容斥原理及其应用_王竞才

A|,再减去具有性质 P2 的元素个数|B|,然后加上同时具有性质 P1与 P2 元素个数|A∩ B|。 即: |-A∩ B-|= |U|- |A|- |B|+ |A∩ B|… …… …①
容斥原理更一般地形式是: 设 P1 , P2… Pk 个性质 , Ai ( i= 1, 2,… k)是 U 中的子集 ,它的元素具有性质 P1
i= 0
i= 0
k
∑ Cin Ckm- i i= 0
2. 3匹配问题
有 n扇门各有钥匙一把 ,某人忘记了每把钥匙是开哪一扇门的 ,于是他把各种分配方式一一试验 ,问: ① (耦合问题 )至少有一个门打开的分配方式有多少种。
② (借位问题 )没有一个门被打开的分配方式有多少种。
解: ①设 Ai 表示能打开第 i 扇门的分配方式的全体 ( i= 1, 2,… n) ,由于第 i把钥匙总是分配给第 i 扇门
∑ ∑ 因而 d( V 1+ V 2+ V 3 )≠ 1≤ i≤ 3 d( Vi ) - 1≤ i < j < 3 d( Vi∩ Vj )+ d( V1∩ V2∩ V3 )
2. 2组合恒等式的证明
范德蒙 ( Vandermo nde)恒等式
k
∑ Cin Ckm- i=
Ck m+ n
i= 0
证: 设 U= { a1 , a2 ,… am , b1 , b2 ,… bn }是 m 个不同的红球和 n个不同的白球构成的集合。
理可得:
∑ ∑ k
k
|Vβ 1|= i= 1
1≤
i≤
|β
k
i|-
1≤
i
<
j≤
|βi∩
k
β j|+
…+
( - 1)k- 1|∩ βi| i= 1
k
由于线性空间基向量组向量个数就是它的维数。 即 d( Vi ) = |βi| d( Vi+ V j ) = |βi∩ βj|… d(∩ Vi ) = | i= 1
2005年 11月 第 15卷 第 5期
榆林学院学报 JO U RN A L O F Y U LIN CO LLEG E
Nov. 2005 V ol. 15 N o. 5
容斥原理及其应用
王竞才
(榆林市 教研室 ,陕西 榆林 719000)
摘 要: 通过对容斥原理的阐述 ,在此基础上着重介绍了容斥原理的应用。 关键词: 容斥原理 ; 证明 ; 应用 中图分类号: O157 文献标识码: A 文章编号: 1008- 3871( 2005) 05- 0004- 02
容斥原理是组合数学中的一个重要原理 ,也是计数中常用的一种方法 ,尽管它所研究的是有限集元素计
数问题 ,然而它的应用是广泛有趣的。
1 容斥原理
容斥原理 (逐步淘汰原理 ): 设有两个有限集 A和 B,且 A、 B分别由具有性质 P1、 P2的元素组成 ,那么不 具有性质 P1 也不具有性质 P2 的元素个数|-A∩ B-|,就等于全体元素个数|U|减去具有性质 P1 的元素个数|
∑ ∑ 则由上式得 Ф( n)= n1≤ i≤ N
Pni+
1≤ i < j≤ N
n Pi Pj
-
…+
( - 1) N
n P1… PN
= n- n( P11+
P12+ …+
1 PN
)+
n( P11P2+
P21P3+ …+
1 PN- 1
PN
)-
…±
n P1 P2…
PN =
n( 1-
1 P1
)
(
1-
1 P2
1≤
i≤
|Ai|-
k
1≤
i
<
j≤
|Ai∩
k
Aj|+ … +
( - 1) k- 1|n Ai| i= 1
= C1n ( n- 1)! - C2n ( n- 2)! + …+ ( - 1) n- 1 Cnn ( n- n)!
=
( n!
)
[
1 1!
-
1 2!
+
1 3!
-
…
+
(-
1)
n-
1
1 n!
]
n
n
②|∩ Ai|= |U|- |U Ai|
(也可能同时具有其它性质 ) ,则有
∑ ∑ ∑ k
|∩
-Ai|=
i= 1
|U|-
1≤
i≤
|Ai|+
k
1≤
i
<
j≤
|Ai∩
k
Aj|-
1≤
i
<
j
<
m≤
|Ai∩
k
Aj∩
Am|+ … +
k
( - 1) k|∩ Ai|…… …… ② i= 1
∑ ∑ k
又由德莫根公式: U Ai= i= 1
k
U - U Ai= i= 1
i= 1
i= 1
=
( n!
)〔
1 2!
-
31! + … +
(-
1) n
1 n!
〕
2. 4数论中的应用
设 n为正整数 ,且 a1, a2 ,… aN 是 N 个两两互素的正整数 ,求满足 0 < k≤ n ai K ( i= 1, 2,… N )的整数 k 的个数。
解: 设 U= { 1, 2, 3,… n}中是 ai 倍数的元素组成的集为 Ai ( i= 1, 2,… N )
Aj∪
Am|+ …+
k
(-
1)
k|U i= 1
Ai|…
…
…
…
②′
∑ ∑ ∑ k
k
|∩ Ai|= i= 1
1≤
i≤
|Ai|-
k
1≤
i
<
j≤
|A源自文库∪
k
Aj|+
1≤
i
<
j
<
m≤
|Ai∪
k
Aj∪ Am|+ … +
( - 1) k- 1|U Ai|… …… …③′ i= 1
2 容斥原理的应用
2. 1第二维数公式 d( V1+ V 2 ) = d( V 1 )+ d( V 2 ) - d( V1∩ V2 )的推广
∑ ∑ ∑ k
② d(∩ Vi ) = i= 1
1≤ i≤ k d( Vi ) -
1≤ i < j≤ k d ( Vi+
Vj )+ …+
( - 1) k- 1 d( 1≤ i≤ k Vi )其中 d( Vi )是
Vi 的维数。
证明: ①设 V 的向量组为 β= {α1 ,α2 ,… αn } ,βi 是 β 的子集 ( i= 1, 2,… k) ,β ,βi 都是有限元素集 ,由容斥原
U-
k
∩
-Ai 得:
k
|U
Ai|=
i= 1
i= 1
1≤
i≤
|Ai|-
k
1≤ i≤ j≤
|Ai∩
k
Aj|+ … +
( - 1)k- 1|
k
∩ Ai|…… …… ③
i= 1
同时容易证得: ②、③两式的对偶公式
∑ ∑ ∑ k
|U
-A=
i= 1
|U|-
1≤ i≤
k|Ai|+
1≤ i < j≤ k|Ai∪
Aj|- 1≤ i < j < m≤ k|Ai∪
k
k
∩ βi|d( V1+ V2+ …+ Vk ) = |Uβi|
i= 1
i= 1
∴①得证 同法可证得②
注意: 命题中 βi β ,在 k> 2时是很必要的 ,否则上述命题不真。
例如: 以 V 1= { x 轴 } V2 { y 轴 } V3 {角平分线 y= x } 则 d( V1+ V2+ V3 ) = 2
令
Ai 表示从
U中取 k个球中有 i 个红球取法组成的集。 ( i=
0, 1,… k) ,则从
U中取 k个球方法为
Ck m+ n
k
k
= |U Ai|因为 i≠ j ( i, j= 0, 1, 2… k)时 , Ai∩ Aj = Υ,且 |Ai|= Cin Ckm- i , 所以由 容斥原理 得 Ckm+ n = |U |=
的 ,其它 n- 1把钥匙则可以任意分配给其它的 n- 1扇门。 ∴|Ai|= ( n- 1)! ( i= 1, 2,… n)
类似把|Ai∩ Aj|= ( n- 2)! ( i≠ j) ……
{ A1∩ A2…∩ An }= ( n- n)! = 1
∑ ∑ n
k
∴ Dn
=
|U Ai|= i= 1
则有|Ai|=
〔
n ai
〕
|Ai∩
Aj|= 〔 ani aj〕 i≠ j
N
|∩ Ai|= i= 1
〔a1·
n a2…
aN〕
∑ 由容斥原理
n
,所求数是|∩
-Ai|=
i= 1
n-
1≤
i≤
〔
N
n ai
〕+
…+
(-
1) N〔a1·
n a2…
aN〕
(其中〔 X〕表示不超过 x 的最大整数 )
由上式易得欧拉函数 Υ( n) (即: 1到 n中 ,与 n互素的数的个数 ) 事实上 ,设 n分解成素数幂的乘积 n= Pa1 1· Pa2 2… Pan n
收稿日期: 2004- 12- 05 修回日期: 2005- 09- 10 作者简介: 王竞才 ( 1961- ) ,男 ,陕西榆林人 ,中教高级 .
王竞才: 容斥原理及其应用
· 5·
d( Vi ) = 1 ( i= 1, 2, 3)
d( V1∩ V2 ) = d( V1∩ V 3 )= d( V 2∩ V 3 ) = d( V1∩ V2∩ V3 ) = 0
设 Vi ( i= 1, 2,… k)是线性空间的子空间。 且 Vi 的基向量组 βi β (β 为线性空间 V 的基向量组 )
∑∑ ∑ k
则①
d
(
1≤
i≤
Vi
k
)
=
1≤ i≤ k d( Vi ) -
1≤ i < j≤ k d ( Vi∩
Vj )+ … +
( - 1) k- 1 d(∩ Vi ) i= 1
)…
(
1-
1 PN
)
N
∏ ∏ ∴Υ( n)= n ( 1i= 1
1 Pi
)或
Ф(
n) =
n ( 1P/n
1 P
)
参考文献:
[ 1]卢开澄 .组合数学算法与分析 [ M ].北京: 清华大学出版社 , 1983.
[ 2]左孝凌 .李为监 ,刘永才 ,离散数学 [ M ],上海: 上海科学技术文献出版社 , 1981.
(责任编辑: 姚有林 )