苏教版数学高二周末练习

高二数学周末练习(六)班级____________姓名____________学号____________成绩____________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．方程x 29－k ＋y 2k －1＝1表示椭圆的充要条件是▲________． 2．函数f (x )＝log 0.5(x －1)的定义域为▲________．3．已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是▲________．4．已知点P (x ，y )在不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0 ，x ＋2y ≤4表示的平面区域上运动，则z ＝x ＋y 的最大值是▲________． 5．已知点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 2＋2x －y 2的最大值为▲________． 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝▲________．7．已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切，则动圆C 的圆心的轨迹方程▲________．8．椭圆x 28＋k ＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值是▲________． 9．已知p ∶|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，又知非p 是非q 的必要非充分条件，则m 的取值范围是▲________．10．命题“p ∶∃x ∈ (1，52)，使不等式tx 2＋2x －3＞0”为真命题，则实数t 的取值范围是▲________． 11．已知a ＞2，b ＞1，且满足ab ＝a ＋2b ＋1，则2a ＋b 的最小值为▲________．12．圆C 1∶x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与C 1∶x 2＋y 2＋2x ＋2y －24＝0公共弦的长为▲________．13．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，S △ABC ＝3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝▲________．*14．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则m 的取值范围是▲________．1．_______________；2．_______________；3．_______________；4．_______________；5．_______________；6．_______________；7．_______________；8．_______________；9．_______________；10．_______________；11．_______________；12．_______________；13．_______________；14．_______________；二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在锐角△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量m ＝(12，cos A )，n ＝(sin A ， －32)，且m ⊥n ．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝7，b ＝8，求△ABC 的面积．16． 如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.17．在如图所示的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE＝2AB ，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .18．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±43x ，且经过点A (－33，42)，设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝64．（1）求双曲线的方程；（2）求∠F 1PF 2．19．如图，椭圆C ∶x 2＋y 2m＝1(0＜m ＜1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（1）若点P 的坐标为(95，435)，求m 的值； *（2）若椭圆C 上存在点M (x 0，y 0)，使得OP ⊥OM ，将m 用x 0表示，并求m 的取值范围．20．已知F(c，0)是椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，圆F∶(x－c)2＋y2＝a2与x轴交于E，D两点，B是椭圆C与圆F的一个交点，且BD＝3BE；（1）求椭圆C的离心率；*（2）过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，且△ABD的面积等于24613c，求出A点坐标和椭圆C的方程．周末练习6一、填空题1．(1，5)∪(5，9)； 2．(1，2] ； 3．y ＝±43x 4．4； 5．8； 6．4n －13； 7．x 216＋y 212＝1； 8． 4或－54； 9．[9，＋∞) 10．(－825，＋∞) ； 11．26＋5； 12．26455； 13．3－12； 14．(0，8)． 二、解答题：15．（1）因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，则12sin A －32cos A ＝0， 因为0°＜A ＜90°，所以cos A ≠0，则tan A ＝3，所以A ＝60°． （2）解法一：由正弦定理得a sin A ＝b sin B，又a ＝7，b ＝8，A ＝60°， 则sin B ＝87sin60°＝437，为△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝17， 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×17＋12 ×437＝5314， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝103． 解法二：因为a ＝7，b ＝8，A ＝60°，所以由余弦定理可知，49＝64＋c 2－2×8c ×12，即c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5， 当c ＝3时，c 2＋a 2－b 2＝9＋49－64＜0，所以cos B ＜0，不合乎题意；当c ＝5时，c 2＋a 2－b 2＝25＋49－64＞0，所以cos B ＞0，合乎题意；所以S △ABC ＝12bc sin A ＝103． 16．设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， S ＝(x －6)(2400x －4)＝2424－(4x ＋6×2400x )＝2424－4(x ＋3600x)，x ∈(6，600)． 因为x ∈(6，600)，所以x ＋3600x ≥2x ·3600x ＝120， 当且仅当x ＝3600x，即x ＝60时取等号 此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.17．证明：(1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE .∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD . ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．（1）由条件可设所求线方程为x 29k －y 216k＝1(k ＞0)，因为双曲线过点A (－33，42)， 所以(33)29k －(42)216k ＝1，所以k ＝1，则所求双曲线方程为x 29－y 216＝1． （2）由（1）知：F 1F 2＝10，|PF 2－PF 1|＝6，所以|PF 2－PF 1|2＝PF 12－2PF 1×PF 2+PF 22＝36， 又PF 1×PF 2＝64，所以PF 12＋PF 22＝164．cos ∠F 1PF 2＝PF 12＋PF 22－F 1F 222PF 1×PF 2＝164－100128＝12，又0＜∠F 1PF 2＜π，所以∠F 1PF 2＝60°． 19．如图，椭圆C ∶x 2＋y 2m＝1(0＜m ＜1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（1）若点P 的坐标为(95，435)，求m 的值； *（2）若椭圆C 上存在点M (x 0，y 0)，使得OP ⊥OM ，将m 用x 0表示，并求m 的取值范围．19．（1）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为A (－1，0)，P (95，435)，所以 点M 的坐标为(25，235)． 由点M 在椭圆C 上， 所以425＋1225m ＝1，解得m ＝47． （2）解：设M (x 0，y 0)，则x 02＋y 02m ＝1，且－1＜x 0<1． ①因为M 是线段AP 的中点，所以P (2x 0＋1，2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以 x 0(2x 0+1)＋2y 02＝0． ②由 ①，② 消去y 0，整理得m ＝2x 02＋x 02x 02－2． 所以 m ＝1＋12(x 0＋2)＋6x 0＋2－8≤12－34， 当且仅当x 0＝－2＋3时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是(0，12－34]．20．已知F (c ，0)是椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，圆F ∶(x －c )2＋y 2＝a 2与x 轴交于E ，D 两点，B 是椭圆C 与圆F 的一个交点，且BD ＝3BE ；（1）求椭圆C 的离心率； *（2）过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，且△ABD 的面积等于24613c ，求出A 点坐标和椭圆C 的方程．20．解（1）由题意，B (0，b )，E (c －a ，0)，D (c ＋a ，0)，因为BD ＝3BE ，∠EBD ＝90°，得BE ＝12ED ＝a ， 由BE 2＝(c －a )2＋b 2＝a 2，得a ＝2c ，即椭圆C 的离心率e ＝12． （2）C 的离心率e ＝12，令a ＝2c ，b ＝3c ，则C ∶x 24c 2＋y 23c2＝1． 直线l ⊥BF ，设l ∶y ＝33x ＋3c ． 由⎩⎨⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1， y ＝33x ＋3． 得A (－2413c ，5313c )，AB ＝16313c ， 又点D (3c ，0)到直线l 的距离d ＝|3c －0＋3c |2＝3c ， △ABD 的面积S ＝12×AB ×d ＝12·16313c ·3c ＝24613， 解得c ＝2，故椭圆C ∶x 28＋y 26＝1．。