高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数1 第6讲 对数与对数函数 Word版含答案
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第6讲 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用
.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果a x
＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a
N
＝N ；②log a a b
＝b (a >0，且a ≠1).
(2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R )；
④log a m M n ＝n m
log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2
＝2log 2x .( )
(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数( )
(3)函数y ＝ln 1＋x
1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )
(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a
＝2log 2|x |，故(1)错.
(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即log a c >0，所以0 3.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－ 1 3，b ＝log 213，c ＝log 121 3 ，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >b >a D.c >a >b 解析 ∵0< a <1， b <0， c ＝log 121 3＝log 23>1. ∴c >a >b . 答案 D 4.(2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 3 2＝ 27 8，则a ＝________；log 32 a ＝________. 解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 3 2＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2782 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294 ＝2. 答案 9 4 2 5.(2015·浙江卷)计算：log 2 22 ＝________；2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－1 2 ； 2 log 23＋log 4 3 ＝2log 23·2log 4 3＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3. 答案 －1 2 3 3 6.若log a 3 4 <1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 当01时，log a 3 4 答案 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 0，34 ∪(1，＋∞) 考点一 对数的运算 【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B.10 C.20 D.100 (2)计算：⎝ ⎛⎭ ⎪⎫lg 14－lg 25÷100－ 1 2＝________. 解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1 log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10. (2)原式＝(lg 2－2 －lg 52 )×1001 2＝lg ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案 (1)A (2)－20 规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意