(完整版)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)打印版
2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件
π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1
2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．
《正弦型函数y=asin(ωxφ)》中职数学(拓展模块)1.3ppt课件2【人教版】
y sin x x[0,2]
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点： ( ,1)
2
最低点：
(
3 2
,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
2019/8/10
有点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍（纵坐标不变）。
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1
时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1倍(纵坐标
不变) 而得到的。
思考：函数y f (x）与函数y f (k x)的图象有何关系？
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
2019/8/10
新课讲解:
例1 作函数
y 2sin x
及
y
1 sin 2
x
的图象。
解：1.列表
高中数学第一章基本初等函数(ii)1.3三角函数的图象与
(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为增函数; 当 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z),即 x∈
π ������ 2������π 3π ������ - + , - + 2������ ������ ������ 2������ ������
(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为减函数.
一
二
(4)奇偶性:当 φ=0 时,为奇函数;当 φ≠0 时,为非奇非偶函数. (5)周期性:T= . (6)对称性:直线 x= 点 - +
������ ������ ������π ,0 ������ π ������ ������π − + (k∈Z)都是其对称轴; 2������ ������ ������ 2π ������
一
二
(2)观察 y=sin x,y=sin ������ ± 得到 y=sin(x+φ)的图象?
π 6
的图象,思考由 y=sin x 的图象如何
提示:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x图象 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长 度而得到(可简记为“左加右减”), 即y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象.
3π ������ 2������π − + (k∈Z)时,y 取得最小 2������ ������ ������
当- +2kπ≤ωx+φ ≤ +2kπ(k∈Z),即 x∈ π 2 3π 2
π 2
π ������ 2������π π ������ - + , - + 2������ ������ ������ 2������ ������
【课件】 函数y=Asin(ωχ φ) 课件(第2课时)
知识清单
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:按先平移后伸缩的顺序变换
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变 纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
第五章 三角函数
人教2019版必修第一册
5.6 函数 y Asin(x )
课程目标
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示 进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规 律。 2. 通过对函数 y Asin(x )(A>0，w>0)图象的探讨，让学 生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
)
y=Asin(x+)
小试牛刀
1．思考辨析
(1)y＝sin
3x的图象向左平移
个单位所得图象的
4
解析式是y＝sin
(3x
4
)
.(
)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来
的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来
的2倍所得图象的解析式是y＝
答案：y=sinx.
题型三 探究A对y Asin x的图象的影响.
例3、作函数
y 2 sin x 及
y 1 sin x 2
的简图.
解：列表
x
0
sinx
第1部分第一章§8第二课时函数y=asin(ωxφ)的性质(精)PPT课件
问题3：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像是否有对称性？ 提示：有，既是中心对称又是轴对称．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域 值域
周期性
R
[－A，A]
2π T＝ |ω|
奇偶性 φ＝ kπ(k∈Z) 时是奇函数；φ＝π2＋kπ(k∈Z) 时是 偶函数；当 φ≠k2π(k∈Z)时是 非奇非偶 函数
[精解详析] ∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π. ∴π4≤2x＋π4≤54π. ∴－ 22≤sin2x＋π4≤1. ∴－1≤ 2sin2x＋π4≤ 2，即－1≤y≤ 2. 所以函数 y＝ 2sin2x＋π4，x∈0，π2的值域为[－1， 2]．
[一点通] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的 值域的步骤：
函数的图像
()
A．关于点π3，0对称
B．关于直线 x＝π4对称
C．关于点π4，0对称
D．关于直线 x＝π3对称
解析：由题意知 ω＝2，所以 f(x)＝sin2x＋π3，经验证可 知它的一个对称中心为π3，0. 答案：A
[例 3] (12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图像关于点 M(34π，0)对称，且在区 间[0，π2]上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
(3 分) (7 分)
又 f(x)在[0，π2]上是单调函数，
所以 T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2.又 ω>0， (10 分)
∴当 k＝1 时，ω＝23；
当 k＝2 时，ω＝2.
∴φ＝π2，ω＝2 或23
(12 分)
5．已知 f(x)＝sin(ωx＋π3)(0<ω<5)，f(π6)＝f(π3)，且 f(x)在区间 (π6，π3)上有最小值，则 ω＝________.
高中数学：1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象 Word版含答案
第一章三角函数1.5函数y=A sin(ωx+φ)的图象学习目标1.通过探究理解参数φ,ω,A对y=A sin(ωx+φ)(ω>0,A>0)图象的影响;2.会用两种方法叙述由y=sin x到y=A sin(ωx+φ)+k的图象的变换过程.会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)图象的简图;3.温故知新,认真思考,通过课件的演示达到直观感知、探究学习的目的,领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想.学习过程一、课前准备(预习课本,找出疑惑之处,标注在学案或书上)复习1:回顾“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]、余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的方法.复习2:y=f(x)→y=f(x+a)左右平移变换:a>0,向平移a个单位长度;a<0,向平移|a|个单位长度y=f(x)→y=f(x)+k上下平移变换:k<0,向平移|k|个单位长度;k>0,向平移k个单位长度思考:对函数y=A sin(ωx+φ)(ω>0,A>0),你认为怎样讨论参数φ,ω,A对函数图象的影响?二、新课导学探究1:探究φ对y=sin(x+φ),x∈R图象的影响(函数图象的左右平移变换——平移变换.)新知:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin x的图象上所有的点(当φ>0)或(当φ<0)平移个单位长度而得到.探究2:探究ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象影响(函数图象横向伸缩变换——周期变换.)新知:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标()或()到原来的倍(纵坐标不变)而得到.探究3:探究A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响(函数图象的纵向伸缩变换——振幅变换.)新知:一般地,函数y=A sin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标()或()到原来的倍(横坐标不变)而得到.探究4:如何由y=sin x图象通过图象变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的图象?方法1:y=sin x y=sin(x+φ)y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)反思:由y=sin x图象得到y=A sin(ωx+φ)的图象需经历三步变换,要考虑变换顺序.方法2:y=sin x y=sinωxy=sinωx y=sin(ωx+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)探究5:新知应用【例1】作出下列函数在一个周期内的简图,并说明其图象是由y=sin x图象如何变换得到的.(1)y=sin(x-);(2)y=sin3x;(3)y=sin x.【例2】画出函数y=2sin(x-)的简图,并说明如何由y=sin x图象如何变换得到的.三、总结提升1.2.y=sin x到y=A sin(ωx+φ)的变换流程图.四、课堂练习已知函数y=3sin(x+)的图象为C.(1)为了得到函数y=3sin(x-)的图象,只要把C上所有的点()A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度(2)为了得到函数y=3sin(2x+)的图象,只要把C上所有的点()A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变(3)为了得到函数y=4sin(x+)的图象,只要把C上所有的点()A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变B.横坐标伸长缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变D.纵坐标伸长缩短到原来的倍,横坐标不变五、达标检测1.把函数f(x)=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,而横坐标不变,可得g(x)的图象,则g(x)=()A.sin xB.sinC.sin3xD.sin x2.将函数y=2sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到新的函数图象,那么新函数的解析式为()A.y=4sinB.y=sinC.y=2sinD.y=sin2x3.把y=sin x的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍,则所得的图象的解析式是()A.y=4sin(x-)B.y=4sin(2x-)C.y=4sin(x+)D.y=4sin(2x+)4.下列命题正确的是()A.y=cos x的图象向左平移单位长度得y=sin x的图象B.y=sin x的图象向右平移单位长度得y=cos x的图象C.当φ<0时,y=sin x向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象D.y=sin(2x+)的图象由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到5.函数y=3sin(2x+)图象可看作是函数y=3sin2x图象,经过如下平移得到的,其中正确的是()A.向右平移单位长度B.向左平移单位长度C.向右平移单位长度D.向左平移单位长度6.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数y=cos(2x-)的图象()A.向左平移单位长度B.向右平移单位长度C.向左平移单位长度D.向右平移单位长度7.把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来2倍,再把纵坐标缩短到原来的倍,所得到图象的解析式是y=2sin(x+),则f(x)的解析式为.8.用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.参考★答案★一、课前准备复习1:x0 π2πy=sin x0 1 0 -1 0y=cos x 1 0 -1 0 1复习2:y=f(x)→y=f(x+a)左右平移变换:a>0,向左平移a个单位长度;a<0,向右平移|a|个单位长度y=f(x)→y=f(x)+k上下平移变换:k<0,向下平移|k|个单位长度;k>0,向上平移k个单位长度二、新课导学探究1:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.探究2:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.探究3:一般地,函数y=A sin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.探究4:方法1:y=sin x y=sin(x+φ)y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)方法2:y=sin x y=sinωxy=sinωx y=sin(ωx+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)探究5:新知应用【例1】解:(1)由y=sin x的图象向右平移个单位长度,即得到y=sin(x-)的图象;(2)y=sin x的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,即得到y=sin3x的图象;(3)y=sin x的图象上点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的倍,即得到y=sin x的图象;【例2】解:简图如下:y=sin x图象上的各点得y=sin(x-)的图象得y=sin(x-)的图象得y=2sin(x-)的图象.三、2.四、课堂练习(1)C(2)B(3)C五、达标检测1.D2.C3.B4.B5.C6.D7.y=3sin(x+)8.解:xπ2π2x-0y0 2 0 -2 0用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.y=sin x图象上各点得到y=sin(x-)的图象得y=sin(2x-)的图象得y=2sin(2x-)的图象.。
第5部分 第7讲函数y=Asin(ωx φ)的图象及性质---文本资料
大变化，而不是“角变化”多少．
【变式迁移】
2 ． (2010· 天津卷 ) 下图是函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(x∈R)
在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象， ) 只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横
坐标缩短到原来的
B．向左平移 C．向左平移 坐标缩短到原来的
(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换
得到．
点评：(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要
注意它和“五点法”作图的联系．
(2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换 (先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再
平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换
总是对字母 x 而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多
解法 2： 函数 f(x) 的图象向左平移 m个单位后所对应 g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋
恒成立．
)＝sin(3x＋3m＋
)对x∈R
点评：要善于利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象直观性地
得到函数的性质，如：①图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间 的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对 称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x轴垂直的直 线等．
( A )
在区间
的简图是
解：排除法：因为x＝0时，y<0，所以排除B，D.
又因为x＝
时，y＝0，排除C，故选A.
3．(2010·四川卷)将函数y＝sinx的图象上所有的点向
右平行移动
是( C )
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
高中数学人教A版 必修第一册 函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
[答案]
6 2
巩固练习
2. 已知函数y＝sin(ωx＋φ)，在同一周期内，
当x＝
9
时函数取得最大值1，当x＝49 时函
数取得最小值－1，则该函数的解析式为( B )
A. y＝sin(3x－ )
6
B. y＝sin(3x＋6 )
C. y＝sin( x ＋ )
36
D. y＝sin( x － )
36
A．向右平移 3 个单位
B．向右平移1π2个单位
C．向左平移
3
个单位
D．向左平移1π2个单位
典型例题
求三角函数的解析式
例1.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0, －π<φ<0)的图象的一段，求其解析式．
【解析】方法1：(五点法--平衡点法)
由图可知，其振幅为A＝ 3.由于 5 － ＝T ，
6
区间是
; [ 5 , ]
63
巩固练习
1.判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，周期是.
2
(
)
③y＝－3sin4x的振幅是3，最大值为3，
最小值是－3.( )
2.用图象变换的方法在同一坐标系内由y
＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的
图象.
巩固练习
方法3：(变换法)
以上同方法1，此时解析式为y＝ 3 sin(2x＋)．
由图象可知所求函数图象是由函数y＝ 3 sin
2x的图象向右平移 个单位长度而得到的．
3 所以所求函数的解析式为
y＝ 3 sin[2(x- )]＝ 3 sin(2x 2 )．
3
3
方法小结
本题由图象观察出最值与周期，就可求出A与ω，再 由图象过某点，运用待定系数法求出φ.其中找最高点 或最低点比较简便．
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。
函数y=Asinωxφ的图象
2023函数y=asinωxφ的图象pptcontents •函数y=asinωxφ的简介•函数y=asinωxφ的图象•函数y=asinωxφ的应用•其他类型的三角函数图象•对于学习函数的建议目录01函数y=asinωxφ的简介1asinωxφ的定义与性质23asinωxφ是正弦型函数，其中ω和φ是常数。
asinωxφ的定义域为x ∈ (-∞,+∞)，值域为y ∈ [-1,1]。
函数y=asinωxφ的周期为2π/ω。
数学表达式为y=asin(ωx+φ)，其中a为振幅，ω为角频率，φ为初相。
表达式中的ωx+φ表示将自变量x乘以角频率ω，再加上初相φ。
函数y=asinωxφ的数学表达式当a>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较大的正弦型曲线。
当a<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较小的正弦型曲线。
当a=1时，函数y=asinωxφ的图象呈现标准的正弦型曲线。
当ω>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较小的正弦型曲线。
当0<ω<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较大的正弦型曲线。
函数y=asinωxφ的图象及性质02函数y=asinωxφ的图象图形描述函数$y=asin\omega x\varphi$的图象是一个正弦曲线，随着$\omega$的增大，曲线的振幅逐渐增大，周期逐渐减小。
变化趋势当$x$逐渐增大时，$y$的值先逐渐增大，到达最大值后逐渐减小，当$y$达到最小值时，$x$的值也达到最大值。
函数y=asinωxφ的图象及变化趋势周期性定义函数$y=asin\omega x\varphi$的图象呈现周期性变化，周期是$\frac{2\pi}{\omega}$。
周期性变化每个周期内的图形完全相同，只是相位相差$\frac{\pi}{\omega}$，随着$x$增大，相位逐渐增大，新的周期逐渐开始。
函数y=asinωxφ的周期性变化函数$y=asin\omega x\varphi$的最大值是$1$，最小值是$-1$。
(完整版)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)打印版
正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωAy ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。
5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
(完整word版)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及性质韩忠刚考试目标1．考查正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象变换．2．考查y＝A sin（ωx＋φ)的性质及应用．考点梳理1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω〉0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，错误!,π,错误!,2π，得对应的五点为－错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ）在一个周期内的图象．（3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ）在R上的图象．2、定区间的“五点法”作图。
2．三角函数图象的变换3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0,x∈［0，＋∞）)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝错误!叫做周期，f＝错误!叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．注意点:1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为错误!，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中,一般采用先平移后伸缩的方法．3、(1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象;(2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数；(3）由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象时，需平移的单位数应为错误!，而不是|φ|.考点自测1．函数y＝（sin x＋cos x）2＋1的最小正周期是（)．A.错误! B．π C.错误! D．2π2。
已知简谐运动f（x）＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝错误!C．T＝6，φ＝错误! D．T＝6，φ＝错误!3．要得到函数y＝cos(2x＋1）的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象（）．A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位 D．向右平移错误!个单位4．将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位,得到的函数的一个对称中心是( ）．A。
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正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)
1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．
3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移
动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.
（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|
＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1|
|
ω倍，得到
y ＝sin ω x 的图象.
（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞
1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到
y ＝Asinx 的图象.
4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点
2；
②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点
2
；
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π
ω
(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。
5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩
sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变
得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(
0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x
∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
题型1：三角函数的图象
例1．（全国，5）函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）
题型2：三角函数图象的变换
2.（四川）将函数的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）
题型3：三角函数图象的应用
例1：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的
部分图象如图所示．求f (x )的解析式；
sin y x =10
π
sin(2)10
y x π
=-
y =sin(2)5x π
-
y =1sin()210
x π-1sin()220y x π=-
52
2
-y o x
12
π
6
π例2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，求函数解析式
例3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
.
)0,0)(sin(.4求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y
小结：的表达式：求函数)sin(ϕω+=x A y
;.1由图像中的振幅确定A ;.2由图像的周期确定ω
强化训练
1．最大值为12，周期为2π3，初相为π
6的三角函数表达式可能是( )
A ．y ＝12sin(x 3＋π6)
B ．y ＝12sin(x 2－π6)
C ．y ＝12sin(3x ＋π6)
D ．y ＝2sin(2x －π
6
)
2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π
6的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π6个单位
D ．向右平移π
6
个单位
3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝
⎛⎭⎫|φ|＜π
2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )
A ．T ＝6，φ＝π6
B ．T ＝6，φ＝π3
C ．T ＝6π，φ＝π6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
代点法
平移法常用的两种方法：求)2( )1( .3ϕ
4．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3
D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)的部分图象如图所示，则( )
A ．ω＝1，φ＝π6
B ．ω＝1，φ＝－π6
C ．ω＝2，φ＝π6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
6．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，
则( )
A ．ω＝π2，φ＝π4
B ．ω＝π3，φ＝π6
C ．ω＝π4，φ＝π4
D ．ω＝π4，φ＝5π
4
7．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π6个单位长度
D ．向右平移π
6
个单位长度
8．为得到函数y ＝cos(x ＋π
3
)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )
A ．向左平移π6个单位长度
B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移5π6个单位长度
D ．向右平移5π
6
个单位长度
9。
把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π
8
个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数
10．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解
析式是( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝1＋cos 2x
C ．y ＝1＋sin(2x ＋π
4
) D ．y ＝cos 2x －1
11．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π
4个长度单位
C ．向左平移π2个长度单位
D ．向右平移π
2
个长度单位
12．要得到函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π4个单位
D ．向右平移π
4
个单位
13．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π
6
对称，则φ的
最小值是________．
15.如图为)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0)的图象的一段，求其解析式。
3-
3
3π
65π
O
x
y。