综合测试题答案版

高数综合测试题
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一、填空题
1、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩
在0x =连续，则a =11e - 2、函数21()lim 1nx
nx
n x e f x e →+∞+=+的间断点为x=0该间断点为第Ⅰ类间断点中的跳跃间断点. 3、设1x
y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=dy dx x x x )1)(1ln （+- 4、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =
2。

5. x x x f 2cos 2
sin
)(-=, (5)()f π=则0
二、选择题 1、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ B ）.
（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛
（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛
2、 设lim 0n n n x y →∞
=，则下列断言正确的是（ D ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界
（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
收敛 ，则{}n y 必为无穷小 3、若函数()y f x =有01()2
f x '=
，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（B ） A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无穷小；
C 低阶无穷小；
D 高阶无穷小。

4、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有
()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ C ）
A ;x e
B ;x
C 21x +；
D 1x +。

5、设函数11cos (1)1
()0a x x f x ⎧⎪--=⎨⎪⎩
11x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（A ） A 1a <-； B 10a -≤<； C 01a ≤<； D 1a ≥
三、求极限
1、3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭ 2、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
3、22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭
1、原式=232211113(1)(2)(2)lim lim lim 11(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x →→→++--+-+===---++++.
2、设11()31x f x x =+-，原式=()()1()lim 1()xf x f x x f x →+∞⎧⎫+⎨⎬⎩⎭.
1111lim ()lim [31]lim lim (31)1 1lim ln 31ln 3,x x x x x x x xf x x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=+-=⋅+-=+⋅=+ ∴ 原式1ln33.e e +==
3、22222121212121
n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤+++++， 22212(1)112lim lim lim ,12(1)2n n n n n n n n
n n n
→∞→∞→∞+++++++===+++ ∴ 原式12=
.
四、已知()f x 连续，05x →=，求2
0()lim x f x x →. 解
5)(lim )(2/1sin )(2/1lim 原极限204220x ===→→x
x f x f x x x f x
五、（选做）设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.
证明：由已知，得(0)2(0)f f =，(0)0f ∴=.
(,)x ∀∈-∞+∞，()()()f x x f x f x +∆=+∆. 由)(x f 在0x =处连续性，得
00
lim[()()]lim ()(0)0.x x f x x f x f x f ∆→∆→+∆-=∆== 从而)(x f 在点x 处连续性，由x 的任意性，)(x f 在(,)-∞+∞内连续.
六、（选做）()2()sin(),.f y y dy y y x xe x y e f dx
=++=设函数由方程确定其中可导，求 解：两边同时求导 y y f y f y
y f x f e y x y x e y f e y x y e y y x yy x e y f y e -++++-=∴=++++)cos(2)(')cos('')cos()'21()(''2)()
(22)()(
20
32.(),.e 1y t x t t dy y y x dx y t =⎧=+=⎨=+⎩七设是由所确定的函数试求
2
21)1)(26(0e e dx dy t e t e dy
dx dx dy
dx dy y t y y ==∴-+===
.()()(1)2(1)(1)1f x g x f f f '''==-
=八设为单调函数，为其反函数，已知，，
.)2(求反函数的二阶导数g ''
解：f(x)的反函数为x=g(y)
所以g ’(y)=1/f’(x)
33)]1('[)1("f ）2”（1
)1(”3
/1)1('2)1()]('[)(”)”（33
=-=∴=-==-=f g f f f x f x f y g。