高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第二章 函数概念与基本初等函数1 第6讲 对数与对数函数 Word版含答案
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.2.函数的最值前提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;(4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示对∀x 1,x 2∈D ,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,减函数类似.2.写出对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间.提示(-∞,-a ]和[a ,+∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.(×)(2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)(3)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.(×)(5)所有的单调函数都有最值.(×)题组二教材改编2.函数f (x )=x 2-2x 的单调递增区间是____________.答案[1,+∞)(或(1,+∞))3.函数y =2x -1在[2,3]上的最大值是______.答案24.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.答案(-∞,2]解析由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),∴m ≤2.题组三易错自纠5.函数y =12log (x 2-4)的单调递减区间为________.答案(2,+∞)6.若函数f (x )=|x -a |+1的增区间是[2,+∞),则a =________.答案2解析∵f (x )=|x -a |+1的单调递增区间是[a ,+∞),∴a =2.7.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.答案[-1,1)解析-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,a+1>2a,解得-1≤a<1.8.函数f(x)1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为________.答案2解析当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D解析函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________.答案[-1,0],[1,+∞)解析由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解函数f (x )=ax 2+1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明:设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1=(x 2-x 1)a (x 1+x 2)-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4,1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又因为1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增.引申探究如何用导数法求解本例?解f ′(x )=2ax -1x 2=2ax 3-1x 2,因为1≤x ≤2,所以1≤x 3≤8,又1<a <3,所以2ax 3-1>0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.跟踪训练1(1)下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是()A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x -xD .f (x )=ln(x +1)答案C解析由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f (x )=(a -1)x +2在R 上单调递增,则函数g (x )=a |x -2|的单调递减区间是______________.答案(-∞,2]解析因为f (x )在R 上单调递增,所以a -1>0,即a >1,因此g (x )的单调递减区间就是y =|x -2|的单调递减区间(-∞,2].(3)函数f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是________.答案[1,2]解析f (x )2-2x ,x ≥2,x 2+2x ,x <2.画出f (x )图象,由图知f (x )的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值1.函数y =x 2-1x 2+1的值域为____________.答案[-1,1)解析由y =x 2-1x 2+1,可得x 2=1+y 1-y.由x 2≥0,知1+y1-y≥0,解得-1≤y <1,故所求函数的值域为[-1,1).2.函数y =x +1-x 2的最大值为________.答案2解析由1-x 2≥0,可得-1≤x ≤1.可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin θ∈[0,π],所以-1≤y ≤2,故原函数的最大值为 2.3.函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.答案[3,+∞)解析函数y 2x +1,x ≤-1,,-1<x <2,x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞).4.函数y =3x +1x -2的值域为________________.答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y =3x +1x -2=3(x -2)+7x -2=3+7x -2,因为7x -2≠0,所以3+7x -2≠3,所以函数y =3x +1x -2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}.5.函数f (x )-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.答案3解析由于y 在[-1,1]上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ()A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关答案B 解析方法一设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b .∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关.故选B.方法二由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b 的变动,相当于图象上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图象左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关,故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:形如求y=cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f -12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f -12f522<52<3,所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.{x|-3<x<0或x>3}B.{x|x<-3或0<x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <-3}.命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D .π答案C解析∵f (x )=cos x -sin x =-2sin∴当x -π4∈-π2,π2,即x ∈-π4,3π4时,y =sinf (x )=-2sin ∴-π4,3π4是f (x )在原点附近的单调减区间,结合条件得[0,a ]⊆-π4,3π4,∴a ≤3π4,即a max =3π4.(2)已知函数f (x )2+12a -2,x ≤1,x -a ,x >1,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.答案(1,2]解析由题意,得12+12a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x >1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是______________.答案(-4,4]解析设g (x )=x 2-ax +3a ,根据对数函数及复合函数的单调性知,g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,2,a >0,∴-4<a ≤4,∴实数a 的取值范围是(-4,4].思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)如果函数f (x )2-a )x +1,x <1,x ,x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.答案32,解析对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.-a >0,>1,2-a )×1+1≤a ,解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32,(2)已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f x 的取值范围是______________.答案12,解析因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f (2x -1)<所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .yD .y =x +1x答案A解析函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案A解析因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).4.已知函数f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是(),13 B.13,12,12 D.14,13答案A解析当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,-2a<1,a<1,-2a≥13,∴0<a≤13.5.设f (x )x -a )2,x ≤0,+1x +a ,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为()A .[-1,2]B .[-1,0]C .[1,2]D .[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知函数f (x )2x ,x ≥1,+c ,x <1,则“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增,则需log 21≥c +1,即c ≤-1.由于c =-1,即c ≤-1,但c ≤-1不能得出c =-1,所以“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件.7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为________________.答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数,∴a =-log f (log 25).又f (x )在R 上是增函数,且log 25>log 24.1>log 24=2>20.8,∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8),∴a >b >c .8.如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a 的取值范围是______________.答案-14,0解析当a =0时,f (x )=2x -3在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上,实数a 的取值范围是-140.9.记min{a ,b },a ≤b ,,a >b ,若f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为________.答案6解析由题意知,f (x )+2,0≤x ≤4,-x ,x >4,易知f (x )max =f (4)=6.10.设函数f (x )x 2+4x ,x ≤4,2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________.答案(-∞,1]∪[4,+∞)解析作函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上单调递增,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.11.已知f (x )=x x -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.(1)证明当a =-2时,f (x )=x x +2.设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增.(2)解设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),F (x )x ),x >0,f (x ),x <0.(1)若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立,求F (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围.解(1)∵f (-1)=0,∴b =a +1.由f (x )≥0恒成立,知a >0且方程ax 2+bx +1=0中Δ=b 2-4a =(a +1)2-4a =(a -1)2≤0,∴a =1.从而f (x )=x 2+2x +1.∴F (x )x +1)2,x >0,(x +1)2,x <0.(2)由(1)可知f (x )=x 2+2x +1,∴g (x )=f (x )-kx =x 2+(2-k )x +1,由g (x )在[-2,2]上是单调函数,知-2-k 2≤-2或-2-k 2≥2,得k ≤-2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).13.已知函数f (x )3,x ≤0,(x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是()A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)答案D 解析∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为0,∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.14.已知f (x )2-4x +3,x ≤0,x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案(-∞,-2)解析二次函数y 1=x 2-4x +3的对称轴是x =2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x +3≥3,同样可知函数y 2=-x 2-2x +3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x +3<3,∴f (x )在R 上单调递减,∴由f (x +a )>f (2a -x )得到x +a <2a -x ,即2x <a ,∴2x <a 在[a ,a +1]上恒成立,∴2(a +1)<a ,∴a <-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).15.已知函数f (x )=2020x +ln(x 2+1+x )-2020-x +1,则不等式f (2x -1)+f (2x )>2的解集为____________.答案解析由题意知,f (-x )+f (x )=2,∴f (2x -1)+f (2x )>2可化为f (2x -1)>f (-2x ),又由题意知函数f (x )在R 上单调递增,∴2x -1>-2x ,∴x >14,∴16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )是增函数,f (1)=0,f (3)=1.(1)解不等式0<f (x 2-1)<1;(2)若f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)2-1>0,x 2-1<3,得2<x <2或-2<x <- 2.∴原不等式的解集为(-2,-2)∪(2,2).(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数,∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)=1,∴不等式f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立转化为1≤m 2-2am +1对所有a ∈[-1,1]恒成立,即m 2-2am ≥0对所有a ∈[-1,1]恒成立.设g (a )=-2ma +m 2,a ∈[-1,1],∴(-1)≥0,(1)≥0,m +m 2≥0,2m +m 2≥0,解该不等式组,得m ≤-2或m ≥2或m =0,即实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。
新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书

新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书1.对数的概念如果a x=N (a >0且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:①a log a N =N ;②log a a b=b (a >0,且a ≠1). (2)换底公式:log a b =log c blog c a(a ,c 均大于0且不等于1,b >0).(3)对数的运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么:①log a (M ·N )=log a M +log a N ;②log a M N=log a M -log a N ,③log a M n=n log a M (n ∈R ). 3.对数函数的定义、图象与性质4.指数函数y =a x(a >0且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log 2x 2=2log 2x .( ) (2)当x >1时,log a x >0.( )(3)函数y =lg(x +3)+lg(x -3)与y =lg[(x +3)(x -3)]的定义域相同.( )(4)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝⎛⎭⎪⎫1a,-1,函数图象不在第二、三象限.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.已知a =2,b =log 213,c =,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .c >b >aD .c >a >bD [∵0<a =2<20=1,b =log 213<log 21=0,c ==1,∴c >a >b .]3.已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图261,则下列结论成立的是( )图261A .a >1,c >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <1D [由图象可知y =log a (x +c )的图象是由y =log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,其中0<c <1.再根据单调性可知0<a <1.]4.(教材改编)若log a 34<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34 B .(1,+∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34∪(1,+∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1C [当0<a <1时,log a 34<log a a =1,∴0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,∴a >1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34∪(1,+∞).] 5.(2017·杭州二次质检)计算:2log 510+log 514=________,2log 43=________.2 3 [2log 510+log 514=log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14=2,因为log 43=12log 23=log 23,所以2log 43=2log23= 3.](1)设2a =5b=m ,且a +b=2,则m 等于( ) A.10 B .10 C .20D .100(2)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14-lg 25÷100-12=________. 【导学号:51062043】 (1)A (2)-20 [(1)∵2a =5b=m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2, ∴m =10.(2)原式=(lg 2-2-lg 52)×100=⎝⎛⎭⎪⎫lg122·52×10=(lg 10-2)×10=-2×10=-20.][规律方法] 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N ⇔b =log a N (a >0,且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.[变式训练1] (1)(2017·高三教学测试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≥4,f x +,x <4,则f (2+log 23)的值为( )A .24B .16C .12D .8(2)(2015·浙江高考)计算:log 222=________,2log 23+log 43=________. (1)A (2)-12 3 3 [(1)∵3<2+log 23<4,∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=23+log 23=8×3=24,故选A.(2)log 222=log 22-log 22=12-1=-12;2log 23+log 43=2log 23·2log 43=3×2log 43=3×2log23=3 3.](1)(2017·绍兴一模)若函数y =a |x |(a >0,且a ≠1)的值域为{y |y ≥1},则函数y =log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2017·湖州调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x,x ≤0,且关于x 的方程f (x )+x -a=0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________.【导学号:51062044】(1)B (2)(1,+∞) [(1)若函数y =a |x |(a >0,且a ≠1)的值域为{y |y ≥1},则a >1,故函数y =log a |x |的大致图象如图所示.故选B.(2)如图,在同一坐标系中分别作出y =f (x )与y =-x +a 的图象,其中a 表示直线在y 轴上截距,由图可知,当a >1时,直线y =-x +a 与y =log 2x 只有一个交点.][规律方法] 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. [变式训练2] 如图262,点A ,B 在函数y =log 2x +2的图象上,点C 在函数y =log 2x 的图象上,若△ABC 为等边三角形,且直线BC ∥y 轴,设点A 的坐标为(m ,n ),则m =( )图262A .2B .3 C. 2D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2,则由点A 的坐标(m ,n )可得点B 的坐标为(m +3,n +1).又A ,B 两点均在函数y =log 2x +2的图象上,故有⎩⎨⎧log 2m +2=n ,log 2m +3+2=n +1,解得m =3,故选D.]☞角度1 比较对数值的大小若a >b >0,0<c <1,则( )A .log a c <log b cB .log c a <log c bC .a c<b cD .c a>c bB [对于选项A :log a c =lg c lg a ,log b c =lg clg b ,∵0<c <1,∴lg c <0.而a >b >0,∴lg a >lg b ,但不能确定lg a ,lg b 的正负,∴log a c 与log b c 的大小不能确定.对于选项B :log c a =lg a lg c ,log c b =lg b lg c ,而lg a >lg b ,两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变,∴log c a <log c b ,∴选项B 正确.对于选项C :利用y =x c(0<c <1)在第一象限内是增函数,可得a c>b c,∴选项C 错误.对于选项D :利用y =c x(0<c <1)在R 上为减函数,可得c a<c b ,∴选项D 错误,故选B.]☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( )A .(a -1)(b -1)<0B .(a -1)(a -b )>0C .(b -1)(b -a )<0D .(b -1)(b -a )>0D [法一:log a b >1=log a a , 当a >1时,b >a >1;当0<a <1时,0<b <a <1.只有D 正确. 法二:取a =2,b =3,排除A ,B ,C ,故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )=log a (3-ax ),是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a >0,且a ≠1,∴u =3-ax 在[1,2]上是关于x 的减函数.4分 又f (x )=log a (3-ax )在[1,2]上是关于x 的减函数, ∴函数y =log a u 是关于u 的增函数, ∴a >1,x ∈[1,2]时,u 最小值为3-2a ,8分f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a -a =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <32,a =32,12分故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1.15分[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.[思想与方法]1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,log a b>0;当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,log a b<0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.[易错与防范]1.在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=log a x的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系,当底数a与1的大小关系不确定时,要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα=αlog a M中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为log a Mα=αlog a |M |(α∈N *,且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.课时分层训练(八) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)一、选择题 1.函数y =的定义域是( )A .[1,2]B .[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1 D [由(2x -1)≥0⇒0<2x -1≤1⇒12<x ≤1.]2.(2017·石家庄模拟)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a =b <cB .a =b >cC .a <b <cD .a >b >cB [因为a =log 23+log 23=log 233=32log 23>1,b =log 29-log 23=log 233=a ,c =log 32<log 33=1,所以a =b >c .]3.若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象如图263所示,则下列函数图象正确的是( )图263A B C DB [由题图可知y =log a x 的图象过点(3,1), ∴log a 3=1,即a =3.A 项,y =3-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数,错误;B 项,y =x 3符合;C 项,y =(-x )3=-x 3在R 上为减函数,错误; D 项,y =log 3(-x )在(-∞,0)上为减函数,错误.]4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3-x+1,x ≤0,则f (f (1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A .5B .3C .-1D.72A [由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2, f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312=3+1=3log 32+1=2+1=3,所以f (f (1))+f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312=5.] 5.已知y =log a (2-ax )在区间[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是( )【导学号:51062045】A .(0,1)B .(0,2)C .(1,2)D .[2,+∞)C [因为y =log a (2-ax )在[0,1]上单调递减,u =2-ax (a >0)在[0,1]上是减函数,所以y =log a u 是增函数,所以a >1.又2-a >0,所以1<a <2.]二、填空题6.lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=________. 【导学号:51062046】-1 [lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.]7.(2017·“江南十校”信息优化卷)设函数f (x )=lg(x 2-4),则f (x )的定义域为________,单调递增区间为________.(-∞,-2)∪(2,+∞) (2,+∞) [由x 2-4>0,得f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).其单调递增区间为(2,+∞).]8.(2016·浙江高考)已知a >b >1,若log a b +log b a =52,a b =b a,则a =________,b =________.4 2 [∵log a b +log b a =log a b +1log a b =52,∴log a b =2或12.∵a >b >1,∴log a b <log a a =1, ∴log a b =12,∴a =b 2.∵a b =b a ,∴(b 2)b =bb 2,∴b 2b =bb 2, ∴2b =b 2,∴b =2,∴a =4.] 三、解答题9.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2. (1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上的最大值. 【导学号:51062047】 [解] (1)∵f (1)=2, ∴log a 4=2(a >0,a ≠1), ∴a =2.4分由⎩⎪⎨⎪⎧1+x >0,3-x >0,得x ∈(-1,3),∴函数f (x )的定义域为(-1,3).8分 (2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],12分 ∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数; 当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上的最大值是f (1)=log 24=2.15分10.已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.[解] (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax ,则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )最小值为3-2a ,当x ∈[0,2],f (x )恒有意义,即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立.∴3-2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32.7分 (2)t (x )=3-ax ,∵a >0,∴函数t (x )为减函数,8分 ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数, ∴y =log a t 为增函数,10分∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3-2a >0,log a -a =1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a <32,a =32,13分故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1.15分B 组 能力提升(建议用时:15分钟)1.(2016·浙江名校(河桥中学)交流卷三)已知函数f (x )=|log 2x |,正实数m ,n 满足m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,则m +n =( )A.12B.32 C .2 D.52D [∵f (x )=|log 2x |,且f (m )=f (n ),∴mn =1.又0<m <n ,则有0<m <1<n ,从而有0<m 2<m <1<n ,则|log 2m 2|=2|log 2m |=2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )=|log 2x |在区间[m 2,n ]上的最大值为2,∴|log 2m 2|=2,即|log 2m |=1,∴m =12(m =2舍去),∴n =2. ∴m +n =52.] 2.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是________. 【导学号:51062048】(1,2] [当x ≤2时,y =-x +6≥4.∵f (x )的值域为[4,+∞),∴当a >1时,3+log a x >3+log a 2≥4,∴log a 2≥1,∴1<a ≤2;当0<a <1时,3+log a x <3+log a 2,不合题意.故a ∈(1,2].]3.已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x )(a >0且a ≠1).(1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明;(3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集.[解] (1)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1.3分故所求函数f (x )的定义域为(-1,1).6分(2)证明:由(1)知f (x )的定义域为(-1,1),且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x )=-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ),故f (x )为奇函数.10分(3)因为当a >1时,f (x )在定义域(-1,1)内是增函数,所以f (x )>0⇔x +11-x>1,解得0<x <1, 所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1).15分。
数学(浙江专用)总复习教师用书:第二章 函数概念与基本初等函数 第讲 幂函数与二次函数

第4讲幂函数与二次函数最新考纲1。
了解幂函数的概念;掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x错误!,y=错误!的图象和性质;2。
理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数。
(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=x错误!y=x-1定义域R R R [0,+∞){x|x∈R,且x≠0}值域R [0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2。
二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a〉0)f(x)=ax2+bx+c(a〈0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域错误!错误!1。
判断正误(在括号内打“√"或“×”)(1)函数y =2x 错误!是幂函数。
( )(2)当n >0时,幂函数y =x n 在(0,+∞)上是增函数.( )(3)二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )不可能是偶函数.( )(4)二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈[a ,b ])的最值一定是错误!.( )解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )=x α,故y =2x 错误!不是幂函数,(1)错.(3)由于当b =0时,y =ax 2+bx +c =ax 2+c 为偶函数,故(3)错.(4)对称轴x =-错误!,当-错误!小于a 或大于b 时,最值不是错误!,故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a =243,b =3错误!,c =25错误!,则( )A.b <a 〈cB.a 〈b 〈cC.b〈c<aD.c〈a<b解析因为a=2错误!=4错误!,b=3错误!,c=5错误!又y=x错误!在(0,+∞)上是增函数,所以c>a〉b.答案A3.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值是()A.5 B。
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书:第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,和对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a〉0,且a≠1).考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作________,其中________叫做对数的底数,________叫做真数.答案:x=log a N a N2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0,N>0,那么①log a(MN)=____________;②log a错误!=____________;③log a M n=________(n∈R);④log a m M n=错误!log a M。
(2)对数的性质:①a log a N=________;②log a a N=________(a>0且a≠1).(3)对数的重要公式:①换底公式:log b N=错误!(a,b均大于0且不等于1);②log a b=错误!,推广log a b·log b c·log c d=________。
答案:(1)①log a M+log a N②log a M-log a N③n log a M (2)①N②N(3)②log a d(1)[教材习题改编]lg错误!+lg错误!的值是()A。
错误!B.1C.10 D.100答案:B(2)[教材习题改编](log29)·(log34)=()A.错误!B.错误!C.2 D.4答案:D(3)[教材习题改编]已知log53=a,log54=b,lg 2=m,求错误!+lg 4b的值(用m表示).解:错误!+错误!=错误!+错误!=2lg 5=2(1-lg 2)=2(1-m).误用对数运算法则.(1)log3错误!-log3错误!+错误!-1=________.(2)(log29)·(log34)=________.答案:(1)2 (2)4解析:(1)原式=log3错误!+31=log3错误!+3=-1+3=2。
浙江专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示练习含解析

浙江专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示练习含解析[基础达标]1.函数f (x )=1x -2+ln(3x -x 2)的定义域是( ) A .(2,+∞) B .(3,+∞) C .(2,3)D .(2,3)∪(3,+∞)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x -2>0,3x -x 2>0,解得2<x <3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2.(2019·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2a,x <2,log 2(x -2),x ≥2,则f (2a+2)的值为( )A .2aB .aC .2D .a 或2解析:选B.因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2a,x <2,log 2(x -2),x ≥2,所以f (2a +2)=log 2(2a+2-2)=a ,故选B. 3.下列哪个函数与y =x 相等( )A .y =x 2xB .y =2log 2xC .y =x 2D .y =(3x )3解析:选D.y =x 的定义域为R ,而y =x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},y =2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ,且x >0},排除A 、B ;y =x 2=|x |的定义域为x ∈R ,对应关系与y =x 的对应关系不同,排除C ;而y =(3x )3=x ,定义域和对应关系与y =x 均相同,故选D.4.(2019·杭州七校联考)已知函数f (x )=x 3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x +1,若f (a )=2,则f (-a )的值为( )A .3B .0C .-1D .-2解析:选B.因为函数f (x )=x 3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x +1,所以f (x )=x 3+sin x +1,因为f (a )=2,所以f (a )=a 3+sin a +1=2,所以a 3+sin a =1,所以f (-a )=(-a )3+sin(-a )+1=-1+1=0.故选B. 5.已知a ,b 为两个不相等的实数,集合M ={a 2-4a ,-1},N ={b 2-4b +1,-2},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .1B .2C .3D .4解析:选D.由已知可得M =N ,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a =-2b 2-4b +1=-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a +2=0,b 2-4b +2=0, 所以a ,b 是方程x 2-4x +2=0的两根,故a +b =4. 6.存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ) A .f (sin 2x )=sin x B .f (sin 2x )=x 2+x C .f (x 2+1)=|x +1| D .f (x 2+2x )=|x +1|解析:选D.取特殊值法.取x =0,π2,可得f (0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误;取x =0,π,可得f (0)=0,π2+π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误;取x =1,-1,可得f (2)=2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误;取f (x )=x +1,则对任意x ∈R 都有f (x 2+2x )=x 2+2x +1=|x +1|,故选项D 正确.7.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =1-x 21+x 2,则f (x )的解析式为( )A .f (x )=x1+x 2B .f (x )=-2x1+x 2C .f (x )=2x 1+x2 D .f (x )=-x1+x2解析:选C.令1-x 1+x =t ,则x =1-t 1+t ,所以f (t )=(1+t )2-(1-t )2(1+t )2+(1-t )2=2t1+t 2,故函数f (x )的解析式为f (x )=2x1+x2,故选C.8.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1,x >0,1,x <0,则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2(a ≠b )的值为( )A .aB .bC .a ,b 中较小的数D .a ,b 中较大的数解析:选C.若a -b >0,即a >b ,则f (a -b )=-1, 则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2=12[(a +b )-(a -b )]=b (a >b );若a -b <0,即a <b ,则f (a -b )=1, 则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2=12[(a +b )+(a -b )]=a (a <b ).综上,选C.9.(2019·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +n ,x <1log 2x ,x ≥1,若f (f (34))=2,则实数n 为( )A .-54B .-13C .14D .52解析:选D.因为f (34)=2×34+n =32+n ,当32+n <1,即n <-12时,f (f (34))=2(32+n )+n =2,解得n =-13,不符合题意;当32+n ≥1,即n ≥-12时,f (f (34))=log 2(32+n )=2,即32+n =4,解得n =52,故选D. 10.设f (x ),g (x )都是定义在实数集上的函数,定义函数(f ·g )(x ):对任意的x ∈R ,(f ·g )(x )=f (g (x )).若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >0,x 2,x ≤0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x,x ≤0,ln x ,x >0,则( )A .(f ·f )(x )=f (x )B .(f ·g )(x )=f (x )C .(g ·f )(x )=g (x )D .(g ·g )(x )=g (x )解析:选A.对于A ,(f ·f )(x )=f (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )>0,f 2(x ),f (x )≤0,当x >0时,f (x )=x >0,(f ·f )(x )=f (x )=x ;当x <0时,f (x )=x 2>0,(f ·f )(x )=f (x )=x 2;当x =0时,(f ·f )(x )=f 2(x )=0=02,因此对任意的x ∈R ,有(f ·f )(x )=f (x ),故A 正确,选A.11. 若函数f (x )在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________.解析:由题图可知,当-1≤x <0时,f (x )=x +1;当0≤x ≤2时,f (x )=-12x ,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0,-12x ,0≤x ≤2.答案:f(x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0,-12x ,0≤x ≤212.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=________. 解析:令x =1,得2f (1)-f (-1)=4, ① 令x =-1,得2f (-1)-f (1)=-2, ②联立①②得f (1)=2. 答案:213.函数f (x ),g (x )分别由下表给出.则f (g (1))的值为________;满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值为________. 解析:因为g (1)=3,f (3)=1,所以f (g (1))=1.当x =1时,f (g (1))=f (3)=1,g (f (1))=g (1)=3,不合题意. 当x =2时,f (g (2))=f (2)=3,g (f (2))=g (3)=1,符合题意. 当x =3时,f (g (3))=f (1)=1,g (f (3))=g (1)=3,不合题意. 答案:1 214.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x +1)2,x <1,4-x -1,x ≥1,则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________.解析:f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1,(x +1)2≥1或⎩⎨⎧x ≥1,4-x -1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x <1,(x +1)2≥1,得x ≤-2或0≤x <1.由⎩⎨⎧x ≥1,4-x -1≥1,得1≤x ≤10. 综上所述,x 的取值范围是x ≤-2或0≤x ≤10. 答案:(-∞,-2]∪[0,10]15.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.解析:当a >0时,1-a <1,1+a >1,此时f (1-a )=2(1-a )+a =2-a ,f (1+a )=-(1+a )-2a =-1-3a .由f (1-a )=f (1+a )得2-a =-1-3a ,解得a =-32.不合题意,舍去.当a <0时,1-a >1,1+a <1,此时f (1-a )=-(1-a )-2a =-1-a ,f (1+a )=2(1+a )+a =2+3a ,由f (1-a )=f (1+a )得-1-a =2+3a ,解得a =-34.综上可知,a 的值为-34.答案:-3416.(2019·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤1x +6x -6,x >1,则f (f (-2))=________,f (x )的最小值是________.解析:由题意可得f (-2)=(-2)2=4, 所以f (f (-2))=f (4)=4+64-6=-12;因为当x ≤1时,f (x )=x 2,由二次函数可知当x =0时,函数取最小值0; 当x >1时,f (x )=x +6x-6,由基本不等式可得f (x )=x +6x-6≥2x ·6x-6 =26-6,当且仅当x =6x即x =6时取到等号,即此时函数取最小值26-6;因为26-6<0,所以f (x )的最小值为26-6. 答案:-1226-617.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x ≥0,-3x ,x <0.若a [f (a )-f (-a )]>0,则实数a 的取值范围为________.解析:易知a ≠0.由题意得,当a >0时,则-a <0,故a [f (a )-f (-a )]=a (a 2+a -3a )>0,化简可得a 2-2a >0,解得a >2或a <0.又因为a >0,所以a >2.当a <0时,则-a >0,故a [f (a )-f (-a )]=a [-3a -(a 2-a )]>0,化简可得a 2+2a >0,解得a >0或a <-2,又因为a <0,所以a <-2.综上可得,实数a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)[能力提升]1.设x ∈R ,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A .|x |=x |sgn x |B .|x |=x sgn|x |C .|x |=|x |sgn xD .|x |=x sgn x解析:选D.当x <0时,|x |=-x ,x |sgn x |=x ,x ·sgn|x |=x ,|x |sgn x =(-x )·(-1)=x ,排除A ,B ,C ,故选D.2.(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式:①f (|x |+1)=x 2+1;②f (1x 2+1)=x ;③f (x 2-2x )=|x |;④f (|x |)=3x +3-x.其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________.解析:①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ≥1),可得|x |=t -1,则f (t )=(t -1)2+1,即有f (x )=(x -1)2+1对x ∈R 均成立;②f (1x 2+1)=x ,令t =1x 2+1(0<t ≤1),x =±1t-1,对0<t ≤1,y =f (t )不能构成函数,故不成立;③f (x 2-2x )=|x |,令t =x2-2x ,若t <-1时,x ∈∅;t ≥-1,可得x =1±1+t (t ≥-1),y =f (t )不能构成函数;④f (|x |)=3x +3-x ,当x ≥0时,f (x )=3x +3-x ;当x <0时,f (-x )=3x +3-x;将x 换为-x 可得f (x )=3x+3-x;故恒成立.综上可得①④符合条件.答案:①④3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求f (x )的解析式;(2)画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)f (x )的图象如图:4.已知f (x )=x 2-1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2)); (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式.解:(1)g (2)=1,f (g (2))=f (1)=0;f (2)=3,g (f (2))=g (3)=2. (2)当x >0时,f (g (x ))=f (x -1)=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,f (g (x ))=f (2-x )=(2-x )2-1=x 2-4x +3.所以f (g (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x >0,x 2-4x +3,x <0.同理可得g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x <-1或x >1,3-x 2,-1<x <1. 5.设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB +BC +CD =a (常数),∠ABC =120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域.解:如图,因为AB +BC +CD =a ,所以BC =EF =a -2x >0,即0<x <a2,因为∠ABC =120°,所以∠A =60°,所以AE =DF =x 2,BE =32x ,y =12(BC +AD )·BE =3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a -2x )+x 2+x 2 =34(2a -3x )x =-34(3x 2-2ax ) =-334⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 32+312a 2, 故当x =a3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,312a 2. 6.已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=-2f (x +1),且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )=x 2.(1)求f (-1),f (1.5);(2)写出f (x )在区间[-2,2]上的表达式.解:(1)由题意知f (-1)=-2f (-1+1)=-2f (0)=0,f (1.5)=f (1+0.5)=-12f (0.5)=-12×14=-18.(2)当x ∈[0,1]时,f (x )=x 2;当x ∈(1,2]时,x -1∈(0,1],f (x )=-12f (x -1)=-12(x -1)2;当x ∈[-1,0)时,x +1∈[0,1),f (x )=-2f (x +1)=-2(x +1)2;当x ∈[-2,-1)时,x +1∈[-1,0),f (x )=-2f (x +1)=-2×[-2(x +1+1)2]=4(x +2)2.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12(x -1)2,x ∈(1,2]x 2,x ∈[0,1]-2(x +1)2,x ∈[-1,0)4(x +2)2,x ∈[-2,-1).。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第6节:对数与对数函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图像;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作log a N =b .其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质:①a log a N =N ;②log a a b =b (a >0,且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a (MN )=log a M +log a N ;②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R ).(3)换底公式:log b N =log a Nlog a b(a ,b 均大于零且不等于1,N >0).3.对数函数及其性质(1)概念:函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫作对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域:(0,+∞)值域:R当x =1时,y =0,即过定点(1,0)当x >1时,y >0;当0<x <1时,y <0当x >1时,y <0;当0<x <1时,y >0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y =x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b =1log b a (a >0,且a ≠1;b >0,且b ≠1).(2)log a m b n =nm log a b (a >0,且a ≠1;b >0;m ,n ∈R ,且m ≠0).2.在第一象限内,不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a ,1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2=2log 2x .()(2)函数y =log 2(x +1)是对数函数.()(3)函数y =ln1+x1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.()(4)当x >1时,若log a x >log b x ,则a <b .()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log 2x 2=2log 2|x |,故(1)错误.(2)形如y =log a x (a >0,且a ≠1)为对数函数,故(2)错误.(4)若0<b <1<a ,则当x >1时,log a x >log b x ,故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L =5+lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解析由题意知,4.9=5+lg V ,得lg V =-0.1,得V =10-110=11010≈11.259≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a =log 20.3,b =log 120.4,c =0.40.3,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b答案D解析∵log 20.3<log 21=0,∴a <0.∵log 120.4=-log 20.4=log 252>log 22=1,∴b >1.∵0<0.40.3<0.40=1,∴0<c <1,∴a <c <b .4.(易错题)函数y =log a (x -1)+2(a >0,且a ≠1)的图像恒过的定点是________.答案(2,2)解析当x =2时,函数y =log a (x -1)+2(a >0,且a ≠1)的值为2,所以图像恒过定点(2,2).5.(易错题)已知lg x +lg y =2lg(x -2y ),则xy =________.答案4解析∵lg x +lg y =2lg(x -2y ),∴lg(xy )=lg(x -2y )2,x >0,y >0,x -2y >0,xy =(x -2y )2,x >2y ,y >0,(x -y )(x -4y )=0,则x =4y >0,∴xy=4.6.若函数y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a =________.答案2或12解析当0<a <1时,f (x )=log a x 在[2,4]上单调递减,故f (x )max =f (2),f (x )min =f (4),则f (2)-f (4)=log a 12=1,解得a =12.当a >1时,f (x )在[2,4]上单调递增,此时f (x )max =f (4),f (x )min =f (2),则f (4)-f (2)=log a 2=1,解得a =2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34=2,则4-a =()A.116B.19C.18D.16答案B 解析法一因为a log 34=2,所以log 34a =2,则4a =32=9,所以4-a =14a =19.法二因为a log 34=2,所以a =2log 34=2log 43=log 432=log 49,所以4-a =4-log 49=4log 49-1=9-1=19.2.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1答案A解析依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,代入所给公式得52lg E1E2=-1.45-(-26.7)=25.25.所以lg E1E2=25.25×25=10.1,即E1E2=1010.1.3.(2021·天津卷)若2a=5b=10,则1a+1b=()A.-1B.lg7C.1D.log710答案C解析∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴1a+1b=1log210+1log510=lg2+lg5=lg10=1.4.计算:(1-log63)2+log62·log618log64=________.答案1解析原式=1-2log63+(log63)2+log663·log6(6×3)log64=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.感悟提升 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )=log a |x |+1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x =log a x 0,12上有解,则实数a 的取值范围为________.答案(1)A0,22解析(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数,图像关于y 轴对称.设g (x )=log a |x |,先画出x >0时,g (x )的图像,然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图像,最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图像,结合图像知选A.(2)若方程4x =log a x 0,12上有解,则函数y =4x 和函数y =log a x 0,120<a <1,log a 12≤2,解得0<a ≤22.感悟提升对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时,要善于利用已知函数的性质,函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.训练1(1)已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图像如图,则下列结论成立的是()A.a >1,c >1B.a >1,0<c <1C.0<a <1,c >1D.0<a <1,0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ,x >0,3x,x ≤0,关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________.答案(1)D(2)(1,+∞)解析(1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数,∴0<a <1,∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数y =log a x 的图像向左平移不到1个单位长度后得到的,∴0<c <1.(2)问题等价于函数y =f (x )与y =-x +a 的图像有且只有一个交点,结合函数图像可知a>1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ,b ,c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0,则下列关系中正确的是()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.a <c <b(3)(2021·衡水中学检测)已知a,b =log 120.2,c =a b ,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.b <c <a答案(1)D(2)C(3)B解析(1)∵0<a <1,b =log 213=-log 23<0,c =log 1213=log 23>1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0,即log 2c <log 2b <log 2a <0,可得c <b <a <1.故选C.(3)函数y与y =log 12x 的图像关于直线y =x 对称,则<1<log 120.2,∴a <b .又c =a b 0.2log 120.2120.20.2=0.20.2=a ,所以b >a >c .角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x ),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x ,则不等式f (x )<-1的解集是________.(2)不等式log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则a 的取值范围是________.答案(1)(-∞,-2)解析(1)设x <0,则-x >0,∴f (x )=-f (-x )=-log 2(-x ),∴f (x )2x ,x >0,,x =0,log 2(-x ),x <0.当x >0时,f (x )<-1,即log 2x <-1=log 212,解得0<x <12.当x <0时,f (x )<-1,即-log 2(-x )<-1,则log 2(-x )>1=log 22,解得x <-2.当x =0时,f (x )=0<-1显然不成立.综上,原不等式的解集为(-∞,-2)(2)由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a .又log a (a 2+1)<log a (2a )<0,所以0<a <1,所以2a >1,即a >12.综上,12<a <1.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f (x )=log(1)若函数f (x )是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数f (x )的定义域是一切实数,求a 的取值范围;(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.解(1)若函数f (x )是R 上的奇函数,则f (0)=0,∴log 2(1+a )=0,∴a =0.当a =0时,f (x )=-x 是R 上的奇函数.所以a =0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数,则12x +a >0恒成立.即a >-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a ≥0,则a 的取值范围是[0,+∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数,故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)=log 2(1+a ),最小值是f (1)=log由题设得log 2(1+a )-log2,则log 2(1+a )≥log 2(4a +2).+a ≥4a +2,a +2>0,解得-12<a ≤-13.故实数a -12,-13.感悟提升1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式,主要是应用函数的单调性求解,如果a 的取值不确定,需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2(1)(2019·天津卷)已知a =log 27,b =log 38,c =0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系为()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上单调递减,则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案(1)A(2)[1,2)解析(1)显然c =0.30.2∈(0,1).因为log 33<log 38<log 39,所以1<b <2.因为log 27>log 24=2,所以a >2.故c <b <a .(2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,(1)>0,≥1,-a >0,≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).(3)当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则f (x )min =f (2)=log a (8-2a )>1,即8-2a >a ,且8-2a >0,解得1<a <83.当0<a <1时,f (x )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,知f (x )min =f (1)=log a (8-a )>1,且8-2a >0.∴8-a <a 且8-2a >0,此时解集为∅.综上可知,实数a1.已知b >0,log 5b =a ,lg b =c ,5d =10,则下列等式一定成立的是()A.d =acB.a =cdC.c =adD.d =a +c答案B解析∵log 5b =a ,lg b =c ,∴5a =b ,10c =b .又∵5d =10,∴5a =b =10c =(5d )c =5cd ,∴a =cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )=x +43x +的值域是全体实数,则实数m 的取值范围是()A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-∞,-4)D.(-∞,-4]答案D解析由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数.又3x +43x +m ≥m +4,所以m +4≤0,即m ≤-4.∴实数m 的取值范围为(-∞,-4].3.若函数f (x )=|x |+x 3,则f (lg 2)+f (lg 5)+()A.2B.4C.6D.8答案A解析由于f (x )=|x |+x 3,得f (-x )+f (x )=2|x |.又lg 12=-lg 2,lg 15=-lg 5.所以原式=2|lg 2|+2|lg 5|=2(lg 2+lg 5)=2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a =log 52,b =log 83,c =12,则下列判断正确的是()A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c答案C解析a =log 52<log 55=12=log 822<log 83=b ,即a <c <b .5.在同一直角坐标系中,函数y =1a x ,y =log a >0,且a ≠1)的图像可能是()答案D解析若a >1,则y =1ax 单调递减,A ,B ,D 不符合,且y =log C 项不符合,因此0<a <1.当0<a <1时,函数y =a x 的图像过定点(0,1),在R 上单调递减,于是函数y =1x的图像过定点(0,1),在R 上单调递增,函数y =log a在(-12,+∞)上单调递减.因此,选项D 中的两个图像符合.6.已知函数f (x )=log 2(1-|x |),则关于函数f (x )有下列说法:①f(x)的图像关于原点对称;②f(x)的图像关于y轴对称;③f(x)的最大值为0;④f(x)在区间(-1,1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案C解析f(x)=log2(1-|x|)为偶函数,不是奇函数,∴①错误,②正确;根据f(x)的图像(图略)可知④错误;∵1-|x|≤1,∴f(x)≤log21=0,故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y=log a(2x-3)+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图像上,则b=________.答案-7解析令2x-3=1,得x=2,∴定点为A(2,2),将定点A的坐标代入函数f(x)中,得2=32+b,解得b=-7.8.计算:lg25+lg50+lg2·lg500+(lg2)2=________.答案4解析原式=2lg5+lg(5×10)+lg2·lg(5×102)+(lg2)2=2lg5+lg5+1+lg2·(lg5+2)+(lg2)2=3lg5+1+lg2·lg5+2lg2+(lg2)2=3lg5+2lg2+1+lg2(lg5+lg2)=3lg5+2lg2+1+lg2=3(lg5+lg2)+1=4.9.函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为________.答案-1 4解析依题意得f(x)=12log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x2x-14≥-14,当log 2x =-12,即x =22时等号成立,所以函数f (x )的最小值为-14.10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=log a (x +1)(a >0,且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)若-1<f (1)<1,求实数a 的取值范围.解(1)当x <0时,-x >0,由题意知f (-x )=log a (-x +1),又f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (-x )=f (x ).所以当x <0时,f (x )=log a (-x +1),所以函数f (x )的解析式为f (x )a (x +1),x ≥0,a (-x +1),x <0.(2)因为-1<f (1)<1,所以-1<log a 2<1,所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1,,解得a >2;②当0<a <1,,解得0<a <12.综上,实数a(2,+∞).11.已知函数f (x )=log 21+axx -1(a 为常数)是奇函数.(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x -1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)因为函数f (x )=log 21+axx -1是奇函数,所以f (-x )=-f (x ),所以log 21-ax -x -1=-log 21+axx -1,即log 2ax -1x +1=log 2x -11+ax ,所以a =1,f (x )=log 21+xx -1,令1+xx -1>0,解得x <-1或x >1,所以函数的定义域为{x |x <-1或x >1}.(2)f (x )+log 2(x -1)=log 2(1+x ),当x >1时,x +1>2,所以log 2(1+x )>log 22=1.因为x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x -1)>m 恒成立,所以m ≤1,所以m 的取值范围是(-∞,1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P (单位:mg/L)与时间t (单位:h )间的关系式为P =P 0e -kt ,其中P 0,k 为正常数.如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间?(结果四舍五入取整数,参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h答案B解析由已知得1-15=e -10k ,方程两边同取自然对数得ln 45=-10k ,所以k =2ln 2-ln 5-10≈0.0223.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h ,则12=e -0.0223t ,方程两边同取自然对数得ln12=-0.0223t ,解得t ≈31.所以还需要经过31-10=21(h)使污染物减少到最初含量的50%,故选B.13.已知函数f (x )2(x -1),x >1,x ,x ≤1,且关于x 的方程f (x )-a =0有两个实数根,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1]C.(1,2)D.(0,2]答案D解析作出函数y=f(x)的图像(如图),方程f(x)-a=0有两个实数根,即y=f(x)与y=a有两个交点,由图知,0<a≤2.14.(2022·郑州调研)在①f(x)+f(-x)=0,②f(x)-f(-x)=0,③f(-2)=-f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中,并给出解答.已知函数f(x)=log2(x2+a+x)(a∈R)满足________.(1)求a的值;.(2)若函数g(x)=2f(-x)+1-x2+1,证明:g(x2-x)≤54注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解若选择②f(x)-f(-x)=0,因为f(x)-f(-x)=0,所以log2(x2+a+x)-log2(x2+a-x)=0,所以x2+a+x=x2+a-x,所以x=0,a≥0,此时求不出a的具体值,所以不能选②.若选择①f(x)+f(-x)=0,(1)因为f(x)+f(-x)=0,所以log2(x2+a+x)+log2(x2+a-x)=0,所以log2[(x2+a+x)(x2+a-x)]=0,所以x2+a-x2=1,解得a=1.若选择③f(-2)=-f(2),(1)因为f(-2)=-f(2),所以log2(4+a-2)=-log2(4+a+2),所以(4+a-2)(4+a+2)=1,所以4+a-4=1,所以a=1.(2)由(1)知f(x)=log2(x2+1+x),f(-x)=log2(x2+1-x),所以g(x)=2log2(x2+1-x)+1-x2+1=x2+1-x+1-x2+1=-x+1,所以g(x2-x)=-(x2-x)+1=-x2+x+1+54≤54.。
浙江新高考数学一轮复习讲义 第2章 第1讲 函数及其表示

知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念.了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法).了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性.理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小)值.指数函数了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数了解幂函数的概念.掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念,掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决.1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x )(x ∈A )对应f :A →B 是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y =f (x )的图象与直线x =a 最多有2个交点.( ) (2)函数f (x )=x 2-2x 与g (t )=t 2-2t 是同一函数.( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( ) (4)若A =R ,B ={x |x >0},f :x →y =|x |,则对应关系f 是从A 到B 的映射.( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是( ) A .y =(x +1)2 B .y =3x 3+1 C .y =x 2x+1D .y =x 2+1解析:选B.对于A ,函数y =(x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B ,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C ,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D ,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.2.(必修1P25B 组T1改编)函数y =f (x )的图象如图所示,那么f (x )的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________.答案:[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]3.(必修1P19T1(2)改编)函数y =x -2·x +2的定义域是________.解析:⎩⎪⎨⎪⎧x -2≥0x +2≥0⇒x ≥2.答案:[2,+∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻; (2)换元法求解析式,反解忽视范围.1.已知集合P ={x |0≤x ≤4},Q ={y |0≤y ≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________.(填序号)①f :x →y =12x ;②f :x →y =13x ;③f :x →y =23x ;④f :x →y =x .解析:对于③,因为当x =4时,y =23×4=83∉Q ,所以③不是函数.答案:③2.已知f (x )=x -1,则f (x )=________.解析:令t =x ,则t ≥0,x =t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0). 答案:x 2-1(x ≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f (x )=x +2x 2lg (|x |-x )的定义域为________.(2)若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域为________.(3)若函数f (x )=2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义,必须使⎩⎪⎨⎪⎧x +2x 2≥0|x |-x >0|x |-x ≠1解得x <-12. 所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-12. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠00≤2x ≤2得0≤x <1,即定义域是[0,1).(3)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2+2ax -a -1≥0对x ∈R 恒成立,即2x 2+2ax -a ≥20,x 2+2ax -a ≥0恒成立,因此有Δ=(2a )2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-12 (2)[0,1) (3)[-1,0](变条件)若将本例(2)中“函数y =f (x )”改为“函数y =f (x +1)”,其他条件不变,如何求解?解:由函数y =f (x +1)的定义域为[0,2], 得函数y =f (x )的定义域为[1,3],令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3x -1≠0得12≤x ≤32且x ≠1.所以g (x )的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫121∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤132.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域:①若y =f (x )的定义域为(a ,b ),则解不等式a <g (x )<b 即可求出y =f (g (x ))的定义域;②若y =f (g (x ))的定义域为(a ,b ),则求出g (x )在(a ,b )上的值域即得y =f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解. [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.1.(2020·浙江新高考优化卷)函数f (x )=3x 21-x+lg(-3x 2+5x +2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-13+∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-131 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1313D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-∞-13 解析:选B.依题意可得,要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0-3x 2+5x +2>0,解得-13<x <1.故选B. 2.(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ={x |y =x -x 2},B ={x |y =ln(1-x )},则A ∪B =( )A .[0,1]B .[0,1)C .(-∞,1]D .(-∞,1)解析:选C.因为由x -x 2≥0得0≤x ≤1, 所以A ={x |0≤x ≤1}. 由1-x >0得x <1,所以B ={x |x <1},所以A ∪B ={x |x ≤1}. 故选C.3.若函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是________. 解析:由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立. 当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则⎩⎨⎧m >0Δ=m 2-4m ≤0 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 答案:[0,4]求函数的解析式(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2,求f (x )的解析式; (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式;(3)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x ); (4)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x )的解析式. 【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-2,所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2. (2)(换元法)令2x +1=t 得x =2t -1,代入得f (t )=lg2t -1,又x >0,所以t >1, 故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1,x >1. (3)(待定系数法)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx , 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1a +b =1解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x ,x ∈R .(4)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x ,① 得f (x )+2f (-x )=2-x ,② ①×2-②,得,3f (x )=2x +1-2-x . 即f (x )=2x +1-2-x3.所以f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3,x ∈R .求函数解析式的4种方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法:已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围.1.(2020·杭州学军中学月考)已知f (x +1)=x +2x ,则f (x )的解析式为f (x )=__________.解析:法一:设t =x +1,则x =(t -1)2(t ≥1);代入原式有f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1.故f (x )=x 2-1(x ≥1). 法二:因为x +2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1,所以f (x +1)=(x +1)2-1(x +1≥1),即f (x )=x 2-1(x ≥1). 答案:x 2-1(x ≥1)2.设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +2,则f (x )的解析式为f (x )=________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b =2x +2, 所以a =1,b =2,f (x )=x 2+2x +c . 又因为方程f (x )=0有两个相等的实根, 所以Δ=4-4c =0,c =1,故f (x )=x 2+2x +1. 答案:x 2+2x +1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题.主要命题角度有:(1)分段函数求值;(2)已知函数值,求参数的值(或取值范围); (3)与分段函数有关的方程、不等式问题. 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx >0f (x +2)x ≤0g (x )=x 2,则f (8)=________;g [f (2)]=________;f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12=________. 【解析】 f (8)=log 28=3,g [f (2)]=g (log 22)=g (1)=1,f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫log 212=f (-1)=f (1)=log 21=0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x2+1(x≥1)log2(1-x)(x<1),若f(f(a))=3,则a=________.【解析】函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x2+1(x≥1)log2(1-x)(x<1),若f(f(a))=3,当a≥1时,可得f(-2a2+1)=3,可得log2(2a2)=3,解得a=2.当a<1时,可得f(log2(1-a))=3,log2(1-a)≥1时,可得-2(log2(1-a))2+1=3,解得a∈∅.log2(1-a)<1时,可得log2(1-log2(1-a))=3,即1-log2(1-a)=8,log2(1-a)=-7,1-a =1128,可得a=127128.综上得a的值为2或127128.【答案】2或127128角度三与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x-2x≤-1(x-2)(|x|-1)x>-1则f(f(-2))=________,若f(x)≥2,则x的取值范围为________.【解析】由分段函数的表达式得f(-2)=⎝⎛⎭⎫12-2-2=4-2=2,f(2)=0,故f(f(-2))=0.若x≤-1,由f(x)≥2得⎝⎛⎭⎫12x-2≥2,得⎝⎛⎭⎫12x≥4,则2-x≥4,得-x≥2,则x≤-2,此时x≤-2.若x>-1,由f(x)≥2得(x-2)(|x|-1)≥2,即x|x|-x-2|x|≥0,若x≥0,得x2-3x≥0,则x≥3或x≤0,此时x≥3或x=0;若-1<x<0,得-x2+x≥0,得x2-x≤0,得0≤x≤1,此时无解.综上得x≥3或x=0或x≤-2.【答案】0x≥3或x=0或x≤-2(1)根据分段函数解析式,求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程.然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.1.(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x2+1x≥1log2(1-x)x<1,则f(f(4))=()A.2B.3C.5 D.6解析:选C.f(f(4))=f(-31)=log2 32=5.故选C.2.(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|x+2|-1x≤0log2xx>0,若f(a)≤1,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.[-1,2]C.[-4,0)∪(0,2] D.[-4,2]解析:选D.f(a)≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≤0|a+2|-1≤1或⎩⎨⎧a>0log2a≤1解得-4≤a≤0或0<a≤2,即a∈[-4,2],故选D.核心素养系列2数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下列函数:①f(x)=sin 2x; ②g(x)=x3;③h(x)=⎝⎛⎭⎫13x; ④φ(x)=ln x.其中是一阶整点函数的是()A.①②③④B.①③④C.①④D.④【解析】 对于函数f (x )=sin 2x ,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D;对于函数g (x )=x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A;对于函数h (x )=⎝⎛⎭⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是:紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解.如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点,问题便迎刃而解.1.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y =x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选 C.由x 2+1=1得x =0,由x 2+1=3得x =±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.2.若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得f (-x )=f (x ),则称f (x )为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A .f (x )=cos xB .f (x )=sin xC .f (x )=x 2-2xD .f (x )=x 3-2x解析:选D.A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足f (x )=f (-x ),不符合题意;B 中,当x =k π(k ∈Z )时,满足f (x )=f (-x ),不符合题意;C 中,由f (x )=f (-x ),得x 2-2x =x 2+2x ,解得x =0,不符合题意;D 中,由f (x )=f (-x ),得x 3-2x =-x 3+2x ,解得x =0或x =±2,满足题意,故选D.[基础题组练]1.函数f (x )=1x -2+ln(3x -x 2)的定义域是( ) A .(2,+∞) B .(3,+∞) C .(2,3)D .(2,3)∪(3,+∞)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x -2>03x -x 2>0解得2<x <3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2.(2020·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f (x )=⎩⎨⎧x -2ax <2log 2(x -2)x ≥2则f (2a+2)的值为( )A .2aB .aC .2D .a 或2解析:选B.因为函数f (x )=⎩⎨⎧x -2ax <2log 2(x -2)x ≥2所以f (2a +2)=log 2(2a +2-2)=a ,故选B. 3.下列哪个函数与y =x 相等( ) A .y =x 2xB .y =2log 2xC .y =x 2D .y =(3x )3解析:选D.y =x 的定义域为R ,而y =x 2x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},y =2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ,且x >0},排除A 、B;y =x 2=|x |的定义域为x ∈R ,对应关系与y =x 的对应关系不同,排除C;而y =(3x )3=x ,定义域和对应关系与y =x 均相同,故选D.4.(2020·杭州七校联考)已知函数f (x )=x 3+cos ⎝⎛⎭⎫π2-x +1,若f (a )=2,则f (-a )的值为( )A .3B .0C .-1D .-2解析:选B.因为函数f (x )=x 3+cos ⎝⎛⎭⎫π2-x +1,所以f (x )=x 3+sin x +1,因为f (a )=2,所以f (a )=a 3+sin a +1=2,所以a 3+sin a =1,所以f (-a )=(-a )3+sin(-a )+1=-1+1=0.故选B.5.已知a ,b 为两个不相等的实数,集合M ={a 2-4a ,-1},N ={b 2-4b +1,-2},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .1B .2C .3D .4解析:选D.由已知可得M =N ,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a =-2b 2-4b +1=-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a +2=0b 2-4b +2=0 所以a ,b 是方程x 2-4x +2=0的两根,故a +b =4. 6.存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ) A .f (sin 2x )=sin x B .f (sin 2x )=x 2+x C .f (x 2+1)=|x +1| D .f (x 2+2x )=|x +1| 解析:选D.取特殊值法.取x =0,π2,可得f (0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误;取x =0,π,可得f (0)=0,π2+π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误;取x =1,-1,可得f (2)=2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误;取f (x )=x +1,则对任意x ∈R 都有f (x 2+2x )=x 2+2x +1=|x +1|,故选项D 正确. 7.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =1-x 21+x 2,则f (x )的解析式为( ) A .f (x )=x1+x 2B .f (x )=-2x1+x 2C .f (x )=2x1+x 2D .f (x )=-x1+x 2解析:选C.令1-x 1+x =t ,则x =1-t 1+t ,所以f (t )=(1+t )2-(1-t )2(1+t )2+(1-t )2=2t1+t 2,故函数f (x )的解析式为f (x )=2x1+x 2,故选C. 8.设函数f (x )=⎩⎨⎧-1x >01x <0则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2(a ≠b )的值为( )A .aB .bC .a ,b 中较小的数D .a ,b 中较大的数解析:选C.若a -b >0,即a >b ,则f (a -b )=-1,则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2=12[(a +b )-(a -b )]=b (a >b );若a -b <0,即a <b ,则f (a -b )=1, 则(a +b )+(a -b )·f (a -b )2=12[(a +b )+(a -b )]=a (a <b ).综上,选C.9.(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +nx <1log 2xx ≥1,若f (f (34))=2,则实数n 为( )A .-54B .-13C.14D.52解析:选D.因为f (34)=2×34+n =32+n ,当32+n <1,即n <-12时,f (f (34))=2(32+n )+n =2,解得n =-13,不符合题意;当32+n ≥1,即n ≥-12时,f (f (34))=log 2(32+n )=2,即32+n =4,解得n=52,故选D. 10.设f (x ),g (x )都是定义在实数集上的函数,定义函数(f ·g )(x ):对任意的x ∈R ,(f ·g )(x )=f (g (x )).若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x x >0x 2x ≤0g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e xx ≤0ln x x >0则( )A .(f ·f )(x )=f (x )B .(f ·g )(x )=f (x )C .(g ·f )(x )=g (x )D .(g ·g )(x )=g (x ) 解析:选A.对于A ,(f ·f )(x )=f (f (x ))=⎩⎨⎧f (x )f (x )>0f 2(x )f (x )≤0当x >0时,f (x )=x >0,(f ·f )(x )=f (x )=x ;当x <0时,f (x )=x 2>0,(f ·f )(x )=f (x )=x 2;当x =0时,(f ·f )(x )=f 2(x )=0=02,因此对任意的x ∈R ,有(f ·f )(x )=f (x ),故A 正确,选A.11.若函数f (x )在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________.解析:由题图可知,当-1≤x <0时,f (x )=x +1;当0≤x ≤2时,f (x )=-12x ,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1-1≤x <0-12x0≤x ≤2.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1-1≤x <0-12x 0≤x ≤212.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=________. 解析:令x =1,得2f (1)-f (-1)=4,① 令x =-1,得2f (-1)-f (1)=-2,② 联立①②得f (1)=2. 答案:213.函数f (x ),g (x )分别由下表给出.(x ))的x 解析:因为g (1)=3,f (3)=1,所以f (g (1))=1.当x =1时,f (g (1))=f (3)=1,g (f (1))=g (1)=3,不合题意. 当x =2时,f (g (2))=f (2)=3,g (f (2))=g (3)=1,符合题意. 当x =3时,f (g (3))=f (1)=1,g (f (3))=g (1)=3,不合题意. 答案:1 214.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x +1)2x <14-x -1x ≥1则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________.解析:f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x <1(x +1)2≥1或⎩⎨⎧x ≥14-x -1≥1.由⎩⎪⎨⎪⎧x <1(x +1)2≥1得x ≤-2或0≤x <1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥14-x -1≥1得1≤x ≤10.综上所述,x 的取值范围是x ≤-2或0≤x ≤10.答案:(-∞,-2]∪[0,10]15.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +ax <1-x -2a x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.解析:当a >0时,1-a <1,1+a >1,此时f (1-a )=2(1-a )+a =2-a ,f (1+a )=-(1+a )-2a =-1-3a .由f (1-a )=f (1+a )得2-a =-1-3a ,解得a =-32.不合题意,舍去.当a <0时,1-a >1,1+a <1,此时f (1-a )=-(1-a )-2a =-1-a , f (1+a )=2(1+a )+a =2+3a ,由f (1-a )=f (1+a )得-1-a =2+3a ,解得a =-34.综上可知,a 的值为-34.答案:-3416.(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2x ≤1x +6x -6x >1,则f (f (-2))=________,f (x )的最小值是________.解析:由题意可得f (-2)=(-2)2=4, 所以f (f (-2))=f (4)=4+64-6=-12;因为当x ≤1时,f (x )=x 2,由二次函数可知当x =0时,函数取最小值0; 当x >1时,f (x )=x +6x-6,由基本不等式可得f (x )=x +6x -6≥2x ·6x-6 =26-6,当且仅当x =6x 即x =6时取到等号,即此时函数取最小值26-6;因为26-6<0,所以f (x )的最小值为26-6.答案:-1226-617.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+xx ≥0-3x x <0.若a [f (a )-f (-a )]>0,则实数a 的取值范围为________.解析:易知a ≠0.由题意得,当a >0时,则-a <0,故a [f (a )-f (-a )]=a (a 2+a -3a )>0,化简可得a 2-2a >0,解得a >2或a <0.又因为a >0,所以a >2.当a <0时,则-a >0,故a [f (a )-f (-a )]=a [-3a -(a 2-a )]>0,化简可得a 2+2a >0,解得a >0或a <-2,又因为a <0,所以a <-2.综上可得,实数a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)[综合题组练]1.设x ∈R ,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧1x >0x =0-1x <0则( )A .|x |=x |sgn x |B .|x |=x sgn|x |C .|x |=|x |sgn xD .|x |=x sgn x解析:选 D.当x <0时,|x |=-x ,x |sgn x |=x ,x ·sgn|x |=x ,|x |sgn x =(-x )·(-1)=x ,排除A ,B ,C ,故选D.2.(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式:①f (|x |+1)=x 2+1;②f (1x 2+1)=x ;③f (x 2-2x )=|x |;④f (|x |)=3x +3-x .其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________.解析:①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ≥1),可得|x |=t -1,则f (t )=(t -1)2+1,即有f (x )=(x -1)2+1对x ∈R 均成立;②f (1x 2+1)=x ,令t =1x 2+1(0<t ≤1),x =±1t-1,对0<t ≤1,y =f (t )不能构成函数,故不成立;③f (x 2-2x )=|x |,令t =x 2-2x ,若t <-1时,x ∈∅;t ≥-1,可得x =1±1+t (t ≥-1),y =f (t )不能构成函数;④f (|x |)=3x +3-x ,当x ≥0时,f (x )=3x +3-x ;当x <0时,f (-x )=3x +3-x ;将x 换为-x 可得f (x )=3x +3-x ;故恒成立.综上可得①④符合条件.答案:①④3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b x <02xx ≥0且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象.解:(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a+b=3-a+b=2解得a=-1,b=1,所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x+1x<02xx≥0.(2)f(x)的图象如图:4.已知f(x)=x2-1,g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x-1x>02-xx<0.(1)求f(g(2))与g(f(2));(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.解:(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=⎩⎪⎨⎪⎧x2-2xx>0x2-4x+3x<0.同理可得g(f(x))=⎩⎪⎨⎪⎧x2-2x<-1或x>13-x2-1<x<1.5.设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB +BC +CD =a (常数),∠ABC =120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域.解:如图,因为AB +BC +CD =a ,所以BC =EF =a -2x >0, 即0<x <a2,因为∠ABC =120°,所以∠A =60°,所以AE =DF =x 2,BE =32x ,y =12(BC +AD )·BE =3x 4⎣⎡⎦⎤2(a -2x )+x 2+x 2 =34(2a -3x )x =-34(3x 2-2ax ) =-334⎝⎛⎭⎫x -a 32+312a 2, 故当x =a 3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0312a 2.6.已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=-2f (x +1),且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )=x 2.(1)求f (-1),f (1.5);(2)写出f (x )在区间[-2,2]上的表达式.解:(1)由题意知f (-1)=-2f (-1+1)=-2f (0)=0, f (1.5)=f (1+0.5)=-12f (0.5)=-12×14=-18.(2)当x ∈[0,1]时,f (x )=x 2;当x ∈(1,2]时,x -1∈(0,1],f (x )=-12f (x -1)=-12(x -1)2;当x ∈[-1,0)时,x +1∈[0,1), f (x )=-2f (x +1)=-2(x +1)2; 当x ∈[-2,-1)时,x +1∈[-1,0),f (x )=-2f (x +1)=-2×[-2(x +1+1)2]=4(x +2)2.所以f (x )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧-12(x -1)2x ∈(12]x 2x ∈[01]-2(x +1)2x ∈[-10)4(x +2)2x ∈[-2-1).。
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文

(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义 域上进行. (2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论 错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的 限制条件.
A.3
B.13
C. 3
D.
3 3
解析:选 D.因为 xlog34=1,即 log34x=1.所以 4x=3.即 2x= 3,
所以
2-x=
1= 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y=log2x2 的大致图象是( )
解析:选 D.法一:f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x). 所以 y=log2x2 的图象关于 y 轴对称,故选 D. 法二:y=log2x2=2log2|x|=22lloogg22x(,-x> x)0, ,x<0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解.
12/11/2021
【对点通关】 1.(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y=a|x|(a>0,且 a≠1)的值 域为{y|y≥1},则函数 y=loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1.(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0,0<c<1,则( )
高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数理新人教A版

答案
解析
4.已知函数 f(x)=flo2gx2x,,0x<≥x<11,,
则
f
22的值是(
)
A.0
B.1
1 C.2
D.-12
答案 C
解析
∵f(x)=
log2x,x≥1, f2x,0<x<1,
0< 22<1,
2>1,
∴f
22=f(
2)=log2
f(x)=
21-x,x≤1, 1-log2x,x>1,
则满足
f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)
答案 D
答案
解析 当 x≤1 时,由 21-x≤2 得 1-x≤1,∴0≤x≤1. 当 x>1 时,由 1-log2x≤2 得 x≥12,∴x>1. 综上,x 的取值范围为[0,+∞).故选 D.
答案 C
答案
解析 函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A,B;又函数 y =2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除 D.故选 C.
解析
(2)当 0<x≤12时,4x<logax,则 a 的取值范围是(
)
A.0,
2
2
B.
22,1
C.(1, 2)
答案 B 解析 要使函数 f(x)= 1-ln x有意义,则1x>-0,ln x≥0, 解得 0<x≤e,则函数 f(x)的定义域为(0,e].故选 B.
答案
解析
2.(2019·吉林模拟)不等式 log3(2x-1)≤2 的解集为( )
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示

第一讲函数的概念及其表示知识梳理学问点一函数的概念及其表示1.函数的概念函数两个集合A,B 设A,B是两个非空数集对应关系f:A→B 假如依据某种确定的对应关系f,使对于集合A中的随意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y=f(x),x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一样,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.学问点二分段函数1.若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.学问点三函数的定义域函数y=f(x)的定义域1.求定义域的步骤(1)写出访函数式有意义的不等式(组);(2)解不等式(组);(3)写出函数定义域.(留意用区间或集合的形式写出)2.求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母 不等于0 .(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (5)函数f (x )=x 0的定义域为 {x |x ≠0} . (6)指数函数的定义域为 R . (7)对数函数的定义域为 (0,+∞) . 学问点四 函数的值域 基本初等函数的值域:1.y =kx +b (k ≠0)的值域是 R .2.y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:当a >0时,值域为 ⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac -b 24a ;当a <0时,值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac -b24a . 3.y =kx (k ≠0)的值域是 {y |y ≠0} .4.y =a x (a >0且a ≠1)的值域是 (0,+∞) . 5.y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R . [延长]6.y =x +ax (a >0)的值域为(-∞,-2a )∪(2a ,+∞). 7.y =x -ax (a >0)的值域为(-∞,+∞).8.y =cx +d ax +b (a ≠0,ad -bc ≠0)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,c a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ,+∞. 归 纳 拓 展1.推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样. 2.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 3.与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.4.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应当用并集符号“∪”连接.5.函数f (x )与f (x +a )(a 为常数a ≠0)的值域相同.双 基 自 测题组一 走出误区1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f :A →B ,其值域是集合B .( × )(2)A =N ,B =N ,f :x →y =|x -1|,表示从集合A 到集合B 的函数.( √ ) (3)已知f (x )=m (x ∈R ),则f (m 3)=m 3.( × ) (4)y =ln x 2与y =2ln x 表示同一函数.( × )(5)函数y =xx -1定义域为x >1.( × )题组二 走进教材2.(必修1P 67T1改编)若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是( B )[解析] A 中函数的定义域不是[-2,2];C 中图象不表示函数;D 中函数的值域不是[0,2].3.(必修1P 67T2改编)已知奇函数f (x )的图象经过点(1,3),则f (x )的解析式可能为( D ) A .f (x )=2x B .f (x )=-3x C .f (x )=3x 2D .f (x )=3x 3[解析] 依据f (1)=3以及函数的奇偶性确定正确答案.f (1)=2≠3,A 选项错误;f (1)=-3≠3,B 选项错误;f (x )=3x 2是偶函数,C 选项错误;f (1)=3,f (x )=3x 3为奇函数,符合题意.故选D.4.(必修1P 73T11改编)(多选题)函数y =f (x )的图象如图所示,则以下描述正确的是( BD )A .函数f (x )的定义域为[-4,4)B .函数f (x )的值域为[0,+∞)C .此函数在定义域内是增函数D .对于随意的y ∈(5,+∞),都有唯一的自变量x 与之对应[解析] 由图象得此函数定义域为[-4,0]∪[1,4),值域为[0,+∞),在定义域内不具备单调性,当y ∈(5,+∞)时都有唯一的x 与之对应.因此,A 、C 不正确.故选BD.5.(必修1P 67T2改编)由f (u )=u 2,u =2+x 复合而成的复合函数是y =_(2+x )2__.[解析] 利用复合函数的性质干脆求解.由f (u )=u 2,u =2+x 复合而成的复合函数是y =(2+x )2.题组三 走向高考6.(2024·北京卷)函数f (x )=1x +1-x 的定义域是 (-∞,0)∪(0,1] . [解析] 因为f (x )=1x +1-x ,所以x ≠0,1-x ≥0,解得x ∈(-∞,0)∪(0,1].7.(2024·浙江,12,4分)已知a ∈R ,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4,x >2,|x -3|+a ,x ≤2.若f [f (6)]=3,则a = 2 .[解析] 因为6>4=2,所以f (6)=(6)2-4=2,所以f [f (6)]=f (2)=|2-3|+a =1+a =3,解得a =2.。
函数概念与基本初等函数Ⅰ 第六讲 函数与方程课件 高考理科数学复习讲义 考情解读 考点通关

函数与方程
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高考复习讲义
考点全通关 2
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的个数 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的零点个数
Δ>0
有两个不相 等的实数根
有两个 零点
Δ=0
Δ<0
有两个相等 的实数根
无实数根
有一个二重 零点
无零点
函数与方程
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高考复习讲义
考点全通关 3
a>0 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象
函数与方程
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高考复习讲义
考点全通关 8
【通关秘籍】
二分法求函数零点近似值的口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断.
函数与方程
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a<0
函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴的交点个数
Δ>0 有两个交点
续表
Δ=0
Δ<0
有一个交点
无交点
函数与方程
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高考复习讲义
考点全通关 4
4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那 么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根. 【注意】在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
函数与方程
考查内容 函数的零点
考查频次 考查题型
数学(浙江专用)总复习教师用书:第二章 函数概念与基本初等函数 第讲 指数与指数函数

第5讲指数与指数函数最新考纲1。
了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3。
了解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用.知识梳理1。
根式(1)概念:式子错误!叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:(n,a)n=a(a使错误!有意义);当n为奇数时,错误!=a,当n为偶数时,错误!=|a|=错误!2。
分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a错误!=错误!(a>0,m,n∈N *,且n〉1);正数的负分数指数幂的意义是a-错误!=错误!(a〉0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s=a r+s;(a r)s=a rs;(ab)r=a r b r,其中a〉0,b>0,r,s∈Q。
3。
指数函数及其性质(1)概念;函数y=a x(a〉0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变量,函数的定义域是R,a是底数。
(2)指数函数的图象与性质a>10〈a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x〉0时,y〉1;当x〈0时,0<y<1当x〈0时,y〉1;当x〉0时,0<y〈1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数1。
判断正误(在括号内打“√"或“×”)(1)错误!=-4。
( )(2)(-1)错误!=(-1)错误!=错误!。
()(3)函数y=2x-1是指数函数.()(4)函数y=a x2+1(a〉1)的值域是(0,+∞).()解析(1)由于错误!=错误!=4,故(1)错.(2)(-1)错误!=错误!=1,故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y=a x(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴a x2+1≥a。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件

运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ,13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同,并且___对__应__关__系___完全一致,则这
两个函数为相等函数.
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法.
知识点二 分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上,因对函数称为分段函数.分段函数表示的是一个 函数. 2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1.函数的概念
函数
两个集合A,B
设A,B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 对应关系f:A→B 的__任__意____一个数x,在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y= x-1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2.(必修1P67T1改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}, 值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中 函数的值域不是[0,2].
的定义域为x2<x<3,且x≠52 .
浙江专用2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数教学案

第6讲对数与对数函数1.对数概念如果a x=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制:a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇒log a N=x负数和零没有对数1的对数是零:log a1=0 底数的对数是1:log a a=1 对数恒等式:a log a N=N运算性质log a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN=log a M-log a Nlog a M n=n log a M(n∈R)换底公式公式:log a b=log c blog c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:log am b n=nmlog a b;log a b=1log b aa>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y =log a x ,y =log b x ,y =log c x ,y =log d x (a >1,b >1,0<c <1,0<d <1)的图象,如图所示.作出直线y =1,分别与四个图象自左向右交于点A (c ,1),B (d ,1),C (a ,1),D (b ,1),得到底数的大小关系是:b >a >1>d >c >0.根据直线x =1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀:“底大图低”来记忆.4.反函数指数函数y =a x与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN )=log a M +log a N .( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ).( )(3)函数y =log 2x 及y =log 133x 都是对数函数.( )(4)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( ) (5)函数y =ln 1+x1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(6)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a,-1,函数图象只经过第一、四象限.( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)=________. 解析:(log 29)·(log 34)=lg 9lg 2×lg 4lg 3=2lg 3lg 2×2lg 2lg 3=4.答案:42.(必修1P73探究改编)若函数y =f (x )是函数y =2x的反函数,则f (2)=________. 解析:由题意知f (x )=log 2x , 所以f (2)=log 22=1.答案:13.(必修1P71表格改编)函数y =log a (4-x )+1(a >0,且a ≠1)的图象恒过点________. 解析:当4-x =1即x =3时,y =log a 1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1). 答案:(3,1)4.(必修1P82A 组T6改编)已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则a ,b ,c 的大小关系为________.解析:因为0<a <1,b <0,c =log 1213=log 23>1.所以c >a >b .答案:c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误; (2)忽视对底数的讨论致误; (3)忽视对数函数的定义域致误.1.已知a >0,a ≠1,函数y =a x与y =log a (-x )的图象可能是________.(填序号)解析:函数y =log a (-x )的图象与y =log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案:②2.函数y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a =________. 解析:分两种情况讨论:①当a >1时,有log a 4-log a 2=1,解得a =2;②当0<a <1时,有log a 2-log a 4=1,解得a =12.所以a =2或12.答案:2或123.函数y =log 23(2x -1)的定义域是________.解析:由log 23(2x -1)≥0,得0<2x -1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y =log 23(2x -1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算:log 212=______,2log 23+log 43=________.(2)若a =log 43,则2a+2-a=________. 【解析】 (1)log 212=log 22-12=-12;2log 23+log 43=2log 23+12log 23=2log 2(3·312)=3 3.(2)因为a =log 43=log 223=12log 23=log 23,所以2a+2-a=2log 23+2-log 2 3 =3+2log 233=3+33=433. 【答案】 (1)-12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1.计算:2log 510+log 514=________,2log 43=________.解析:2log 510+log 514=log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14=2,因为log 43=12log 23=log 23,所以2log 43=2log 23= 3.答案:2 32.2(lg 2)2+lg 2·lg 5+(lg 2)2-lg 2+1=________. 解析:原式=2(lg 2)2+lg 2·lg 5+(1-lg 2) =2(lg 2)2+2lg 2·lg 5+1-lg 2 =2lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2 =lg 2+1-lg 2=1. 答案:1对数函数的图象及应用(1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )(2)函数y =log a (x +4)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线x m +yn=-1上,且m >0,n >0,则3m +n 的最小值为( )A .13B .16C .11+6 2D .28【解析】 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A ,B ;又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y =log a (x +4)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过A (-3,-1),由点A 在直线x m +y n=-1上可得,-3m+-1n=-1,即3m +1n=1,故3m +n =(3m +n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m +1n =10+3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m +m n ,因为m >0,n >0,所以n m +m n≥2n m ×m n =2(当且仅当n m =mn,即m =n 时取等号), 故3m +n =10+3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m +m n ≥10+3×2=16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >1,c >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <1解析:选D.由对数函数的性质得0<a <1,因为函数y =log a (x +c )的图象在c >0时是由函数y =log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c <1.2.已知函数f (x )=log a (x +b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则log b a =________.解析:f (x )的图象过两点(-1,0)和(0,1).则f (-1)=log a (-1+b )=0且f (0)=log a (0+b )=1, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b -1=1,b =a ,即⎩⎪⎨⎪⎧b =2,a =2.所以log b a =1.答案:1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.主要命题角度有:(1)求对数型函数的定义域; (2)比较对数值的大小; (3)解对数不等式;(4)与对数函数有关的复合函数问题. 角度一 求对数型函数的定义域函数f (x )=log 13(4x -5)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54,+∞B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54,32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54,32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x -5>0,log 13(4x -5)≥0,所以0<4x -5≤1,54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54,32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-f (log 215),b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a <b <cB .b <a <cC .c <b <aD .c <a <b(2)设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >cD .b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得,a =-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215=f (log 25),因为log 25>log 24.1>log 24=2>20.8,且函数f (x )是增函数,所以c <b <a .(2)因为a =log 3π>log 33=1,b =log 23<log 22=1,所以a >b ,又b c =12log 2312log 32=(log 23)2>1,c >0,所以b >c ,故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0.若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >-log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,log 12(-a )>log 2(-a ), 解得a >1或-1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y =lg|x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减(2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为________. 【解析】 (1)因为lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |为偶函数,又函数y =lg|x |在区间(0,+∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y =lg|x |在区间(-∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2). 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式,借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a >1与0<a <1两种情况讨论.②形如log a x >b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解. (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1.(2020·宁波模拟)已知a >0,a ≠1,函数f (x )=log a |ax 2-x |在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1B .a >1 C.18≤a <14 D.15≤a ≤14或a >1 解析:选A.令t =|ax 2-x |,y =log a t ,当a >1时,外函数为递增函数,所以内函数t =|ax 2-x |,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a >13或a ≤18,所以a >1,当0<a <1时,外函数为递减函数,所以内函数t =|ax 2-x |,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a <14,综上所述,16≤a <14或a >1,故选A.2.(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )=lg(2x -4),则方程f (x )=1的解是________,不等式f (x )<0的解集是________.解析:因为f (x )=1,所以lg(2x -4)=1,所以2x -4=10,所以x =7;因为f (x )<0,所以0<2x -4<1,所以2<x <2.5,所以不等式f (x )<0的解集是(2,2.5).答案:7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )=log a (2x -a )(a >0且a ≠1)在区间[12,23]上恒有f (x )>0,则实数a 的取值范围是( )A .(13,1)B .[13,1)C .(23,1)D .[23,1)【解析】 当0<a <1时,函数f (x )在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43-a )>0,即0<43-a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1-a )>0,即1-a >1,解得a <0,此时无解.综上所述,实数a 的取值范围是(13,1).【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.已知函数y =b +ax 2+2x (a ,b 是常数且a >0,a ≠1)在区间[-32,0]上有y max =3,y min =52,试求a ,b 的值.解:令t =x 2+2x =(x +1)2-1, 因为x ∈[-32,0],所以t ∈[-1,0].(1)若a >1,函数f (x )=a t在[-1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b +ax 2+2x ∈[b +1a,b +1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b +1a =52,b +1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =2.(2)若0<a <1,函数f (x )=a t在[-1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b +ax 2+2x ∈[b +1,b +1a],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b +1a =3,b +1=52,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =32.综上,a ,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =32.[基础题组练]1.实数lg 4+2lg 5的值为( ) A .2 B .5 C .10D .20解析:选A.lg 4+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2(lg 2 +lg 5)=2lg (2×5)=2lg 10=2.故选A.2.函数f (x )=ln (x +3)1-2x的定义域是( )A .(-3,0)B .(-3,0]C .(-∞,-3)∪(0,+∞)D .(-∞,-3)∪(-3,0)解析:选A.因为f (x )=ln (x +3)1-2x,所以要使函数f (x )有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x +3>0,1-2x >0,即-3<x <0.3.(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83=p ,log 35=q ,则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A.3p +q5 B.1+3pqp +qC.3pq1+3pqD .p 2+q 2解析:选C.因为log 83=p ,所以lg 3=3p lg 2,又因为log 35=q ,所以lg 5=q lg 3,所以lg 5=3pq lg 2=3pq (1-lg 5),所以lg 5=3pq1+3pq,故选C.4.若函数f (x )=ax -1的图象经过点(4,2),则函数g (x )=log a1x +1的图象是( )解析:选D.由题意可知f (4)=2,即a 3=2,a =32. 所以g (x )=log 321x +1=-log 32(x +1).由于g (0)=0,且g (x )在定义域上是减函数,故排除A ,B ,C.5.(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )=log 12|x -1|,则下列结论正确的是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<f (0)<f (3)B .f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<f (3)C .f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<f (0)D .f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 解析:选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=log 1232,因为-1=log 122<log 1232<log 121=0,所以-1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12<0;f (0)=log 121=0;f (3)=log 122=-1,所以C 正确.6.设函数f (x )=log 12(x 2+1)+83x 2+1,则不等式f (log 2x )+f (log 12x )≥2的解集为( )A .(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2C .[2,+∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞) 解析:选B.因为f (x )的定义域为R ,f (-x )=log 12(x 2+1)+83x 2+1=f (x ),所以f (x )为R 上的偶函数.易知其在区间[0,+∞)上单调递减, 令t =log 2x ,所以log 12x =-t ,则不等式f (log 2x )+f (log 12x )≥2可化为f (t )+f (-t )≥2,即2f (t )≥2,所以f (t )≥1,又因为f (1)=log 122+83+1=1,f (x )在[0,+∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以-1≤t ≤1,即log 2x ∈[-1,1],所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,故选B. 7.(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ,b 满足log 2a =log 5b =lg(a +b ),则1a +1b的值为________.解析:设log 2a =log 5b =lg(a +b )=k , 所以a =2k,b =5k,a +b =10k,所以ab =10k, 所以a +b =ab ,则1a +1b=1.答案:18.设函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值为________.解析:作出y =|log a x |(0<a <1)的大致图象如图,令|log a x |=1. 得x =a 或x =1a,又1-a -⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1=1-a -1-a a =(1-a )(a -1)a<0,故1-a <1a-1,所以n -m 的最小值为1-a =13,a =23.答案:239.(2020·台州模拟)已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________.解析:当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数, 由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-2a )>1, 解得1<a <83,当0<a <1时,f (x )在x ∈[1,2]上是增函数, 由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-a )>1, 且8-2a <0,所以a >4,且a <1,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1,83. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫1,83 10.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |,0<x ≤3,2-log 3x ,x >3,若a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c ),则a +b+c 的取值范围为________.解析:由f (a )=f (b )=f (c ),可知-log 3a =log 3b =2-log 3c ,则ab =1,bc =9,故a =1b ,c =9b ,则a +b +c =b +10b ,又b ∈(1,3),位于函数f (b )=b +10b 的减区间上,所以193<a +b +c <11.答案:⎝⎛⎭⎪⎫193,1111.函数f (x )=log 12(a x-3)(a >0且a ≠1).(1)若a =2,求函数f (x )在(2,+∞)上的值域;(2)若函数f (x )在(-∞,-2)上单调递增,求a 的取值范围.解:(1)令t =a x-3=2x-3,则它在(2,+∞)上是增函数,所以t >22-3=1, 由复合函数的单调性原则可知,f (x )=log 12(2x-3)在(2,+∞)上单调递减,所以f (x )<f (2)=log 121=0,即函数f (x )在(2,+∞)上的值域为(-∞,0).(2)因为函数f (x )在(-∞,-2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t =a x-3在(-∞,-2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,t min >a -2-3≥0,解得0<a ≤33. [综合题组练]1.设x ,y ,z 为正数,且2x =3y =5z,则( ) A .2x <3y <5z B .5z <2x <3y C .3y <5z <2xD .3y <2x <5z解析:选D.设2x =3y =5z=k >1, 所以x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k .因为2x -3y =2log 2k -3log 3k =2log k 2-3log k 3=2log k 3-3log k 2log k 2·log k 3=log k 32-log k 23log k 2·log k 3=log k98log k 2·log k 3>0,所以2x >3y ;因为3y -5z =3log 3k -5log 5k =3log k 3-5log k 5=3log k 5-5log k 3log k 3·log k 5=log k 53-log k 35log k 3·log k 5=log k125243log k 3·log k 5<0,所以3y <5z ;因为2x -5z =2log 2k -5log 5k =2log k 2-5log k 5=2log k 5-5log k 2log k 2·log k 5=log k 52-log k 25log k 2·log k 5=log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z >2x .所以5z >2x >3y ,故选D.2.(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f 1(x )=2log 2(x +1),f 2(x )=log 2(x +2),f 3(x )=log 2x 2,f 4(x )=log 2(2x ),其中“同形”函数是( )A .f 2(x )与f 4(x )B .f 1(x )与f 3(x )C .f 1(x )与f 4(x )D .f 3(x )与f 4(x )解析:选A.f 3(x )=log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合,故排除选项B ,D ;f 4(x )=log 2(2x )=1+log 2x ,将f 2(x )=log 2(x +2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y =log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )=log 2(2x )=1+log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3.(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )=ln(e 2x+1)-mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m =________,若a 2+ab +4b 2≤m ,则ab 的取值范围是________.解析:由题意,f (-x )=ln(e-2x+1)+mx =ln(e 2x +1)-mx ,所以2mx =ln(e 2x+1)-ln(e-2x+1)=2x ,所以m =1,因为a 2+ab +4b 2≤m ,所以4|ab |+ab ≤1,所以-13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,15.答案:1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,15 4.(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递减,若实数a 满足f (log 3a )+f (log 13a )≥2f (1),则a 的取值范围是________.解析:由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则f (-x )=f (x ),即有f (x )=f (|x |), 由实数a 满足f (log 3a )+f (log 13a )≥2f (1),则有f (log 3a )+f (-log 3a )≥2f (1), 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1), 即有f (|log 3a |)≥f (1),由于f (x )在区间[0,+∞)上单调递减, 则|log 3a |≤1,即有-1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3。
【高考数学】一轮总复习:第二章 第6讲 指数、对数运算

方法二:因为 3a=4b=36,两边同时取以 6 为底数的对数,得 alog63=blog64 =log636,即 alog63=2blog62=2, 所以2a=log63,1b=log62, 所以2a+1b=log63+log62=log66=1. 答案:1
[A 级 基础练]
1.若实数 a>0,则下列等式成立的是( )
1
4·(y4)
1
4=2x2|y|=-2x2y.
2.计算:lg4
7
2-lg
2
83+lg
7
5=________.
解析:原式=lg 4+12lg 2-lg 7-23lg 8+lg 7+12lg 5=2lg 2+12(lg 2+lg 5)- 2lg 2=12.
答案:12
指数幂的化简与求值
(自主练透)
1.计算:-32-2+-287-23+(0.002)-12=________.
3.lg 2+lg 5+20+(513)2×3 5=________. 解析:原式=lg 10+1+523×513=32+5=123. 答案:123
指数式与对数式的互化
(师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设 alog34=2,则 4-a=( )
A.116
√B.19
C.18
D.16
(2)(一题多解)已知 a,b,c 是不等于 1 的正数,且 ax=by=cz,1x+1y+1z=0, 则 abc 的值为________. (3)已知 5x=2y=( 10)z,且 x,y,z≠0,则xz+yz的值为________.
②a 的 n 次方根的表示: xn=a⇒xx= =□n5a,±当n an为奇,数当且n为n∈偶N数*,且nn>∈1时N*,时.
(浙江专用)高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性教师用

(某某专用)2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性教师用书1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f x,则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-1f x,则T=2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ×)(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √)(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √)1.(教材改编)下列函数为偶函数的是( )A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案 D解析D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),∴f(x)为偶函数.2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 B解析∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,又f(x+4)=f(x),∴f(8)=f(0)=0.3.(2016·某某教学测试一)已知奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2(x+3),则f(-1)=________.答案-2解析∵f(1)=log2(1+3)=2,又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)=________.答案x(1-x)解析当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),∴f(x)=x(1-x).题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .y =1+x 2B .y =x +1xC .y =2x +12xD .y =x +e x答案 D解析 选项A 中的函数是偶函数;选项B 中的函数是奇函数;选项C 中的函数是偶函数;选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,-x 2+x ,x >0的奇偶性.解 当x >0时,-x <0,f (x )=-x 2+x , ∴f (-x )=(-x )2-x =x 2-x =-(-x 2+x )=-f (x ); 当x <0时,-x >0,f (x )=x 2+x , ∴f (-x )=-(-x )2-x =-x 2-x =-(x 2+x )=-f (x ).∴对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f (-x )=-f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x 的X 围取相应的解析式化简,判断f (x )与f (-x )的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.(1)(2016·海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A .y =1xB .y =lg|x |C .y =(x -1)2D .y =2x(2)(2016·余姚模拟)函数g (x )=2x-12x +1为________函数(填“奇”或“偶”),函数f (x )=22x+1+1的对称中心为________. 答案 (1)B (2)奇 (0,2)解析 (1)选项B 中,函数y =lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |是偶函数.(2)易知函数g (x )=2x-12x +1为奇函数,图象关于原点对称,又f (x )=22x +1+1=-g (x )+2,所以函数f (x )的对称中心为(0,2). 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·某某模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,且g (x )=f (x -1),则f (2 017)+f (2 019)的值为( ) A .-1 B .1 C .0 D .无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,并且f (x +2)=-1f x,当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f (105.5)=______. 答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意,得g (-x )=f (-x -1),又∵f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数, ∴g (-x )=-g (x ),f (-x )=f (x ), ∴f (x -1)=-f (x +1),∴f (x )=-f (x +2),∴f (x )=f (x +4), ∴f (x )的周期为4,∴f (2 017)=f (1),f (2 019)=f (3)=f (-1), 又∵f (1)=f (-1)=g (0)=0, ∴f (2 017)+f (2 019)=0.(2)由已知,可得f (x +4)=f [(x +2)+2] =-1fx +2=-1-1f x=f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)=f (4×27-2.5)=f (-2.5)=f (2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得f (2.5)=2.5. ∴f (105.5)=2.5. 引申探究例2(2)中,若将f (x +2)=-1f x改为f (x +2)=-f (x ),其他条件不变,则f (105.5)=_____.答案 2.5解 f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ), ∴函数的周期为4(下同例题).思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),当-3≤x <-1时,f (x )=-(x+2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=________. 答案 339解析 ∵f (x +6)=f (x ),∴T =6. ∵当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2; 当-1≤x <3时,f (x )=x ,∴f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1, f (6)=f (0)=0,∴f (1)+f (2)+…+f (6)=1,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 015)+f (2 016) =1×2 0166=336.又f (2 017)=f (1)=1,f (2 018)=f (2)=2, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·某某模拟)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f (13)的x 的取值X 围是( )A .(13,23)B .[13,23)C .(12,23)D .[12,23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,则实数a 的取值X 围为( ) A .(-1,4) B .(-2,0)C .(-1,0)D .(-1,2) 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数,所以其图象关于y 轴对称, 又f (x )在[0,+∞)上单调递增,f (2x -1)<f (13),所以|2x -1|<13,所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数, ∴f (5)=f (5-6)=f (-1)=f (1),∵f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,∴2a -3a +1<1,即a -4a +1<0,解得-1<a <4,故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·西城区模拟)函数f (x )=lg(a +21+x )为奇函数,则实数a =________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,则a +3b 的值为________.答案 (1)-1 (2)-10解析 (1)根据题意得,使得函数有意义的条件为a +21+x>0且1+x ≠0,由奇函数的性质可得f (0)=0.所以lg(a +2)=0,即a =-1,经检验a =-1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12且f (-1)=f (1), 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12, 从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,即b =-2a .②由①②,得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便. ①f (x )为偶函数⇔f (x )=f (|x |); ②若奇函数在x =0处有意义,则f (0)=0.(1)若f (x )=ln(e 3x+1)+ax 是偶函数,则a =________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11) 答案 (1)-32(2)D解析 (1)函数f (x )=ln(e 3x+1)+ax 是偶函数,故f (-x )=f (x ),即ln(e-3x+1)-ax =ln(e 3x+1)+ax ,化简得ln 1+e 3xe 3x +e 6x =2ax =ln e 2ax ,即1+e 3xe 3x +e 6x =e 2ax ,整理得e 3x +1=e 2ax +3x (e 3x+1),所以2ax +3x =0,解得a =-32.(2)因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x -4)=-f (x ), 得f (11)=f (3)=-f (-1)=f (1).因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,f (x )在R 上是奇函数, 所以f (x )在区间[-2,2]上是增函数, 所以f (-1)<f (0)<f (1). 所以f (-25)<f (80)<f (11).1.抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到,常常涉及求函数的定义域,由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现,有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象,易失分,应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y =f (x )的定义域是[0,8],则函数g (x )=f x 2-12-log 2x +1的定义域为________.解析 要使函数有意义, 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2-1≤8,x +1>0,2-log 2x +1≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9,x >-1,x ≠3,解得1≤x <3,所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0,f (x +2)=1f x,对任意x ∈R恒成立,则f (2 019)等于( ) A .4 B .3 C .2 D .1 解析 因为f (x )>0,f (x +2)=1f x ,所以f (x +4)=f [(x +2)+2]=1fx +2=11f x=f (x ),即函数f (x )的周期是4,所以f (2 019)=f (505×4-1)=f (-1). 因为函数f (x )为偶函数, 所以f (2 019)=f (-1)=f (1). 当x =-1时,f (-1+2)=1f-1,得f (1)=1f 1. 即f (1)=1,所以f (2 019)=f (1)=1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ).若f (3)=1,且f (a )>f (a -1)+2,某某数a 的取值X 围. 规X 解答解 因为f (xy )=f (x )+f (y ),且f (3)=1, 所以2=2f (3)=f (3)+f (3)=f (9).又f (a )>f (a -1)+2,所以f (a )>f (a -1)+f (9). 再由f (xy )=f (x )+f (y ),可知f (a )>f [9(a -1)], 因为f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,9a -1>0,a >9a -1,解得1<a <98.故所某某数a 的取值X 围是(1,98).1.(2016·某某高三上学期期末)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =ln xB .y =x 3C .y =x 2D .y =sin x 答案 B2.已知f (x )=ax 3+b 3x +4(a ,b ∈R ),f [lg(log 32)]=1,则f [lg(log 23)]的值为( ) A .-1 B .3 C .7 D .8 答案 C解析 设g (x )=ax 3+b 3x ,则g (x )为奇函数, 因为lg(log 32)=lg(1log 23)=-lg(log 23),所以f [lg(log 32)]=g [lg(log 32)]+4=1,g [lg(log 32)]=-3,所以f [lg(log 23)]=g [lg(log 23)]+4=g [-lg(log 32)]+4=-g [lg(log 32)]+4=3+4=7,故选C.3.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(-2,0)时,f (x )=2x 2,则f (2 019)等于( )A .-2B .2C .-98D .98 答案 B解析 由f (x +4)=f (x )知,f (x )是周期为4的周期函数,f (2 019)=f (504×4+3)=f (3), 又f (x +4)=f (x ),∴f (3)=f (-1),由-1∈(-2,0)得f (-1)=2, ∴f (2 019)=2.4.已知f (x )=lg(21-x +a )为奇函数,则使f (x )<0的x 的取值X 围是( )A .(-∞,0)B .(-1,0)C .(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 B解析 由f (x )+f (-x )=0,即lg(21-x +a )+lg(21+x +a )=lg 2+a 2-a 2x21-x 2=lg 1=0,可得a =-1,所以f (x )=lg 1+x 1-x ,解0<1+x1-x<1,可得-1<x <0.5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x 0<x ≤8,log 2x x >8,则f (f (-16))等于( )A .-12B .-32 C.12 D.32答案 C解析 由题意f (-16)=-f (16)=-log 216=-4, 故f (f (-16))=f (-4)=-f (4)=-cos 4π6=12.*6.(2016·某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f (-x )=f (x )且f (x )在(0,+∞)上单调递减.由f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2)可得2|a -1|<2,即|a -1|<12,所以12<a <32.7.(2016·某某高三上学期期末)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +1,x >0,a ,x =0,g 2x ,x <0为奇函数,则a =________,f (g (-2))=________.答案 0 -25解析 ∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0,∴a =0,又g (-2)=f (-1)=-f (1)=-4,∴f (g (-2))=f (-4)=-f (4)=-25.8.(2016·某某模拟)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1+x ),则f (-52)=________. 答案 -32解析 因为f (x )是周期为2的奇函数,所以f (-52)=-f (52)=-f (12)=-[2×12(1+12)]=-32. 9.函数f (x )在R 上为奇函数,且当x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________. 答案 --x -1解析 ∵f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x +1,∴当x <0时,-x >0,f (-x )=-x +1=-f (x ),即x <0时,f (x )=-(-x +1)=--x -1.10.(2016·余姚模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )+f (ln 1t)≤2f (1),那么t 的取值X 围是________. 答案 [1e,e] 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (ln t )=f (ln 1t), 由f (ln t )+f (ln 1t)≤2f (1), 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调递增函数,所以|ln t |≤1,即-1≤ln t ≤1,故1e≤t ≤e. 11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数.(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,某某数a 的取值X 围.解 (1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时,f (x )=x 2+mx =x 2+2x ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a -2>-1,a -2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值X 围是(1,3].12.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x .(1)求f (π)的值;(2)当-4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x +2)=-f (x ),得f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ),∴f (x )是以4为周期的周期函数.∴f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f (x )是奇函数与f (x +2)=-f (x ),得f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)],即f (1+x )=f (1-x ).从而可知函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称.又当0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图象关于原点成中心对称,则f (x )的图象如图所示.设当-4≤x ≤4时,f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×(12×2×1)=4. *13.函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值X 围. 解 (1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0.(2)f (x )为偶函数.证明:令x 1=x 2=-1,则f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=12f (1)=0. 令x 1=-1,x 2=x ,则f (-x )=f (-1)+f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16).又f (x )在(0,+∞)上是增函数,∴0<|x -1|<16,解得-15<x <17且x ≠1,∴x 的取值X 围是{x |-15<x <17且x ≠1}.。
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第6讲 对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式;2.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.知 识 梳 理1.对数的概念如果a x=N (a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质:①a log aN=N ;②log a a b=b (a >0,且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a M N=log a M -log a N ; ③log a M n=n log a M (n ∈R );④log a m M n =n mlog a M (m ,n ∈R ,且m ≠0). (3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a Nlog a b (a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d .3.对数函数及其性质(1)概念:函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象与性质指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2=2log 2x .( )(2)函数y =log 2(x +1)是对数函数( )(3)函数y =ln 1+x1-x 与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(4)当x >1时,若log a x >log b x ,则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2=2log 2|x |,故(1)错.(2)形如y =log a x (a >0,且a ≠1)为对数函数,故(2)错. (4)当x >1时,log a x >log b x ,但a 与b 的大小不确定,故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( ) A.a >1,c >1 B.a >1,0<c <1 C.0<a <1,c >1 D.0<a <1,0<c <1解析 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a <1.又当x =0时,y >0,即log a c >0,所以0<c <1. 答案 D3.(必修1P73T3改编)已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1,b <0,c =log 1213=log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.(2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1,若a 32=278,则a =________;log 32a =________.解析 ∵a >0且a ≠1,∴由a 32=278得a =⎝ ⎛⎭⎪⎫27823=⎝ ⎛⎭⎪⎫322=94;log 32a =log 3294=2.答案 9425.(2015·浙江卷)计算:log 222=________;2log23+log43=________. 解析 log 222=log 22-log 22=12-1=-12; 2log 23+log 43=2log 23·2log 43=3×2log 43=3×2log 23=3 3.答案 -123 36.若log a 34<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是________.解析 当0<a <1时,log a 34<log a a =1,解得0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,解得a >1.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0,34∪(1,+∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)设2a =5b=m ,且1a +1b=2,则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14-lg 25÷100-12=________.解析 (1)由已知,得a =log 2m ,b =log 5m , 则1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. 解得m =10.(2)原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.答案 (1)A (2)-20规律方法 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a b=N ⇔b =log a N (a >0,且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (2+log 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8(2)(2015·安徽卷)lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=________.解析 (1)因为3<2+log 23<4,所以f (2+log 23)=f (3+log 23)=23+log 23=8×2log 23=24. (2)lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.答案 (1)A (2)-1考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y =a |x |(a >0,且a ≠1)的值域为{y |y ≥1},则函数y =log a |x |的图象大致是( )(2)(2017·金华调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y =a |x |的值域为{y |y ≥1}, ∴a >1,则y =log a x 在(0,+∞)上是增函数, 又函数y =log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y =log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图,在同一坐标系中分别作出y =f (x )与y =-x +a 的图象,其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知,当a >1时,直线y =-x +a 与y =log 2x 只有一个交点. 答案 (1)B (2)a >1规律方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1 C.(1,2) D.(2,2)解析 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A 、B ; 又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D.(2)由题意得,当0<a <1时,要使得4x<log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12,即当0<x ≤12时,函数y =4x的图象在函数y =log a x 图象的下方.又当x =12时,412=2,即函数y =4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2代入y =log a x ,得a =22.若函数y =4x的图象在函数y =log a x 图象的下方,则需22<a <1(如图所示). 当a >1时,不符合题意,舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1. 答案 (1)C (2)B考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0,0<c <1,则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b解析 由y =x c与y =c x的单调性知,C 、D 不正确. ∵y =log c x 是减函数,得log c a <log c b ,B 正确.log a c =lg c lg a ,log b c =lg clg b ,∵0<c <1,∴lg c <0.而a >b >0,∴lg a >lg b ,但不能确定lg a ,lg b 的正负,∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二 解对数不等式【例3-2】 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1D.(0,1)∪(1,+∞) 解析 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1, 同时2a >1,∴a >12.综上,a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1. 答案 C命题角度三 对数型函数的性质【例3-3】 已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a ,当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. ∴3-2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0, ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a (3-a )=1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 规律方法 (1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b(2)已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析 (1)a =log 32<log 33=1,b =log 52<log 55=1, 又c =log 23>log 22=1, 所以,c 最大.由1<log 23<log 25,得1log 23>1log 25,即a >b ,所以c >a >b .(2)当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立, 则f (x )min =log a (8-2a )>1, 解之得1<a <83.若0<a <1时,f (x )在[1,2]上是增函数, 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立, 则f (x )min =log a (8-a )>1,且8-2a >0. ∴a >4,且a <4,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1,83. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1,83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,log a b>0;当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,log a b<0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=log a x的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系,当底数a与1的大小关系不确定时,要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα=αlog a M中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为log a Mα=αlog a|M|(α∈N*,且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.。