-2），点F（0，）到切线PQ的距离d===，则S1=丨PQ丨•d=（x02-2），S1=丨OF丨•丨x Q丨=，∴====++3≥2+3，当且仅当=时，取“=”号，即x02=4+2，此时p=，所以的最小值为．…（12分）48.解：（1）设弧所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+（r-1）2，则r=13，即弧所在圆的半径为13米．…（4分）（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，∴B（-5，5），D（5，5），C（0，6），设所在圆的方程为x2+（y-b）2=r2，（r＞0），则，，∴弧的方程为x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）…6分设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x-m）2，…（8分）由点B（-5，5），在曲线AB上∴5=a（5+m）2， …（10分）又弧与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧在点B处的切线的斜率为，由y=a（x-m）2，y′=2a（x-m），2a（-5-m）=，2a（5+m）=-，…（12分）由 得m=-29，A（-29，0），E（29，0）∴桥底AE的长为58米；…（13分）答：（1）弧所在圆的半径为13米；（2）桥底AE的长58米．（答和单位各1分）…（14分）49.解：（1）设l：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），由l和圆O相切，得．∴b2=k2+1．由消去y，并整理得x2-kx-b-2=0，∴x1+x2=k，x1x2=-b-2．由OM⊥ON，得，即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0．∴，∴（1+k2）（-b-2）+k2b+b2=0，∴b2（-b-2）+（b2-1）b+b2=0．∴b2+b=0．∴b=-1或b=0（舍）．当b=-1时，k=0，故直线l的方程为y=-1．（2）设P（x0，y0），Q（x1，y1），R（x2，y2），则．∴．设l QR：y-y0=k1（x-x0），由直线和圆相切，得，即．设l PR：y-y0=k2（x-x0），同理可得：．故k1，k2是方程的两根，故．由得，故x0+x1=k1．同理x0+x2=k2，则2x0+x1+x2=k1+k2，即．∴，解或．当时，；当时，y0=1．故或．50.解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）（*）∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2-15t-50=0，且△=152+4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=-，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，因为中点M所对应的参数为，将此值代入直线l的参数方程的标准形式中，得M（，）．（2）|AB|=|t2-t1|==．51.（Ⅰ）解：∵动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2，∴动点P到点（，0）的距离与它到直线x=-的距离相等，∴动点P的轨迹是以点（，0）为焦点的抛物线，∴动点P的轨迹方程为y2=2x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则直线AB的方程为y=k1（x-2），代入抛物线方程中，得，∴y1+y2=，y1y2=-4直线AC，BD过点Q（1，0），同理可得y1y3=y2y4=-2，∴y3=-，，∴k2===-=2k1，∴=2．52.解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x-4设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2-6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．53.解：（Ⅰ）由题意可知设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），则a=2，将A2（，）代入，则b=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）方法一：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由⊥，则x1x2+y1y2=0（*），由，消去x，得得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0∴y1+y2=-，y1y2=-，①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=1+m×（-）+m2（-），=，②（9分）将①②代入（*）式，得+（-）=0，解得m=±，存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．方法二：当直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），与C1的交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，消去y并整理得（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0，于是x1+x2=，x1x2=．①∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=k2[-+1]=-．② 由⊥，则•=0，即x1x2+y1y2=0（*），将①②代入③式，得+（-）==0，解得k=±2，∴存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．54.解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=-1的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=-1，则其轨迹方程为y2=4x；…（6分）（2）①联立直线x=my+1与抛物线的方程，可得y2-4my-4=0，∴y1•y2=-4，x1•x2=1 …（9分）②设D（-1，y2），则k AO-k OD===0，所以A、O、D三点共线．…（12分）55.解：（Ⅰ）法一：抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为，由已知…（2分）解得P=2或P=-14∵P＞0，∴P=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）法二：抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知解得p=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则…（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为-1∴直线l的斜率…（10分）直线l的方程为y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0…（12分）法二：由（1）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设直线l的方程为x=my+1由消去x，得y2-4my-4=0设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB中点的纵坐标为-1∴解得…（10分）直线l的方程为即2x+y-2=0…（12分）56.解：（1）因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2），则抛物线的焦点在y的负半轴上，∴可设它的标准方程为：x2=-2py（p＞0），又因为点M在抛物线上，则3=-2p×（-2），解得：p=，∴椭圆的标准方程：x2=-y；（2）将直线方程代入抛物线方程：，整理得2x2+x+m=0，则△=b2-4ac=3-8m＞0，解得：m＜，m的取值范围（-∞，）．57.解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），又焦点在直线2x-y-4=0上，∴2p-0-4=0，解得p=2，（2）由题意知双曲线标准方程为：+=1，（a，b＞0）．∴=，=，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为-=158.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4cx，∵抛物线过点，6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线过，∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2-=1．59.解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∵⊙F被l所截得的弦长为，∴圆的半径为=3，∴⊙F的方程为（x-1）2+y2=9，与y2=4x联立可得A（2，2），B（2，-2），∴|AB|=4；（Ⅱ）（x-1）2+y2=9，令y=0，可得P（4，0），∵A（2，2），∴直线PA与C的交点个数为2．60.解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2-4my-4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=-m2．所以（*）可化简为y2-4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=-1得，因为n=-m2，所以所以NA⊥NP，所以点N在以PA为直径的圆C上．【解析】1. 解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），则将（，-h）代入可得a=-，∴该抛物线拱的面积为h×3h+==2h2，故选B．建立坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），将（，-h）代入可得a=-，该抛物线拱的面积为h×3h+，即可得出结论．解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．2. 解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=-，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．3. 解：A代入抛物线方程可得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，F（1，0），∵+=，∴BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，∴4m=2，∴m=，∴直线方程为x=y+，即2x-y-1=0，故选B．A代入抛物线方程可得p=2，可得抛物线的方程，+=，BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，利用韦达定理，求出m，即可得出结论．本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，属于中档题．4. 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），假设直线AN的斜率k存在，设AB方程为：y=k（x-1），，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵，则∠NBF=90°，∴（x1-1）（x1+1）+y12=0，∴x12+y12=1，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x1=-2+，∵x1x2=1，∴x2=2+，∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，故选C．设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，分别求得A和B点横坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得则|AF|-|BF|．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5. 解：如图所示，NF=∵|NF|=2|PF|，∴PM=PF=，由得x P=p∵PM∥NF，∴，∴s△NPT：s△NFT=1：2，∵△PNT的面积为，∴△PNF的面积为3×=9由，得，∵在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p=．故选：D由NF|=2|PF|，得x P=p，由，得s△NPT：s△NFT=1：2，由，得，，点P在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p．6. 解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在R t△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为-2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2|BC|，进而计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7. 解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则直线AB的方程：y=（x-）设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：y2-py-p2=0，则y1+y2=p，y1y2=-p2，设=λ，（-x1，-y1）=（x2-，y2），则-y1=λy2，由=++2=-，∴-λ-+2=-，整理得：λ2-17λ+4=0，解得：λ=4或λ=，当λ=4时，丨AF丨=4丨BF丨，则丨AB丨=5丨BF丨，由抛物线的定义可知：丨BF丨=丨BB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠BDB′=，即sin∠BDB′==，∴丨BD丨=丨BB′丨=丨BF丨，丨AD丨=丨AB丨+丨BD丨=，∴的值4，当λ=，4丨AF丨=丨BF丨，则丨AB丨=5丨AF丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠ADF′=，即sin∠ADF′==，∴丨AD丨=丨AB′丨=丨AF丨，丨BD丨=丨AB丨+丨AD丨=，∴的值，故选D．设抛物线方程，代入椭圆方程，设=λ，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ的值，分类讨论，根据抛物线的定义及相似性，即可求得丨BD丨及丨AD丨，即可求得的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由y2=4x，得F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．∵|AB|=，∴2++2=，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．9. 解：由抛物线x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），等边三角形的一个顶点位于抛物线x2=2py（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选C．由题意可知：x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），则两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．10. 解：抛物线C：y2=4x的焦过抛物线的焦点，过N做NN′⊥准线x=-1，垂足为N′，由抛物线的定义，丨NN′丨=丨NF丨，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，由，则cos∠N′NM==，则tan∠N′NM=±，∴直线l的斜率k=±，故选：C．由题意可知直线l过抛物线的焦点，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠N′NM，即可求得k的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．11. 解：由题意得F（，0），准线为x=-，设双曲线的一条渐近线为y=x，则点A （，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即=+，∴=1，e==，故选A．求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到=+，利用离心率的定义求得双曲线的离心率．本题考查抛物线的定义和双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义得到=+，是解题的关键．12. 解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为丨k值，由抛物线的定义可知：设|BF|=n，B为AD中点，根据抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，|AA′|=2n，|BF|=n，∴|AH|=n，在直角三角形ABH中，tan∠BAH===2，则直线l的斜率k=2；同理求得：直线l的斜率k=-2；故选：D．在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=，从而得出直线AB的斜率．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．13. 解：双曲线的右焦点为（5，0）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）∵抛物线的焦点为双曲线的右焦点∴∴p=10所以抛物线方程为y2=20x故选D．先求双曲线的焦点坐标，再假设抛物线的方程，利用抛物线的焦点为双曲线的右焦点，可求抛物线方程．本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的焦点坐标，考查待定系数法求抛物线的标准方程，属于基础题．14. 解：依题意知抛物线的准线x=-2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（-2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．先求解准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB 为等腰直角三角形，属于中档题．15. 解：由y2=4x，则焦点F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，∵|AB|=，∴2++2=，解得：k=±，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

高考数学复习题库 抛物线

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高考数学复习题库抛物线抛物线一.选择题1.抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )A. B. C.－ D.－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－. 答案 D2.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝( )A. B.1 C.2 D.3 解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去). 答案 C3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( ). A. B.1 C.2 D.4 解析抛物线y2＝2px(p ＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2. 答案 C4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ). A.18 B.24 C.36 D.48 解析如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0). ∵当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6. 又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36. 答案 C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（） A. B. C. D. 答案 C6.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ). A.n＝0 B.n＝1 C.n＝2 D.n≥3 解析结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦. 答案 C7.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D. 解析依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案 A二.填空题8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.解析设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝. 答案9.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 y2＝4x10.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________. 解析过N 作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 答案11.设圆C 位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________. 解析依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝－1.答案－112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。

抛物线高考经典真题和解析

抛物线高考经典真题和解析

抛物线高考经典真题和解析1. (2020·新高考卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.2. (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.3. (2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．94. (2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)5. (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．7.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.答案解析1.解析 ∵抛物线的方程为y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为F (1,0)，又直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，解法一：解得x 1＝13，x 2＝3，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋3×|13－3|＝163. 解法二：Δ＝100－36＝64>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，过A ，B 分别作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为C ，D ，如图所示，|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝163.2.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.3.解析 设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知|AF |＝x A ＋p 2＝12，即9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C ．4.解析 因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，不妨设点D 在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2,2)，代入y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故选B.答案 D5.解析 根据题意，得过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得y 1＝2，y 2＝4，所以x 1＝1，x 2＝4，令M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM→·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.6.解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM→＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.7.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.。

2024届高考数学复习：精选好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

高考数学复习---抛物线综合运用练习题(含答案)

高考数学复习---抛物线综合运用练习题(含答案)
1 [过点 A，B 向抛物线的准线 x＝－p2作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B
向 AC 作垂线，垂足为 E(图略)，∵A，B 两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
O92
∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，
∵直线 AB 的倾斜角为 60°，
∴在 Rt△ABE 中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|， 即 2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|. ∵|AF|＝2，∴|BF|＝23，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝83. 设直线 AB 的方程为 y＝ 3x－p2，代入 y2＝2px， 得 3x2－5px＋34p2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝53p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝83，∴p＝1.]
①若 AB 的斜率为 1，则|AB|＝4； ②|AB|min＝2； ③yM＝－1； ④若 AB 的斜率为 1，则 xM＝1； ⑤xA·xB＝－4. 以上结论正确的所有序号是( ) A．①②④ B．③④⑤ C．①②⑤ D．③⑤
D [由题意得，焦点 F(0，1)，对于①，lAB 的方程为 y＝x＋1，与抛物线的 方程联立，
y＝x＋1， 得y＝14x2， 消去 x，得 y2－6y＋1＝0，
所以 yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误； 对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误； 因为 y′＝2x，则 lAM：y－yA＝x2A(x－xA)， 即 y＝12xAx－x42A，lBM：y－yB＝x2B(x－xB)， 即 y＝12xBx－x42B，
x＝1， x＝4，
得 x2－5x＋4＝0，解得 x＝1 或 x＝4，所以
或
不妨设 M(1，2)，

抛物线的试题及答案高中

抛物线的试题及答案高中

抛物线的试题及答案高中一、选择题1. 已知抛物线方程为 \( y^2 = 4px \)，其中 \( p > 0 \)，该抛物线的焦点坐标是（）。

A. \( (0, 0) \)B. \( (p, 0) \)C. \( (0, p) \)D. \( (2p, 0) \)答案：B2. 若抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 \( (1, 0) \)，则下列哪个条件一定成立？（）A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a + b + c = 1 \)C. \( a - b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：A二、填空题3. 抛物线 \( x^2 = 4y \) 的准线方程是 ________。

答案：\( y = -1 \)4. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 5 \) 的顶点坐标是 ________。

答案：\( (1, 6) \)三、解答题5. 已知抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \)，求其焦点坐标和准线方程。

解：首先，将抛物线方程 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \) 转化为标准形式\( x^2 = \frac{1}{2}(y - 5) \)。

由此可知，\( p = \frac{1}{4} \)，焦点坐标为 \( (0, \frac{5}{4}) \)，准线方程为 \( y = -\frac{3}{4} \)。

6. 抛物线 \( x^2 = 6y \) 与直线 \( y = mx + 2 \) 相交于两点 A 和 B。

求直线 AB 的斜率。

解：将直线方程 \( y = mx + 2 \) 代入抛物线方程 \( x^2 = 6y \) 得 \( x^2 = 6(mx + 2) \)。

整理得 \( x^2 - 6mx - 12 = 0 \)。

设A 点坐标为 \( (x_1, y_1) \)，B 点坐标为 \( (x_2, y_2) \)，由韦达定理得 \( x_1 + x_2 = 6m \)，\( x_1x_2 = -12 \)。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离之和为3,抛物线E ：22y px =的焦点是点2F.（1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =．(1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM 的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.参考答案1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 【过程详解】（1）由22x py =得22x y p=,则x y p '=, 令2x p =,则2x p =,即2A x p =,()2222A p y p p== 则252pAF p =+=,所以=2p ,故抛物线E 的方程为24x y =. （2）设()2002,2A pt pt ,()2112,2B pt pt ,()2222,2C pt pt , 则切线l 的斜率0022pt k t p==, 则切线l 的方程为：()2000222y pt t x pt -=-,即20022y t x pt =-,221212122222BCpt pt k t t pt pt -==+-. 直线l '的方程为()()2112122y pt t t x pt -=+-,化简得()12122y t t x pt t =+-,因为l l '∥,所以1202t t t +=,由2BAC π∠=得222210201020222212222pt pt pt pt pt pt pt pt --⋅=---, 则()()10201t t t t +=-+,即012213t t t =--, 即200:2260l t x y p pt '-++=.由0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭,则20136p pt d +=,2022p pt d +==所以20122013223122p t d d p t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故12d d 是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【过程详解】（1）由题意,设抛物线C 的方程为()220x py p =>,因为直线:10l mx y +-=经过()0,1,即抛物线C 的焦点(0,)2p F ,所以12p=,解得2p =, 所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ､()22,B x y ,联立方程组2410x ymx y ⎧=⎨+-=⎩,整理得2440x mx +-=, 因为216160m ∆=+>,且124x x m +=-,124x x =-,()222121221212242444x x x x x x y y m +-+=+==+,()2221212414416x x y y -=⨯== 所以()21241AB y y p m =++=+,由24x y =,可得24x y =,则2x y '=, 所以抛物线C 经过点A 的切线方程是()1112x y y x x -=-,将2114x y =代入上式整理得21124x x y x =-,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为22224x x y x =-,联立方程组2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1212,24x x x x x y +==,所以2,1x m y =-=-, 所以()2,1P m --到直线10mx y +-=的距离d ==所以ABP的面积()()322211414122S AB d m m ==⨯⨯+⨯=+,因为211m +≥,所以4S ≥,即当0m =时,4S =,所以ABP 面积的最小值为4.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．【过程详解】（1）设抛物线的方程为()220x py p =>,由题意可得124p =,所以12p =,所以抛物线方程2y x =. （2）由（1）2y x =,因为2y x '=,设1122(,),(,)A x y B x y , 直线AD 的方程为2112y x x x =-,直线BD 的方程为2222y x x x =-,联立上述两直线方程,得D 点坐标1212,2+⎛⎫⎪⎝⎭x x D x x ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标1212,12+⎛⎫- ⎪⎝⎭x x M x x ,因为D M x x =,所以直线//MD y 轴：（3）因为点(0)2⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭D t t ,所以12122x x x x t +==,则2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M t ,圆心1,22⎫⎪⎪⎝⎭,直线AB 的斜率为22121212x x k x x x x -==+=-直线AB 方程为y t =-, 2y xy t⎧=⎪⎨-⎪⎩,得20x t +=,24t ∆=-,||AB ==, 圆心到直线AB 的距离为d 半径||1222MD tr -==,||12)3MN t ==-（,1m =≥, ||||361||||33AB MN m AB MN m m --==-++++在m 1≥时单调递减,||||11,||||2-⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦AB MN AB MN ．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 【过程详解】（1）因为点()01,C y 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知122p+= 解得2p =（2）由上问可知,抛物线方程E ：24y x =设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,（10y ≠,20y ≠）,设l ：1x ty =+,联立241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,得2440y ty --=, 判别式2=16160t ∆+>,故t ∈R124y y t +=,124y y =-设1l ：2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立方程组221144y xy y y k x ⎧=⎪⎛⎫⎨-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消x 得2211440ky y y ky -+-=,所以()()2221111Δ16444440k y ky ky k y =--=-+=所以12k y =则1l ：211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1122y y x y =+,令0x =,得10,2y M ⎛⎫⎪⎝⎭,同理2l ：2222y y x y =+,20,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭, 联立11222222yy x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得交点Q 的横坐标为1214Q y y x ==-, ∴1211112222QMN Q y y S MN x =⋅=-⨯==≥△∴QMN 面积的取值范围是[)1,+∞．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离抛物线E ：22y px =的焦点是点2F . （1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．【过程详解】（1）依题意,曲线C 是以1(1,0)F -,2(1,0)F 为左右焦点,,则短半轴长b有222113b =-=,曲线C 的方程为：2214133x y +=,即223314x y +=,在22y px =中,12p =,即2p =, 所以曲线C 的方程为：223314x y +=,抛物线E 的方程为：24y x =.（2）显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：00()y y k x x -=-,由002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩消去x 并整理得：20004k y y y kx ⋅-+-=,依题意,200001()10k y kx x k y k ∆=--=-+=,设二切线斜率为12,k k ,则0120y k k x +=,1201k k x =,设斜率为1k 的切线所对切点11(,)M x y ,斜率为2k 的切线所对切点22(,)N x y , 因此,112y k =,222y k =,于是得21112(,)M k k ,22212(,)N k k ,2212121122(,)NM k k k k =-- , 直线MN 上任意点(,)P x y ,21112(,)MP x y k k =-- ,由//MP NM得： 222121*********()()(0x y k k k k k k -----=,化简整理得：121212220k k x y k k k k +-+=, 则直线MN 的方程为：00220x y y x -+=,点Q 到直线MN的距离2d =,||MN ====,则QMN的面积322200111||(224)2QMNy x S MN d =⋅==- ,而点()()000,0Q x y x <在曲线C 上,即22001134y x =-,00x ≤<,220000114443y x x x -=--+在0[x ∈上单调递减,当00x =时,200min 1(4)3y x -=,当0x =时,200max(4)y x -=于是有200143y x <-≤则32200(4)93y x <-≤,183QMN S <≤ 所以QMN的面积的取值范围是(,]183.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 【过程详解】（1）设动圆圆心坐标为(),x y , 因为过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切, 可得1y =+,化简得24x y =, 即动圆圆心的轨迹方程C ：24x y =.（2）设动点()0,1A x -,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在, 设为()0k k ≠,所以切线方程为()01y k x x =--,联立方程组()204,1x y y k x x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩,整理得204440x kx kx -++=,且2010k kx ∆=--=, 因为2010k kx --=有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为1k ,2k ,所以120k k x +=,121k k =-,切线()101y k x x =--交x 轴于点011,0B x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,切线()201y k x x =--交x 轴于点021,0D x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以21001212111131222ABDk k S x x k k k k -=+--⨯===△, 32=,解得0x =, 所以点A 坐标为)1-或()1-.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值. 【过程详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,42pFM =+, 所以,F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=,解得2p =； 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线C 的方程为24x y =,即24x y =,对该函数求导得2x y '=, 设点()11,A x y ,()22,B x y ,()00,P x y , 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即112x xy y =-,即11220x x y y --=, 同理可知,直线PB 的方程为22220x x y y --=,由于点P 为这两条直线的公共点,则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩, 所以,点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=, 所以,直线AB 的方程为00220x x y y --=,联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩,可得200240x x x y -+=, 由韦达定理可得1202x x x +=,1204x x y =,所以AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以,()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△, ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ,由已知可得053y -≤≤-,所以,当05y =-时,PAB △的面积取最大值321202⨯=8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【过程详解】（1）解：设过点F 的直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()1122,,,A x y B x y ,联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,得()22222204k p k x pk p x -++=, 则22121222,4pk p p x x x x k ++=⋅=, 所以21222222p p pk pFA FB x x k ++=+++=, ()22212222222p k p p p FA FB x x k +⎛⎫⎛⎫⋅=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为FA FB FA FB ⋅=+,所以()22222222222p k pk p p kk ++=+, 化简得()221210p p k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以2p =,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA FB p ==,故22,FA FB p FA FB p +=⋅=,又因为FA FB FA FB ⋅=+, 则22p p =,所以2p =, 综上所述,2p =, 所以24y x =；（2）证明：不妨设点P 在第一象限, 则()()()1,2,1,0,1,0P D F -,设直线PQ 的方程为()21,0y m x m -=-≠,()33,Q x y ,联立()2214y m x y x ⎧-=-⎨=⎩,消元整理得22204m y y m --+=,则342y m +=,即342m y m -=故()2322m x m -=,即()22242,m m Q m m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 当0y =时,21x m =-+,则21,0G m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,又因GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以43,0E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则直线PE 的斜率为2422m m m =--,因为直线PE 平行直线l , 所以直线l 的斜率为2mm-, 故直线l 的方程为()222422m m m y x m m m ⎡⎤---=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,即22m my x m m -=+-, 联立2224m m y x m m y x-⎧=+⎪-⎨⎪=⎩,消元整理得()22042m m y y m m --+=-, ()214042m mm m-∆=-⨯⋅=-,所以直线l 与抛物线只有一个交点, 有直线l 斜率不为0, 所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）因为()4,4M -在抛物线C 上,所以()248p -=,所以2p =所以抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,则12y x '=, 所以切线的斜率为1(4)22⨯-=-,所以过点M 的切线方程为()244y x =-++,即y x =--24联立24y x y =--⎧⎨=⎩,解得P 点的坐标为()2,0- （2）由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为2y kx k =+,线段OM 所在的直线为y x =-,联立2y kx k y x =+⎧⎨=-⎩,解得Q 点坐标为22,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 所以3213112221kk k k k k +++==-++ 设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立224y kx k x y =+⎧⎨=⎩,得2480x kx k --=, 所以124x x k +=,128x x k =-．则()()()()22221212121212121212121111444422224x x x x x x x x x x k k x x x x x x +++++++++=+=+++++()22184161641242318844k k k k k k k k -+++++===+-++ 所以1232k k k +=,即存在2λ=满足条件．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 【过程详解】（1）证明：令10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l ：14y a =-,曲线2y ax =上任意一点()200,P x ax ,又0a >,则点()200,P x ax 到直线l 的距离2014d ax a=+,则PF ===22001144ax ax d a a ==+=+=, 即曲线2y ax =上任意一点到点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线l ：14y a =-的距离相等,且点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭不在直线l ：14y a =-上,所以曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为2y ax =,焦点坐标为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14y a =-；（2）解：对于2y ax =,则2y ax '=,所以11|2x x y ax ='=,22|2x x y ax ='=,即过点()11,A x y 、()22,B x y 的切线方程分别为()1112y y ax x x -=-、()2222y y ax x x -=-,又211y ax =,222y ax =,所以2112y ax x ax =-、2222y ax x ax =-,由21122222y ax x ax y ax x ax ⎧=-⎨=-⎩,解得12212x x x y ax x +⎧=⎪⎨⎪=⎩,即1221,2x x P ax x +⎛⎫⎪⎝⎭, 即1202x x x +=,021y ax x =,又222202112y a x x y y ==⋅, 所以1x 、0x 、2x 成等差数列,1y 、0y 、2y 成等比数列；（3）解：由（2）可知22BP k ax =,12AP k ax =,10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,所以02112011442PF y ax x a a k x x x --==+,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则1tan 2ACx ax ∠=,2tan 2BEx ax ∠=,211214tan 2ax x a FDx x x -∠=+,又()22BPH BEx BEx πππ∠=--∠=∠-,FPA FDx ACx ∠=∠-∠,所以211tan tan 2tan 2BPH BEx BEx ax π⎛⎫∠=∠-=-=- ⎪∠⎝⎭, ()tan tan tan tan 1tan tan FDx ACxFPA FDx ACx FDx ACx∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2111221112142214122ax x a axx x ax x a ax x x --+=-+⋅+122111221112421224x x ax x ax a x x ax x ax a +--⋅=+⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭21221211214222ax a x x x a x x --=++-21222121422ax ax a x x --=+()212221214142ax ax a x x --=+()()221222211412214a x ax ax a x -+==-++, 即tan tan BPH FPA ∠=∠, 所以BPH FPA ∠=∠；11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．【过程详解】（1）由抛物线的定义可得2p =,∴抛物线的方程为24x y =；（2）由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设()()1122,,,A x y B x y ,则直线AB 的方程为2y kx =+；代入抛物线方程得2480x kx --=,则有12124,8x x k x x +==-,∵24x y =,∴2x y '=,∴()111:2-=-AQ x l y y x x ,即21124x x y x =-①同理可得222:24=-BQ x x l y x ②,①-②有22121224x x x x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭-,得1222Q x x x k +==,∴2111124=-=-=-Q x y kx kx y ．∴(2,2)Q k - 又()21212444y y k x x k +=++=+,设()G x y ,,则12212234233Q Q x x x x k y y y k y ++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩,消k 得223+=x y ,所以G 的轨迹方程为21233=+y x ． 12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 【过程详解】（1）将()02,P y -代入22x py =得,02y p= 设抛物线的切线方程为2(2)y k x p=++,代入22x py =整理得： 22(44)0x pkx pk --+=由题知224440p k pk ∆=++=,解得2k p=-又22Q y k p =+,所以222p FQ k p =-- 所以222222FPQ p p S k p p=--=+= ,解得2p = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）记AB 中点为N ,112233(,),(,),(,)A x y B x y N x y 设直线AB 方程为1y mx =+,代入24x y =整理得： 2440x mx --=,则12124,4x x m x x +==-所以24(1)AB m =+ 因为N 为AB 中点,所以12322x x x m +==,2321y m =+ 所以直线MN 的方程为21(21)(2)y m x m m-+=-- 则223M y m =+所以222MF m =+所以222214(1)2MF m AB m +==+ 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =． (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．【过程详解】（1）当直线l x ⊥轴时,1x =,代入22y px =解得y =∴||4AB ==,得2p =,∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,A A B B D D A x y B x y D x y ．联立210,4,x ky k y x -+-=⎧⎨=⎩得24440y ky k -+-=．∴4,44A B A B y y k y y k +=⋅=-①,∵直线:10l x ky k -+-=恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴0k ≠,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线:AD y mx n =+,联立2,4,y mx n y x =+⎧⎨=⎩∴2440my y n -+=,Δ16440m n =-⋅=,∴1⋅=m n ,∴2A y m =,同理,设直线:BD y ax b =+,则21,B ab y a ==,联立,,y mx n y ax b =+⎧⎨=+⎩∴1,11.D D x amy a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由①可知22224,44k k m a m a +=⋅=-,∴1122m a ma+-=,即22D D y x -=,∴点D 在直线220x y -+=上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,1k =,过原点的切线方程为0x =,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为4(4)x t y -=-,联立24(4)4x t y y x-=-⎧⎨=⎩,得2416160y ty t -+-=, ()2Δ16416160t t =--=,解得2t =,即切线方程122y x =+．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线220x y -+=上,故OD 的最小值为原点到直线220x y -+=的距离,5=． 14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【过程详解】（1）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为()0y kx k =≠,由22,y px y kx ⎧=⎨=⎩得0,0x y =⎧⎨=⎩或22,2,p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()0,0O ,222,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段OA 的中点2,p p M k k ⎛⎫⎪⎝⎭．因为PM OA ⊥,所以直线PM 的斜率存在,22133PM p kkk pk p k ==--． 所以2113k k k ⋅=--,解得2k =±, 所以直线OA的方程为0x =,()4,A p ±． 若选①,不妨令()4,A p ,由OA ==解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x =． 若选②,因为PM OA ⊥,PM=所以点P 到直线OA 的距离为=,解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x=． 若选③,不妨令()4,A p ,因为12OM OA ===,点P 到直线OA的距离PM ==,所以1122POM S OM PM =⋅==△,解得2p =（舍去2p =-）, 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0． 设()()0,0B b b ≠,切线BQ 的方程为1y k x b =+, 由12,4y k x b y x=+⎧⎨=⎩得21440k y y b -+=,（*） 所以()214440k b ∆=--⨯⨯=,解得11k b=, 所以方程（*）的根为2y b =,代入24y x =得2x b =,所以切点()2,2b b ,于是222OQ b k b b ==,则2l b k =-, 所以直线l 的方程为2by x b =-+,即()22b y x =--,所以当b 变化时,直线l 恒过定点()2,0．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 【过程详解】（1）抛物线22(0)x py y =>,焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,因为//AF x ,所以2A p y =,所以A x p =,又22x y p =,所以x y p '=,所以过A 点的切线的斜率1k =,所以切线方程为2p y x p -=-,令0y =得12px ==,所以2p =,所以24x y = （2）若2p =,则抛物线为24x y =,焦点为()0,1,准线方程为1y =-,因为||||4AF BF +=,所以114A B y y +++=,所以2A B y y +=,设直线AB 的方程为y kx m =+,联立24x y =得2440x kx m --=,216160k m ∆=+>所以124x x k +=,124x x m =-,所以212122422y y kx kx m k m +=++=+=,即212m k =-,所以()221616120k k ∆=+->,解得11k -<<,当0k =时,直线方程为1y =,则()2,0A ,()2,0B -,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则()0,0C ,所以14122ABC S =⨯⨯= , 当11k -<<,且0k ≠时,又AB 的中点坐标为()1212,2,122x x y y k ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB 的中垂线l 的方程为()121y x k k =--+,令0y =得3x k =,所以()3,0C k ,所以C 到AB 的距离d =又AB =所以221312ABC S AB d k m k ==+=+= 令21k t -=,则()0,1t ∈,()()232244f t t t t t t =-=-+,因为()()()2384232f t t t t t '=-+=--,所以当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '>,()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '<,()f t 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 232327f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以()max 2ABC S =>所以()max ABC S =16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值． 【过程详解】（1）由抛物线定义,得232pPF =+=,得2p =, ∴抛物线C 的标准方程为24xy =；（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 的方程为4y kx =+,∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩,消掉x ,得24160x kx --=,0∆>,∴124x x k +=,1216x x =-,设A ,B 处的切线斜率分别为1k ,2k ,则112x k =,222x k =, ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-,即21124x x x y =-①,同理,在B 的切线方程为22224x x x y =-②, 由①②得：1222Q x x x k +==,代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--, ∴()2,4Q k -,即Q 在定直线4y =-上,设点G 关于直线4y =-的对称点为G ',则()0,12G '-,由（1）知()2P ,∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=即,,P Q G '三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP G P '+=．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【过程详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线2y =-为准线的抛物线,设抛物线方程为()220x py p =>,则22p=,则4p =,即抛物线的方程为28x y =, 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =,14y x '∴=,设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,(),2P t -,其中12x x ≠,则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-,即2111148y x x x =-,同理,切线PB 的方程为2221148y x x x =-, 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩,即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩, 2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为()222121*********x x y x x x x x --=--,化简得121288x x x x y x +=-, 即24ty x =+, 故直线AB 过定点()0,2；②由①知：直线AB 的斜率为4ABt k =, （i ）当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为2y =,PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时,(),2P t - 、()0,2C ,∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--,414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-, PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【过程详解】（1）PM PF FM == ,PFM ∴△为等边三角形,60FMP PFM ∴∠=∠=︒,又2cos cos602FM FP FM FP PFM FM ⋅=⋅∠=︒= ,2FM ∴=设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt MNF △中30NMF ∠=︒,1NF p ==,C ∴的方程为22x y = （2）设点()(),0,0Q a b a b ≠≠,()11,A x y ,()22,B x y ,又C 的方程为22x y =可化为22x y =,y x '∴=所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为1x ,过点B 且与C 相切的直线的斜率为2x ,所以直线QA 的方程为()111y y x x x -=-,直线QB 的方程为()222y y x x x -=-.又直线QA 与QB 均过点Q ,()111b y x a x -=-,()222b y x a x -=-,又2112x y =,2222x y =,11y ax b ∴=-,22y ax b =-,所以直线AB 的方程为y ax b =-,联立方程y ax b =-和22x y =得方程组22,,x y y ax b ⎧=⎨=-⎩消去y 得2220x ax b -+=, 0b ≠ ,10x ∴≠,20x ≠,122x x b = ,又()0,S b ,则直线AS 的斜率111y b k x -=；直线BS 的斜率222y b k x -=,()121212122x x x x b k k x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴+=, 1202x x b -=, 120k k ∴+=,所以直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。

福建高考数学抛物线专项练习题及答案

福建高考数学抛物线专项练习题及答案

福建高考数学抛物线专项练习题及答案福建高考数学抛物线专项练习题1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=0,于是因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+10,③因为x=,所以不等式③可变形为+y1y2-+10,即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+10.④将①②代入④整理得m2-6m+14t2.⑤因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+10,即3-20),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1.由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b, 代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意==0,得b=-.设E(xE,yE),则yE=-,xE=.当4时,kAE==-,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).②由①知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y00, 可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=416,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.。

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

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第三节 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆x 2+y 2-6x-7=0相切,则p 的值为( )(A)12(B)1 (C)2 (D)4解析:圆x 2+y 2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y 2=16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2=2px(p>0)的准线是x=-2p , ∴3+2p=4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)34(B)1(C)54(D)74解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12=3, ∴x A +x B =52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2A B x x +=54.故选C. 故选C. 答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2p =3,∴p=2,∴y 2=4x.∴20y=4×2,∴故选B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 .解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2=8x. 答案:y 2=8x5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入 x 2=-2py,得p=1.∴x 2=-2y.当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2=-2y 得20x =6,∴x 0,∴水面宽 m.答案6.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为 .解析:由已知得B 点的纵坐标为1,横坐标为4p ,即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入y 2=2px 得1=2p ×4p ,解得则B点到准线的距离为2p +4p =34答案考点二 抛物线的几何性质及其应用1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )(A)(-2,-9)(B)(0,-5)(C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=1142142a a --+--=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离.=即(a-2)2+1=5.又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )(A)2 (B)3 (C)115(D)3716解析:如图所示,动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直线l 1的距离=2.故选A.答案:A3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .解析:∵F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,∴设AB:y=x-2p ,与y 2=2px 联立,得x 2-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.∴|AB|=x A +x B +p=4p=8,得p=2. 答案:24.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ,则p= .解析:如图所示,由AB知∠α=60°, 又AM =MB , ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°. ∴|BP|=12|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2p=1,∴p=2. 答案:2考点三 直线与抛物线位置关系1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若MA ·MB =0,则k 等于( )(A)12(B)2(D)2解析:法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由()22,8,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得k 2x 2-4(k 2+2)x+4k 2=0,∴x 1+x 2=()2242k k+,x 1x 2=4,由MA ·MB =0, 得(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=(x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0, 代入整理得k 2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二 如图所示,设F 为焦点,取AB 中点P, 过A 、B 分别作准线的垂线,垂足分别为G 、H, 连接MF,MP,由MA ·MB =0, 知MA ⊥MB, 则|MP|=12|AB|=12(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则MF ⊥AB,所以k=-1MFk =2.答案:D2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为那么|PF|等于( )(B)8(D)16解析:如图所示,直线AF 的方程为与准线方程x=-2联立得设P(x 0),代入抛物线y 2=8x,得8x 0=48,∴x 0=6, ∴|PF|=x 0+2=8,选B. 答案:B3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点A 到准线x=-1的距离为3,∴点A 的横坐标为2. 将x=2代入y 2=4x 得y 2=8,由图知点A 的纵坐标∴∴直线AF 的方程为联立直线与抛物线的方程)21,4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解之得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由图知B 1,2⎛ ⎝,∴S △AOB =12|OF|·|y A -y B |=12×1×32故选C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y 2=2x 的焦点为F,过点,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFCFS S △△A 等于( ) (A)45(B)23(C)47(D)12解析:如图所示,设过点,0)的直线方程为),代入y 2=2x 并整理,得k 2x 2k 2+2)x+3k 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2,x 1x 2=3,因为|BF|=2,所以|BB ′|=2, ∴x 2=2-12=32, 从而x 1=23x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d, 则BCF CFS S △△A =1212BC d AC d ⋅⋅=BC BB AC AA '='=2122+=45. 故选A. 答案:A5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于( )(A)13(B)3(C)23(D)3解析:将y=k(x+2)代入y 2=8x,得 k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =28k -4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.② ∴将②代入①得x B =283k -2,x A =2163k -4+2=2163k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0,∴,满足Δ>0.故选D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为 .解析:设直线y=a 与y 轴交于点M,抛物线y=x 2上要存在C 点,使得∠ACB 为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x 2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,a(a>0),所以a ≥1. 答案:[1,+∞)7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AB|=2512,|AF|<|BF|,则|AF|= .解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设AB 所在直线的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1<x 2,将y=k12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y 2=2x,得k 2212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2x, ∴k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0.∴x 1x 2=14. 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=2512, ∴x 1+x 2=1312. ∴x 1=13,x 2=34.∴|AF|=x 1+2p =13+12=56. 答案:568.(2010年重庆卷,理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ,则弦AB 的中点到准线的距离为 .解析:F 的坐标为(1,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵AF =3FB ,∴(1-x 1,-y 1)=3(x 2-1,y 2), ∴1-x 1=3x 2-3,且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4,y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0,y 0).由()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4.∴21y =12, 22y =43. ∴x 1=3,x 2=13.∴x 0=122x x +=53. ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)= 83. 答案:839.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 .解析:y=12x 2,y ′=x, 由题意P(4,8),k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8, Q(-2,2),k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2.由48,22y x y x =-⎧⎨=--⎩得A(1,-4). 答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为 .解析:∵抛物线y 2=4x,∴焦点F 的坐标为(1,0). 又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线方程为(x-1).联立方程)21,4,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩解得111,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由已知得A 的坐标为),∴S △OAF =12|OF|·|y A |=12×1×答案11.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径又点A 到l 的距离p,而S △ABD ∴12|BD|·即12×2p ∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°. 又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,∴∠ABD=30°,m 的斜率为,当m ,可设n 方程为x+b.代入x 2=2py 得x 2px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0 ∴b=-6p , 又∵m 的截距b 1=2p ,1b b=3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3.当m 的斜率为,由图形对称性知,坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点. (1)求抛物线C 的方程;(2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14x 2,求导得y ′=12x. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（其中y 1=214x ,y 2=224x ）,则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1=12x (x-x 1), 即y=12x x-212x +y 1,即x 1x-2y-2y 1=0. 同理,可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0.所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得y 2+(2y 0-20x )y+20y =0,由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0,y 1y 2=20y , 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2.所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+12）2+92. 所以当y 0=-12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为92. 13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM ·FN <2p 2;(2)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知,抛物线E 的焦点为F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,直线l 1的方程为y=k 1x+2p . 由12,22p Y k x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2-2pk 1x-p 2=0.设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根,从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p. 所以点M 的坐标为（pk 1,p 21k +2p）, FM =(pk 1,p 21k ).同理可得点N 的坐标为(pk 2,p 22k +2p ), FN =(pk 2,p 22k ),于是FM ·FN =p 2(k 1k 2+21k 22k ).因为k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=1.故FM ·FN <p 2(1+12)=2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2p , |FB|=y 2+2p , 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p. 故圆M 的方程为(x-pk 1)2+(y-p 21k -2p )2=(p 21k +p)2, 化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(221k +1)y-34p 2=0. 同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(222k +1)y-34p 2=0. 于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离为2117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪故当k 1=-14时, d由题设解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O 1(x,y),由题意,|O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点,∴|O 1又|O 1化简得y 2=8x(x ≠0).又当O 1在y 轴上时,O 1与O 重合,点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2=8x,∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2=8x.(2)证明:由题意,设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将y=kx+b 代入y 2=8x 中,得k 2x 2+(2bk-8)x+b 2=0,其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x 1+x 2=282bkk -,① x 1x 2=22b k,②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线, 所以111y x +=-221yx +,即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0,③ 将①②代入③,得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k 2b=0,∴k=-b,此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1,0).15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0,切线MA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O). 解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=2x ,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+ 14.因为点0)在切线MA 及抛物线C 2上,于是y 0=-1214,①y 0=-(212p.② 由①②得p=2.(2)设N(x,y),A(x 1,214x ),B(x 2,224x ),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=122x x +,③y=22128x x +.④切线MA,MB 的方程为 y=12x (x-x 1)+ 214x .⑤y=22x (x-x 2)+ 224x .⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=122x x +,y 0=124x x . 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即20x =-4y 0, 所以x 1x 2=-22126x x +.⑦由③④⑦得x2=43y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43 y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=43y.模拟试题考点一抛物线的定义和标准方程及其应用1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min故选B.答案:B2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线24x-25y=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AF|,则A点的横坐标为( )(B)3 (D)4解析:由24x-25y=1得c2=4+5=9.∴双曲线右焦点为(3,0),∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二抛物线几何性质的应用1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:线段OA的斜率k=12,中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-12=-2(x-1), 令y=0得到x=54. 即抛物线的焦点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 所以该抛物线的准线方程为x=-54. 答案:x=-542.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y 2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作直线l:x=-4p的垂线,垂足为M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 .解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =4011---=-2,所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=12(x-4),即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A)34(B)32(C)1 (D)2解析:易知,AB 的斜率存在,设AB 方程为y=kx+b. 由2,4y kx b x y=+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4b=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个根, ∴x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4b,又|AB|=6,化简得b=()2941k +-k 2, 设AB 中点为M(x 0,y 0),则y 0=122y y +=122kx b kx b +++=()122k x x ++b=2k 2+()2941k +-k 2=k 2+()2941k +=(k 2+1)+ ()2941k +-1 ≥2×32-1=2. 当且仅当k 2+1=()2941k +, 即k 2=12时,y 0取到最小值2.故选D. 答案:D2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，, 所以2p=4,即p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x,焦点F(4,0), 准线方程为x=-4, 即K(-4,0),设A(x,y),由于 ∴|y|=x+4, 又y 2=16x,∴(x+4)2=16x,即x=4.∴A(4,±8), S △AFK =12×8×|y|=32.故选D. 答案:D3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y 2=2px 上一点,经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点(不同于点E),直线EA,EB 分别交直线x=-2于点M,N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)已知O 为原点,求证:∠MON 为定值. 解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y 2=2px 上,∴4=2p ×2,∴p=1.∴抛物线方程为y 2=2x,焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. (2)显然,直线l 斜率存在,且不为0. 设l 斜率为k,则l 方程为y=k(x-2).由()22,2.y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得ky 2-2y-4k=0,设A 211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则y 1+y 2=2k,y 1·y 2=-4. ∵k EA =121222y y --=121242y y --=122y +. ∴EA 方程为y-2=122y +(x-2). 令x=-2,得y=2-182y +=11242y y -+. ∴M 11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ∴OM ·ON =11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=4+()()()()1212242422y y y y --++ =4+()()12121212481624y y y y y y y y -+++++=0∴OM ⊥ON .即∠MON=90°, ∴∠MON 为定值.综合检测1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p 的值为( ) (A)2 (B)18 (C)2或18 (D)4或16解析:设P(x 0,y 0),则0020010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴36=2p 102p ⎛⎫-⎪⎝⎭,即p 2-20p+36=0. 解得p=2或18.故选C. 答案:C2.(2012洛阳二模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点,则21y +22y 的最小值是()(A)4 (B)8 (C)12(D)16解析:抛物线的准线方程为x=-1, ∴|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1, ∴21y +22y =4x 1+4x 2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得), ∴21y +22y 的最小值为8.故选B.答案:B3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x ≥0)到定点F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设圆M 过A(1,0),且圆心M 在P 的轨迹上,BD 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由; (3)过F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S,求四边形GRHS 面积的最小值.解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,直线l:x=-12为准线的抛物线,其方程为y 2=2x.(2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭,半径圆的方程为222a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)2=a 2+2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a), ∴BD=2,即弦长BD 为定值.(3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭,G(x 1,y 1),H(x 2,y 2), 由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0,∴x 1+x 2=1+22k ,x 1x 2=14, ∴=2+22k, 同理得|RS|=2+2k 2. S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8.。

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