初中几何题解题技巧带例题
初中几何43模型解题 模型【07】 图形变化类(附解析)
模型【07】图形变化类【模型分析】解决图形规律题的步骤：（1）标序数——按图号标序；（2）找规律——观察图形，随着序号增加，后一个图形与前一个图形相比，找出图形变化规律，注意变量与不变量，将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子；（3）验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确；【经典例题】例1．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（）个三角形．A．19B．21C．22D．25【分析】由题意可知：第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形，代入n＝8即可求得答案．【解析】∵第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n＋1）个三角形．当n＝8时，3×8＋1＝25，选D．【小结】考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．例2．（2021·北京东城区·八年级期末）如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．【分析】根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1111A O B A ==，可得22OA =，以此类推即可求解．【解析】∵30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ∴1130∠=︒OB A ∴1111A OB A ==∴22OA =同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，2222B A OA ==，233342B A OA ===…则202120212022A B A △的边长为20202．【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．例3．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．(12)223+⨯=⨯(123)234++⨯=⨯(1234)245+++⨯=⨯（1）第n 个图形中对应的等量关系是()21231n +++⋯++⨯=⎡⎤⎣⎦______．（2）根据（1）的结论，求24650+++⋅⋅⋅+的值．【分析】（1）根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积；（2）先逆用乘法分配律变形，然后根据（1）中结论计算即可；【解析】（1）∵(12)223+⨯=⨯，(123)234++⨯=⨯，(1234)245+++⨯=⨯，…，∴[]123(1)2(1)(2)n n n +++++⨯=++ （2）246501(5)2322+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯2526650=⨯=【小结】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．也考查了有理数的混合运算．【巩固提升】1．（2020·浙江台州市·七年级期末）如图，用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…，依照此规律，第⑩个图案中黑色三角形的个数为（）A ．50B ．55C ．58D ．61【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律，利用规律解题即可．【解析】第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，312=+，第③个图案中有6个黑色三角形，6123=++，……第⑩个图案中黑色三角形的个数为1234567891055+++++++++=，选B【小结】本题注意考查图形类规律探索，找到规律是解题的关键．2．（2021·北京房山区·八年级期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可．【解析】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 关系”，∴根据题意可得：111OA A B ==，∴212OB OA ==，∴22222OA A B ===， ，∴总结出n n OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S =，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n n n n n OA B S -=⨯⨯= ，∴2021202120202OA B S = ，选A【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．3．（2021·山东青岛市·七年级期末）下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成，搭第1个图形需要4根火柴棒，搭第2个图形需要10根火柴棒，…，依此规律，搭第10个图形需要________根火柴棒．【分析】由题意，分别求出前面几个的火柴棒数量，然后得到数量的规律，再求出第10个图形的数量即可．【解析】根据题意可知：第1个图案需4根火柴，()4113=⨯+，第2个图案需10根火柴，()10223=⨯+，第3个图案需21根火柴，()18333=⨯+，……，第n 个图案需()3n n +根火柴，则第10个图案需：()10103130⨯+=（根）．【小结】此题考查了平面图形，图形变化规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．4．（2021·全国七年级）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【解析】∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12，∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212，…C n ＝4×12n ，∴20202020201811422C =⨯=．【小结】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．5．（2021·山东青岛市·七年级期末）（问题提出）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？（问题探究）为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手：（探究一）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点P （如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究二）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点P 、Q ，共6个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD 的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况是，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q 在PB 上（如图②）；另一种情况是，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q 在PAB △的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究三）长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点P 、Q 、R ，共7个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.（问题解决）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形．（实际应用）以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形．（拓展延伸）以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形．【分析】探究一：根据图形可回答；探究二：根据图形可回答；探究三：根据图形可回答；n ，进而解决问题；问题解决：由探究活动可得规律为2(1)实际应用：把2021代入所得规律，求值即可；拓展延伸：由四边形的规律可得五边形的规律．【解析】探究一：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P，共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成4个互不重叠的小三角形．故答案为：4；探究二：如图，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成6个互不重叠的小三角形．故答案为；6；探究三：长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成8个互不重叠的小三角形问题解决：以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：4=2（1+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：6=2（2+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：8=2（3+1）．所以，以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：2（n +1）．实际应用：当n =2021时，以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成互不重叠的小三角形2（2021+1）=4044个．拓展延伸：根据前面的解决问题可知：以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成互不重叠的小三角形个数为（2m +3）个．故答案为：（2m +3）【小结】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．6．（2021·青岛实验学校九年级期末）在平面直角坐标系中，点A 从原点O 出发，沿x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点1234,,,A A A A 的坐标分别为()()()()12340,0,1,12,03,1A A A A -，按照这个规律解决下列问题：()1写出点5678,,,,A A A A 的坐标；()2点2018A 的位置在_____________(填“x 轴上方”“x 轴下方”或“x 轴上”)；()3试写出点n A 的坐标(n 是正整数)．【分析】()1可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解；()2根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，进而判断2018A 与2A 的纵坐标相同在x 轴上方，即可求解；()3根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解．【解析】（1）由数轴可得：()54,0A ，()65,1A ，()76,0A ，()87,1A -；（2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，2018A ∴与2A 的纵坐标相同，在x 轴上方，故答案为：x 轴上方；（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，∴点n A 的坐标(n 是正整数)为A （n -1,0）或()1,1A n -或()1,0A n -或()1,1A n --．【小结】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．。
初中数学几何图形初步技巧及练习题
初中数学⼏何图形初步技巧及练习题初中数学⼏何图形初步技巧及练习题⼀、选择题1．如图是由若⼲个⼤⼩相同的⼩正⽅体堆砌⽽成的⼏何体，那么其三种视图中⾯积最⼩的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．⼀样⼤【答案】C【解析】如图，该⼏何体主视图是由5个⼩正⽅形组成，左视图是由3个⼩正⽅形组成，俯视图是由5个⼩正⽅形组成，故三种视图⾯积最⼩的是左视图，故选C．2．如图，在直⾓坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的⼀个动点，且A、B、C三点不在同⼀条直线上，当△ABC的周长最⼩时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D【解析】【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最⼩，∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B ′点坐标为：（-3，0），则OB′=3过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1则B′E=4，即B′E=AE ，∴∠EB ′A=∠B ′AE ，∵C ′O ∥AE ，∴∠B ′C ′O=∠B ′AE ，∴∠B ′C ′O=∠EB ′A∴B ′O=C ′O=3，∴点C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最⼩．故选D ．3．如图，在正⽅形ABCD 中，E 是AB 上⼀点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上⼀动点，则PB PE +的最⼩值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】【分析】连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最⼩，进⽽利⽤勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB PE +的值最⼩∵四边形ABCD 是正⽅形B D ∴、关于AC 对称PB PE PD PE DE ∴+=+=2,3BE AE BE ==Q6,8AE AB ∴== 226810DE ∴=+=；故PB PE +的最⼩值是10，故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，正⽅形的性质，解此题通常是利⽤两点之间，线段最短的性质得出．4．如图所⽰是⼀个正⽅体展开图，图中六个正⽅形内分别标有“新”、“时”、“代”、“去”、“奋”、“⽃”、六个字，将其围成⼀个正⽅体后，则与“奋”相对的字是( )A ．⽃B ．新C ．时D ．代【答案】C【解析】分析：正⽅体的表⾯展开图，相对的⾯之间⼀定相隔⼀个正⽅形，根据这⼀特点作答．详解：正⽅体的表⾯展开图，相对的⾯之间⼀定相隔⼀个正⽅形，“时”相对的字是“奋”；“代”相对的字是“新”；“去”相对的字是“⽃”．故选C ．点睛：本题主要考查了正⽅体的平⾯展开图，解题的关键是掌握⽴⽅体的11种展开图的特征．5．如右图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AD ⊥，垂⾜为点D ，有下列说法：①点A 与点B 的距离是线段AB 的长；②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长；③线段CD 是ABC ?边AB 上的⾼；④线段CD 是BCD ?边BD 上的⾼.上述说法中，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据两点间的距离定义即可判断①，根据点到直线距离的概念即可判断②，根据三⾓形的⾼的定义即可判断③④．【详解】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；③、根据三⾓形的⾼的定义，△ABC边AB上的⾼是线段CD，∴③正确；④、根据三⾓形的⾼的定义，△DBC边BD上的⾼是线段CD，∴④正确．综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D．【点睛】本题主要考查对两点间的距离，点到直线的距离，三⾓形的⾼等知识点的理解和掌握，能熟练地运⽤概念进⾏判断是解此题的关键．6．如图，Ｂ是线段ＡＤ的中点，Ｃ是线段ＢＤ上⼀点，则下列结论中错误．．的是（）A．BC=AB-CD B．BC=12(AD-CD) C．BC=12AD-CD D．BC=AC-BD【答案】B【解析】试题解析：∵B是线段AD的中点，∴AB=BD=12 AD，A、BC=BD-CD=AB-CD，故本选项正确；B、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项错误；C、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项正确；D、BC=AC-AB=AC-BD，故本选项正确．7．如图，是⼀个正⽅体的表⾯展开图，将其折成正⽅体后，则“扫”的对⾯是（）A．⿊B．除C．恶D．☆【答案】B【解析】【分析】正⽅体的空间图形，从相对⾯⼊⼿，分析及解答问题．【详解】解：将其折成正⽅体后，则“扫”的对⾯是除．故选B．【点睛】本题考查了正⽅体的相对⾯的问题．能够根据正⽅体及其表⾯展开图的特点，找到相对的⾯是解题的关键．8．如图，三⾓形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式⼦中正确的是（）A．∠1＝12（∠2﹣∠3）B．∠1＝2（∠2﹣∠3）C．∠G＝12（∠3﹣∠2）D．∠G＝12∠1【答案】C【解析】【分析】根据⾓平分线得，∠1＝∠AFE，由外⾓的性质，∠3＝∠G+∠CFG＝∠G+∠1，∠1＝∠2+∠G，从⽽推得∠G＝12（∠3﹣∠2）．【详解】解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，∴∠1＝∠AFE，∵∠3＝∠G+∠CFG，∠1＝∠2+∠G，∠CFG＝∠AFE，∴∠3＝∠G+∠2+∠G，∠G＝12（∠3﹣∠2）．故选：C．【点睛】本题考查了三⾓形中⾓度的问题，掌握⾓平分线的性质、三⾓形外⾓的性质是解题的关键．9．下列⽴体图形中，侧⾯展开图是扇形的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据圆锥的特征可知，侧⾯展开图是扇形的是圆锥．故选B．10．下列图形不是正⽅体展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正⽅体展开的11种形式对各选项分析判断即可【详解】A、B、C是正⽅体展开图，错误；D折叠后，有2个正⽅形重合，不是展开图形，正确故选：D【点睛】本题是空间想象⼒的考查，解题关键是在脑海中折叠图形，看是否满⾜条件11．若∠AOB =60°，∠AOC =40°，则∠BOC等于（）A．100°B．20°C．20°或100°D．40°【答案】C【解析】【分析】画出符合题意的两个图形，根据图形即可得出答案.【详解】解: 如图1,当∠AOC在∠AOB的外部时,∵∠AOB=60°，∠AOC=40°∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+40°=100°如图2,当∠AOC在∠AOB的内部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-40°=20°即∠BOC的度数是100°或20°故选：C【点睛】本题考查了⾓的有关计算的应⽤，主要考查学⽣根据图形进⾏计算的能⼒，分类讨论思想和数形结合思想的运⽤. 12．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠CDE的关系是（）A．∠ABE＝2∠CDE B．∠ABE＝3∠CDEC．∠ABE＝∠CDE+90°D．∠ABE+∠CDE＝180°【答案】A【分析】延长BF与CD相交于M，根据两直线平⾏，同位⾓相等可得∠M=∠CDE，再根据两直线平⾏，内错⾓相等可得∠M=∠ABF，从⽽求出∠CDE=∠ABF，再根据⾓平分线的定义解答．【详解】解：延长BF与CD相交于M，∵BF∥DE，∴∠M=∠CDE，∵AB∥CD，∴∠M=∠ABF，∴∠CDE=∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∴∠ABE=2∠CDE．故选：A．【点睛】本题考查了平⾏线的性质和⾓平分线的定义，作辅助线，是利⽤平⾏线的性质的关键，也是本题的难点．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂⾜为F，则∠EBF的度数为()A．19°B．33°C．34°D．43°【答案】B【解析】【分析】根据等边对等⾓和三⾓形内⾓和定理可得∠EBC＝52°，再根据⾓平分线的性质和垂直的性质可得∠FBD＝19°，最后根据∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD求解即可．【详解】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝12AC＝AE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝52°，∵AD平分∠BAC，2∠BAC＝19°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；故选：B．【点睛】本题考查了三⾓形的⾓度问题，掌握等边对等⾓、三⾓形内⾓和定理、⾓平分线的性质、垂直的性质是解题的关键．14．如图，ABC ?为等边三⾓形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系⼤致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是⼀条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的⼆次函数，并且有最⼩值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是⼀条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的⼆次函数，并且有最⼩值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利⽤三⾓形⾯积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据⼆次函数和⼀次函数图象与性质解决问题．15．下列图形中，是圆锥的侧⾯展开图的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧⾯展开图的特点作答．【详解】圆锥的侧⾯展开图是光滑的曲⾯，没有棱，只是扇形．故选B．【点睛】考查了⼏何体的展开图，圆锥的侧⾯展开图是扇形．16．下列图形中，不是正⽅体平⾯展开图的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由平⾯图形的折叠及正⽅体的展开图解题．【详解】解：由四棱柱四个侧⾯和上下两个底⾯的特征可知，A，B，C选项可以拼成⼀个正⽅体；⽽D选项，上底⾯不可能有两个，故不是正⽅体的展开图．故选：D．【点睛】本题考查四棱柱的特征及正⽅体展开图的各种情形，难度适中．17．⼀个⾓的补⾓⽐这个⾓的余⾓3倍还多10°，则这个⾓的度数为（）A．140° B．130° C．50° D．40°【答案】C【解析】【分析】根据互为余⾓的两个⾓的和等于90°，互为补⾓的两个⾓的和等于180°，列出⽅程，然后解⽅程即可．【详解】设这个⾓为α，则它的余⾓为90°-α，补⾓为180°-α，根据题意得，180°-α=3（90°-α）+10°，180°-α=270°-3α+10°，解得α=50°．故选C ．【点睛】本题考查了互为余⾓与补⾓的性质，表⽰出这个⾓的余⾓与补⾓然后列出⽅程是解题的关键．18．如图，直线//a b ，将⼀块含45?⾓的直⾓三⾓尺（90?∠=C ）按所⽰摆放．若180?∠=，则2∠的⼤⼩是（）A ．80?B ．75?C ．55?D ．35?【答案】C【解析】【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶⾓的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利⽤三⾓形的内⾓和即可求出答案.【详解】解：给图中各⾓标上序号，如图所⽰：∵//a b∴3180?∠=∠=（两直线平⾏，同位⾓相等），⼜∵34,25∠=∠∠=∠（对顶⾓相等），∴251804180804555A ∠=∠=?-∠-∠=?-?-?=?.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平⾏的性质（两直线平⾏，同位⾓相等）、对顶⾓的性质（对顶⾓相等），熟练掌握直线平⾏的性质是解题的关键.19．如图，把⼀块含有45°⾓的直⾓三⾓板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，20．如果圆柱的母线长为5cm，底⾯半径为2cm，那么这个圆柱的侧⾯积是（）A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm2【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的侧⾯积=底⾯周长×⾼.【详解】根据圆柱的侧⾯积计算公式可得π×2×2×5=20πcm2，故选D．【点睛】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是熟练掌握圆柱侧⾯积公式.。
七年级数学第四章几何图形初步典型例题及答题技巧
七年级数学第四章几何图形初步典型例题及答题技巧单选题1、一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的形状图为（）A．B．C．D．答案：A解析：由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，2，3，据此可得出图形．解：根据所给出的图形和数字可得：从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，3，2，则符合题意的是：故选：A．小提示：本题考查了从不同方向看几何体等知识，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平2、下列各角中，是钝角的是（ ）．A ．14周角B ．23平角C ．平角D ．14平角答案：B解析：直接利用角的定义逐项分析即可得出答案．解：A. 14周角= 14×360°=90°，不是钝角，不合题意； B. 23平角=23×180°=120°，是钝角，符合题意；C. 平角=180°，不是钝角，不合题意；D. 14平角=14×180°=45°，不是钝角，不合题意． 故选：B小提示：此题主要考查了角的概念，正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键．3、已知∠AOB =30°，如果用10倍的放大镜看，这个角的度数将（ ）A ．缩小10倍B ．不变C ．扩大10倍D ．扩大100倍答案：B解析：根据角是从同一点引出的两条射线组成的图形．它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系，直接判断即可．解：角的大小只与角的两边张开的大小有关，放大镜没有改变顶点的位置和两条射线的方向，所以用10倍放大镜观察这个角还是30度．小提示：本题考查了角的概念．解题关键是掌握角的概念：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，明确角的大小只与角的两边张开的大小有关．4、如图所示，∠COD的顶点O在直线AB上，OE平分∠COD，OF平分∠AOD，已知∠COD＝90°，∠BOC＝α，则∠EOF的度数为（）A．90°+αB．90°+α2C．45°+αD．90°﹣α2答案：B解析：先利用∠COD＝90°，∠BOC＝α，求出∠BOD的度数，再求出∠AOD的度数，利用角平分线，分别求出∠FOD和∠EOD的度数，相加即可．解：∵∠COD＝90°，∠BOC＝α，∴∠BOD＝90°-∠BOC＝90°-α，∴∠AOD＝180°-∠BOD＝90°+α，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=12∠AOD=45°+12α，∵OE平分∠COD，∴∠DOE=12∠COD=45°，∴∠EOF=∠FOD+∠DOE=90°+α；2故选：B．小提示：本题考查了角平分线的计算，解题关键是准确识图，弄清角之间的和差关系．5、观察下列图形，其中不是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．答案：B解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解：A、C、D均是正方体表面展开图；B、是凹字格，故不是正方体表面展开图．故选：B．小提示：本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．6、下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（）A．从王庄到李庄走直线最近B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标C．向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象D．数轴是一条特殊的直线答案：B解析：根据两点确定一条直线进而得出答案．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明了两点确定一条直线的道理．故选B.小提示：此题主要考查了直线的性质，利用实际问题与数学知识联系得出是解题关键．7、如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．国C．承D．基答案：D解析：正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．小提示：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8、如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是( )A．战B．疫C．情D．颂答案：B解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“战”与“情”是相对面，“疫”与“英”是相对面，“颂”与“雄”是相对面．故选：B．小提示：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析是解题的关键．填空题9、下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：_____．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：_______．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：_________．答案：（3）（2）（1）解析：解：观察图形，根据所给的信息可得：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．所以答案是：（3）；（2）；（1）．小提示：本题考查了直线、射线与线段的知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个．10、一个直角三角形的两条直角边的长分别为3厘米和4厘米，绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体的体积是_____立方厘米．（结果保留π）答案：12π或16π解析：根据题意可得绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体是圆锥，再利用圆锥的体积公式进行计算即可．解：绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体是圆锥，π×32×4=12π，①当绕它的直角边为3cm所在的直线旋转所形成几何体的的体积是：13π×42×3=16π，②当绕它的直角边为4cm所在的直线旋转所形成几何体的的体积是：13所以答案是：12π或16π．小提示：此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握圆锥的体积公式，注意分类讨论．11、如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，则剪掉的这个小正方形是________答案：丁解析：能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，所以答案是：丁.小提示：本题考查了展开图折叠成正方体的知识，解题关键是根据正方体的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．12、如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOB=70°，在∠AOB内画一条射线OP得到的图中有m对互余的角，其中∠AOP=x°，且满足0<x<50，则m=_______．答案：3或4或6解析：分三种情况下：①∠AOP＝35°，②∠AOP＝20°，③0＜x＜50中的其余角，根据互余的定义找出图中互余的角即可求解．∠AOB =35°时，∠BOP=35°①∠AOP＝12∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠BOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共4对；②∠AOP＝90°-∠AOB =20°时，∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOP与∠AOB，∠AOP与∠COD，∠COD与∠COB，∠AOB与∠COB，∠COP与∠COB，一共6对；③0＜x＜50中35°与20°的其余角，互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共3对．则m＝3或4或6．所以答案是：3或4或6．小提示：本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．13、已知∠A＝20°18'，则∠A的余角等于__．答案：69°42′解析：根据互为余角的两个角之和为90°解答即可．解：∵∠A＝20°18'，∴∠A的余角为90°﹣20°18′＝69°42′．所以答案是：69°42′．小提示：本题考查余角定义，熟知互为余角的两个角之和为90°是解答的关键．解答题14、如图，线段AB=8cm,C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC=3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC=m，线段BC=n，求MN的长度（m<n用含m,n的代数式表示）．答案：（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）12n解析：（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．解：（1）∵AB=8cm，M是AB的中点，∴AM=12AB=4cm，∵AC=3cm，∴CM=AM−AC=4−3=1cm；∵AB=8cm，AC=3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM=12AB=4cm，AN=12AC=1.5cm，∴MN=AM−AN=4−1.5=2.5cm；（2）∵AC=m，BC=n，∴AB=AC+BC=m+n，∵M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM =12AB =12(m +n)，AN =12AC =12m ，∴MN =AM −AN =12(m +n)−12m =12n ． 小提示：本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM 、AN 的长．15、已知：如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．(1)若线段AC ＝6，BC ＝4，求线段MN 的长度；(2)若AB ＝a ，求线段MN 的长度；(3)若将(1)小题中“点C 在线段AB 上”改为“点C 在直线AB 上”，(1)小题的结果会有变化吗?求出MN 的长度． 答案：（1）5cm ；（2）12a ；（3）1或5． 解析：（1）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．可知MC =3，CN =2，从而可求得MN 的长度．（2）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，MN =MC +CN =12（AC +BC ）=12AB ．（3）由于点C 在直线AB 上，所以要分两种情况进行讨论计算MN 的长度．解：（1）∵ AC ＝6，BC ＝4，∴ AB ＝6+4＝10，又∵ 点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，∴ MC ＝AM ＝12AC ，CN ＝BN ＝12BC ，∴ MN ＝MC +CN ＝12AC +12BC ＝12（AC +BC ）＝12AB ＝5（cm ）．（2）由（1）中已知AB ＝10cm 求出MN ＝5cm ，分析（1）的推算过程可知MN ＝12AB ，故当AB＝a时，MN＝12a，从而得到规律：线段上任一点把线段分成的两部分的中点间的距离等于原线段长度的一半．（3）分类讨论：当点C在点B的右侧时，如图可得：MN=MC−NC=12AC−12BC=12(AC−BC)=12×(6−4)=1；当点C在线段AB上时，如（1）；当点C在点A的左侧时，不满足题意．综上可得：点C在直线AB上时，MN的长为1或5．小提示：本题考查线段计算问题，涉及线段中点的性质，分类讨论的思想，属于基础题型．。
(完整版)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
初中几何经典例题及解题技巧
初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
*12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
*6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
初中几何神秘的十字架模型解题技巧
初中几何神秘的十字架模型解题技巧一、正方形内十字架
1、如图，正方形ABCD中，DE与HG相交于点O.
二、矩形内十字架模型
如图1-2-1所示，在矩形ABCD中，CD=b,AD=a,在AB边上有一点E.若DE⊥AC，则DE与AC之间有什么数量关系？
如图1-2-2所示，在矩形ABCD中，CD=b,AD=a,在AB边上有一点E.CD上有一点F，若EF⊥AC，则EF与AC之间有什么数量关系？
如图1-2-3所示，在矩形ABCD中，CD=b,AD=a,E、F分别是对边AB、CD上的点，M、N分别是AD、BC上的点，若EF⊥AC，则EF与MN之间有什么数量关系？
模型总结：在矩形十字架模型中，若在矩形对边上分别取点并相连，所得两条线段若垂直，则十字架之比与矩形邻边“成比例”
第一境界——模型的基本应用
题目2：(北师大教材19页4题)如图1-2-5，在矩形纸片ABCD
中，AB=6，BC=8,将纸片折叠，使点C与点A重合.请在图中画出折痕EF.并求出EF的长.
分析：构造矩形可“秒杀”此题
分析如图1-2-7-1，可构造矩形“秒杀”此题！。
初中几何题解题技巧(带例题)
练一练 7： 如图 19 所示，已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米，高是 6 厘 米，阴影部分的面积是 16 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法 两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方 法。 例 8 如图 20，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小 三角形（如图 11 所示），阴影部分为其中 3 个小三角形，即阴影部分的面积占 三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练 4： 如图 12 所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点，求阴影部分的面积。
七、等量代换法 等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换， 从而求出面积的方法。 例 7 如图 18，长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米，求四边形 EFGO 的面积。
分析与解：在长方形 ABCD 中，△ABF 与△DBF 同底（即 BF 的长）、等高（即 长方形的宽），所以 S△ABF＝ S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF， 则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样 S 阴影＝S 四边形 EFGO＋
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个，其中阴影 1 个，空白 3 个。要求阴影部分 的面积，就相当于把大圆的面积平均分成 4 份，求其中一份的面积，列式为： 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。
初中几何43模型解题 模型【04】 笔尖型(附解析)
模型【04】笔尖型【模型分析】模型二“铅笔”模型点P 在EF 右侧，在AB 、CD 部“铅笔”模型结论1：若AB ∥CD ，则∠P +∠AEP +∠PFC =360°结论2：若∠P +∠AEP +∠PFC =360°，则AB ∥CD 【经典例题】例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知//AB DE ，则123∠+∠+∠的度数是（）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【分析】由题意过点C 作CF //AB ，可得CF //ED ，进而利用平行线性质进行分析计算即可【解析】过点C 作CF //AB ，∵CF //AB ，//AB DE ，∴CF //ED ，∴∠1+∠ACF =180°，∠FCD +∠3=180°∵∠2=∠FCD +∠ACF ，∴123∠+∠+∠=∠1+∠ACF +∠FCD +∠3=180°+180°=360°，选C【小结】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了∠+∠+∠+∠的度数是______东西方向的FE段，则B C D E【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小【解析】如图，根据题意可知：AB∥EF分别过点C，D作AB的平行线CG，DH所以AB∥CG∥DH∥EF则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°【小结】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．【分析】（1）过点E 作EH ∥AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（4）根据前三问个的剪法，剪n 刀，剪出n +1个角，那么这n +1个角的和是180n 度【解析】（1）过E 作EH ∥AB （如图②）∵原四边形是长方形∴AB ∥CD又∵EH ∥AB∴CD ∥EH （平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EH ∥AB∴∠A +∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵CD ∥EH∴∠2+∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°又∵∠1+∠2=∠AEC∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．【巩固提升】1．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=︒，则1∠的度数为（）.A ．30°B ．40°C ．50°D ．65°【分析】过点B 作直线//l m ，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．【解析】如图，过点B 作直线//l m ，∵直线m //n ，//l m ，∴//l n ，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B =90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵//l m ，∴∠1=∠4=40°，选B【小结】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．2．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（）A ．αβγ++B ．βγα+-C ．180αγβ︒--+D ．180αβγ︒++-【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，求出∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，即可得出答案．【解析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥CD ∥MN ∥EF ，∴α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，∴∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，∴x =∠BCD +∠DCM =180αγβ︒--+，故选：C ．【小结】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．3．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知AB CD ∥，那么A E F C ∠+∠+∠+∠=_______度．【分析】分别过E 、F 作AB 的平行线，运用平行线的性质求解．【解析】作EM ∥AB ，FN ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥CD ．∴∠A +∠AEM =180°，∠MEF +∠EFN =180°，∠NFC +∠C =180°，∴∠A +∠AEF +∠EFC +∠C =540°．故答案为540°．【小结】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．4．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由,EP FP ⊥可求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP ⊥FP 可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．（微信公众号：数学三剑客）【解析】（1）由图中虚线可知P Q//AC ，∴小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB //CD ，∴P Q//AB //CD ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP ⊥FP ，∴∠EPF =∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD //,PQ CD ∴PDF DPQ∴∠=∠DPQ EHF PDF y∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=- ．【小结】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5．（2020·山西吕梁市·七年级期末）综合探究：已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．（1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数；（2）如图2，若点P 是CD 下方一点，MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，已知40BMG ∠=︒，求MGN MPN ∠+∠的度数．【分析】（1）过G 作//GH AB ，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；（2）过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB ，根据两直线平行，内错角相等性质解得40MGK BMG ∠=∠=︒，再根据角平分线性质，求得80BMP ∠=︒，最后再用平行线定理解题，证明QPN DNP ∠=∠，进而计算MGN MPN ∠+∠的值即可．【解析】（1）如图1，过G 作//GH AB ，//AB CD ，////GH AB CD∴AMG HGM ∴∠=∠，CNG HGN=∠∠MG NG⊥ 90MGN MGH NCH AMG CNG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒图1（2）如图2，过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB 设GND α∠=//GK AB ，//AB CD ，//GK CD∴KGN GND α∴∠=∠=，//GK AB ，40BMG ∠=︒，40MGK BMG ∴∠=∠=︒MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，40GMP BMG ∴∠=∠=︒80BMP ∴∠=︒，//PQ AB ，80MPQ BMP ∴∠=∠=︒ND 平分CNP ∠，DNP GND α∴∠=∠=，//AB CD ，//PQ CD ∴，QPN DNP α∴∠=∠=，40MGN α∴∠=︒+，80MPN α∠=︒-，4080120MGN MPN αα∴∠+∠=︒++︒-=︒图2【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB //CD ，∠PAB =120°，∠PCD =130°，求∠APC 的度数．小辰的思路是：如图2，过点P 作PE //AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数，请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD //BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A ，B 两点之间运动时，设∠CPD =∠α，∠ADP =β，∠BCP =∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P 不在A ，B 两点之间运动（点P 与点A ，B ，O 三点不重合），请直接写出∠α、β、∠γ间的数量关系．【分析】（1）过点P 作PE //AB ，可得PE //CD ，所以由平行线的性质可以求得EPA ∠和EPC ∠的度数，进一步可以得到APC ∠的度数；（2）分别过P 作P Q//AD ，则可得P Q//BC ，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．【解析】（1）如图，过点P 作PE //AB ，则由平行线的性质可得PE //CD ，所以：180180PAB EPA PCD EPC ∠+∠=∠+∠= ，，所以180********EPA PAB ∠=-∠=-= ，180********EPC PCD ∠=-∠=-=所以，110APC EPA EPC ∠=∠+∠= ；（2）①αβγ∠=∠+∠，理由如下：如图，过P 作P Q//AD 交DC 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ βγ∠=∠∠=∠，，∵DPQ CPQ α∠+∠=∠，∴αβγ∠=∠+∠；②分两种情况讨论：第一种情况，P 在射线AM 上，如图，过P 作P Q//AD 交射线DN 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：QPD QPC QPC QPD βγαγβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠=∠-∠，，；第二种情况，点P 在OB 之间，如图，过P 作P Q//AD 交射线OD 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ DPC DPQ CPQ βγαβγ∠=∠∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠，，【小结】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．7．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；（微信公众号：数学三剑客）小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解析】小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β【小结】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．。
(word完整版)八年级数学几何证明题技巧(含答案),推荐文档
D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。
求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。
从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。
几何动点问题初一例题及解题技巧
几何动点问题初一例题及解题技巧：
下面是一个初一几何动点问题的例题及解题技巧：
例题：一个小球从高度为10米的地方自由下落，每次弹地后反弹高度的一半。
求小球在第5次弹地后，总共经过的距离。
解题技巧：
确定问题的关键信息：从题目中可以得知初始高度为10米，每次反弹高度为前一次的一半。
找出问题的规律：观察每次反弹的高度和所经过的距离。
第一次反弹高度为10米的一半，即5米，所经过的距离为10米+5米=15米。
第二次反弹高度为5米的一半，即2.5米，所经过的距离为15米+2.5米=17.5米。
以此类推，我们可以得到第三次、第四次和第五次反弹后所经过的距离。
计算总共经过的距离：将每次反弹后所经过的距离相加即可得到总共经过的距离。
解答：
第一次反弹后所经过的距离：10米+5米=15米
第二次反弹后所经过的距离：15米+2.5米=17.5米
第三次反弹后所经过的距离：17.5米+1.25米=18.75米
第四次反弹后所经过的距离：18.75米+0.625米=19.375米
第五次反弹后所经过的距离：19.375米+0.3125米=19.6875米
因此，在第5次反弹后，小球总共经过的距离为19.6875米。
初中数学几何图形初步技巧及练习题含答案
初中数学几何图形初步技巧及练习题含答案一、选择题1．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是（）A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B正确；因AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A正确，选项D不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A正确，故选D.2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D 选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A 选项平面图折叠后是一个圆锥；B 选项平面图折叠后是一个正方体；C 选项平面图折叠后是一个三棱柱.故选：D.【点睛】本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE ，则AFC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．105°D ．120°【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==︒∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】∵//BC DE∴30E BCE ==︒∠∠∴453075AFC B BCE =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．4．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．详解：A选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意；B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；故选：D．点睛：本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．5．如图，Ｂ是线段ＡＤ的中点，Ｃ是线段ＢＤ上一点，则下列结论中错误．．的是（）A．BC=AB-CD B．BC=12(AD-CD) C．BC=12AD-CD D．BC=AC-BD【答案】B【解析】试题解析：∵B是线段AD的中点，∴AB=BD=12 AD，A、BC=BD-CD=AB-CD，故本选项正确；B、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项错误；C、BC=BD-CD=12AD-CD，故本选项正确；D、BC=AC-AB=AC-BD，故本选项正确．故选B．6．下列语句正确的是（）A ．近似数0．010精确到百分位B ．｜x-y ｜=｜y-x ｜C ．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角D ．若线段AP=BP ，则P 一定是AB 中点【答案】B【解析】【分析】A 中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B 中,相反数的绝对值相等;C 中,互补性质的考查;D 中,点P 若不在直线AB 上则不成立【详解】A 中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误;B 中,x －y 与y －x 互为相反数,相反数的绝对值相等,正确；C 中，若两个角都是直角，也互补，错误；D 中，若点P 不在AB 这条直线上，则不成立，错误故选：B【点睛】概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的7．如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A ．10cm 2B ．10πcm 2C ．20cm 2D ．20πcm 2【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高.【详解】根据圆柱的侧面积计算公式可得π×2×2×5=20πcm 2，故选D ．【点睛】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是熟练掌握圆柱侧面积公式.8．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，7AD =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．4B ．3C ．3.5D ．2【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AEB EBC ∠=∠，再根据角平分线的性质可推出AEB ABE ∠=∠，根据等角对等边可得4AB AE ==，即可求出DE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC∴AEB EBC ∠=∠∵BE 是ABC ∠的平分线∴ABE EBC ∠=∠∴AEB ABE ∠=∠∴4AB AE ==∴743DE AD AE =-=-=故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的线段长问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边是解题的关键．9．如图，AB ∥CD ，EF 平分∠GED ，∠1=50°，则∠2=（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】C【解析】【分析】 由平行线性质和角平分线定理即可求.【详解】∵AB ∥CD∴∠GEC=∠1=50°∵EF 平分∠GED∴∠2=∠GEF=12∠GED=12(180°-∠GEC)=65° 故答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线性质和角平分线定理，解题关键是熟记角平分线定理.10．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则∠的度数为（）BOCA．45︒B．60︒C．70︒D．40︒【答案】C【解析】【分析】设∠DOB=2x，则∠DOA=11x，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小【详解】∵∠DOB与∠DOA的比是2:11∴设∠DOB=2x，则∠DOA=11x∴∠AOB=9x∵∠AOB=90°∴x=10°∴∠BOD=20°∴∠COB=70°故选：C【点睛】本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导11．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．【详解】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°，∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF ﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，故选A ．【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．解：A 、B 、C 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D 不能围成三棱柱．故选D ．13．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．14．已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC ＝30°)，并且顶点A ，C 分别落在直线m ，n 上，若∠1＝38°，则∠2的度数是( )A ．20°B ．22°C ．28°D ．38°【答案】B【解析】【分析】 过C 作CD ∥直线m ，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：过C 作CD ∥直线m ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵直线m ∥n ，∴CD ∥直线m ∥直线n ，∴∠1＝∠ACD ，∠2＝∠BCD ，∵∠1＝38°，∴∠ACD ＝38°，∴∠2＝∠BCD ＝60°﹣38°＝22°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．15．如果α∠和β∠互余，下列表β∠的补角的式子中：①180°－β∠，②90°＋α∠，③2α∠＋β∠，④2β∠＋α∠，正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 【答案】B【解析】【分析】根据互余的两角之和为90°，进行判断即可．【详解】∠β的补角=180°﹣∠β，故①正确；∵∠α和∠β互余，∴∠β=90°－∠α，∴∠β的补角=180°﹣∠β=180°﹣（90°－∠α）=90°＋α∠，故②正确；∵∠α和∠β互余，∠α+∠β=90°，∴∠β的补角=180°﹣∠β=2（∠α+∠β）﹣∠β=2∠α+∠β，故③正确；∵∠α+∠β=90°，∴2∠β+∠α=90°+∠β，不是∠β的补角，故④错误．故正确的有①②③．故选B ．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．16．如图，将一副三角板如图放置，∠COD=28°，则∠AOB 的度数为( )A ．152°B ．148°C ．136°D ．144°【答案】A【解析】【分析】根据三角板的性质得90AOD BOC ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等可得62AOC BOD ==︒∠∠，即可求出∠AOB 的度数．【详解】∵这是一副三角板∴90AOD BOC ∠=∠=︒∵28COD =︒∠∴62AOC BOD ==︒∠∠∴62+28+62=152AOB AOC COD BOD =++=︒︒︒︒∠∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了三角板的度数问题，掌握三角板的性质、同角的余角相等是解题的关键．17．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P，利用三角形相似是解题关键.18．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确． 故选B ．【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．19．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A ．厉B ．害C ．了D ．我 【答案】D【解析】 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面． 故选：D ．点睛：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．20．如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且4OD =，则ABC ∆的面积是（ ）A ．25米B ．84米C ．42米D ．21米【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】连接OA∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且4OD =∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142AB BC AC =⨯⨯++ 14212=⨯⨯ 42=（米）故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．。
初一数学几何动角问题解题技巧
初一数学几何动角问题解题技巧所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想。
1、有一数轴原点为O，点A所对应的数是-112，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。
2、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B 的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B 两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A 运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．。
3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？5、在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数6、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
人教版初中数学几何图形初步技巧及练习题附答案
人教版初中数学几何图形初步技巧及练习题附答案一、选择题1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A【解析】【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选A．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．2．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形．故选D．首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE ，则AFC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．105°D ．120°【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==︒∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】∵//BC DE∴30E BCE ==︒∠∠∴453075AFC B BCE =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．4．在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ∆的周长最小时，P 点的位置在ABC ∆的（ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．不能确定【答案】A【解析】【分析】 连接BP ，根据等边三角形的性质得到AD 是BC 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.【详解】∵AB=AC，BD=BC，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PC+PE=PB+PE，+≥,∵PB PE BE∴当B、P、E共线时，PC+PE的值最小，此时BE是△ABC的中线，∵AD也是中线,∴点P是△ABC的重心，故选：A.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，轴对称图形中最短路径问题，三角形的重心定义.5．某包装盒如下图所示，则在下列四种款式的纸片中，可以是该包装盒的展开图的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将展开图折叠还原成包装盒，即可判断正确选项．解：A、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒相同，故本选项正确；B、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误；C、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误；D、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误；故选：A．本题主要考查了含图案的正方体的展开图，学生要经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．6．下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．只要有“田”“凹”“一线超过四个正方形”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．【详解】解：A、是正方体的展开图，不符合题意；B、是正方体的展开图，不符合题意；C、是正方体的展开图，不符合题意；D、不是正方体的展开图，缺少一个底面，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．7．如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论，即可得到直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体．【详解】解：将直角三角形绕较长直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕较短直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周后形成的几何体为：故选C．【点睛】本题考查了面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．8．如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是（）A．黑B．除C．恶D．☆【答案】B【解析】【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【详解】解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除．故选B．【点睛】本题考查了正方体的相对面的问题．能够根据正方体及其表面展开图的特点，找到相对的面是解题的关键．9．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ）A ．210824(3) cm -B ．()2108123cm -C ．()254243cm -D ．()254123cm -【答案】A【解析】【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9−23，再根据六棱柱的侧面积是6ah 求解．【详解】解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°，∴BD ＝12a cm ，AD ＝32a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ，∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋3a ）cm ，宽为（4a ＋12a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a 3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋3）−（h ＋2a 3a ）＝5，（4a ＋12a ）−4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9−23∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9−232108(3) cm -；故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键．10．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利【答案】C【解析】试题解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“立”是相对面．故选C．考点：正方体展开图.11．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.【详解】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE方向行走，∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，∴∠A=60°，∠1=20°，AM ∥BN ，CE ∥AB ，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.12．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD ，D G ∴∠=∠，//BF DE ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠， BF 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．13．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．14．如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是（ ）A ．是B ．好C ．朋D ．友【答案】A【解析】【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“是”是相对面，“们”与“朋”是相对面，“好”与“友”是相对面．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．15．如图，将一副三角板如图放置，∠COD=28°，则∠AOB 的度数为( )A ．152°B ．148°C ．136°D ．144°【答案】A【解析】【分析】 根据三角板的性质得90AOD BOC ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等可得62AOC BOD ==︒∠∠，即可求出∠AOB 的度数．【详解】∵这是一副三角板∴90AOD BOC ∠=∠=︒∵28COD =︒∠∴62AOC BOD ==︒∠∠∴62+28+62=152AOB AOC COD BOD =++=︒︒︒︒∠∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了三角板的度数问题，掌握三角板的性质、同角的余角相等是解题的关键．16．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，17．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】A 、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项正确；B 、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；C 、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；D 、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项错误．故选：A ．【点睛】此题考查余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键．18．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴1352CBE ABC∠=∠=︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．19．如图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD，用此纸片可以围成一个无上下底面的三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】由三棱柱侧面展开图示是长方形，但只需将平行四边线变形成一个长方形，再根据长方形围成的三棱柱不能为斜的进行判断即可．【详解】因为三棱柱侧面展开图示是长方形，所以平行四边形要变形成一个长方形，如图所示：又因为长方形围成的三棱柱不是斜的，所以排除A、B、D，只有C符合．故选：C．【点睛】考查了学生空间想象能力和三棱柱的展示图形，解题关键是抓住三棱柱侧面展开图示是长方形和长方形围成的三棱柱不能为斜的．∠=∠的图形的个数是（）20．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中αβA．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【详解】根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，因此∠α=∠β的图形个数共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．。
初中几何“中点问题”解题技巧总结实例
初中几何“中点问题”解题技巧总结实例模型一：多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三 角形中位线 1模型分析］在三角形中.如果有中点.可构造三角形的 中位线，利用三角形中位线的性质定理xDE//B （^冃DE = △山用5 △朋：解决线段之间的相等或比例关 系及平行问题.r 如图，在LJABCD ,对角线AC 与BD 相交于点（）上 是边C"的中点■连接（慎若AAfiC=60\厶RAC =C. 30° 80S 则乙1的度数为A. 50°练一练BC第1题图D. 20°2.如图，M是AABC的边BC的中点，屈:苹芬7丽C,BN丄加V于点皿且AB = 8,MN = 3•求AC的长-3.如图，在四边形MCD中,M = V#卫分别是ADJiCJiDAC的中点求证:伽Y与PQ互相垂直平分.第3题图答案:1. B2. AC = 14・3.证明：如解图，顺次连接MP、PN、NQ、QM,•・•点M、P分別是线段AD、BD 的中点，・•・MP是的中位线，・•・ MP//AB且MP = yAB, 同理皿〃刖且7VQ二*肚，/. MP//NQ ^MP = NQ,・•・四边形MP/VQ是平行四边形，又•・•点PJV分别是线段BI）、RC的中点，・・・PN是△/?<?/）的中位线，・・.PN = 1cD.又・・・AB二CI）,・•・ PN 二PM,・・・平行四边形MRV0是菱形,・•・MN与刃2互相垂直平分.A—M八第3题解图模型二：直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半1模型分析」直角三角形中有斜边中点时■常作斜边上的中线■利用^斜边匕的中线等于斜边的一半"可得CD=A" RD 士AR来解题，有时有直角无屮点，要找屮点「可简记为^直角+中点，等腰必呈现：此模型作用:①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.4.如^t LACB=90\D为佃的中点琏接兀并延长到£ ■使CE = —CD,过点8作BF//DE.与AE的延长线交于点八若BF二&求4*的长度・5 如图，四边形ABCD中,AC = 90°,AL)丄叫点E为片〃的中点J)E//RQ 求证;RD平分厶ARC第5题图答案：5.证明:丄DB点E为佃的中点,DE = BE = ~-AB,二厶ABD =厶RDE.T DE//BC,二厶CBD 二 A BDE,二AABD^ ACBD.二平分A ABC.模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1模型分析I等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、髙线、顶角平分线"三线合一竹的性质得到：乙BAD二乙CAD.AD丄BC.RD 二CD,解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.6.如图,A ABC中=AC,点D是耽的中点,E是AC 上_点，且4E=AD,若zUED 二753求:乙EDC的度数.A第6题图7,如图,在△磁中超—为BC 的中 点，MV 丄AC 于点M 求MV 的长.8.如图，在矩形ABCD 中上为佃边上-点』£平分 乙DER 、F 为CE 的中点■连接AF.RE (1) 求证：DE = DC ； 答案:6. 厶 EDCJ5S ■ 127. = ~・ &证明：(I )V 四边形ABC!)是矩形沪 AB//CD. 「” Z_ DCE =乙 CEfi 、 T EC 平分厶DEB, 代 A DEC -乙 CEB, /. L DCE =乙DEC, /. DE = DC ； 第7题图 第8题图(2)如解图，连接OF,v DE二D(：M为CE的中点，二DF丄EC,二LDFC =90°,在矩形的⑵ 中r4/?=/X\Z4/?C=90°,/. BE = GF = EF = —EC,二厶ABF = L CEB.叮Z DCE = ACEB.二LABF=A DCF,在△/!〃，和△£)(/中，严二CFJ 厶ARF 二厶DCF,L A/?二DC二ZWF竺△DCF(SAS),二^AFB=乙DFC 二90JA AFLBF.第8题解图模型四：遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质1模型分析I当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到= 证明线段间的数UL犬糸”B DC BD C练一练9.如图，在周长为20的平行四边形中.AB^AD^ AC相交于点O,OE丄加交AD于点E,连接BE. 求：ZVWE的周长.答案:9. △血迢的周长为10.10. 证明:如解图，连接••• G 是CE 的中点,DGLCE,••• DG是CK的垂直平分线，DE二DC、LABC中，仙是高,CE是中线, 二DE是RtZUDB的斜边AB上的中线,•二DE 二RE 二冷AB.二DC = BE.B D C第10题解图模型五：中线等分三角形面积I).231模型分析M D 是△ ABC 的屮线，则S 小阴=S&g - 十兀曲（因为厶4加 与△MD 是两个等底同高的三角形）11-在zMBC 中，点D 、E,F 分别为BC.AD.CE 的中点,且 A ABC =16 冷则 S MEF = A. 213. 812.如图■在边长为a 的正方形4BCD 中卫是AB 的中点,DE 交M 于点F .则△ CDF 的面积为 （）练一练第12题图第U 题图4I).23I )o1I1)CcE AOli则ZC50 第14题图 第13題图 % 练一练模型六：圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理接*或过点O 作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2) 圆中遇到弦的中点』关想堆垂径定理=出现，•四中点 一垂直"解决相应问题；(3) 圆中遇到弧的中点，利用“一等四等I 垂径定理"解 决相应问题.13.如图」〃是O0的直径，C 是O0上的一点丄(点E 是弦』〃的中点)(点£是亦的中点)(I )圆心。
八年级上 数学几何典型例题 及 解题思路
数学几何是初中数学的一个重要部分，也是学生们比较容易感到困惑的一个知识点。
通过典型例题的学习，可以帮助学生掌握数学几何的解题方法，提高他们的解题能力。
下面就一些典型的数学几何例题进行详细讲解，希望能够对广大学生有所帮助。
【例题一】已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。
解题思路：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过其两条直角边的长度求得。
2. AC的长度即为三角形ABC的斜边长度，可以使用勾股定理求解。
具体步骤：1. 根据勾股定理，AC的长度可以通过AB和BC的长度求得，即AC²=AB²+BC²。
2. 代入数据，得到AC²=5²+12²=25+144=169。
3. 开平方，得到AC=√169=13cm。
AC的长度为13cm。
离心力计算题：一杯长10cm，杯口宽4cm的杯子内装满水，该杯子立在旋转盘上，旋转盘以每秒200转的角速度匀速旋转，求杯口边缘的水滴的离心力。
解题思路：1. 离心力是一个物体在旋转运动时产生的一种惯性力，可以通过公式计算得出。
2. 对于杯口边缘的水滴，可以看作是在旋转盘上做匀速圆周运动，因此可以利用离心力的公式进行计算。
具体步骤：1. 离心力的公式为F=mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r 为旋转半径。
2. 首先计算出水滴的质量，然后根据旋转盘的角速度和杯子的半径计算出离心力的大小。
这里就不再罗列具体计算步骤，具体计算过程略。
最后得出水滴的离心力为XXX。
【例题三】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，P是AB的中点，E是BC 上一点，使得PE⊥AB，求PE的长度。
解题思路：1. 首先利用矩形的性质和垂直平分线的性质进行分析。
2. 利用相似三角形的性质，通过比较辅助线的长度来求解PE的长度。
具体步骤：1. 由矩形的性质可知，AD=BC=6cm，同时由垂直平分线的性质可知，PE=EC，且PE⊥AB。
初中数学几何图形初步技巧及练习题附答案
【答案】B
【解析】
【分析】
依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．
【详解】
①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误
③两点之间线段最短，正确；
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；
故选B．
考查了展开图与折叠成几何体的性质，从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形是解题关键．
8．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）
本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．
10．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ）
A．主视图B．俯视图C．左视图D．一样大
【答案】C
【解析】
如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，即可判定①②正确；根据等角的余角相等，即可判定④正确．
【详解】
∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BAF＝ ∠BAC，∠ABF＝ ∠ABC，
又∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
八年级几何解题技巧
八年级几何解题技巧一、三角形相关（1 - 10题）题1：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
解析：根据三角形内角和为180°，所以∠C=180° - ∠A - ∠B = 180°-50° - 60°= 70°。
题2：已知等腰三角形的一个底角为40°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
解析：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。
所以顶角的度数为180° - 2×40°=180° - 80° = 100°。
题3：在△ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的高，若∠BAC = 100°，求∠BAD的度数。
解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，AD也是∠BAC的角平分线。
所以∠BAD=(1)/(2)∠BAC=(1)/(2)×100° = 50°。
题4：三角形三边分别为3，4，x，求x的取值范围。
解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以4 -3<x<4 + 3，即1<x<7。
题5：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，若∠A = 30°，BC = 2，求BD 的长。
解析：在Rt△ABC中，∠A = 30°，BC = 2，根据30°所对直角边是斜边的一半，所以AB = 2BC=4。
又因为在Rt△BCD中，∠BCD=∠A = 30°，BC = 2，所以BD=(1)/(2)BC = 1。
题6：证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
解析：已知△ABC，∠ACD是∠ACB的外角。
延长BC到D，因为∠ACD+∠ACB = 180°（平角定义），∠A+∠B + ∠ACB=180°（三角形内角和定理）。
八年级数学常考点 第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧(学生版+解析版)
第07讲勾股定理与几何最值问题突破技巧（学生版）第一部分专题典例剖析及针对训练类型一立体图形表面的最短路线问题典例1：如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长。
典例2 在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（π取3）针对训练1：1.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？2．（2020秋•罗湖区校级期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．3．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么A1B1C1D1DA BC所用细线最短需要cm ．类型二将军“饮马问题”中的最短路线典例3 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型三求一条线段的最小值典例4 （2020秋•遂宁期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．5针对训练34．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8B．15C．15.2D．16类型四利用配方法求最值典例5 （2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为．针对练习45．（2020秋•江都区期末）已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO 的最小值为（）AB小河东北牧童小屋A．2B．2.4C．2.5D．3第二部分专题培优训练1．（2021•柳南区校级模拟）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A．√32B．3√34C．√3D．3√322．（2021春•饶平县校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．12B．1C．√2D．√33．（2014•枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3√2+3√6）cm．4．（2021秋•青岛期末）如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC 和等边△BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为．5．（2021秋•锦江区校级期末）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上的高长最小值为．6．（2020秋•霸州市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上的任意一点，设P A+PD＝m．（1）连接CD交BH于点E，则m CD（填表示相等或大小关系的符号）；（2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是．7．（2021秋•大东区期中）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是．8．（2021•永嘉县校级模拟）如图，AB＝1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为．9．（2021春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为．10．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）11．（2021秋•吉安期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式√x2+1+√(8−x)2+25的最小值．12．（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BC＝12，AD＝3，若点P在BC上运动．（1）求线段DP的最小值；（2）当DP最小时，求△CDP的面积．第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧（解析版）第一部分 专题典例剖析及针对训练类型一 立体图形表面的最短路线问题典例1：如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm ，侧棱长为4cm ，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处的最短路程的长。
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路-word
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将 ∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE =90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵ 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE =90° ，∴ DE∥BC ，∴ ∠DEF = ∠EFB ，又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴ 四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明 R t△ADE ∽ Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵ 在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
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初中几何题解题技巧带例
题
Newly compiled on November 23, 2020
初中几何题解题技巧
在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。
在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。
一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。
练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。
二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。
练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。
三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。
分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。
练一练3：如图9，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，E点正好落在直角三角形的斜边AC上，已知AE＝8厘米，EC＝12厘米，求图中阴影部分的面积。
四、等分法等分法是指把一个几何图形平均分成若干个完全相同的小图形，然后根据大图形与小图形面积之间的倍数关系进行求解的方法。
例4如图10，三角形ABC的面积是48平方分米，点D、E、F与G、H、I分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。
求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形ABC平均分成16个完全一样的小三角形（如图11所示），阴影部分为其中3个小三角形，即阴影部分的面积占三角形ABC 的面积的。
阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练4：如图12所示，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点，求阴影部分的面积。
五、轴对称法轴对称法是指根据轴对称图形的特点，在原图上再构造一个完全相同的图形，使原图的面积扩大2倍，然后通过计算新图形的面积来求出原图面积的方法。
例5如图13，
在扇形OAB中，OA、OB的长均为6厘米，∠AOB＝45°，求阴影部分的面积。
分析与解：如图14所示，根据轴对称图形的特点，以OB边所在的直线为对称轴，作一个与扇形OAB完全一样的扇形OA′B，这样两个扇形就组成了一个圆。
阴影部分的面积就相当于用圆的面积减去等腰直角三角形AOA′的面积，然后再除以2，列式为：（×62×－6×6÷2）÷2＝（平方厘米）。
练一练5：如图15所示，已知等腰直角三角形ABC的斜边AC长是8厘米，求这个三角形的面积。
六、整体分析法整体分析法是指不注重对问题局部细节的考虑，而着眼于把局部放在一个整体中，通过观察、分析，寻求局部与整体之间的联系，从而找到解决问题的方法。
例6如图16，已知大圆的直径是20厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有4个，其中阴影1个，空白3个。
要求阴影部分的面积，就相当于把大圆的面积平均分成4份，求其中一份的面积，列式为：×（20÷2）2÷4＝（平方厘米）。
练一练6：如图17所示，已知大圆的直径是16厘米，求阴影部分的面积。
七、等量代换法等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换，从而求出面积的方法。
例7如图18，长方形ABCD的面积为1500平方厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，求四边形EFGO的面积。
分析与解：在长方形ABCD中，△ABF与△DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以S△ABF＝S△DBF 。
若从这两个三角形中同时减去△BEF，则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。
这样S阴影＝S四边形EFGO＋
S△ACD，则S四边形EFGO＝S阴影－S△ACD 。
四边形EFGO的面积为：880－1500÷2＝130（平方厘米）。
练一练7：如图19所示，已知平行四边形EFGH的底是8厘米，高是6厘米，阴影部分的面积是16平方厘米，求四边形ABCD的面积。
八、两次求差法两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方法。
例8如图20，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：从图中可以看出：阴影部分面积等于扇形ADE的面积减去空白部分AFCD的面积。
AFCD是一个不规则的图形，它的面积无法直接求出，可以用长方形ABCD的面积减去扇形ABF的面积得出。
空白部分AFCD的面积为：6×4－
×42×＝（平方厘米），阴影部分的面积为：×62×－＝（平方厘米）。
练一练8：如图21所示，已知正方形ABCD的边长是8分米，求阴影部分的面积。
九、比例法比例法是指根据几何图形中相关联的量之间的正、反比例关系求出面积的方法。
例9如图22，在梯形ABCD 中，BC＝2AD，BF＝2EF，E是CD的中点。
已知梯形ABCD的面积是72平方厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：在梯形ABCD中，三角形BCD与三角形ABD的高相等，底BC＝2AD，所以三角形BCD与三角形ABD的面积比为
2∶1，三角形BCD的面积为72÷（2＋1）×2＝48（平方厘米）。
由于E是CD 的中点，三角形BDE与三角形BCE的面积相等，三角形BDE的面积为48÷2＝24（平方厘米）。
又因为三角形BDF与三角形EDF的高相等，底BF＝2EF，所以三角形BDF与三角形EDF的面积比为2∶1，三角形BDF的面积为24÷（2＋
1）×2＝16（平方厘米）。
练一练9：如图23所示，平行四边形ABCD 的面积是96平方分米，BE＝2DE，AF＝3DF，求三角形DEF的面积。
十、方程法方程法是指通过设未知数列方程的方法，求出某条线段的值，然后再求出面积的方法。
例10如图24，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，已知AB＝3厘米，BC＝4厘米，AC＝5厘米，EG垂直于AC，且EG ＝厘米。
求正方形BDEF的面积。
分析与解：如图25，连接AE、BE、CE。
要求正方形BDEF的面积，一般要先求出其边长，根据题目中的条件，我们可以采用列方程的方法求出正方形边长。
设正方形BDEF的边长为x厘米，根据S△ABE＋S△BCE＋S△ACE＝S△ABC，可列方程为：3x×＋4x×＋5××＝3×4×，解：x＝。
正方形BDEF的面积为：×＝（平方厘米）。
练一练10：如图26所示，长方形ABCD的长是8分米，宽是6分米，BE＝2AE，三角形ECG的面积18平方分米，OF的长是多少分米。