母子型相似三角形模型-典型

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母子型相似三角形模型典型

母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2DCBA【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙【练】如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

相似三角形模型分析大全之母子型

第五讲：相似三角形模型分析大全一、相像三角形判断的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）AADD E EB C CB（平行）（不平行）（二） 8 字型、反 8 字型（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相像三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或许等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相像三角形判断的变化模型旋转型：由 A 字型旋转获得。

8 字型拓展AAE FGD B EB CC 共享性一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相像三角形例 1：如图，梯形 ABCD中，AD∥B C，对角线 AC、BD 交于点 O，BE∥CD交 CA 延伸线于 E．2 ．求证：OCOA OE例 2：已知：如图，△ ABC中，点 E在中线 AD 上, DEB ABC ．B2 ；（2）DCE DAC ．求证：（1）DB DE DA例 3：已知：如图，等腰△ ABC中，A B＝A C，AD⊥BC于 D，CG∥A B，BG分别交 AD、AC于 E、F．求DE2证：BE EF EG．A C有关练习：2 ．1、如图，已知 AD 为△ABC的角均分线， EF为 AD 的垂直均分线．求证：FD FB FC2、已知： AD是 Rt△ABC中∠A的均分线，∠ C=90°，EF 是 AD的垂直均分线交 AD于 M，EF、BC的延伸线交于一点 N。

求证： (1) △AME∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB3、已知：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，C D⊥AB于 D，E 是 AC上一点， CF⊥BE于 F。

求证： EB·DF=AE·DB4. 在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC，垂足为F，延伸 AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：GBM 905．（此题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）、（3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线D C上一点，且∠EPD=B ∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．P （1）求证：AE=2PE；（2）求y 对于x 的函数分析式，并写出它的定义域；A CD E（3）当△BEP与△ABC相像时，求△BEP的面积．。

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的根本模型〔一〕 A 字型、反 A 字型〔斜 A 字型〕〔平行〕〔不平行〕〔二〕 8 字型、反 8 字型AA BBO JC DC D〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如下图：〔五〕一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角〞中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的根本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

〔六〕双垂型：二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到8 字型拓展AE FGB C共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题〔 1〕母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE∥ CD 交 CA 延长线于 E．求证： OC 2OA OE．例 2：：如图，△ABC 中，点 E 在中线 AD 上 ,DEBABC ．求证：〔 1〕DB2DE DA ；〔2〕 DCE DAC ．BDEA C例 3：：如图，等腰△ABC 中， AB＝ AC，AD⊥ BC 于 D， CG∥ AB， BG 分别交 AD 、 AC 于 E、 F．求证： BE 2EF EG ．1、如图，AD 为△ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线．求证：FD2FB FC．2、： AD 是 Rt△ABC 中∠ A 的平分线，∠ C=90°，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M ，EF、BC 的延长线交于一点 N。

子母型相似

27、（本题 14 分）类比等腰三角形的定义，定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件__________，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”．（2）问题探究：如图 2，小红画了一个 Rt△ ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ ABC 沿∠ABC 的平分线 BB′ 方向平移得到△ A′B′C′，连结 AA′，BC′，小红要使平移后的四边形 ABC′A′是“等邻边四边形”，则平移的距离是（即线段 BB′的长）__________．（直接写出答案）（3）拓展应用：如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD 为对角线，AC= AB，试探究 BC，CD，BD 的数量关系．
如图③，小华同学在研究上述问题的过程中得到了一个等边三角形和一个圆，并进一步求出了∠BCD 的度数为 30°，过程如下：解：如图③，坐线段 CA 的垂直平分线 m，将△ABC 沿直线 m 翻折至△CB′A，
连接 B′D，BB′. ∴B′C=BA=BD=B′D,∠ACB′=∠CAB ∵B 和 B′，A 和 C 是两组关于直线 m 的对称点。 ∴m⊥BB′，m⊥AC，则 BB′∥AC 。。。。。根据小华的解题过程，（1）请接着证明△BB′D 是等边三角形：（2）请接着说明∠BCD=30°
(1) 将▱ABCD 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG,则操作形成的折痕分别是线段___,___;S 矩形 AEFG:S ▱ABCD=___. (2) ▱ABCD 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF=5,EH=12,求 AD 得长。 (2)如图 4,四边形 ABCD 纸片满足 AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 AD、BC 的长。

九年级数学相似三角形--母子型

相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理）结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =}△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.CBA@【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2 A D C B A D CB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•H G FED C B A【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.】【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是Rt△ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.BA类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD中，BH⊥AC于H，交CD于G，求证：2BC CG CD=•。

K字型母子型相似模型

母子型相似【知识要点】一、直角三角形相似、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

1、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应2 成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：上的高．是直角三角形，CD为斜边ABABC1、条件：如图，已知△C结论：BCA △CDA∽△，∽△CBD△BDC∽△BCA，（1）△ACD BAD2BDADCD? CBD（2）△ACD∽△中，2ABBC?BD中，BCA△BDC∽△A2ABADAC?中，△CDA∽△BCAD ABC∠ACD=2、条件：如图，已知∠CB2AB?ADAC ABCACD∽△中，结论：△【例题解析】类型一：三角形中的母子型CD=______.∶3,则SΔABC=2,SΔBCD∠∠中如图】【例11.,ΔABC,A=DBC,BC=∶CBAD1 / 5求∠B = 4, ∠ACD =上一点ABC的边AB,连结CD.若AD= 2，BD 【练】如图，D 是△.的长AC的BC的垂直平分线交AD于E，交2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD【例2FC?FD?FB延长线于F，求证：CBDF?DE?CA,CBA??CEF?ABC∽，如图的高，3-1，求证：【练】已知CD是类型二：直角三角形中的母子型ABAC边上的高，过D作AB的垂线交中，【例1】.如图，在△ABCAD、BE分别为BC、2FH??FGDF H的延长于，求证：G，交BE于，交ACF于AEFGCBDHAD=____,CD=_______. 则∠中,ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,【练】如图5,RtΔABCAD=______.则∠B,AC=5,AB=6,∠ADC=2【例】如图1,∠∠ACB=90°,1=CBAD.，若斜边上的高△CD 【练】如图，是RtABC .AD= 2BD = 4, CD求的长2 / 5类型三：四边形中的母子型2CD?BC?CG，求证：。

初中中考数学母子形相似模型经典题型与典型例题及答案解析

5 1
，
CC1 BC AC AC AC 2
∴ C1C2
5 12 2
3 2
5
，
同理： C2C3
5 13 2
5 2 ，……，
C5C6
5 16 2
2
52 94 5．
故选 B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等，同时考查了二次根式的乘方运
算；解题时要注意方程思想的应用．
AB
AD 时，求
的
2
BC
值．
【答案】（1）15°；（2）3
5
；（3）
3 5
【分析】
（1）由折叠的性质得出 BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；
（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出 AF AB ，可求出 DE=2，求出 EF=3，由勾股定理求 DE DF
正方形性质．
4．在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点 E，将△BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处．
（1）如图 1，若 BC=2BA，求∠CBE 的度数；
（2）如图 2，当 AB=5，且 AF FD=10 时，求 BC 的长；
（3）如图 3，延长 EF，与∠ABF 的角平分线交于点 M，BM 交 AD 于点 N，当 NF= 1
∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例求解．
【详解】解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF，又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC，
∴ NE AE ， CD AC
∵CE=2AE，

相似三角形的基本模型(子母型)(原卷版)(人教版) -九年级数学下册

专题06相似三角形的基本模型（子母型）
【模型说明】
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1图2图3 1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点（3）如图2，将抛物线215:324
L y x x =--向右平移得到抛物线于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．
课后训练
4．如图，在矩形ABCD中，＝45°，则DF的长是。

人教版九年级下册母子型相似模型汇总

∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC = AD ，∴AC2=AD×AB=2×5=10，∴AC= 10 ．故 AB AC
答案为： 10 ． 3.如图，菱形 ABCD 中，AF⊥BC 于 F，AF 交 BD 于 E，求证： AD2 = 1 DE • DB 。
2
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若 CD＝3，BC＝2，求⊙O 的半径．
2.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆周上一点，连接 AC、BC，以点 C 为端点作射线 CD、CP 分别交线段 AB 所在直线于点 D、P，使∠1＝∠2＝∠A．（1）求证：直线 PC 是⊙O 的切线；（2）若 CD＝4，BD＝2，求线段 BP 的长．
① 如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出 BP 的长．
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6.已知等边三角形△ABC 中，点 D,E 在 AC,AB 上，且 CD=AE,CE,BD 相交于 P 点. (1)求证：△CDP∽△CEA (2)求证： BP = AD
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5.如图，P、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 BP=BQ，BH⊥PC 于 H，求证： QH⊥DH．
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类型三：圆中的母子型

相似三角形模型——子母型课件 2022-2023学年华东师大版数学九年级上册

如图，在
中，点E 在BC上，AE交BD于点F，
且 BE2 EF EA
求证：（1）△EBF∽△EAB
（2） DC2 BF BD
A
D
F
B
EC
如图，在
中，点E 在BC上，AE交BD于点F，且 BE2 EF EA
求证：（1）△EBF∽△EAB
（2） DC2 BF BD
证明：(1)∵ BE2 EF EA
相似三角形模型—— 子母型
（一）复习回顾
相似三角形的判定方法：
1.预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 2.相似三角形的判定定理：
（1）两角分别相等两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边成比例的两个三角形相似.
（二）基本模型
如图为反“A”字型基本图形．
当 AED B 时, △ABC∽△AED
当E 点与C 点重合,
当ACD B 时，△ABC∽△ACD
这是相似一种常见模型
A
D E
B
C
反“A”字型
A
D
B
C
（二）基本模型
当E 点与C 点重合,
当 ACD B 时， △ABC∽△ACD
A 共角
这是相似一种常见模型：子母型
1.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：BCG BAG （2）若GE•GF＝9，求AG的长．
1.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于
点E，交DA的延长线于点F，连接AG．

相似三角形典型模型及例题

1：类似三角形模子一：类似三角形剖断的根本模子（一）A字型.反A字型（斜A字型）（平行）（不服行）（二）8字型.反8字型（平行）（不服行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型类似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为布景,一个与等腰三角形的底角相等的极点在底边地点的直线上,角的双方分离与等腰三角形的双方订交如图所示：（五）一线三直角型：三直角类似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型类似平日是以矩形或者正方形形为布景,或者在一条直线上有一个极点在该直线上移动或者扭转的直角,几种罕有的根本图形如下：当标题标前提中只有一个或者两个直角时,就要斟酌经由过程添加帮助线结构完全的三直角型类似,这往往是许多压轴题的冲破口,进而将三角型的前提进行转化.（六）双垂型：二：类似三角形剖断的变更模子扭转型：由A字型扭转得到8字型拓展CB EDA共享性一线三等角的变形2：类似三角形典范例题（1）母子型类似三角形例1：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC.BD交于点O,BE∥CD交CA延伸线于E．求证：OEOAOC⋅=2．GAB CE F例2：已知：如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上求证：（1（2例3：已知：如图,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分离交AD .AC 于E .F ．1.如图,已知AD 为△ABC 的角等分线,EF 为AD的垂直等分线．求证：2.已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的等分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直等分线交AD 于M,EF.BC 的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD;3.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB·DF=AE·DB4.,AB=AC,高AD与BE 交于垂足为F,延伸AD 到G,使DG=EF,M 是AH的中点.5已知：如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点D 与点A .C 都不重合）,E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A .P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ;（2）求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域; （3）当△BEP 与△ABC 类似时,求△BEP 的面积．AD EB（2）双垂型1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD.CE分离是AC.AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE;（2）△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2.如图,已知锐角△ABC,AD.CE分离是BC.AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分离是27和求：点B到直线AC的距离.（3）共享型类似三角形1.△ABC是等边三角形,DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边长.2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD; （2(4)一线三等角型类似三角形例1：如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1,FC=3时,求BE例2：（1）,,;,并写出函数的界说域;D ECADBE F（2）,,,.例3：已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且AD ＝5,AB ＝DC ＝2．（1）如图8,P 为AD 上的一点,知足∠BPC ＝∠A ．①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）假如点P 在AD 边上移动（点P 与点A .D 不重合）,且知足∠BPE ＝∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在DC 的延伸线上时,设AP ＝x ,CQ ＝y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域;②当CE ＝1时,写出AP 的长．例4：如图,的中点,ABC PQAB CDCAB CDABC（1（2,; （31.如图,在△ABC 中,边上, (1) 求证：△ABD ∽△DCE;(2),; (3),试解释△ADE 是什么三角形,并解释来由．2.如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联络DE,射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ;（2）当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长;（3）联络DF ,假如△DEF 与△DBE 类似,求FC 的长．3.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点．（1）如图,P 为BC 上的一点,且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ;（2）假如点P 在BC 边上移动（点P 与点B .C 不重合）,且知足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD的延伸线上时,设BPDF,并写出函数的界说域;ABCDE,求BP的长．4.如图,动点,（1; （2）证实个中一对三角形类似;（3,; （4(5)一线三直角型类似三角形例1.已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 交边AB 于点E,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值规模. 例2.AB 上的一点,点P 是AC上的一个动点段BC 于点Q,（不与点B,C 重合）,x 的函数关系,并写出界说域. 1.点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点AC 于点F （1）.求AC 和BC 的长EDCBAPB（2）.,求BE 的长.（3）.贯穿连接EF,,求BE的长.2.在直角三角形ABC 中是AB 边上的一点,E 是在AC 边上的一个动点,（与A,C 不重合）BC 订交于点F.(1).当点D 是边AB 的中点时,(2).（3）.求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域3.如图,的一个动点,（1,;（2,. 4.如图,(图1) (1); (2),;(图2)(3),并写出界说域.F CBAQPDCBAQPDC BA。

人教版九年级数学习题课件微专题24 相似三角形的基本模型(四)——母子型与旋转型

第2题图
3．如图，在△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB＝∠ABC．（1）求证：DB2＝DE·DA；（2）求证：∠DCE＝∠DAC．
类型二旋转型模型展示：如图，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD，CE，△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'在AB上，A'B'交AC于点F，则图中与△AB'F相D 似的三角形有（不再添加其他线段）（ A．1个）
微专题24 相似三角形的基本模型（四）——母子
型与旋转型
类型一母子型
模型展示：如图，∠A＝∠A，∠ACD＝∠B或∠ADC＝图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，
则线B段AC的长为
（
）
A．4
第1题 C．图6
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若 AD＝1，B2D＝4，则CD的长为．
B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝ ∠EFC＝90°，在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；

相似三角形的12种基本模型

相似三角形Ⲵ基本模型
【模型概述ᙍ㔤ሬമ】
аǃ八字型
Ҽǃ母子型
1、共角型（A 字型）
（平行）
（不平行）
2、共角共边型
（双垂直）射影定理
B
C
B C
B
【典ර㓳Ґ仈】——母子型（A 型）
1．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边
AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A
、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
【典例㓳Ґ仈】——双垂直型直角三角形˖：
Rt △ABC 中，∠C =90º，CD ⊥AB 于D ，则
∽ ∽ 射影定理：
CD 2
= ·
AC 2
= ·
BC 2
= ·
A
C
B
P
D E
йǃ一线三等角相似模型
一线三等角
直角形一线三等角
（K 字型）
钝角形一线三等角
锐角形一线三等角
ഋǃ手拉手相似模型
1、定义：
两个相似且共顶点的三角形形成的图形。

2、固定结论：
将三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，会得到一对新的相似三角形
ӄǃ十字架相似模型
．。

专题02 相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(解析版)

专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD Ð=Ð，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AD ＝94,55BD =，那么BC ＝_______．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为　（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到1 2AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB×＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB ，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t -=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =-=-=．在△BPQ 中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t -=，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB，∴PE BQ COAB ×=，即1581255PE =，∴PE ＝910．在△BPE 中，2740BE ===，∴92795408OE OB BE =-=-=，∴点P 的坐标为99(,)810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（）A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC Ð的角平分线，2,AB AD ADE B =Ð=Ð．求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG \=，DBF △．A ．ABP CÐ=ÐB ．APB Ð【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC∴a 2＝CE ，4a 2＝AE ，∴CE AE =，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CE AE）2=116，故选：A ．3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（）A ．3：2B ．2：3C ．3D ．2【答案】B 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC=CD =6=3∴BC =2，故选：B ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据射影定理列式计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝＝5，由射影定理得，AC 2＝AD •AB ，∴AD ＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C ¢¢¢V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C¢¢上，且ACD A C D ¢¢¢∽△△，若___________，则ABDA BD¢¢¢△∽△．请从①BD B D CD C D ¢¢=¢¢；②AB A B CD C D ¢¢=¢¢；③BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】4【分析】根据条件证明ACD ~V 【详解】解：ADC ACB Ð=ÐQ AC AD AB AC\=，即2AC AB AD =×，8.（2022•惠山区九年级专项）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD g BC ，AC 2=CD g CB ，AD 2=BD g CD ；（3）求证：AB g AC =BC g AD【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CADD CB A（2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD g BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD g CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC g CD （3）1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ，∴AB g AC =BC g AD【答案】(1)是，证明见解析(2)125【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC=，从而ACD ABC △∽△，（2）由D 是ABC V 的“理想点”，当D 在AB 上时，证明CD 【详解】（1）解：点D 是ABC V 的“理想点”，理由如下：D Q 是ABC V 的“理想点”，当ACD B Ð=Ð时，ACD ÐQ 90CDB \Ð=°，即CD 是【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得BC AB2BAC B BAD ÐÐÐ=\=Q ，ACD BCA ACD ÐÐ=\~Q V ，AC DC AD BC AC AB\==设DC x =，则AD BD a ==-任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．ABD D \Ð=Ð，CAB Ð\2CAB ABC ÐÐ=Q ，ACB BCD Ð=ÐQ ，AC BC BC CD \=，b a \=【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．13．（2023·安徽合肥·九年级期中）ABC V 中，90ABC Ð=°，BD AC ^，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ^于点H ．（1）求证：ADE CDB V V ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．14．如图1，在ABC V 中，在BC 边上取一点P ，在AC 边上取一点D ，连AP 、PD ，如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP V 相似，我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在ABC V 中AB AC =，50B Ð=°，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，且AD DP =，PAC BPD Ð=Ð，请直接写出PAC Ð的度数；（2）如图3，在ABC V 中，2A C Ð=Ð，在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”，请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”，并说明理由；（3）如图4，在Rt ABC △中4AB AC ==，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，求出AD 长度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）28-【分析】（1）只要证明∠A =∠PAB 即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，只要证明DP =DA ，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA =DP 时．②如图4中，当PA =PD 时．③如图5中，当AP =AD 时．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，∵AB =AC ，DA =DP ，∴∠B =∠C ，∠DAP =∠DPA ，∵∠PAC =∠BPD ，∴∠APC =∠BDP =∠DAP +∠DPA ，∵∠APC =∠B +∠BAP ，∴∠B =∠PAB =50°，∵∠BAC =180°-50°-50°=80°，∴∠PAC =30°故答案为30°．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，∴∠BAP =∠PAD =∠DPA ，∠CPD =∠B ，∵∠CAB =2∠C ，∴∠PAD =∠C ，∴DP =DA ，∴△APD 是等腰三角形且与△APB 与△CDP 相似．（3）如图3′中，当DA =DP 时，设∠APD =∠DAP =x ，①若∠BPD =∠CAP =90°-x ，∠BDP =∠CPA =2x ，∴90°-x +2x +x =180°，∴x =45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD =2，②若∠PDB =∠CAP 时，设∠APD =∠DAP =x ，得到∠PDB =∠CAP =2x ，易知x =30°，设AD =a ，则AP ，∵△BPD ∽△CPA ，∴BD PD AC PA =，即44a -=a 如图4中，当PA =PD 时，易知∠PDB 是钝角，∠CAP 是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD（2-a）=-4+a，AC=4，∴a=4，解得：a=8-如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．综上所述．AD的长为28-．【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED 且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）四边形ABCD由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB Ð=Ð，BD 平分ABC Ð．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ^交BC 于E ，AF BD ^于F ．①求证：ABC EAF Ð=Ð；②求BFAC的值．(1)求证：ABE CAD △△≌；(2)求证：AC FB ∥；(3)若点D ，E ，F 在同一条直线上，如图2，求A BB C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2是中位线，则EG CB ∥，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF 是平行四边形，那么BC AD =，然后通过三角形外角的性质，可以证得ADE ACD Ð=Ð，就能证ACD V 和ADE V 是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：Q 将ACD V 绕点C 逆时针旋转得到FCE △，FCE ACD \△≌△，CE CD \=，2AC CD =Q ，2AC CE \=，2AE AC CE CE CE CE CD \=-=-==，DC ABQ ∥DCA EAB \Ð=Ð，在ABE V 和CAD V 中，AE CD EAB DCA AB CA =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()SAS ABE CAD \△≌△．（2）解：由（1）得BE AD =，ABE CAD Ð=Ð，CEF CDA Q △≌△，FE AD =∴，EFC DAC Ð=Ð，BE FE \=，EFC EBA Ð=Ð，EFB EBF \Ð=Ð，OFB EFB EFC Ð=Ð-ÐQ ，OBF EBF EBA Ð=Ð-Ð，OFB OBF \Ð=Ð，ECF DCA Ð=ÐQ ，OAC OCA \Ð=Ð，180OCA OAC AOC Ð+Ð+Ð=°Q ，180OBF OFB BOF Ð+Ð+Ð=°，又AOC BOF Ð=Ð，OCA OAC OBF OFB \Ð+Ð=Ð+Ð，即22CAO FOB Ð=Ð，（1）求证：2=×；AE FE BEÐ的大小；（2）求AFC。

母子型相似三角形模型-典型