八年级因式分解分式与分式方程

因式分解、分式复习
一、知识梳理
知识点一 因式分解
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因
式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出
来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3
C ．mx —my 与 ny —nx
D ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
2222
2222
.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+
4. 分解因式：x 2+2xy+y 2
－4 =_____
5. 分解因式：（1）(
)22
9=n ；(
)222=a
（2）2
2
x y -= ；（3）2
2
259x y -= ； （4）2
2
()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式
222222
.1(1)(1) ;.14(12)(12)
.8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-
【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：
（1）3
3
x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；
（4）()()23
42x y y x ---
分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意()
()22n
n a b b a -=-，()
()
21
21
n n a b b a ++-=--
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

例2. 分解因式：
（1）2
2
310x xy y --；（2）3
2
2
3
2212x y x y xy +-；（3）()
2
2
24
16x x +-
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。

首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。

（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

例3. 计算：（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
22221011911311211 （2）2
2
2
2
2
2
2
1219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+-
分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

例4. 分解因式：（1）2
2244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2
322-+-
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，
例5. （1）在实数范围内分解因式：44
-x ；
（2）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足2
2
2
a b c ab bc ac ++=++，
求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a b c ==， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()2220a b b c c a -+-+-=， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。

略证：222
0a b c ab bc ac ++---=
022*******=---++ac bc ab c b a ()()()02
2
2
=-+-+-a c c b b a
∴c b a == 即△ABC 为等边三角形。

知识点二 分式
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。

对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。

②当____________时分式没有意义。

③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。

将一
个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式
叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，
一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的
值 ．即：
(0)A A M A M M B B M B M
⨯÷==≠⨯÷其中
（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值
不变。

即：
a a a a
b b b b
--==-=-
-- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）
异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ； （3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。

5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值． 【课前练习】
1. 判断对错：
①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a ≠0时，分式
1a ＝0有意义（ ）； ④当a ＝0时，分式1
a
＝0无意义（ ） 2.
在22
21123,0,
,,,,323x y x x x x x x y π
+-中，整式和分式的个数分别为（ ） A ．5，3 B ．7，1 C ．6，2 D ．5，2 3. 若将分式
a b
ab
+ (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）
A ．扩大为原来的2倍 ；
B ．缩小为原来的
12；C ．不变；D ．缩小为原来的14
4.分式2
2969
x x x --+约分的结果是 。

5. 分式,,7(2)4()(2)6()(2)
x y
y x y y y x y +-+-+的最简公分母是 。

()n
n a b a b c c a c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad d b c bc a a n b
⎧±⎧
±=⎪⎪⎪⎪⎨
±⎪⎪±=
⎪⎪⎩⎪
⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨
⎪⎪÷=⋅=
⎪⎪⎩
⎪⎪=⎪⎪
⎪⎩
n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b
【经典考题剖析】 例1. 已知分式25,45
x x x ---当x ≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为
0．
例2. 若分式22
1
x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．x=－1或x=2
B 、x=0
C ．x=2
D ．x=－1 例3.
（1） 先化简，再求值：231
()11x x
x x x x
---+，其中2x =.
（2）先将
221
(1)1x x x x
-⋅++化简，然后请你自选一个合理的x 值，求原式的值。

（3）已知0346
x y z
==≠，求
x y z x y z +--+的值 例4.计算
（1）()241222a a a a -÷-⨯+-；（2）222x x x ---；（3）2
214
122x x x x x x
++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ （4）x y
x y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-3232；（5）4
214121111x x x x ++++++-
分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把()2x -+当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化
为最简分式或整式。

对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。

（4）题可以将y x --看作一个整体()y x +-，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算
x
x ++-1111，用其结果再与2
2
1x +相加，依次类推。

例5. 阅读下面题目的计算过程：
2
3211x x x ---+＝()()()()()
213
1111x x x x x x ---+-+- ① ＝()()321x x --- ②
＝322x x --+ ③ ＝1x -- ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

（2）错误原因是 。

（3）本题的正确结论是 。

知识点三 分式方程
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验
根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有 和 。

【课前练习】 1. 把分式方程
11122x x x
--=--的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2
2. 方程
2321
x x -=+的根是（ ） A.－2 B.12 C.－2，1
2
D.－2，1
3. 当m =_____时，方程21
2mx m x +=-的根为12
4. 如果
2
54
52310
A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________. 5. 若方程
1
322
a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________. 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1)
2223-=---x x x (2) 11
4112=---+x x x
题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.
例2、 若方程
x
x x --=
+-34
731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程3
1
3292-=
++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?
题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程x
m
x x -=
--223无解,求m 的值.
变式训练:已知关于x 的方程
m x m
x =-+3
无解,求m 的值.
题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制.
例5、.若关于x 的方程81=+x ax 的解为41
=x ,则a = 例6、.关于x 的方程
12
-=-+x m
x 的解大于零, 求m 的取值范围.
注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正⎩⎨
⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解
x
题型五 应用题
例7、某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12
月份多6 m 3
，求该市今年居民用水的价格．
例8、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价
增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．
例9、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的
三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天
Ｂ．4天
Ｃ．3天
Ｄ．2天
变式训练
甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再
由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数
是甲队单独完成此项工程所需天数的4
5，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
课后训练
1. 若2
2
916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A ．24
B ．12
C ．±12
D ．±24 2. 把多项式1ab a b -+-因式分解的结果是（ ）
A ．()()11a b ++
B ．()()11a b --
C ．()()11a b +-
D ．()()11a b -+ 3. 如果二次三项式2
1x ax +-可分解为()()2x x b -+，则a b +的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 4. 已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61、63 B ．61、65 C ．61、67 D ．63、65 5、 当x 取何值时，分式（1）
321
x -；（2）32
21x x -+；（3）24x -有意义。

6. 当x 取何时，分式（1）
23
35
x x +-；（2）33x x -+的值为零。

7. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

（1）22()23(2)n m m =++；（2）22()ab b a b
ab b ++=+ 8. 若7;12a b ab +==，则22
a b ab
+＝ 。

9. 已知
113x y -=。

则分式2322x xy y x xy y
+---的值为 。

10. 先化简代数式222222()()()a b a b ab
a b a b
a b a b +--÷+--+然后请你自取一组a 、b 的值代入求值． 11. 计算：1998×2002＝ ，22
27462723-⨯+＝ 。

12. 若2
10a a ++=，那么2001
20001999a
a a ++＝ 。

13. m 、n 满足20m +=，分解因式(
)()2
2
x y
mxy n +-+＝ 。

14. 因式分解： （1）(
)
()2
2
23238x x
x x +-+-；（2）22
2221a b ab b a +--++
（3）()()()()12341x x x x +++++；（4）()()
22114a b ab ---
15. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，222a b c ++ =ab bc ac ++，试判定三角形的形状． 16. 计算：
（1）22211
1()121a a a a a a -+--÷--+；（2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+÷--25223x x x x
（3）421
444122++--+-x x x x x ；（4）1222222-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--n mn n m n mn n
mn m n m 17. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程121111x =2,x 22x x -==-的解是； 方程12121
2x =3,x 33x x -==-的解是；
方程121313x =4,x 44x x -==-的解是； 方程12141
4x =5,x 55
x x -==-的解是；
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x －10 =1010
11
的解，并写出检验． 18. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知
x y z
a b b c c a ==
---()a b c 、、互相不相等，求x+y+z 的值 解：设
x y z
a b b c c a
==
---=k, ();(),();x+y+z=()00x k a b y k b c z k c a k a b b c c a k =-=-=--+-+-=•=则于是 仿照上述方法解答下列问题：已知：(0),y z z x x y x y z
x y z x y z x y z
++++-==++≠++求的值。

19. 观察下列等式： 2
311= 2
33321=+ 2
3336321=++
2
3333104321=+++……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。

20. 已知a b c 、、是△ABC 的三边，且满足4
22
4
22
a b c b a c +=+，试判断△ABC 的形状。

阅读下面解题过程：
解：由4
22
4
22
a b c b a c +=+得： 4
4
22
22
a b a c b c -=- ①
()()()22
22222a b a b c a b +-=- ② 即222a b c += ③
∴△ABC 为Rt △。

④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题 的结论应为 。

例题答案分式方程
解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，
则乙施工队单独完成此项工程需45x 天，
根据题意，得 10x ＋1245x
＝1
解这个方程，得x ＝25
经检验，x ＝25是所列方程的根
解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得
20%x ×50-（
x
2400-50）×5=350 化简得x 2-10x -1200=0
解方程得x 1=40，x 2=-30（不合题意舍去）
经检验，x 1=40，x 2=-30都是原方程的解，
但x 2=-30不合题意，舍去． 答： 每盒粽子的进价为40元．。