抽象代数习题

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？

2. 代数结构〈I ，+〉与〈N ，·〉是否同构？

3. 设X 为集合，证明〈P （X ），∩〉与〈P （X ），∪〉是同构的。

4. 求出〈N 6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I ，+，·〉，定义I 上的二元关系R 为：

i R j 当且仅当 | i | = | j | ,

关于加法运算 +，R 是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R 是N 3上的等价关系。若R 关于 +3具有代换性质，则R 关于·3也一定具有代换性质。求出N 3上的一个等价关系S ，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I 上的下述关系R 是否为〈I ，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x ＜0∧y ＜0＝∨(x ≥0∧y ≥0)； b) x R y 当且仅当 | x ·y |＜10；

c) x R y 当且仅当 (x = 0∧y = 0)∨(x ≠0∧y ≠0)； d) x R y 当且仅当 x ≥ y 。

第二章

2. 在以下给出的N 上的关系R 中，哪些是么半群〈N ，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a ) aR

b 当且仅当 a －b 是偶数。 b ) aR b 当且仅当 a ＞b 。

c ) aR b 当且仅当 存在r ∈I 使a = 2 r ·b 。

d ) aR b 当且仅当 10整除a －b 。

3. 设〈S ，*〉是半群，a ∈S ，在S 上定义二元运算·如下：

x ·y = x * a * y ， x ，y ∈S

证明〈S ，·〉也是半群。

4. 设〈M ，*〉是么半群且＃M ≥2。证明M 中不存在有左逆元的左零元。

5. 设⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R a a T R b a b a S |000,,|00，·为矩阵的乘法运算。证明： 1)〈S ，·〉为么半群； 2)〈T ，·〉为么半群； 3)〈T ，·〉是〈S ，·〉的子半群，但〈T ，·〉不是〈S ，·〉的子么半群。 9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。

定理2.2.5 设〈G ，*〉为群。若k ∈I 且a ∈G 的阶为n ，则a k = e 当且仅当 n ｜k 。 定理2.2.6 设〈G ，*〉为群且a ∈G 。若k ∈I 且a 的阶为n ，则a k 的阶为 n /（k ，n ）。

推论 设〈G ，*〉为群。若a ∈G ，则a 与a －1

的阶相同。

定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。

定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G 。

习题2.2

2. 设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：

a·b = a* u－1 * b，a，b∈G

证明〈G，·〉也是群。

3. 设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2 = e，则〈G，*〉为交换群。

4. 设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有(ab)2 = a2 b2。

5. 设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有(ab)3 = a3b3且(ab)5 = a5b5。证明〈G，*〉为交换群。

5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b = ba5。证明ab≠ba。

6.证明每个元素都可约的有限半群是群。

7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。

10. 设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。证明

1)a和b－1ab的阶相同；

2)ab和ba的阶相同；

3)abc，bca和cab的阶相同。

11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。

12. 证明〈N n－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。

13. 设d，m∈I+ 。证明d是m的因子当且仅当d是〈N m，＋m〉中某元素的阶。

14. 求下列群中每个元素的阶：

1)〈N5，＋5〉；

2)〈N12，＋12〉；

3)〈N7－{0}，·7〉；

4)〈N13－{0}，·13〉。

定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a, b∈H皆有a * b－1∈H。

定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。

定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，e i 为G i的幺元（i = 1, 2）。

i）f (e1) = e2 。

ii）若a∈G1，则f (a－1 ) = ( f (a ) )－1 。

iii）若H≤G1，则f [H]≤G2 。

iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与 f (a ) 的阶相同。

习题2.3

1.找出下列各群的所有子群。

a) 〈N12，+12〉；

b) 〈N5，+5〉；

c) 〈N7－{0}，·7〉；

d ) 〈N 11－{0}，·11〉。

2. 求下列各群上的自同态。 1) 〈N 8，+8〉； 2) 〈N 6，+ 6〉； 3) 〈N 5－{0}，·5〉； 4) 〈N 7－{0}，·7〉。

3. 设f 是群〈G 1，*〉到〈G 2，·〉的群同态，a ∈G 1 。a 与f (a ) 的阶一定相同吗？证明你的断言。

4. 设H 1和H 2是群G 的子群，证明H 1∩H 2 也是G 的子群。H 1∪H 2是G 的子群吗？证明你的断言。

5. 设H 是群G 的非空子集，并且H 中每个元素的阶都有限，则H 为G 的子群的充分必要条件是H 关于G 的乘法封闭。

6. 设f 和g 均为群G 1到G 2的群同态，令

H = { a ∈G 1 | f (a ) = g (a ) }

证明H 是G 1的子群。

7. 设G 是群，H 和K 是G 的子群。

a ) HK 和KH 必为G 的子群吗？试证明或给出反例；

b ) HK 是G 的子群，当且仅当HK ＝KH 。 8. 设〈G ，*〉是群，令

C (G ) = { x ∈G | 若y ∈G ，则x * y = y * x }

证明C (G ) 是G 的子群。C (G ) 称为 群G 的中心。

9. 设H 为群G 的子群，a ∈G ，令

aHa －1 = { aha －

1 | h ∈H }

证明aHa －1 是G 的子群。aHa －

1 称为H 的共轭子群。

10. 设H 为群G 的子群，令

N (H ) = {a ∈G | aHa －

1 = H }

证明N (H ) 是G 的子群。N (H ) 称为H 的正规化子。

11. 群G 的自同构是从G 到G 的同构。证明G 的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。

12. 设G 是有限群，H 是G 的子群，a ∈G 。证明存在最小正整数m 使a m ∈H ，且m 是a 的阶n 的因子。

13. 设a 是群G 的阶为n 的元素，H 是G 的子群。证明：如果a m ∈H 且 (m ，n ) =1，则a ∈H 。

2. 求下列置换：

a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1342

4321 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛12344321 b) 3

136254

654321⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

c) (1 2 3 4 5) (2 3 4) d) (3 6 2) (1 5) (4 2)

e) 1

435612654321-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛