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浙江省2018年五校联考试题

数学(文史类)答案

11.

()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⎪

⎭⎫ ⎝⎛

<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-21121122x x x 12.(]4,∞- 13.1- 14.()2,0 三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．解：设()11,y x =，()22,y x =………………………………………………（2分） 则023211=+-=⋅y x c a ；

423222-=+-=⋅y x c b ；………………………………………………（

6分） 82

121=+=y x ；

42

22

2=+=y x ．………………………………………………（10分）

解得⎩⎨⎧==6211y x ，或⎩⎨⎧-=-=6211y x ，对应的b 分别为⎩⎨⎧-==2022y x ，或⎩⎨⎧==1

322y x ，

分别代入()

2,32-=+=n m ，解得6,4±=-=m n ……………（14分）

16．解：()(

)cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π⎛

⎫=+++=+++ ⎪⎝

⎭……………（2分）

（Ⅰ）当1a =时，()14f x x b π⎛

⎫==+++ ⎪⎝

⎭

∴当()222

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈时，()f x 是增函数，

∴函数()f x 的单调增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡

⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦……………（8分） （Ⅱ）由0x π≤≤得5444

x πππ

≤+≤

∴sin 14x π⎛

⎫≤+≤ ⎪⎝

⎭………………………………………………（10分）

∵0a <

∴当sin 14x π⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭时，()f x 取最小值33a b ++=……………（※）

当sin 4x π⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

时， ()f x 取最大值4，即4b =

将4b =代入（※）式得1a =5a b +=（14分） 17．解：（Ⅰ）3P =

3

1

………………………………………………（4分） （Ⅱ）由于第n 次到顶点A 是从D C B ,,三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点

到达A 的概率都是3

1

，而第1-n 次在顶点A 与小虫在D C B ,,是对立事件． 因此，第n 次到顶点A 的概率为()113

1

--=n n P P ………………（8分）

即⎪⎭⎫

⎝⎛--=-

-4131411n n P P ………………………………………（11分） ⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧-∴=41,11n P P 是以43411=-P

为首项，公比为3

1

-的等比数列， ()N n n P n n ∈≥+⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=∴-,2 4

1

31431

………………………………（14分） 18．

（Ⅰ）取1CC 的中点G ，则DG 为AE 在面1DC 内的射影，11D F DG AE D F ⊥∴⊥ 又1AD AE A D F ⋂=∴⊥面ADE ………………………………（5分） （Ⅱ）不成立………………………………（7分） 设1CC 、F D 1与平面ADE 的交点分别为G 、H, 在菱形11C CDD 中，可得DG DD ⊥1 又 平面⊥ABCD 平面11C CDD ，

且平面⋂ABCD 平面11C CDD =CD ，CD AD ⊥

1DD AD ⊥∴，因此AED DD 平面⊥1

所以1DHD ∠为直线ADE F D 与平面1所成的角………………………………（10分） 在菱形11C CDD 内，因为CD C 1∠=0

60，所以0

1120=∠DE D

可求得a F D 271=

，所以14

7

5arccos

1=∠F D D ， 在H DD Rt 1∆中，2

11π

=

∠+∠HD D H DD ，∴1DHD ∠=14

7

5arcsin

所以直线ADE F D 与平面1所成的角为14

7

5arcsin

．………………………（14分） 19．解：

（Ⅰ）88a b +=⇒

设12(0,2),(0,2)F F -，则128MF MF +=

因此，点M 的轨迹是以12F F 、为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为：22

11216

x y +=

…………………………………………………（6分） （Ⅱ）假设存在这样的直线，使得OAPB 为矩形，并设:3l y kx =+

与椭圆方程联立得：2(324)18210(*)k x kx ++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x 、是（*）的两根，

且121222

1821

,3434

k x x x x k k +=-

=-++………………………………（8分） 因为OAPB 为矩形，故OB OA ⊥ 则02121=+y y x x ，()()0332121=+++kx kx x x

()

()093121212

=++++x x k x x k

……………………（11分）

由此可得：()

094

31834312122

22=++

⨯-++-

k k k k 解得：25

16

k k =

∴=因此，当直线的斜率为时，可使OAPB 为矩形． ………………………………（14分）

20．解：（Ⅰ）()x f 为非奇非偶函数．

()()3

32x m x x f ++-=- ，而33)(2)(x m x x f -+=

()()x f x f --∴()3

32x m x ++-=33)(2x m x ---=x m x 2362+-不恒为零，

同样，()()x f x f +-也不恒为零．………………………………（6分）

y

x

l

B

A

O

P