三角函数y=sinx的图象与性质

三角函数的图象与性质

【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．

(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈[]

π8，3π

4上的最大值为________，最小值为________． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ()

x －π

4≥0， 所以定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |

2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .

(2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ()

2x －π

4， ∵x ∈[]π8，3π4，∴2x －π4∈[]0，5π4，∴sin ()

2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－2

2，1，

故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.

答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x |

2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1

【训练1】 (1)函数y ＝1

tan x －1

的定义域为________；

(2)当x ∈[]

π6，7π

6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析 (1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x |

x ≠π4＋k π，k ∈Z ，

又⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |

x ≠π2＋k π，k ∈Z ，

故函数的定义域为：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |

x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .

(2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2()

sin x －1

42

＋78

. 又x ∈[]π6，7π6，∴sin x ∈[]

－1

2，1，

∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－1

2时，y max ＝2.

答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x |

x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2

三角函数的单调性

【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝

(sin x －cos x )sin 2x

sin x

.

(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．

解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝

(sin x －cos x )sin 2x sin x

＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ()

2x －π

4－1，

所以f (x )的最小正周期T ＝2π

2

＝π.

(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[]

2k π－π2，2k π＋π

2(k ∈Z )．

由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π

8，x ≠k π(k ∈Z )．

所以f (x )的单调递增区间为[)k π－π8，k π和(]

k π，k π＋3π

8(k ∈Z )． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ()2x ＋π6；(2)y ＝3sin ()

π3－x

2.

解 (1)将2x ＋π

6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增

区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π

12，k ∈Z .

故y ＝cos ()

2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π

12(k ∈Z )．

(2)y ＝3sin ()π3－x 2＝－3sin ()x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π

3

，k ∈Z .

故y ＝3sin ()π3－x 2的单调递增区间为[]4k π＋5π3，4k π＋11π

3(k ∈Z )． 三角函数的奇偶性、周期性及对

称性

【例3】►(1)若0＜α＜π

2，g (x )＝sin ()

2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．

(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)()

||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π

12

，则φ＝________.

解析 (1)要使g (x )＝sin ()

2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π

2，∴α＝

π

4

. (2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π

2

(k ∈Z )，

即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.

答案 (1)π4 (2)π4

函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数

的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π

2＋k π(k ∈Z )，

求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．

【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ()

2x ＋3π

2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数

C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π

4

对称 D ．函数f (x )在区间[]

0，π2上是增函数

解析 f (x )＝sin ()

2x ＋3π

2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π

4对称，C 错误；由函数f (x )的图

象易知，函数f (x )在[]

0，π

2上是增函数，D 正确，故选C.

答案 C 【例4】(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈()12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)若y ＝f (x )的图象经过点()π4，0，求函数f (x )在区间[]

0，3π

5上的取值范围．

[解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin (

)

2ωx －π

6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ()

2ωx －π

6＝±1，

所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈()12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.

所以f (x )的最小正周期是

6π

5

.(6分) (2)由y ＝f (x )的图象过点()π4，0，得f ()π4＝0，即λ＝－2sin (

)

56×π2－π6＝－2sin π

4＝－ 2

故f (x )＝2sin ()53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－1

2≤sin ()

53x －π6≤1，

得－1－2≤2sin (

)

53x －π

6－2≤2－2，(11分)

故函数f (x )在[]

0，3π

5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分)