八年级因式分解分式与分式方程

因式分解、分式复习

一、知识梳理

知识点一 因式分解

1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因

式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出

来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【课前练习】

1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）

A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3

C ．mx —my 与 ny —nx

D ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

2222

2222

.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+

4. 分解因式：x 2+2xy+y 2

－4 =_____

5. 分解因式：（1）(

)22

9=n ；(

)222=a

（2）2

2

x y -= ；（3）2

2

259x y -= ； （4）2

2

()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式

222222

.1(1)(1) ;.14(12)(12)

.8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-

【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：

（1）3

3

x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；

（4）()()23

42x y y x ---

分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意()

()22n

n a b b a -=-，()

()

21

21

n n a b b a ++-=--

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 例2. 分解因式：

（1）2

2

310x xy y --；（2）3

2

2

3

2212x y x y xy +-；（3）()

2

2

24

16x x +-

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。 例3. 计算：（1）⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

-

22221011911311211 （2）2

2

2

2

2

2

2

1219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+-

分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

例4. 分解因式：（1）2

2244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2

322-+-

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，

例5. （1）在实数范围内分解因式：44

-x ；

（2）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足2

2

2

a b c ab bc ac ++=++，

求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a b c ==， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()2220a b b c c a -+-+-=， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：222

0a b c ab bc ac ++---=

022*******=---++ac bc ab c b a ()()()02

2

2

=-+-+-a c c b b a

∴c b a == 即△ABC 为等边三角形。

知识点二 分式

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一

个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。 （4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式

叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，

一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的

值 ．即：

(0)A A M A M M B B M B M

⨯÷==≠⨯÷其中