y=sinx的图象
6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是 .例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为 .6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. 2π－1 C.π D. 2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π； ④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是 .11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)； ②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7. 2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
正弦余弦函数的图象
高一备课组
复习
y r=1 α O M P(x,y)
y＝sinα= MP (正弦线 正弦线) 正弦线
x
y＝cosα=OM (余弦线 余弦线) 余弦线
正弦函数、 正弦函数、余弦函数
y=sinα y=sin x
一般地，我们用x表示自变量，即x表示角的大小， 表示自变量， 表示角的大小， 一般地，我们用 表示自变量 表示角的大小 表示函数值， 用y表示函数值，这样，我们就定义了任意角的 表示函数值 这样， 正弦函数y=sinx，其定义域为 正弦函数 ，其定义域为R.
上移1 上移1个单位
横坐标不变， 横坐标不变， 纵坐标伸长 为原来的2 为原来的2倍
沿x轴翻折
四、小结 小结
正弦、 正弦、余弦函数的图象
几何法 五点作图法（作图常用此法） 五点作图法（作图常用此法）
1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
●
-1 -2
3π 2
●
●
2π
x
练习（ ） 练习（2） 画y=-cosx，x∈[0, 2π]的简图 ， ∈ π 的简图 解：按五个关键点列表 π 3π π 2π x 0 2 2 cosx -cosx
y 1
1 -1
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y=-cosx x∈ 2 ] [0, π
●
o
-1
●
π
●
2
π
y=cosx x∈ [0, 2π ]
y 1
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
π
2
−
o -1
函数y=sinx与y=cosx的图像【优质PPT】
x0
π π3 π 2 π
2
2
c o 1s 0 x - 1 0 1
- co - 1 s 0x 1 0- 1
y ycos,x[0,2π]
1
O
π π 3π2π x
2
2
-1
ycos,xx[0,2π]
小结
体会推导新知识时的数形结合思想； 理解解决类三角函数图像的整体思想； 对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
谢谢!
人教版 高中数学必修4 三角函数 第10课时
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-2
-
y 1 yco,s x x R
o
2
3
x
-1
例1：画出y=1+sinx ,
π
x0
sinx
2
x∈[0，2]的简图
π
3π 2
2π
0
1
0
-1 0
1sinx
1
2
1
01
2 y . y1sinx x[,0,2π
1.
.
.
o
π
.
3π
-1
2
2
2
x
ys i nxx[,0 , 2 π ]
课堂练习：画出y=- cosx , x∈[0,2 ]的简图
正弦函数、余弦函数的图像
引入： sina ,coas,tana 的几何意义是什么?
复习：三角函数线
作出 135 o 的三角函数线: y
135 o P
Mo
A(1,0) x
T
135°角的 正弦线为 MP； 余弦线为 OM； 正切线为 AT。
正余弦函数的图象
. . . . . . 2 5 π 7 4 3 5 11 2 x X
. . . 3 6
63 23 6
五点法作函数y=cosx,x[0,2] 的简图
x
0
cosx 1
2
0
-1
3 2
2
0
1
Y
1.
.
O
π.
π
.3π 2π X
-1
2
.
2
例题: 画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx, x[0,2 ]；
(2)y=-cosx, x [0,2 ]
●
0
2 5 ●
●
●
●
x
6 32 3 6
●
●
●
-1
3.五点法作函数y=sinx,x[0,2] 的 简图
x
0
sinx 0
2
1
0
3 2
2
-1
0
. 1 Y
.
O
π
.
π 3π
.
2πX
2
-1
2.
4、余弦函数y=cosx, x R 图像
y cosx, x [0,2]
.y Y 1.
O0
6
-1
. . π
32
1
0
-1
用五点法作出简图
y 1
. y cosx , x [0,2π]
O
-1 .
π .
2
π
.3 π
2
2π x
.
y cosx , x [0,2π]
小结:
1.由单位圆中正弦线画出正弦函数图象;
2.正弦函数与余弦函数图象的关系;
正弦函数的图像(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
课本练习
练习７．１（１） １．作出函数y＝ｓｉｎx，x∈［－π，π］的大致图像． ２．作出函数y＝ －ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并 分别写出使得y＞０和y＜０的 x的取值范围． ３．在同一平面直角坐标系中作出y＝ｓｉｎx和y＝ｓｉｎx＋２ 的大致图像，并说明它们之间的关系．
随堂检测
从图７-１-２可知，（０，０）、（π２，１）、（π，０）、 （３π２，－１）和 （２π，０）是函数y＝ｓｉｎx，x∈［０， ２π］图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲 线将它们连接起来，就得到函数y＝ ｓｉｎx，x∈［０，２π］ 的大致图像（图７-１-４）．
这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为 “五点（作图）法”．
例１ 用“五点法”作出函数y＝１－ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并写 出使得y＜１的x的取值范围． 解 将五个关键点列表（表７１）如下：
描点并用光滑曲线把它们连接起来，就得到y＝１－ｓｉｎx， x∈［０，２π］的 大致图像（图７-１-５）．
作出函数y＝１的图像，如图７-１-５所示．由图可知，使得y＜１的x的取值范 围是 （０，π）．
随着α的变化，可以得到函数y＝ｓｉｎx图像上的其他
点． 方便起见，我们先将单位圆O１ 分为１２等份（等
份数越多，作出的图像越精确），使得角α的弧度数依
次取０、
…、２π，再借助圆 O１ 得到对应
的纵坐标，依次作出函数y＝ｓｉｎx图像上的点（０，
ｓｉｎ０）、
…、
（２π，ｓｉｎ２π），用光滑的曲线将这些点连接起
我们已经知道，任意一个给定的实数狓都对应着唯一确 定的角（其弧度数等于实数x），而这个角又对应着唯一 确定的正弦值ｓｉｎx．这样，对于任意一个给定的实数 x，都有唯一确定的正弦值ｓｉｎx与之对应．按照这个 对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作y＝ｓｉｎ x．正弦函数的定义域是实数集R．
正弦函数的图像和性质(1)
二.正弦函数的图象
在画正弦函数图象时,我们可以先画出 0, 2 , 上的 正弦函数的图象,再利用周期性将其拓展到整个定义域上.
y sin x, x 0, 2
Ⅰ、用描点法作出函数图象
⑴.列表
x
y
0
6 1 2
3
3 2
0
2
2 3
3 2
5 6
1
1 2
7 6
4 3
3 2
π
2π x
-1
坐标依次为：
3 （0，0）、（ 2 ，1）、（ ，0）、（ 2 ，-1）、（ 2 ，0）
正弦函数的图象
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
-4 -3 -2 -
y
1
正弦曲线
o
-1
2
3
4
5
6
x
探究：如何作余弦函数的图象
π
-π
π
2
O
2
π
2k ,2k 减区间 2k ,2k
x
对称轴 对称中心
-1
(k ,0) 2 k Z
x k
四、几何法作图
用正弦线作正弦函数 的图象
y sin x( x [0,2 ])
（1）作直角坐标系，在直角坐标系的y轴左侧画单位圆，
圆心在x轴上． （2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各分点作x轴 的垂线，可以得到对应于各角的正弦线； （3）找横坐标：把x轴上从0到2这一段分成12等份； （4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可作出相应12 个点； （5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接 起来，即得到 y sin x( x [0,2 ])的图象。 演示做图
1126三角函数图像及性质
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象 （2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x |例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x ππ=+∈的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π≤<<课后作业：作业：补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx 的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx 和y=cosx 的图象 3．用五点法作出y=cosx,x ∈[0,2π]的图象“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。
例1． 画出下列函数的简图：（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕 一、 合作学习 ●探究1如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：这两个图像关于X 轴对称。
正弦函数余弦函数的图象【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
O
x
“五点法”画正弦、余弦函数图象：
正弦函数、余弦函数图象的画法：
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
画出函数
的简图：
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正弦函数、余数函数的图象 画出函数
5 y=1+sinx，x [0, 2 ] 则 解 集 是 { x | + 2 k x + 2 k ,k Z } . 正弦函数、余弦函数图象的画法：
的简图. 正弦函数、余数函数的图象
探究4：类比于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然后作出
的简图.
-1 0 函数在[0,2π]
范围1 以外0的图象-与1 此y范围的图象有什么关系呢?
-1 0
1 0 -1 2
y1sinx
1
210
1
正弦函数、余弦函数图象的画法：
y
-
-
1
1-
6 -4 -34
-2 2 -
oo
-1-
-1
2 2
43
4 6 5
6xx
函 数 y s in x x R 的 图 象
正弦曲线
探究2：你能利用学过的知识作y=cosx的 图象？
ycox ssix n()， xR
2
结 论 :把 正 弦 函 数 ysinx,xR 的 图 象 向 左 平 移
个 单 位 ， 得 到 余 弦 y 函 数 ycosx,xR 的 图 象 .
【课堂小结】
1.代数描点法（误差大）
正余弦函 数图象 的作法
2.几何描点法（精确但步骤繁） 3.五点法（重点掌握）
4.平移法
其中五点法最常用，要牢记五个关键点的坐标.
3.4三角函数的图像与性质
例2 求函数y=cos3x的最大值及取得最大值时自变量x的集合.
解:令t=3x,y=cos3x=cost,ymax=1.
因为使函数cost取得最大值的t的集合为{t|t=2kΠ,k∈Z}因为t=3x,
所以{x|x=23kΠ,k∈Z}
练习
1.比较cos5与cos7值的大小.
解:5=36°,7≈26°,因为区间[0,Π]是减函数,所以cos5<cos7.
y=sinx是奇函数，从图像来看,y=sinx的图像关于原点对称,也能判断
出y=sinx是奇函数.
周期性:物体有规律地重复出现,做周期运动.
正弦曲线的部分图像是重复出现的,因此正
弦函数具有周期性.
周期函数:一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内
的每一个值,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么,函数f(x)就
下面五个点在确定图像形状
时起着关键作用:
(0,1),(
,0),(Π,2
1),(3
,0),(2Π,1)
2
这五个点描出后,余弦函数
y=cosx(x∈[0,2Π]) 的 图 像
形状就基本确定了.
0=0°,2=90°,Π=180°,3
=270°,2Π=360°,这五个点都是相差90°角
2
的关系.像这样画余弦函数的方法称为五点法.
(2)求出它的最大值和最小值;
(3)判断它的奇偶性;
(4)指出这个函数在[0,2Π]上的单调区间.
(2)ymin=-0.5,ymax=0.5.
(3)函数y=12sinx是奇函数.
(4)单调减区间为[ 2 , 3
],
正弦型函数图象与性质
定义域：R
值域：[-A，A]，最大值是A，最小值是-A 2 周期： T
想一 想 求下列函数的最大值、最小值和周期:
1.y=5sinx
4.y= 2sin(x+ ) 6
1 2.y=sin x 4
3 5.y=2sin(3x+ 4 )
3.y=sin(x- )
思考 题
2π 已知函数y=5sin(3x) 3
2
π
2π x
0 0 0 0
2
1 2 1/2
π 0 0 0
3 2
-1 -2 -1/2
2π 0 0 0
1、A的作用：研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系
1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系 2 y
2
1 0 -1 -2 A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图象上所有 点的纵坐标扩大 (当A>1时)或缩小（当0<A<1时)到原 来打的A倍而得到. π 2π x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
x
x 2x
-3
6 0
0
12
3
3
2
3
0
7 12 3 2
3
5 6 2
0
y 3 sin( 2 x ) 3
y
o
x
横坐标不变
纵坐标不变
图像向左平移
y=sinx
y=3sin2x
y=sin2x
纵坐标伸长到原来的3倍
横坐标缩短到原来1/2
三角函数图像与性质
三角函数的图像与性质一.正弦函数和余弦函数的图象:y=sinx打 3口正弦函数y = sin x 和余弦函数y = cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,兀,3-,2兀的2 2五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数y = sin x (x G R )、 余弦函数 y = cos x (x G R )的性质：(1)定义域：都是R 。
(2)值域：1、都是［-1,1］，2、y = sin x ，当 x = 2 k -+-(k G Z )时，y 取最大值 1；当 x = 2 k -+ 3-( k G Z )时，y 取最小值一1； 2 2 3、y = cos x ，当 x = 2k - (k G Z )时，y 取最大值 1,当 x = 2k -+-(k G Z )时，y 取最小值一1。
例：(1)若函数y = a - b sin(3x + -)的最大值为3，最小值为-L 则a = , b =622——(答：a = —, b = 1或 b = —1 )；22.函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是课堂练习：1、函数y = sin x - sin x 的值域是2.已知f (x )的定义域为[0, 1],求f (c os x )的定义域；(3)周期性：①y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是2兀；2兀②f (x ) = A sin (3x +。
和f (x ) = A cos (3x +中)的最小正周期都是T = ——。
13| 兀x例：(1)若 f (x ) = sin 一，则 f (1)+ f (2) + f (3) + .・・ + f (2003)=—(答：0)； ^3⑵.下列函数中，最小正周期为兀的是()(4)奇偶性与对称性：1、正弦函数y —sin x (x E R ) 7是奇函数，对称中心是(k 兀,0)(k E z ),对称轴是直线x — k K+-(k E Z )；2 2、余弦函数y — cos x (x E R )是偶函数，对称中心是(k K +-,0 ](k E Z ),对称轴是直线x — k R (k E Z ) I 2)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点)。
正余弦函数图像和性质PPT课件
（2）余弦函数“五点作图法”：
y 1 y=cosx
3 2
2
o
2
-1
3 2
Y=sinx 2 5 3 x
2
五个关 键点：
( 0 ,1),
( ,0 ), 2
( , 1), ( 3 , 0 ) , ( 2 ,1)
2
（3）正、余弦函数图象的关系
cosx=sin(x+
2
y=cosx
y
) sinx=cos( -x)=cos(x- )
定义域 值域 周期性 对称性 单调性
性质的应. 用
3
一.基础知识复习
（一）正、余弦函数图象
“五点作图法”
（1）正弦函数“五点作图法”：
y
1
4
3
2
-
3 2
-
-
2
o
2
3 2
2
3
4 x
-1
五个关键点：
( 0 , 0 ) ,(
2
, 1 ) , ( , 0 ) ,( 3
2
, 1)(, 2 , 0 )
正 余弦函数的图象与性质(1)
y
1
ysinx,x[0,2
3p
π
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sin在[0，2π]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的知识框架
正弦线 正弦函数的图象 平移变换 余弦函数的图象
正弦函数的性质 “五点法”作 图
余弦函数的性质
⑤奇偶性:
奇偶性的y1定义y=：sif f n( ( x x x ) ) ( x ff R( ( x x )) ) ff( ( x x ) ) 为 为 偶 奇 函 函 数 数
正弦函数课件
，
3 a＝－2 解得 b＝1 2
.
正弦函数的奇偶性
＝－sin x 由公式 sin(－x)＝－ － ＝－
正弦函数是奇函数． 正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
x
-3π
− 5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π 2
o
-1
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
正弦函数的单调性
y
1
上, 是增函数； 是增函数；
上，是减函数. 是减函数
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π 2
o
-1
x
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
[例] 求
π y＝sin3x－3的单调区间．
• 复合函数y＝f[g(x)] • 由函数y＝f(t)和函数t＝g(x)复合而成 • 单调性的判定方法是： 当y＝f(t)和t＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数； 当y＝f(t)和t＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝ f[g(x)]为减函数． “同增异减”
最小正周期） 周期（最小正周期）
T =
2π
ω
讲授新课
求下列三角函数的周期： 例. 求下列三角函数的周期：
y = A sin( ω x + ϕ )
T =
2π
ω
取最大值、 例 ：求使函数 y＝2＋sin x 取最大值、最小值 ＝ ＋ 的集合，并求出这个函数的最大值， 的 x 的集合，并求出这个函数的最大值， 最小值和周期 T . 解
5.1-5.2 正弦函数的图像
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v
1
函数y=sinx y
正弦函数y=sinx有以下性 质：
（1）定义域：R
P(u,v)
（2）值域：[-1，1]
α
（3）是周期函数，最小
-1
o M 1x
正周期是 2 （4）在[ 0，2]上的单调
P Mo
135 o 角的
正弦线为 MP；
余弦线为 OM. x
5.2 正弦函数的图像
1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
x
0
ππ
2
3π
2 2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
2 y . y 1 sinx,x [0,2π]
1.
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
. 2. y
1
y=sinx+2, x∈[0， ]
例1.作出 y= -sinx, x [0,2] 的图像。
解：(1)
x
0
y=sinx 0
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变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
正弦型函数的图象和性质
复习 函数 y= sinx 的图象和性质
1、y=sinx的图象 （x∈[0，2π] ）
2、y=sinx的性质
① 定义域 R。 ② 值域 [-1，1]；最大值1，最小值－1。 ③ 周期 T＝ 2π。 ④ 奇偶性：奇函数。正弦曲线关于坐标原点成中心对称。 ⑤ 单调性：在[2kπ－0.5π，2kπ＋0.5π]上是增函数，
3个单位，可以得到函数（ B ）的图象。
（A）y=sin(x＋2)
（B）y=sin(x－2)
（C）y=sin(x＋4)
（D）y=sin(x－4)
本节小结
1、函数y=Asinx的（A>0）的值域是[-A，A]， 最大值A，最小值－A；周期2π。
2、函数y=sin(ω x)（w>0）的值域[-1，1]， 最大值1，最小值－1；周期2π/ω。
在[2kπ＋0.5π，2kπ＋1.5π]上是减函数。
y= A sinx 的图象
例1、用“五点法”作出函数y=2sinx和y=0.5sinx的图像。
x
0 0.5π π 1.5π 2π
y=sinx 0 1 y=2sinx 0 2 y=0.5sinx 0 0.5
0
-1
0
0
-2
0
0 -0.5 0
y
y=2sinx
3、某函数形如y=sin(ωx)，其周期是0.25π,那么ω的大
小为（ ）D
（A）6 （B）7 （C）5 （D）8
y=sin(x+φ)的图象
例3、用“五点法”作出函数y=sin(x＋0.5π) 的图象。
x+0.5π
0 0.5π
x
-0.5π 0
y=sin(x+0.5π) 0 1
π 1.5π 2π
0.5π π 1.5π
y=sinx（红线） y=sin(0.5x)（蓝线） y=sin(2x)（黑线）
（点击可放大）
函数 y=sin(0.5 x) y=sinx y=sin(2x) ……
y=sin(ωx)（ω>0）
最大值 1 1 1
最小值 -1 -1 -1
1
-1
值域
[-1，1] [-1，1] [-1，1]
周期 4π 2π π
2
●
建立坐标系 y=sinx（红） 作y=2sinx
1
y=0.5sinx
●
0●
●
0.5π
π
●
1.5π
2π
x
●
-1
-2
●
作y=0.5sinx 清除图象
y= A sinx 的性质
y=sinx（红线） y=2sinx（黑线） y=0.5 sinx（蓝线）
函数 y=0.5sin x y=sinx y=2sinx …… y=Asinx（A>0）
3、y=sin(x+φ)的图象，当φ>0时，由y=sinx 向左平移|φ|个单位得到；当φ<0时，由 y=sinx向右平移|φ|个单位得到。
课后思考与作业
想一 想
1、怎样作出下列函数的图象？ （1）y=2sin(x＋π) （2）y=sin(2x+π) （3）y=0.5sin(x+0.5π) （4） y=2sin(2x－π)
0
-1
0
建立坐标系 y=sinx（红）
y
y=sin(x＋0.5π)
1●
●
●
●
-0.5π
0
0.5π
π
y=sin(x+0.5π)
y=sin(x-0.5π)
x y=sin(x-0.5π)
●
●
1.5π
2π
2.5π
-1
●
●
清除图象
一试身手：用“五点法”作出函数y=sin(x-0.5π)的图
像。
y=sin(x+φ)的性质
x
0 π 2π 3π 4π
y=sin(0.5x) 0 1 0 -1
0
建立坐标系 y=sinx（红）
y
2 y=sin(2x)
1
●
●
0●
●
●
π
●
2π
3π
●
-1
●
y=sin(0.5x)
y=sin(0.5x)
●
4π
x
y=sin(2x)
清除图象
-2
一试身手：用“五点法”作出函数y=sin(2x)的图
y=sin(ωx)的性质
y=sinx（红线） y=sin(x+0.5π)（蓝 线） y=sin(x-0.5π)（黑线）
（点击可放大）
由结简论图可：知： y=ys=ins(ixn＋(x0+.5φπ))图的象图由象y=，s当inxφ图>象0向时左，平由移y0=.5sπi个nx单位得到； y=向si左n(平x－移0|.5φπ)|图个象单由位y=得si到nx；图当象φ向<右0平时移，0.5由π个单位得到。
[-1，1] 2π/ω
Hale Waihona Puke 变式训练21、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(4x)
（2）y=sin(0.25x)
解：（1）y=sin(4x)的最大值是1，最小值是－1，
周期T=0.5π
（2）y=sin(0.25x)的最大值
是1，最小值是－1，周期T=8π。
2、函数y=sin(6x)与函数y=sinx的图象有什么关系？