上的正弦函数y=sinx
正弦函数y=sinx图象
实验： 装满细沙的漏斗在做单摆
运动，同时匀速拉动木板，请 观察沙子落在木板上的轨迹
思考： 该曲线就是正弦函数的图
象，我们把它叫作正弦曲线， 那么你有办法画出该曲线的图 象吗？
问题：如何作出正弦函数y=sinx x[0,2]的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。 y 1
x
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
(2 ,1)
( 2 ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
( 2 ,0)
2
x
( 2 ,0)
(
((,0((,()0,0)),0,,(003)2))(32,((-33122,(1)3(2,,)3-1(213,)21)(,(3-3)2,211),),--11)()
o1
o
2 5 7 4 3 5 11 26323663
23
6
-1
终边相同角的三角函数值相等
y=sinx
y=sinx xR
x[0,2] 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
终边相同角的三角函数值相等
y=sinx
y=sinx xR
x[0,2] 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx的图象在[2π，4π] ， [4π，6π]， [－4π，－2π]，[－2π，0] … 与 y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
的简图：
22
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
函数的周期性
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02sin 4141=+x 得 4π=x故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
正弦函数的性质
例如
:
sin(
)
sin
, 但是
sin(
)
sin
.
42 4
32 3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
(2) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周 期）周期T中最小的正数叫做f (x)的 最小正周期（有些周期函数没有最小 正周期,如常值函数 f(x)=1 ）.
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
y
1
Байду номын сангаас
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=sinx
(5) 单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
高一数学正弦函数y=sinx性质
2
2
练习1、y 1 的定义域为（
）
sin x
A.R
B.{x | x kπ ，k Z）
C.[1，0）（0，1]
D.{x | x 0}
练习2、y 3sin（2x ）最小正
6 周期为（ ）
A.4π
B.2π
Cπ.
D.
2
练习3、下列函数为偶函数的是（ ）
A.y sin | x |
1；
x
π 2
2kπ
（k Z）时，ymin
1；
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
例2、设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。
例3 求下列函数的最值，并求出相应 的x值。 （1） y=2sinx （2）y=sinx+2 （3）y=sin2x
T xx2xx23?
3
性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z , k 0)
T 2
y Asin（ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2π
ω
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
y sin x的增区间：[ 2k， 2k ]
sin（等x式si2n（kπ4 ）2）sinsinx，4 能x 否R说，明k 0
是正弦函数y sin x的周期？为什么？
2
性质二：周期性
对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小的 正数就叫做它的最小正周期。
sin x的周期：...... 4、 2、2、4、6 ......
正弦函数y=sin的图象与性质
6
ysin1(x)的图象
36
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来2的倍
y2sin1y(x2s)i的n1(x图)的象图象
横坐标不变3 6 3 6
2
(1)向右平移
6
y
3
2
y=sin(x- ysin1(x) )① 36
1
o
7
13
2
26
-１
-2
y=sinx
-3
(画法)利 二"用 五点"画 法函y数 2sin1x()在
4
-
1
7
2
3
5
2
2
3
2
2
0
2
y1
3
2
2
y=sin x, x∈R
5
2
3
7
2
4
x
思考与交流:图中,起着关键作用的
点是哪些?找到它们有什么作用呢?
找 0到, 0 这 五 个2 ,关1 键点 ,就, 0 可 以 3画2 出, 1正 弦 2曲 ,线0 了!
如下表
x
0
2
3
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
y 1
作图：
1 2
y=sin1 x
2
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y 1
y=sin
1 2
x
2
3
4
O
x
1
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
1.5正弦函数y=sinx的图像与性质
1.5.2 正弦函数的 图像
知识回顾
1. 三角函数是以角 实数)为自变量的函数 三角函数是以角(实数 为自变量的函数 实数 为自变量的函数.
y = sin x, x ∈ R
2. 常用画图的方法 描点法 常用画图的方法: π π π π y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 3 π 而 sin = ≈ 0.866, 不便于描 点 3 2
最大值？ 取何值是到达最小值？ 最大值？在x取何值是到达最小值？ 取何值是到达最小值 关键点： 关键点：把 2x +
π
π
看作一个整体。 看作一个整体。
6
π π
处到达最大值1。 解： f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = + 2kπ 处到达最大值 。即， 6 6 2 达到最大值1。 当 x = π + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最大值 。 6 6 π π π f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = − + 2kπ 处达到最小值 。即， 处达到最小值-1。 6 6 2 π x = − + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最小值 。 达到最小值-1。 当 3 6
想一想
如何作出正弦函数的图象（ 如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 正弦函数的图象 时）？
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π
正弦函数的性质
正弦函数y = sin x的周期为2π
针对练习B 针对练习 1,
例1 求下列函数的周期: 求下列函数的周期
(1) y = sin 2 x ;
解析: 解析
1 π (2) y = sin( x + ). 2 6
1 （）求函数y = sin 2x的周期，即自变量x的值增加多少时， 函数y = sin 2x的值重复出现？
作业：P 62
习题 − 3A 1
4,5
π
3π [ + kπ , + k π ], k ∈ Z 4 4
Байду номын сангаас
π
4
+ kπ ,
π
4
+ k π ], k ∈ Z
(2) y=2sin(-x )
(3) y=3sin(2x-
π
4
)
解： 法一 令t=-x,则y=2sint 法一:令 则
法二: 法二 y=2sin(-x ) = -2sinx π π ∈ 函数在 [ − 2 +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 函数在 [ (3)
小 结：
正弦函数y=sinx的 周期：T= 的 周期： 正弦函数
2π
单调递增 单调递减
正弦函数y=sinx的 单调性（单调区间） 的 单调性（单调区间） 正弦函数 [− [
π
2
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z π π ∈ +2kπ],k∈Z π ∈
π
π
3π +2kπ, π 2 2
1. 周期的概念及换元法求周期 周期的概念及换元法求周期; 2. 正弦函数的单调性及复合函数的单调区间求法 正弦函数的单调性及复合函数的单调区间求法;
1.3.1正弦函数的性质
sin x的周期： ...... 4、 2、 2、 4、 6 ......
例如：y=sinx的最小正周期T=2π
例4求下列函数的周期： f（x
（ 1 ）y sin 3x
2π x y=sinu的周期为 T 8 （2）y sin 4 u →u+2π 2 （3）y A sin （ x ），（A ， 0) 3x →3x+2π （ 30x ）
性质一：正弦函数 y=sinx 定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
π x 2kπ （k Z）时，ymax 1； 2 π x 2kπ （k Z）时，ymin 1； 2
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
2
3 2
2
2
3
4
5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
3 y sin x的减区间： [ 2k， 2k ] 2 2
（k Z）
性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间： π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
减区间： 3 π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
例8 求函数y sin(2 x
)图象的对称轴方程及对称中心坐标.
练习1:
1 求函数y sin( x )图象的对称轴方程及对称中心坐标. 2 3
5 对称轴方程x 2k (k Z )； 3 2 对称中心（2k ， 0)(k Z ) 3
习2、函数y sin(2 x ) 3 kπ π x (k Z ) 2 12 __, 的对称轴是__ __________
高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
讲授新课
2. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简 图 (描点法)： 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个? 3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2
思考 5 ：在函数 y=sinx ，x∈[0 ， 2π ] 的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
小结：
这两个图象关于x轴对称.
讲授新课 探究4．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
讲授新课 探究4．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
课堂小结
1. 正弦、余弦曲线几何画法和五点法；
2. 注意与诱导公式，三角函数线的知识
的联系.
不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
小结：
讲授新课 探究5．
不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
小结：
这两个函数相等，图象重合.
讲授新课
思考题. 分别利用函数的图象和三角函数
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π ]的图象吗？
y 1
O -1
π
2π
x
思考 5 ：函数 y=cosx ，x∈[0 ， 2π ] 的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
正弦函数y=sinx的图象与性质
§4.4 正弦函数的性质教学目标：1、进一步熟悉单位圆中的正弦线；2、理解正弦诱导公式的推导过程；3、掌握正弦诱导公式的运用；4、能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；6、能熟练运用正弦函数的性质解题。
二、教学重、难点重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。
如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。
这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】 1．复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α2．对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）[[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3． 公式2：设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知：sin(180︒+α) = -sin α4．公式3：如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得：sin(-α) = -sin α,5．公式4：由公式2和公式3可得：P’(P(x ,-y )sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评例1：求下列函数值（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－47π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝21(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962(3) sin(－47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝22 例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：（略，见教材P24）2．学生练习教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
四个象限的三角函数正负
四个象限的三角函数正负
一象限横坐标为正，纵坐标为正；二象限横坐标为负，纵坐标为正；三象限横坐标为负，纵坐标为负；四象限横坐标为正，纵坐标为负。
表示格式为“象限”／“＋或－”
（1）正弦函数：y=sinx，一／+、二／+、三／-、四／-。
（2）余弦函数：y=cosx，一／+、二／-、三／-、四／+。
（3）正切函数：y=tanx，一／+、二／-、三／+、四／-。
（4）余切函数：y=cotx，一／+、二／-、三／+、四／-。
三角函数在四象限的正负口诀：一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）。
2四象限坐标数值
第一象限：（正＋，＋正），横纵坐标同号，记作xy>0。
第二象限：（负－，＋正），横纵坐标异号，记作xy<0。
第三象限：（负－，－负），横纵坐标同号，记作xy>0。
第四象限：（正＋，－负），横纵坐标异号，记作xy<0。
高一数学正弦函数y=sinx的性质
1
2
o
-1
2
3 2
2
x
五点法：
( 0, 0 )
( ,1) 2
( ,0)
3 ( ,1) 2
( 2 ,0)
回顾：
2、正弦函数y=sinx，x∈R的图象；
y=sinx x[0,2]
sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
y=sinx xR
-4
-3
-2
-
o
-1
y
1
4
7 2
3
（ k Z）
2
3 2
2
2
3
4
5 2
1
0
-1
2
3 2
5 y 1 27 2x Nhomakorabea 3 y sin x的减区间： [ 2k， 2k ] 2 2
（ k Z）
性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间：
π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
T 2
1 练习 1、y 的定义域为（ sin x A.R B.{x | x kπ ，k Z） C.[1， 0） （0， 1] D.{x | x 0}
）
练习2、y 3 sin （2 x ）最小正 6 周期为（ ） A.4 π B.2 π Cπ . D.
2
练习3、下列函数为偶函数的 是（ ） A. y sin | x | B. y sin 2 x C. y sin x D. y sin x 1
y= -1
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
正弦函数y=sinx是最基本
,2k
3 ] 2
T 2
奇函数
x k
2
( k ,0)
结论：
由上可知：在函数
y sin x B 中，B 决定
上加下减
了函数的平衡位置。 方法归纳：
y sin x
函数图象向上（
B 0）
或向下（ B 0 ）平移 | B |个单位。
y sin x B
总结：
y sin x y sin x y sin x y sin x y A sin x y sin x y sin( x ) y sin x B
伸缩变换 平移变换
思考
y sin x
？
y A sin(x ) B
区间 减 周期 奇偶性 对称轴 对称中心
[2k
不同 不同
不同
不同
2
,2k
T 2
x k
3 ] 2
T
相同
x
(
T 4
相同
奇函数
2
( k ,0)
k 2 4 k
2 ,0)
x 2k ( 2k ,0)
结论：
由上可知：在函数 决定了函数的周期
x
y sin x y sin x 1
y sin x 1
o o
1 1
2
3 2
2
1 2
0
o
1 1
1 0
2
o
1
1
作图：
2
y
1
o
2
π
3 2
2π
高二数学正弦函数的图像和性质
解：由 cosx≥0 得：+2kπ 2 （k∈Z) ∴函数定义域为[- +2kπ， +2kπ] 2 2 +2kπ≤ x ≤ 2
例：求函数y = 2 cos x +1 的定义域、值域， 并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为 多少？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
2 的最小正周期为
例：求证 1）y=cos2x+sin2x的周期为
证明：f ( x ) cos 2( x ) sin 2( x cos(2 x 2) sin(2 x 2 cos 2 x sin 2 x f ( x)
知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π。
周期性
注意：（1）周期T为非零常数。 （2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都 成立。 （3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一 端是无界的）
正弦函数的性质
4
2
0
-1
2
y 1
x
2 x 2kπ （k Z） 2
x
2kπ （k Z）
y= -1
y=1
y= -1
四、正弦函数 y=sin x(x∈R) 的性质（单调性）
2
0
2
3
正弦函数在定义域R上是否具有单调性？ 由正弦函数图像可知，其图像上升和下降交替出现，因此在定义域R不具有单调性 观察图像，我们发现图像在某些区间上是上升的，在某些区间上是下降的， 请你找出它的增区间与减区间
正弦函数的性质
高二数学组 杜斌
一、A 正弦函数的性质（定义域、值域）
y
1
2
o -1
2
3
4
x
函数y=sinx的定义域是（－∞，＋∞），也 就是x∈R. 函数y=sinx的值域是[－1，1].
二、正弦函数 y=sin x(x∈R) 的性质（周期性）
y=sinx
-4 -7 -3 2 -5 2 -2 -3 - 2 -
2
2
-1
正弦曲线是否还有其它对称中心，其它对称轴？请同学们自 己探索！！！
例题讲解
例2、利用五点法画出函数y=sinx-1 的简 图，并根据图像讨论它的性质。
列表：
x y=sinx y=sinx-1
描点、连线 y
3
2 1
π 2
0 0 -1
π /2 1 0
π 0 -1
3π /2 -1 -2
π 0 -1
五A 正弦函数的性质（奇偶性）
×
y
1
4
3
2
正弦函数的图像五点法
1
0
x -1
0
x
1
-1
二、新知
在研究三角函数的图象和性质时，我们常用弧度制来度量角， 记为χ，表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数表示为
y=sinχ, χ∈Ｒ
y
1
0
p 2
π
3p
2π x
2
-1
y=sinχ,x ∈[ 0, 2π ]
五点法作图 (0,0) (p,0) (2p,0)
y
( p ,1 ) 2
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x(x∈R)的图象,如下
图所示.
y
1
0 p π 3 p 2π
x
2
2
-1
例1 用五点法作函数y=sinx+1, x ∈ (0,2p) 上的图象
x
p
02
p 3p 2
2p
Sinx 0 1 0 －1 0
Sinx+1 1 2 1 0 1
y
2
1
x
0
p
p
3p
2p
2
2
－1
( 3p , 1) 2
1
x
0
p
2
-1
π 3p
2π
2
怎样得到y=sinχ, χ∈Ｒ的图象呢
因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数
y=sin x在区间[2kπ, 2(k+1)π] (k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]
上的函数图象形状完全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数
y=sin x(x∈ [0,2π])的图象向左,右平行移动(每次平行移动2π
正弦函数y=sinX的定义域
正弦函数y=sinX的定义域
正弦函数y=sinX的定义域是实数集R，即包括所有实数的集合。
正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。
因此，sinX在每个周期内的取值范围都是[-1,1]。
我们可以用单位圆来解释sinX的定义域。
以原点为圆心，半径为1的圆为单位圆。
我们把X轴正方向与圆上右侧的切线作为起始位置，按照逆时针方向旋转一个角度X，使得与X轴正方向的夹角为X。
此时，点P的坐标为(cosX,sinX)，其中cosX表示点P在X轴上的投影，而sinX表示点P在Y轴上的投影。
因为sinX的定义域是实数集R，所以我们可以在单位圆上找到每个实数对应的点。
正弦函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，它可以用来描述周期性变化的现象，如电流、气压、音波等。
在计算机图形学中，正弦函数也被广泛应用，用来生成复杂的图像和动画效果。
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三、平面函数图像修饰
例3 在[0，2π]用红线画sinx,用绿的虚线画cosx
x=0:0.1:2*pi; y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y, 'r',x,z, 'g:')
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五、平面函数图像绘制
例1 在[0，π]上画y=sinx的图形 ezplot('sin(x)',[0,pi])
例2 在[0，2π]上画x=cos3t,y=sin3t的图形 ezplot('cos(t)^3', 'sin(t)^3',[0,2*pi])
例3 在[-2，0.5].[0,2]上画隐函数ex+sinxy=0 ezplot('exp(x)+sin(x*y) ', [-2,0.5,0,2])
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五、平面函数图像绘制
3、fplot('fun',[a,b])
表示绘制函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像
(1)建立M文件 function y=fun(x) y=exp(2*x)+sin(2*x^2); (2)在命令框内输入 fplot('fun',[-1,2])
❖ (2) ezplot('f(x,y) ',[x1,x2,y1,y2]) ❖ 表示绘制在x1≤x≤x2,y1≤y≤y2上z=f(x,y)的图
像；
❖ (3)ezplot('x(t) ','y(t) ',[a,b])
❖ 表示绘制在区间a≤t≤b上的参数方程
x=x(t),y=y(t)的图像。
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四、参数函数图像绘制
例3：绘参数方程
t=0:0.05:6*pi; x=cos(t)+t.*sin(t); y=sin(t)-t.*cos(t); plot(x,y,'r-')
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的图形
五、平面函数图像绘制
❖ 2、(1)ezplot('f(x) ',[a,b]) ❖ 表示绘制在[a,b]上y=f(x)的图像；
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一、平面函数图像绘制
❖ 例2：绘[0，4π]上的正弦函数y=sin(x)的图形， ❖ x=0:0.1:4*pi; ❖ y=sin(x); ❖ plot(x,y, 'r')图像拼合
将多条线画在一起 1、plot(x,y1, '参数',x,y2, '参数') 2、plot(x,y1, '参数')
或fplot('exp(2*x)+sin(2*x^2) ',[-1,2])
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五、平面函数图像拼合
在一个图上可以画多个图形。
fplot('[sin(x),cos(x)]',2*pi*[-1,1]) fplot('[atan(x),sin(x),cos(x)]',2*pi*[-1,1])
一、平面函数图像绘制
方法1、 plot(x,y,‘ 参数 ’)：表示作出y=f(x)的平面图
参数 y m c r g b
含义 黄色 紫色 青色 红色 绿色 蓝色
参数 k w o . + *
含义 黑色 白色 圆 点 加号 星号
参数 p x : -. ____
含义 五角星形 打叉 实线 虚线 点划线 破折线
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