2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(72)(有答案解析)

2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1.已知当时，，那么，当时，

A. B. C. D. 7

2.在中，，的平分线交AC于则

A. sin B

B. cos B

C. tan B

D. cot B

3.四条直线，，，围成正方形现

掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，则点P落在正方形面上含边界的概率是

A. B. C. D.

4.已知函数，当时，则函数的

图象可能是下图中的

A. B.

C. D.

5.有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用

天平不用砝码最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有

A. 8粒

B. 9粒

C. 10粒

D. 11粒

6.在中，，，且a、b、c满足：，

，，则

A. 1

B.

C. 2

D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

7.已知，化简______ ．

8.若关于x的方程有四个不同的解，则k的取值范围是______ ．

9.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，的“分

裂”中最大的数是______，若的“分裂”中最小数是21，则______．

10.已知，则______．

11.如图，在中，，为AB

上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且与

AC相切．则D到AC的距离为______ ．

12.在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有______个．

三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）

13.甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带

240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？

四、解答题（本大题共5小题，共55.0分）

14.用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．

试写出四个符合上述条件的六位数；

请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？

15.已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为二次函数

与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．

16.如图，已知锐角的外心为O，线段OA和BC

的中点分别为点M，若，

求的大小．

17.已知实数a，b，c满足：，又，为

方程的两个实根，试求的值．

18.如图，已知菱形ABCD，，内一点M满足，若直

线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：把，代入得：，即

把代入得：故选C．

把代入解得，把当成一个整体代入后面式子即可解答．

能够根据指数的意义发现代数式之间的关系，然后整体代值计算．

2.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查角平分线的性质和三角函数的定义．

根据角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．

【解答】

解：过点D作于E．

则．

可证≌，

．

，

又，，

，

．

故选A．

3.【答案】D

【解析】解：连掷两次，以面朝上的数为点P

的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得

到的数为纵坐标，共种；符合题

意的有：

共15个，概率是．

故选：D．

首先确定点P的坐标，根据这个坐标可求出点

P落在正方形面上含边界的概率．

本题将概率的求解设置于点P的坐标中，考查

学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单

纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

4.【答案】A

【解析】解：因为函数，当时，

所以可判断，可知，

所以可知，，则，不妨设

则函数为函数

即

则可判断与x轴的交点坐标是，，

故选A．

当时，，所以可判断，可知，

，所以可知，，则，不妨设进而得出解

析式，找出符合要求的答案．

要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出，可知，；所以可知，，，从而可判

断后一个函数图象．

5.【答案】B

【解析】解：这堆珠子最多有9个．

将这堆珠子平均分成3组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；

若天平平衡，那么较轻的珠子在没称的那堆珠子里；

若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；

然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；

若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；

若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．

因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选B．

已知最多两次就找出这粒较轻的珠子，那么第二次所测的珠子的个数最多为3个；即将其中的两个放在天平的两边，若天平平衡，那么不在天平中的珠子就是最轻的珠子，如果天平不平衡，很较轻的珠子就是所找的珠子．同理，在第一次测量中，最多可测出三组珠子，因此这堆珠子最多有9个．

本题的解答关键是找出每次能测量出的珠子堆的最多的个堆数．

6.【答案】C

【解析】解：，，，

，

，

，

，，，

这个三角形的形状是直角三角形，

，

故选：C．

利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．再运用三角函数定义求解即可．

本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和