2020马鞍山市高三二模数学试卷(文科)答案

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2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. 0，B. 0，C. 0，1，D. 0，1，2，2.已知复数z满足，，则A. 0B. 1C.D.3.命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A. 乙所得分数的极差为26B. 乙所得分数的中位数为19C. 两人所得分数的众数相同D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数5.已知a，b，，，，，则下列不等关系中正确的是A. B. C. D.6.函数的图象平移后对应的函数为，若为偶函数，则的最小值为A. B. C. D.7.函数的图象大致为A. B.C. D.8.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是若，，则；若，，则；若，，，则；若，，，则；A. 1B. 2C. 3D. 49.已知三内角A，B，C满足且，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，10.若点A为抛物线上一点，F是抛物线的焦点，，点P为直线上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 811.已知三棱锥中，，，，平面平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知函数的定义域为，是的导函数．若，则关于x的不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且，则______．14.已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为______．15.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点到渐近线的距离为______．16.根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.记是等差数列的前n项和，且，．求的通项公式；求数列的前n项和．18.如图，在长方体中，，，P为的中点．证明：平面平面；求多面体的体积．19.已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；若点P的坐标为，斜率为的直线l与椭圆相交于E，异于P点两点．证明：PE，PF的斜率，的和为定值．20.为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．1患感冒人数不患感冒人数合计男生3070100女生4258p合计m n200温差x678910患感冒人数y810142023写出m，n，p的值；判断是否有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱若，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱．附：参考公式：，．，，，．21.已知函数．讨论的单调性；若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，且，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出曲线C和直线l的直角坐标方程；若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求．23.已知a，b为实数，且满足证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：0，1，2，，0，1，，0，1，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：由，得，．故选：A．把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：C解析：解：全称命题的否定是特称命题．命题p：，的否定是：，；故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．4.答案：D解析：解：A、乙所得分数的极差为，故本选项说法正确；B、乙所得分数的中位数为19，故本选项说法正确；C、甲、乙两人所得分数的众数都为22，故本选项说法正确；D、，，则，故本选项说法错误．故选：D．根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．5.答案：D解析：解：，，，，．．故选：D．，，，，，即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：函数的图象平移后对应的函数为，由于为偶函数，所以，解得，当时，，即的最小值为．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：B解析：解：函数的定义域为，，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当，排除C，D，故选：B．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．8.答案：B解析：解：对于，若，，则或，故错误；对于，若，，则或与，故错误；对于，若，，则，又，，故正确；对于，若，，，则，故正确．说法正确的个数是2．故选：B．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：D解析：解：，，可得：，由正弦定理得：，，又，可得：，可得：，由于A，B为锐角，可得．故选：D．由二倍角的余弦函数公式化简已知可得，由正弦定理得：，可求，由已知等式及二倍角公式可得，进而可求，即可得解．本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，，，由抛物线的定义可知，，，代入抛物线方程，得，不妨取点A为，设点F关于的对称点为E，则，．故选：B．先根据抛物线的定义可知，，可求出，代入抛物线方程后可得点A的坐标，设点F关于的对称点为E，则，利用点关于直线的对称性，将问题进行转化，，最后利用两点间距离公式求出线段的长即可得解．本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：取AB的中点D，连接CD，PD，如图所示：因为，，，所以，所以为直角三角形，且，点D是AB的中点，，点D为的外接圆的圆心，又平面平面ABC，且，平面PAB，此三棱锥的外接球的球心在CD上，又为等边三角形，的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的半径，此三棱锥的外接球的表面积为：，故选：B．取AB的中点D，由题意可知点D为的外接圆的圆心，由平面平面ABC得到平面PAB，所以此三棱锥的外接球的球心在CD上，又为等边三角形，所以的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出的外接圆的半径即可解题．本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．12.答案：C解析：解：函数的定义域为，不等式，即．令，，，，函数在上单调递减，，即为：，解得．关于x的不等式的解集为故选：C．函数的定义域为，不等式，即令，，利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：2解析：解：，则，，，故答案是：2．根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．14.答案：解析：解：六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，基本事件总数，数字之和为偶数包含的基本事件个数，则数字之和为偶数的概率．故答案为：．基本事件总数，数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出数字之和为偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：2解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，双曲线方程为：，可得焦点坐标，焦点到渐近线的距离为：．故答案为：2．通过双曲线的渐近线方程，求出m，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16.答案：乙、丁解析：解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选，若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾，若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求，故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁，故答案为：乙、丁．利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出．本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档题．17.答案：解：等差数列的公差设为d，由，，可得，，即，解得，，则；，可得．解析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．18.答案：解：证明：在长方体中，，，P为的中点．，，，，，，，平面，平面平面平面．解：多面体的体积为：．解析：推导出，，从而，，从而平面由此能证明平面平面．多面体的体积为：，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由椭圆的方程可得，，由题意可得中线AP的方程为：，设，联立直线与椭圆可得：，整理可得：，所以，所以，代入直线AP中可得，所以，所以，所以直线PB的斜率为；由题意设直线l的方程，设，，则直线l与椭圆联立，整理可得，，即，，，所以，所以可证的PE，PF的斜率，的和为定值0．解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标，由题意可得中线AP的方程，与椭圆联立求出P的坐标，进而求出直线PB的斜率；设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出，的和，求出为定值．本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：根据表中数据直接可以得出，，；由题中数据直接代入，所以没有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；由题，，所以，则，所以y与x的线性相关性很强．解析：根据表中数据直接可以算出结果；由题中数据直接代入公式，算出结果，进而判断结论；由题算出，代入r公式即可算出结果，进而判断结论．本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题．21.答案：解：由已知，函数的定义域为，，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增．综上，的单调递减区间为，单调递增区间为；恒成立，即等价于恒成立，令，令，则在上恒成立，在上单调递增，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，，，即实数a的取值范围为．解析：求导，判断导函数与0的关系，进而得出单调性情况；问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．直线l与x轴交点记为M，即，转换为参数方程为为参数与曲线C交于P，Q两点，把直线的参数方程代入方程．得到，所以，，则：．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：，当且仅当取等号，且，，，；证明：a，b为实数，且满足．可得：，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为，，因为，所以．所以．解析：根据基本不等式即可证明；利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可．本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．。

2020年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷2(3月份) (含答案解析)

2020年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷2（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|(x −2)(x +1)≥0}，则A ∩∁U B =( )A. (0,2)B. [2,4]C. (−∞,−1)D. (−∞,4]2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z1+i =( )A. −32+32i B. −32+12i C. −12+32i D. 12+32i 3. 若函数f (−x )=x 3+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为( )A. y =5x −3B. y =x −1C. y =5x −5D. y =−x +1 4. 若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=14，则S 8等于( )A. 14B. 28C. 56D. 1125. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6. 已知y =sinx ，在区间[−π,π]上任取一个实数x ，则y ≥−12的概率为( )A. 712 B. 23 C. 13 D. 56 7. 平面上四个点P,A,B,C 满足PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 2B. 23C. 32D. 38. 已知A,B,C 三点都在以O 为球心的球面上，OA,OB,OC 两两垂直，三棱锥O −ABC 的体积为43，则球O 的体积为( )A.16π3B. 16πC.32π3D. 32π9. 抛物线x 2=2py(p >0)的准线交圆x 2+y 2+6y −16=0于点A ，B.若|AB|=8，则抛物线的焦点为( )A. (4,0)B. (0,2)C. (0,6)D. (0,3)10. 已知f(x)={e x+1,x ≤2−log 2(x −1),x >2，且f(x 0)=1，则f(4−x 0)=( )A. −2B. −1C. 0D. 111. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线方程为x +2y =0,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|=5，则|PF 2|= ( )A. 1B. 3C. 1或9D. 3或712. 如图，四棱锥S −ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A. 2+√3B. 3+√3C. 3+2√3D. 2+2√3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{1≤x ≤3−1≤x −y ≤0，则z =y x 的最大值为______ ．14. 从6个运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么有_______种不同的参赛方案(用数字作答)．15. 用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n +2(n ∈N ∗)”时，第一步验证的表达式为__________． 16. 函数f(x)=sin(x +π6)+sin(x −π6)−cosx +3的最小值等于__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AD =1，BD =2√10，∠CAD =π4，tan∠ADC =−2．(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积．18.如图，四边形ABCD为菱形．将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．(1)求证：直线BD⊥平面ACE；(2)若二面角E−BD−C的大小为60°，∠DBF=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,P(−2,0)是它的一个顶点，过点P作圆C2:x2+y2=r2的切线PT,T为切点，且|PT|=√2．(1)求椭圆C1及圆C2的方程；(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A,B两点，求△ABD面积的最大值．20.某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜(以下简称A蔬菜)，购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的A蔬菜没有售完，则批发商将没售完的A蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A蔬菜低价处理完，且当天不再购进).该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天A蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．(1)若某天该蔬菜批发商共购入6袋A蔬菜，有4袋A蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买．现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？(2)若今年A蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商每天都购进A蔬菜5袋或者每天都购进A蔬菜6袋，估计这100天的平均利润，以此作为决策依据，该蔬菜批发商应选择哪一种A蔬菜的进货方案？21.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax −1(a∈R)，当0<a<12时，讨论f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =2+2cos θy =−1+2sin θ(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．23. 已知函数f(x)=|x −a|+12|x +3|．(1)当a =1时，解不等式f(x)≤3;(2)若f(x)≥x +2对于任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集与补集运算，属于基础题．求出集合A与集合B的补集，即可得出A∩∁U B.【解答】解：集合A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4}，B={x|(x−2)(x+1)≥0}={x|x≤−1或x≥2}，则∁U B={x|−1<x<2}．所以A∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2)．故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z，代入z1+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意，z=−1+2i，则z1+i =−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i．故选：D．3.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．利用导数研究曲线上某点切线方程计算得结论．【解答】解：因为函数f(−x)=x3+x2，所以f(x)=−x3+x2，因此f’(x)=−3x2+2x，所以f’(1)=−1，f(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−(x−1)=−x+1．故选D．4.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由等差数列性质得S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为S n，a4+a5=14，∴S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)=56．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，考查读图能力，属于基础题．结合折线图逐项分析即可．【解答】解：由图知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．6.答案：B解析：【分析】本题考查几何概型，考查已知三角函数值求角，属于基础题．求出满足y≥−12的角x的范围，由测度比是面积比得答案．【解答】解：y =sinx ，由y ≥−12，得sinx ≥−12， ∵x ∈[−π,π]，可得x ∈[−π,−5π6]∪[−π6,π]，∴满足y ≥−12的概率为−5π6−(−π)+π−(−π6)2π=23．故选：B ．7.答案：B解析：【分析】本题主要考察向量的加减法运算，属简单题．【解答】∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ=23．故答案为B ．8.答案：C解析：【分析】本题考查简单组合体的结构特征及三棱锥的体积及球的体积公式的应用，基础题设球O 的半径为R ，先求出三棱锥的体积为16R 3，列方程求出球的半径即可．【解答】解：设球O 的半径为R ，则OA =OB =OC =R ，所以三棱锥O −ABC 的体积=13×(12R 2)R =16R 3，由16R 3=43，可得R =2，故球O 的体积为．故选C ．9.答案：C解析：解：抛物线x2=2py(p>0)的准线，：y=−p2，交圆x2+y2+6y−16=0于点A，B．若|AB|=8，可得：|−p2+3|=3，可得p=12，抛物线x2=24y，抛物线的焦点坐标：(0,6)．故选：C．求出抛物线的准线方程，利用直线与圆的关系求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．10.答案：A解析：∵x>2，∴−log2(x−1)<0，∵f(x0)=1>0，∴e x0+1=1，则x0=−1，∴f(4−x0)=f(5)=−log24=−2...11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程.由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|即可．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得1a2=14，∴a=2，由双曲线的定义可得||PF2|−5|=2a=4，∴|PF2|=1或9故选C.12.答案：C解析：【分析】本题考查棱锥的特征、线面平行的判定与性质，根据题意利用线面平行的判定与性质可得四边形CDEF为等腰梯形，进而即可求得结果．【解答】解：因为CD//AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD//平面SAB ，又CD ⊂平面CDEF ，平面SAB ∩平面CDEF =EF ，所以CD//EF ，因为E 是SA 的中点，所以F 为SB 的中点，又四棱锥S −ABCD 的所有的棱长都等于2，所以四边形CDEF 为等腰梯形，且CD =2，EF =1，DE =CF =√3，所以四边形CDEF 的周长为3+2√3．故选C ．13.答案：2解析：解：由约束条件{1≤x ≤3−1≤x −y ≤0作出可行域如图，联立{x =1x −y =−1，解得A(1,2)，k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，利用z =yx 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：240解析：【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题.由题意知，先从甲，乙以外的4名运动员中选1人跑第一棒，再从剩下的5人中选3人跑第二，三，四棒，利用乘法原理可求出结果．【解答】解：第一步，从甲，乙以外的4名运动员中选1人跑第一棒有C 41种选法；第二步，从剩下的5人中选3人跑第二，三，四棒，有A 53种选法；根据乘法原理有C 41A 53=4×5×4×3=240种参赛方案．故答案为240．15.答案：21+1≥12+1+2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n =1时，21+1≥12+1+2．16.答案：1解析：因为f(x)=2sinxcos π6−cosx +3=√3sinx −cosx +3=2sin(x −π6)+3.所以f(x)的最小值为1．17.答案：解：(1)∵tan∠ADC =−2，∴sin∠ADC =2√55，cos∠ADC =−√55． ∴sin∠ACD =sin(∠CAD +∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC +cos∠CADsin∠ADC =√22×(−√55)+√22×2√55=√1010．在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD =CDsin∠CAD ，即√1010=√22，解得CD =√5． (2)∵AD//BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°， ∴sin∠BCD =sin∠ADC =2√55，cos∠BCD =−cos∠ADC =√55．在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CD 2+BC 2−2BC ·CD ·cos∠BCD ，即40=5+BC 2−2BC ，解得BC =7或BC =−5(舍)． ∴S △BCD =12BC ·CD ·sin∠BCD =12×7×√5×2√55=7．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据tan∠ADC =−2计算sin∠ADC ，得出sin∠ACD ，在△ACD 中使用正弦定理求出CD ； (2)根据∠ADC +∠BCD =180°求出sin∠BCD ，cos∠BCD ，在△BCD 中使用余弦定理解出BC ，则S △BCD =12BC ⋅CD ·sin∠BCD ．18.答案：解：(1)连结AC 、BD ，交于点O ，连结EO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴EO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∵EO ∩CO =O ，EO ，CO ⊂平面ACE ， ∴BD ⊥平面ACE;(2)以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则C(0,√3,0)，E(0,√32,32)，A(0,−√3,0)，B(1,0，0)，CE =(0,−√32,32)，BA =(−1,−√3 ，0)，BE =(−1,√32,32)，设平面ABE 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则 n ⃗⃗⃗ ⋅ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −√3y =0， n⃗⃗⃗ ⋅ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√ 32y + 32z =0，取y =1，得 n ⃗⃗⃗ =(−√ 3,1,− √3)，设直线CE 与平面ABE 所成角为θ，则sinθ= | CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗ | | CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅| n ⃗⃗ |=√3√3√7= 2√ 77， ∴直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值为2√77．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题．(1)连结AC 、BD ，交于点O ，连结EO ，推导出EO ⊥BD ，CO ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面ACE; (2)以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)由椭圆的焦点在x 轴上，则a =2，e =ca=√22，则c =√2，b 2=a 2−c 2=2， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 22=1；由已知r =√|PO|2−|PT|2=√2，则圆C 2的方程：x 2+y 2=2；(2)设直线l 1的斜率存在，直线l 1的方程：y =k(x +2)，则{y =k (x +2)x 2+2y 2=4,整理得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−4=0，则x P +x D =−8k 21+2k2，由x P =−2，则x D =2−4k 21+2k 2，则|DP|=√1+k 2|x P −x D |=4√1+k 21+2k2，直线l 2的方程y =−1k (x +2)，即x +ky +2=0，则|AB|=2√2−(√1+k2)2=2√2k 2−21+k 2，则△ABD 面积S △ABD =12×|AB||PD|=12×2√2k 2−21+k 2×4√1+k 21+2k 2 =4√2k 2−22k 2+1=4√2k 2−22k 2−2+3=√2k 2−2+32≤2√3=2√33，当且仅当√2k 2−2=√2k 2−2，即k =±√102时取等号，∴△ABD 面积的最大值2√33．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率求得a 和c ，b 2=a 2−c 2，即可求得椭圆的方程，利用勾股定理即可求得圆C 2的半径，求得圆C 2的方程；(2)设直线l 1的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|DP|，利用点到直线的距离公式及勾股定理即可求得|AB|，则△ABD 面积S △ABD =12×|AB||PD|，利用基本不等式求得△ABD 面积的最大值．20.答案：解：(1)设这6人中花150元/袋的价格购买A 蔬菜的顾客为a ，b ，其余4人为c ，d ，e ，f ，则从6人中任选2人的基本事件为：(a,b )，(a,c )， (a,d )，(a,e )，(a,f )，(b,c )，(b,d )，(b,e )，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共15个，其中至少选中1人是以150元/袋的价格购买的基本事件有：(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)(b,d)，(b,e)，(b,f)，(a,b)，共9个．所以至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率为P=915=35．(2)当购进A蔬菜5袋时，每天所获平均利润为x1=(100×4−50)×0.3+100×5×0.7=455(元)，当购进A蔬菜6袋时，每天所获平均利润为x2=(100×4−50×2)×0.3+(100×5−50)×0.6+100×6×0.1=420(元)．故应该每天购进A蔬菜5袋，所获平均利润更大．解析：本题考查统计问题和古典概型求概率的问题.是中档题．(1)设这6人中花150元/袋的价格购买A蔬菜的顾客为a，b，列出所有的基本事件即可求出至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率；(2)分别求出两种情况：当购进A蔬菜5袋和购进A蔬菜6袋的每天所获平均利润，直接比较即可得出结论．21.答案：解：∵f(x)=lnx−ax+1−ax−1，∴f′(x)=1x −a−1−ax2=x−ax2−(1−a)x2，=−ax2+x−(1−a)x2=[ax−(1−a)](−x+1)x2又∵0<a<12，∴当0<x<1或x>1a−1时，f′(x)<0，当1<x<1a−1时，f′(x)>0，∴当x∈(0,1)，(1a−1,+∞)时，f(x)单调递减；当x∈(1,1a−1)时，f(x)单调递增．解析：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，先求导，解不等式，即可得到函数的单调性．22.答案：解：直线l的普通方程为x−2y−2=0，曲线C的普通方程为(x−2)2+(y+1)2=4，点(2,−1)到直线x−2y−2=0的距离d=√5=√5，所以AB=2√4−45=8√55．解析：本题考查直线的参数方程及圆的参数方程，以及直线与圆位置关系，属于基础题目．将直线与圆的参数方程转化为普通方程，求出圆心到直线的距离，进而求出弦AB的长度．23.答案：解：(1)由f(x)=|x−1|+12|x+3|可得f(x)={−3x2−12,x<−3,−x2+52,−3≤x≤1, 3x2+12,x>1.若f(x)≤3，则{x<−3,−3x2−12≤3或{−3≤x≤1,−x2+52≤3或{x>1,3x2+12≤3,解得−1≤x≤53，所以不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x≤53}．(2)由题知|x−a|≥x+2−12|x+3|恒成立．设g(x)=|x−a|，ℎ(x)=x+2−12|x+3|={32x+72,x<−3,x2+12,x≥−3.作出g(x)，ℎ(x)的图像，如图所示，由图可知a≤−1，即实数a的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查不等式与绝对值不等式．|x+3|，即可求解不等式f(x)≤3;(1)当a=1时，零点分段化简函数f(x)=|x−a|+12(2)根据绝对值的性质，可得x=a或x=−3时取得最小值同时满足，结合f(x)≥x+2对于任意的实数x恒成立，可得实数a的取值范围．。

2020届安徽省马鞍山市高三二模数学(理)试题(解析版)

2020届安徽省马鞍山市高三二模数学（理）试题一、单选题1．已知{|21}x A x =>，2{20}B x x x =+-，则A B =（）A ．{|2}x x >-B ．{|2}x x -C ．{|01}x x <D ．{|01}x x【答案】B【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A B .【详解】解：{}{}210x A x x x =>=>，2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， {|2}A B x x ∴⋃=≥-．故选：B ．【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．已知复数12z =-，则复数2z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求解2z 根据复数的几何意义分析即可.【详解】221122z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭,故复数2z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及几何意义运用,属于基础题.3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（）A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值【答案】A【分析】对A,根据极值点的性质辨析即可. 对B,举出反例判定即可.对C,先求解()f x 的解析式,再求导代入1x =即可. 对D,根据函数的图像性质辨析即可.【详解】对A,根据极值点的性质可知, 若0x 是()f x 的极值点,则()00f x '=.故A 正确.对B, 若()2f x x =,则满足()f x 是偶函数,但()2f x x '=是奇函数.故B 错误.对C ,令2log t x =则2t x =,则()()224tt f t ==,故()4xf x =,故()'4ln 4x f x =,()'14ln 4f =,故C 错误.对D,如()f x x =在区间()0,1上连续不断,但不存在最大值,故D 错误. 故选：A【点睛】本题主要考查了函数性质的综合辨析,属于基础题.4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（） A ．10种 B ．40种 C ．80种 D ．240种【答案】A【分析】分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可.【详解】由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共246C =种. ②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共14C 4=种.共6410+=种. 故选：A【点睛】本题考查了分类求解组合的问题,需要注意6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每家医院所得的箱数.属于基础题.5．已知非零向量a ，b 满足||3||3||a b a b a -=+=，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】根据||3||3||a b a b a -=+=,分别平方再化简,利用数量积的公式求解即可. 【详解】因为||3||3||a b a b a -=+=,平方可得()222222323a a b b a a b b a -⋅+=+⋅+=,由()22223232a a b b a a b b+⋅+=⇒⋅=-,代入22223a a b b a -⋅+=可得a b =.设a 与b 的夹角为θ,代入22a b b ⋅=-有2212cos cos 2b b θθ⋅=-⇒=-. 又[]0,θπ∈,故23πθ=. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的模长与数量积公式等的运用,需要根据题意化简得出模长与夹角等的关系.属于中档题.6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】根据程序框图的循环结构,依次计算输出结果即可. 【详解】开始：0,0,1S T i ===1. 53T ≤判断为“是”,011S =+=, 1011T =+=,112i =+=；2. 53T ≤判断为“是”,123S =+=, 14133T =+=,213i =+=； 3. 53T ≤判断为“是”,336S =+=, 413362T =+=,314i =+=； 4. 53T ≤判断为“是”,6410S =+=, 3182105T =+=,415i =+=； 5. 53T ≤判断为“是”,10515S =+=, 8155153T =+=,516i =+=； 6. 53T ≤判断为“是”,15621S =+=, 51123217T =+=,617i =+=； 7. 53T≤判断为“否”,输出7i =. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据程序框图写出输出结果的问题,属于基础题.7．关于函数21()cos cos 2f x x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④()f x 在区间[,]4ππ上的值域为[-.其中所有正确结论的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】先将21()cos cos 2f x x x x =-利用降幂与辅助角公式化简,再根据三角函数的图像与性质分别判断即可.【详解】211()cos cos cos 22sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭. ①当[,]42x ππ∈时,272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,因为sin y x =在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.故①正确. ②当3x π=-时, 262x ππ+=-.因为2x π=-是sin y x =的对称轴,故②正确. ③当3x π=时, 5266x ππ+=,因为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin y x =的对称中心,故③错误. ④当[,]4x ππ∈时, 2132,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故()sin 2[1,]26f x x π⎛⎫∈⎭-=+ ⎪⎝.故④正确. 综上,①②④正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的降幂与辅助角公式,同时考查了根据三角函数的性质,代入所给条件判断对称轴,对称中心以及单调性和值域等是否成立的问题.属于中档题.8．已知ABC 外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC 周长的最大值为（）A ．2B ．1+C ．3D ．【答案】A【分析】利用正弦定理可得a ,再利用余弦定理结合基本不等式求解b c +的最大值,进而求得周长的最大值即可.【详解】设ABC 外接圆半径为R ,则21R R ππ=⇒=.又sin 0A >,故sin 2A ==.由正弦定理得22sin a R a A =⇒==. 又由余弦定理可得()222222cos 332b c a b c bc A b c bc +⎛⎫=+-⇒+=+≤+ ⎪⎝⎭.即()242b c b c +≤⇒+≤.故ABC 周长2a b c ++≤+,当且仅当1b c ==时取等号. 故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用以及基本不等式求边长之和的最大值问题,属于中档题.9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为（） A ．60︒ B ．90︒C ．120︒D ．无法确定【答案】B【分析】设椭圆的上顶点为()0,4B ,注意到(3,4)A -横坐标与()3,0F -相等,纵坐标与()0,4B 相等.故分析可得P 在上顶点()0,4B 处,即可得PAF ∠大小.【详解】设椭圆的上顶点为()0,4B ,则因为(3,4)A -,()3,0F -.故AF x ⊥轴,AB y ⊥轴.则四边形ABOF 为矩形,故当P 在点B 时满足直线OA 平分线段PF .又设右焦点为N ,因为OA 平分线段FB 与FN ,故BNAO .故当直线OA 平分线段PF 时,P 只能在直线PN 上.又点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方,故当且仅当P 在B 时满足直线OA 平分线段PF . 故90PAF BAF ∠=∠=︒.故选：B【点睛】本题主要考查了的性质运用,需要根据题意画图,分析可得四边形ABOF 为矩形,进而猜测P 为上顶点,再证明求解即可.属于中档题.10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是（）A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形C ．该三棱柱的表面积一定为123+D ．该三棱柱的体积一定为23【答案】D【分析】根据正视图可知底面正三角形的边长定为2,但不一定是正三棱柱,再分析即可. 【详解】注意到该三棱柱不一定为正三棱柱,也可能是斜三棱柱,故仅有体积为定值. 体积为2322234⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了根据正视图分析几何图形性质的问题,注意该几何体不一定是正三棱柱.属于基础题.11．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡，则b 的值可能是（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【分析】根据二项展开式可知203a =,再分析203a =的个位数即可.【详解】由题,()20122332020202020202012222123a C C C C =+⨯+⨯+⨯++⨯=+=,又(mod10)b a ≡,故,a b 的个位数字相同.又201053981a ===个位数字明显为1.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开式的运用,需要观察题中所给的形式判断出展开式的原式,再利用指数函数的计算分析末尾数即可.属于中档题.12．梯形ABCD 中，//AD BC ，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为（） A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π【答案】C【分析】根据梯形中的关系可得ABC ,ACD △均为直角三角形.再分析翻折后球心到平面ABC 的距离,进而求得球的半径与表面积即可.【详解】因为//AD BC ,120DAB ∠=︒,AC BC ⊥,故90CAD ∠=︒,30CAB ∠=︒,且2224,1,23AB BC AD AC AB BC ====-=.设AB 中点M 与CD 中点N ,因为ABC ,ACD △均为直角三角形,故,M N 分别为ABC ,ACD △的外接圆圆心.连接MN 交AC 于Q ,易得11,2MQ QN ==.又翻折后二面角B AC D --的大小为120︒,此时设球心为O ,则易得OM ABC ⊥,ON ADC ⊥.且,,,O M Q N 共面.画出四边形OMQN 平面图,延长,MQ ON 交于P .易得二面角B AC D --即120MQN∠=︒,故30P ∠=︒.故21QP QN ==,所以2MP MQ QP =+=,33OM ==. 故球O 的半径22163R OM AM =+=,故球O 的表面积26443S R ππ==.故选：C【点睛】本题主要考查了平面图形中的计算以及外接球的问题,需要根据题意找到翻折后两个三角形ABC ,ACD △的外接球半径及其交线长,再画图分析球心到ABC 所在的截面的距离求解球的半径.属于难题.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为______．【答案】9. 【解析】分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A （2,3）时取得最大值，故最大值为9.点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图.相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称.如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成.在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠.九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板.已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为______.【答案】10017【分析】根据两个大三角形占总面积的比例约等于34100,再计算两个大三角形的面积进而求得总面积即可.【详解】由题可得两个大三角形的面积为21222⨯=,设九巧板的总面积为S ,则23410010017S S =⇒=. 故答案为：10017【点睛】本题主要考查了几何概型的面积型问题,需要根据题意确定阴影部分面积占总面积的比值即为选取的点中落在阴影部分的比值.属于基础题.15．已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()21e g xf x x b =--（e 为自然对数的底数），若函数()g x 有且只有三个零点，则实数b 的值为______.【答案】23e或1 【分析】由题可得()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点,再求导分析当()y f x =与21e y x b =+的图像相切时的情况,从而得出b 的值.【详解】画出()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像,当21e y x b =+为()f x 的切线时,设切点为()00,P x y .1.当00x ≤时,()x f x e =,故()'x f x e =,故00212xe x e =⇒=-,此时212,P e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入21e y x b =+可得()2221132b b e e e =⋅-+⇒=. 2.当00x >时, ()ln f x x =,()1'f x x=,故202011x e x e =⇒=.此时()2,2P e ,代入21e y x b =+可得22121e b b e=⋅+⇒=. 根据图像可知当23b e =或1b =时均满足()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点.故答案为：23e 或1 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点问题中参数的值.需要根据题意分析临界条件,利用导数的几何意义求解.属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y E a b-=5，过E 的左焦点(5,0)F -作直线l ，直线l 与双曲线E 分别交于点,A B ，与E 的两渐近线分别交于点,C D ，若FA AC =，则||BD =______.【答案】558【分析】根据双曲线的离心率与左焦点(5,0)F -可得双曲线22:1205x yE -=,再根据FA AC =可得A 为,F C 的中点,再设(),A A Ax y ,根据FA AC =可得C 坐标,代入渐近线方程可求得(),A A Ax y 关于A x的表达式,再代入双曲线求得(),A A A x y ,进而求出直线AF 的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得BD .【详解】因为双曲线2222:1x y E a b-=,左焦点(5,0)F -,故5,c =又c a =,故a b ===故22:1205x y E -=.因为FA AC =,故A 为,F C 的中点.设()(),,,A A C C A x y C x y ,因为FA AC =,故()()5,,A A c A c A x y x x y y +=--,解得()25,2A A C x y +.不妨设C 在渐近线12y x =-上,则522A A x y =--,即52,2A A A y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.代入22:14x E y -=则252220A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭--215A y -=,解得118A y =,即2111,48A ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线l 的斜率11011821254k -==--+,故l 的方程：()1152y x =-+. 联立双曲线方程：()2212051152x y y x ⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩2242426090x x ++=即()()4216290x x ++=.设(),B B Bx y ,(),y D D D x 则296Bx=-. 再联立渐近线12y x =,即()121152y x y x ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩5512D x =-.故2955612||1BD =+=-+.55【点睛】本题主要考查了双曲线中的坐标计算以及联立直线与双曲线的以及渐近线的方程求解坐标与弦长的问题,需要根据题意设点的坐标,并根据点在双曲线或渐近线上进行计算求解.主要是计算难度较大,需要用到韦达定理以及弦长公式等进行简化,属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中，11a =，1121n n n a a +=+-，1n n b n a =+，11n n nc a b =-．（1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n =-，2nnb =；（2）222n nn S +=-．【分析】（1）先令1n =，由题设条件求得12b =，再由1121n n n a a +=+-，1n nb n a =+得到12n n b b +=，从而证明数列{}n b 是等比数列，求出n a 与n b ；（2）由（1）求出的结果求出nc ，再利用错位相减法求出n S ．【详解】解：（1）证明：11a =，1n nb n a =+，12b ∴=， 1n n b n a =+，1121n n n a a +=+-，11121122()2n n n n nb n n n b a a a ++∴=++=+=+=， ∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴12n n n b n a =+=，12n n a n=-；（2）解：由（1）知112n n n n nc a b =-=， 2112()222n n nS ∴=+⨯+⋯+①，21111()2222n n n n nS +-=+⋯++②， ∴由①-②得2311111[1()]111111122()()()1()1(1)()12222222222212n n n n n n n n n n n n S +++-=+++⋯+-=-=--=-+-，222n n n S +∴=-．【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式的求法及错位相减法求和，属于中档题．18．如图，多面体ABCED 中，面ABD ⊥面ABC ，面BCE ⊥面ABC ，//DE 面ABC ，23AB =，BE CE =，2AD BD BC ===.（1）求BEC ∠的大小；（2）若2DE =，求二面角B DE C --的余弦值. 【答案】(1) 90BEC ∠=︒；(2)17【分析】(1)取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN ,再证明矩形DMNE ,进而得到1EN =,从而得到BEC △为等腰直角三角形即可.(2) 作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ ,即可证明BPQ ∠为二面角B DEC --的平面角,再分别计算BPQ 三边的长度,利用余弦定理求解cos BPQ∠即可.【详解】(1) 取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN .因为AD BD =,故DM AB ⊥.又面ABD ⊥面ABC ,且交于AB .DM ⊂面ABD ,故DM ⊥面ABC .同理EN ⊥面ABC .故DMEN .故,,,D M N E 共面.又//DE 面ABC ,面DMEN ⋂面ABC 于MN .故DE MN .故四边形DMEN 为平行四边形.故 221EN DM DB MB ==-=.又BE CE =,2BC =.112BN NC BC ===,故BCE 为等腰直角三角形.故90BEC ∠=︒(2)作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ . 因为,M N 分别为,AB AC 中点,故MNAC ,又MN DE ,故AC DE .故BQ DE ⊥.又BP BQ B ⋂=,故DE ⊥面BPQ . 故BPQ ∠为二面角B DE C --的平面角.又由(1),122AC MN DE ===,故4AC =.又222AC AB BC =+,故90ABC ∠=︒. 故3AB BCBQ AC⋅==. 在DBE 中,利用等面积法有22111222DE BP BE DE BE ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭,解得7BP =. 故2212EP BE BP =-=.221CQ BC BQ =-=.故()227PQ EC QC PE =--=. 故2221cos 27PB PQ BQ BPQ PB PQ +-∠==⋅. 即二面角B DE C --的余弦值为17. 【点睛】本题主要考查了线面与线线平行和垂直的性质与判定,同时也考查了立体几何中的线段长度角度等的计算.计算二面角时需要根据题意找到线面垂直从而得到二面角的平面角,再根据平面几何的计算求解对应的长度进行求解.属于难题.19．已知F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，以F 为圆心作半径为R 的圆Γ，圆Γ与x 轴的负半轴交于点A ，与抛物线E 分别交于点,B C .（1）若ABC 为直角三角形，求半径R 的值；（2）判断直线AB 与抛物线E 的位置关系，并给出证明. 【答案】(1) R p =；(2) 直线AB 与抛物线E 相切. 【分析】(1)由对称性可知, ABC 为等腰直角三角形,且BC x ⊥轴, BC 为直径,再根据B 的横坐标为2p,代入抛物线2:2(0)E y px p =>的方程求解纵坐标即可得半径R. (2)画图观察可知AB 与抛物线E 相切,再设2,,02a B a a p ⎛⎫>⎪⎝⎭,根据圆的半径相等求得点A 坐标.再根据导数的几何意义求解抛物线E 在B 处的切线斜率k ,进而证明k 与直线AB 的斜率相等即可.【详解】(1)由抛物线与圆的对称性可知, 点,B C 关于x 轴对称,故BAC ∠为直角.故ABC 为等腰直角三角形, 且BC x ⊥轴,BC 为直径.故B 的横坐标为2p,代入22y px =可得y p =±.故R p =.(2)不妨设2,,02a B a a p ⎛⎫>⎪⎝⎭.则根据抛物线的定义以及圆的半径相等有2+22a pFA FB p ==,故A 的横坐标为22+2222p a p a p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即2,02a A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线AB 的斜率为22022a pa aa p p -=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 又抛物线2:2(0)E y px p =>的上半部分为函数2y px =,故'2py x=,故在B 处切线的斜率为222pk a p a p==⨯.故直线AB 为在B 处切线. 故直线AB 与抛物线E 相切.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系,需要先画出图像分析位置关系为相切,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.20．随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：平均每周健身天数不大于23或4不少于5人数（男）20359人数（女）10206若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.【答案】(1)2235；(2) 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系;(3) 采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.【分析】(1)根据统计图与统计表分别求得金牌会员与健身达人的人数,再根据组合的方法求解从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率即可.(2)根据图表分别求得非健身达人与健身达人中男女的人数,再计算2K 分析即可. (3)先求得普通会员、银牌会员与金牌会员的人数,再分别计算方案一和方案二中的支出.方案一计算分层抽样的各层次人数计算总支出,方案二中先计算一次摸奖的奖励数学期望,再分析所有的总奖励数学期望,再比较方案一、二的支出即可.【详解】(1)由题意得,健身达人共9615+=人,金牌会员人数有8412+=人.又金牌会员都是健身达人,故从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率为2122152235C C =. (2)由图表可知,非健身达人男性有：203555+=人,健身达人男性有：9人；非健身达人女性有：102030+=人,健身达人女性有：6人. 列出列联表有：故()221005563090.123 3.84185156436K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系. (3)由图,普通会员有62228+=人,银牌会员有253560+=人,金牌会员有8412+=人.方案一：抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有28257100⨯=,602515100⨯=,12253100⨯=人.故共支出71881528838888300⨯+⨯+⨯=元.方案二：摸一次奖获得奖励的数学期望为21323332322081002005555C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故总支出的数学期望为208208208286021237654.48300555⨯+⨯⨯+⨯⨯=<. 故采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.【点睛】本题主要考查了利用组合求解概率以及独立性检验的问题,同时也考查了计算数学期望分析实际应用的问题,属于中档题. 21．已知函数()(0)x x f x ae e x a -=-+>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1212()()01f x f x x x -<<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求导可得2111()[()]24xx f x e a e '=--+-，再分14a 及104a <<讨论导函数与0的关系，即可得出单调性情况；（2）由（1）知，104a <<，且12121,x x x xe e e e a +=⋅=，通过化简可得所证不等式等价于2121102x x e e x x -<<-，不等式的左边显然成立，而右边等价于证明1122lna ln-<-，构造函数111()ln ln224a a a ϕ-=+<<，通过求导后研究其最值，即可得出结论．【详解】解：（1）函数定义域为R ，2111()[()]24xx f x e a e '=--+-，当104a -，即14a 时，()0f x '，则函数()f x 在R 上单调递减，当104a -<，即14a <时，由()0f x '=，得x e =x e =，又0a >0>，从而()0f x '=的解为34x x ==，且(x ∈-∞，34)(x x ⋃，)+∞时，()0f x '<，当3(x x ∈，4)x 时，()0f x '>；综上，当104a <<时，函数()f x 在3(,)x -∞，4(x ，)+∞上单调递减，在3(x ，4)x 上单调递增；当14a时，函数()f x 在R 上单调递减；（2）证明：由（1）可知，104a <<，且12121,x x x xe e e e a +=⋅=， ∴211122211212121212121221(1)()()()()()()·12x x x x x x x x x x a e e x x f x f x aee x aee x e e e e x x x x x x x x --+-+---+--+-===-----，∴要证1212()()01f x f x x x -<<-，即证2121102x x e e x x -<<-，不妨设12x x <，则12x x e e <，所以21210x x e ex x ->-；又由（1）知，1x e =，所以212112x x e e x x -<-，即为11121ln 22x e a x -<-，即为11112ln 2x e a x -<-11ln ln 22a <-，令111()ln ln 224a a a ϕ=+<<，则11()(022 aaϕ'=-+=+>，ϕ∴（a）在1(0,)4上单调递增，∴1()()04aϕϕ<=11ln ln22a<-，∴212112x xe ex x-<<-成立，从而1212()()01f x f xx x-<<-得证．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查转化思想及降元思想，考查推理能力及运算运算求解能力，属于较难题目．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2244(42x tt ty tt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，且0)t>，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3sin10ρθρθ--=．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求11PM QM+．【答案】（1）:C24y x=,:l310--=x y；（2）1．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）曲线C的参数方程为2244(42x tt ty tt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，且0)t>，转换为直角坐标方程为24y x=．直线l的极坐标方程为cos3sin10ρθρθ--=，转换为直角坐标方程为310--=x y．（2）直线l与x轴交点记为M，即(1,0)，转换为参数方程为1(xty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）与曲线C交于P，Q两点，第 21 页共 21 页把直线的参数方程代入方程24y x =．得到24010t -=，所以12t t +=，1240t t =-，则：1212111t t PM QM t t -+===．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23．已知a b ，为实数，且满足223412a b +≤.证明：（1）ab ≤（2）24a b +≤.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】(1)利用基本不等式证明即可.(2)利用三角换元证明即可.【详解】(1)因为221234a b ≥+≥=,故12ab ≤⇒≤(2)由题,当223412a b +=,即22143a b +=时,设2cos ,a b θθ==.故22cos 4sin 46a b πθθθ⎛⎫+≤+=+≤ ⎪⎝⎭. 即24a b +≤,当且仅当3πθ=即31,2a b ==时取等号. 【点睛】本题主要考查了基本不等式以及三角换元证明不等式的问题,属于中档题.。

安徽省马鞍山市2020届高三毕业班第二次教学质量监测(二模)数学(理)试题

2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B = A ．{|2}x x >- B ．{|2}x x ≥- C ．{|01}x x <≤ D ．{|01}x x ≤≤ 2．已知复数132z =-，则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是 A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '= B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有 A ．10种 B ．40种C ．80种D ．240种5．已知非零向量a ，b 满足||3||3||a b a b a -=+=，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．关于函数21()cos 3cos 2f x x x x =+-，有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④ ()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[-．其中正确结论的个数有开始结束0,0,1S T i ===S S i =+1T T S=+1i i =+i输出是否53T ≤？第6题图A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知ABC △外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC △周长的最大值为A．2B．1+C ．3 D．9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．无法确定 10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形 C．该三棱柱的表面积一定为12+ D．该三棱柱的体积一定为11．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡，则b 的值可能是 A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．202112．梯形ABCD 中，AD BC ∥，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC △沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为．14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图．相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称．如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成．在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠．九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板．已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为．15．已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()21e g xf x x b =--（e 为自然对数的底数），若函数()g x 有且只有三个零点，则实数b 的值为．16．已知双曲线2222:1x y E a b -=，过E 的左焦点(5,0)F -作直线l ，直线l 与双曲线E 分别交于点,A B ，与E 的两渐近线分别交于点,C D ，若FA AC =，则||BD = ．三、解答题：共70分。

2020届安徽省马鞍山市高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题(解析版)

利用积化和差得到 cos A B cos C sin C ，然后下结论.
【详解】因为 cos 2A cos 2B 1 cos 2C ，
所以 2cos A B cos A B 2cos2 C ，即 cos A B cosC ，
又因为 2sin Asin B sin C ，
所以其否定为特称命题，
故为 p : x0 0, ex0 1 .
故选：C 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）
A. 乙所得分数的极差为 26 B. 乙所得分数的中位数为 19 C. 两人所得分数的众数相同 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D 【解析】【分析】根据茎叶图分析判断. 【详解】A. 由茎叶图知乙所得分数的极差为 26，故正确. B. 由茎叶图知乙所得分数的中位数为 19，故正确. C. 由茎叶图知两人所得分数的众数都是 22，故正确.
3.命题 p : x 0, e x 1 ，则命题 p 的否定是（）
A. p : x 0, e x 1
B. p : x 0, e x 1
C. p : x0 0, ex0 1
D. p : x0 0, ex0 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题求解.
【详解】因为命题 p : x 0, e x 1 是全称命题，
a
bi,(a,b R)
，化简为
1 2
1 2
i
a
bi
，再利用复数相等求解.
【详解】因为 1 a bi,(a, b R) ， 1 i
所以 1 1 i a bi ， 22

2020届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)

解析】根据梯形中的关系可得VABC,VACD均为直角三角形 .再分析翻折后球心到平面ABC的距离,进而求得球的半径与表面积即可.
【详解】
因为
AB 2BC 4,AD 1,AC AB
设AB中点M与CD中点N,因为VABC,VACD均为直角三角形 ,故M,N分别为1
VABC
【解析】对A,根据极值点的性质辨析即可.
对B,举出反例判定即可.
对C,先求解f x的解析式 ,再求导代入x1即可.
对D,根据函数的图像性质辨析即可.
【详解】
对A,根据极值点的性质可知 ,若x0是f x的极值点 ,则f x00.故A正确.
2
对B,若f x x2,则满足f x是偶函数,但f x 2x是奇函数 .故B错误.
10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是(
C．该三棱柱的表面积一定为12 2 3D．该三棱柱的体积一定为2 3【答案】D
【解析】根据正视图可知底面正三角形的边长定为2,但不一定是正三棱柱 ,再分析即可
【详解】
注意到该三棱柱不一定为正三棱柱 ,也可能是斜三棱柱 ,故仅有体积为定值.
B．
6
3
2
5
C．
D．
3
6
【答案】
C
【解析】
根据|ar
rr
b|3 |arb|
3|ar|,分别平方再化简
,利用数量积的公式求解即可
0,
故选：C
点睛】
本题主要考查了平面向量的模长与数量积公式等的运用,需要根据题意化简得出模长与
夹角等的关系 .属于中档题.
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A．4B．5
t
对

2020年马鞍山市二模文科数学试卷

19．（12 分）已知椭圆 E : x2 y2 1 ，点 A ，B 分别是椭圆的左，右顶点， P 是椭圆上一点. 42 （1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（ 2，1），斜率为 2 的直线 l 与椭圆相交于 E，F （异于 P 点）两点.证明： 2
8．已知 m ， n 为两条不同直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（▲）
①若 m / / ， / / ，则 m / / ；
②若 m / / ， m / / ，则 / / ；
③若 m ， n ， / / ，则 m / /n ； ④若 m ， n ，，则 m n ；
2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在
答题卡 “条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
A． 1
B． 2
C．3
D．4
9．已知 △ABC 三内角 A, B,C 满足 cos 2 A cos 2B 1 cos 2C 且 2sin A sin B sin C ，则下列结论正确 A B,C 2
C． A B,C 2
D． A B,C 2
10．若点 A 为抛物线 y2 4x 上一点, F 是抛物线的焦点， |AF | 6 ，点 P 为直线 x 1 上的动点，则
| PA | | PF | 的最小值为（▲）
A． 2 13
B． 2 21
C． 2+2 14
D．8

安徽省马鞍山市普通高中2020届高三下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题及答案

绝密★启用前安徽省马鞍山市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题2020年5月本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知{|21}x A x =>,2{|20}B x x x =+-≤,则A B =UA ．{|2}x x >-B ．{|2}x x ≥-C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤2．已知复数12z =-,则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ,则下列命题中,正确的是A ．若0x 是()f x 的极值点,则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数,则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =,则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断,则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒,社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩,现需将这6箱口罩分配给4家医院,每家医院至少1箱,则不同的分法共有 A ．10种 B ．40种C ．80种D ．240种5．已知非零向量a r ,b r满足||||a b a b a -=+=r r r r r,则a r 与b r的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A ．4B ．5C ．6D ．77．关于函数21()cos cos 2f x x x x =-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④ ()f x 在区间[,]4ππ上的值域为[-．其中所有正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π,1cos 2A =-,则ABC △周长的最大值为A．2B．1+C ．3D．9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点,O 为坐标原点,点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方,点(3,4)A -,若直线OA 平分线段PF ,则PAF ∠的大小为第6题图。

安徽省马鞍山市2020届高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题含答案

．
15．已知双曲线 mx2+y2＝1 的一条渐近线方程为 y x，则其焦点到渐近线的距离为
．
16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工
作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉
的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）﹣ax+1≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
（2）求多面体 PA1BDD1 的体积．
19．已知椭圆 E：鏈 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点．
（1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（，1），斜率为的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点）两点．证明：PE，PF 的斜率 k1，k2 的和为定值． 20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表 2 所示．表1
患感冒人数不患感冒人数合计
男生
30
70
100
女生
42
58
p
合计
m
表2
n
200
温差 x
6
7
8
9
10
患感冒人数 y
8
10
14
20
23

安徽省马鞍山市2020届高三第二次教学质量检测(数学理)doc高中数学 (1)

安徽省马鞍山市2020届高三第二次教学质量检测（数学理）doc 高中数学 (1)数学试题(理科)本试卷分为第I 卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，总分值150分，考试用时120分钟．考生本卷须知：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地点填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中‘‘座位号、姓名、科类〞与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．3．答第二卷时，必须用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效4．考试终止，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．假设复数12a i z i +=-〔,a R ∈i 是虚数单位〕是纯虚数，那么|2|a i +等于A ．2B ．22C ．4D ．82．假设集合{|1|}S x x =-≥，集合2{|log (21)}T x y x ==-，那么A ．S T =B ．S T =∅C ．S TD ．(,)e +∞3．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是 A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞4．给定以下四个命题：①假如一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②假如一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③假如一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面； ④假如两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④5．如右图，是一程序框图，那么输出结果为A ．49B ．511C ．712D ．613 6．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=和抛物线22(0)y px p =>的离心率分不为1e 、2e 、3e ，那么A ．123e e e >B ．123e e e =C ．123e e e <D ．123e e e ≥ 7．定义运算a b ⊕=()()a ab b a b ≤⎧⎨>⎩，那么函数()12x f x =⊕的图像是8．30(1)x t dt -⎰的展开式中x 的系数是 A ．1-B ．1C ．4-D ．4 9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设213213(...)n n S a a a -=+++，1238a a a =，那么10a 等于A ．-512B ．1024C ．-1024D ．51210．α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，那么21b a --的取值范畴是 A ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷〔非选择题，共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。

安徽省马鞍山市2020年高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题(解析版)

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．已知复数z满足11+i=a+bi，（a，b∈R），则a+b＝（）A．0B．1C．﹣1D．√23．命题p：∀x＞0，e x＞1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，e x≤1B．∀x≤0，e x≤1C．∃x0＞0，e x0≤1D．∃x0≤0，e x0≤14．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．乙所得分数的极差为26B．乙所得分数的中位数为19C．两人所得分数的众数相同D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数5．已知a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），若g（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π67．函数f（x）=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（）①若m∥α，α∥β，则m∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；A．1B．2C．3D．49．已知△ABC三内角A，B，C满足cos2A+cos2B＝1+cos2C且2sin A sin B＝sin C，则下列结论正确的是（）A．A＝B，C≠π2B．A≠B，C=π2C．A≠B，C≠π2D．A＝B，C=π210．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝6，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．2√13B．2√21C．2+2√14D．811．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝1，PB=√3，CA＝CB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．25π3B．16π3C．7π3D．5π312．已知函数f（x）的定义域为（−π2，π2），f'（x）是f（x）的导函数．若f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（）A．（−π2，π4）B．（−π4，π4）C．（π4，π2）D．（−π2，−π4）∪（π4，π2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（2，﹣1），b→=（1，t），且|a→+b→|＝|a→−b→|，则t＝．14．已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为．15．已知双曲线mx2+y2＝1的一条渐近线方程为y=12x，则其焦点到渐近线的距离为．16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．记S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n+1}的前n项和T n．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．（1）证明：平面PA1D⊥平面ABC1；（2）求多面体PA1BDD1的体积．19．已知椭圆E：x24+y22=1，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．（1）若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；（2）若点P的坐标为（√2，1），斜率为√22的直线l与椭圆相交于E，F（异于P点）两点．证明：PE，PF的斜率k1，k2的和为定值．20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．表1患感冒人数不患感冒人数合计男生3070100女生4258p合计m n200表2温差x678910患感冒人数y810142023（1）写出m，n，p的值；（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）．附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.250.150.100.0500.0250.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i−x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝10，∑5i=1（y i−y）2＝164，√410≈20.2485．21．已知函数f（x）＝x2lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣ax+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=t2+4t2−4y=2t−4t（t为参数，且t＞0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣3ρsinθ﹣1＝0．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求1|PM|+1|QM|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b为实数，且满足3a2+4b2≤12．证明：（1）ab≤√3；（2）a+2b≤4．参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足11+i=a+bi，（a，b∈R），则a+b＝（）A．0B．1C．﹣1D．√2【分析】把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解．解：由11+i=a+bi，得1＝（a+bi）（1+i）＝（a﹣b）+（a+b）i，∴a+b＝0．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．命题p：∀x＞0，e x＞1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，e x≤1B．∀x≤0，e x≤1C．∃x0＞0，e x0≤1D．∃x0≤0，e x0≤1【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：∵全称命题的否定是特称命题．∴命题p：∀x＞0，e x＞1的否定是：∃x0＞0，e x0≤1；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．乙所得分数的极差为26B．乙所得分数的中位数为19C．两人所得分数的众数相同D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．解：A、乙所得分数的极差为33﹣7＝26，故本选项说法正确；B、乙所得分数的中位数为19，故本选项说法正确；C、甲、乙两人所得分数的众数都为22，故本选项说法正确；D、甲=10+15+16+21+22+22+23+32+349=1739，乙=7+11+12+16+19+20+22+22+339=1629，则甲＞乙，故本选项说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．5．已知a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】3a＝2，4b＝5，5c＝4，a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1，即可得出a，b，c的大小关系．解：∵3a＝2，4b＝5，5c＝4，∴a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1．∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），若g（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．【解答】函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），由于g （x ）为偶函数，所以π6+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ＝k π+π3，当k ＝0时，φ=π3，即|φ|的最小值为π3．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．函数f （x ）=e x −e −xx 2的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．解：函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）=e −x −e xx 2=−f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，当x →+∞，f （x ）→+∞排除C ，D ，故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．8．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（）①若m∥α，α∥β，则m∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；A．1B．2C．3D．4【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．解：对于①，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故①错误；对于②，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β，故②错误；对于③，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故③正确；对于④，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故④正确．∴说法正确的个数是2．故选：B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知△ABC三内角A，B，C满足cos2A+cos2B＝1+cos2C且2sin A sin B＝sin C，则下列结论正确的是（）A．A＝B，C≠π2B．A≠B，C=π2C．A≠B，C≠π2D．A＝B，C=π2【分析】由二倍角的余弦函数公式化简已知可得sin2A+sin2B＝sin2C，由正弦定理得：a2+b2＝c2，可求C=π2，由已知等式及二倍角公式可得sin2A＝sin2B＝1，进而可求A＝B，即可得解．解：∵cos2A+cos2B＝1+cos2C，∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B＝1+1﹣2sin2C，可得：sin2A+sin2B＝sin2C，∴由正弦定理得：a2+b2＝c2，∴C=π2，又∵sin C＝2sin A sin B，可得：2sin A sin B＝2sin B cos B＝2sin A cos A＝1，可得：sin2A＝sin2B＝1，由于A，B为锐角，可得A＝B=π4．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝6，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．2√13B．2√21C．2+2√14D．8【分析】先根据抛物线的定义可知，|AF|=x A+p2，可求出x A，代入抛物线方程后可得点A的坐标，设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），利用点关于直线的对称性，将问题进行转化，|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|，最后利用两点间距离公式求出线段|AE|的长即可得解．解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，|AF|=x A+p2=x A+1=6，∴x A＝5，代入抛物线方程，得y A2=20，不妨取点A为（5，2√5），设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|=√(5+3)2+(2√5)2=2√21．故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于基础题．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝1，PB=√3，CA＝CB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．25π3B．16π3C．7π3D．5π3【分析】取AB的中点D，由题意可知点D为△PAB的外接圆的圆心，由平面PAB⊥平面ABC得到CD⊥平面PAB，所以此三棱锥的外接球的球心在CD上，又△ABC为等边三角形，所以△ABC的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径即可解题．解：取AB的中点D，连接CD，PD，如图所示：因为PA＝1，PB=√3，AB＝2，所以AB2＝PA2+PB2，所以△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，∵点D是AB的中点，∴DA＝DB＝DP，∴点D为△PAB的外接圆的圆心，又∵平面PAB⊥平面ABC，且CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，∴此三棱锥的外接球的球心在CD上，又∵△ABC为等边三角形，∴△ABC的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，△ABC的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，∴三棱锥的外接球的半径R=1232=2√33，∴此三棱锥的外接球的表面积为：4πR2＝4π×(2√33)2=16π3，故选：B．【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．12．已知函数f（x）的定义域为（−π2，π2），f'（x）是f（x）的导函数．若f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（）A．（−π2，π4）B．（−π4，π4）C．（π4，π2）D．（−π2，−π4）∪（π4，π2）【分析】函数f（x）的定义域为（−π2，π2），不等式f（x）＜√2f（π4）cos x，即f(x)cosx＜f(π4)cosπ4．令g（x）=f(x)cosx，x∈（−π2，π2），利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集．解：函数f（x）的定义域为（−π2，π2），不等式f（x）＜√2f（π4）cos x，即f(x)cosx＜f(π4)cosπ4．令g（x）=f(x)cosx，x∈（−π2，π2），∵f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，∴g′（x）=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x＜0，∴函数g（x）在x∈（−π2，π2）上单调递减，∴f(x)cosx ＜f(π4)cosπ4，即为：g（x）＜g（π4），解得π4＜x＜π2．∴关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（π4，π2）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（2，﹣1），b→=（1，t），且|a→+b→|＝|a→−b→|，则t＝2．【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．解：∵|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→⊥b→，∴a →•b →=2×1﹣1×t ＝0，∴t ＝2，故答案是：2．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．14．已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为25．【分析】基本事件总数n =C 62=15，数字之和为偶数包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，由此能求出数字之和为偶数的概率．解：六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，基本事件总数n =C 62=15，数字之和为偶数包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，则数字之和为偶数的概率p =m n =615=25．故答案为：25．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知双曲线mx 2+y 2＝1的一条渐近线方程为y =12x ，则其焦点到渐近线的距离为 2 ．【分析】通过双曲线的渐近线方程，求出m ，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化求解即可．解：双曲线mx 2+y 2＝1的一条渐近线方程为y =12x ，可得√−m =12，解得m =−14，双曲线方程为：y 2−x 24=1，可得焦点坐标（0，±√5），焦点到渐近线的距离为：√5√1+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁．【分析】利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出．解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选，若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾，若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求，故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁，故答案为：乙、丁．【点评】本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．记S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n+1}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，由a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7，可得3a1+d＝11，2a1+4d＝a1+2d+7，即a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），可得T n=12（13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3）=12（13−12n+3）=n6n+9．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．（1）证明：平面PA1D⊥平面ABC1；（2）求多面体PA1BDD1的体积．【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，BC1⊥AB，从而BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，从而BC1⊥平面PA1D由此能证明平面PA1D⊥平面ABC1．（2）多面体PA1BDD1的体积为：V=V D−A1PB +V P−A1DD1=13×12×A1P×AA1×AD+13×12×A1D1×DD1×A1P，由此能求出结果．解：（1）证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．∴BC1⊥B1C，BC1⊥AB，∵B1C∥A1D，AB∥A1P，∴BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，∵A1D∩A1P＝A1，∴BC1⊥平面PA1D，∵BC1⊂平面ABC1．∴平面PA1D⊥平面ABC1．（2）解：多面体PA1BDD1的体积为：V=V D−A1PB +V P−A1DD1=13×12×A1P×AA1×AD+13×12×A1D1×DD1×A1P =13×12×1×1×1+13×12×1×1×1=13．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19．已知椭圆E：x24+y22=1，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．（1）若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；（2）若点P的坐标为（√2，1），斜率为√22的直线l与椭圆相交于E，F（异于P点）两点．证明：PE，PF的斜率k1，k2的和为定值．【分析】（1）由椭圆的方程可得A，B的坐标，由题意可得中线AP的方程，与椭圆联立求出P的坐标，进而求出直线PB的斜率；（2）设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出k1，k2的和，求出为定值．解：（1）由椭圆的方程可得A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得中线AP的方程为：y＝2（x+2），设P（m，n），联立直线与椭圆可得：{y=2(x+2)x24+y22=1，整理可得：9x2+32x+28＝0，所以﹣2•m=289，所以m=−14 9，代入直线AP中可得n＝2（−149+2）=89，所以P（−149，89），所以k PB=89−149−2=−14，所以直线PB的斜率为−1 4；（2）由题意设直线l 的方程x =√2y +t ，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则直线l 与椭圆联立{x =√2y +tx 24+y 22=1，整理可得4y 2+2√2ty +t 2﹣4＝0，△＝8t 2﹣4×4（t 2﹣4）＞0，即t 2＜8，y 1+y 2=−√22t ，y 1y 2=t 2−44，所以k 1+k 2=1x 1−22x 2−2=12√2)+(y 21√2)(x 1−2)(x 2−2)=1√2y 2√2)+(y 2√2y 1√2)(√2y 1+t−√2)(√2y 2+t−√2)=2√2y 1y 2+(t−2√2)(y 1+y 2)−2(t−√2)2y 1y 2+√2(t−√2)(y 1+y 2)+(t−√2)2=2√2⋅t 2−44+(t−2√2)⋅−√2t 2−2(t−√2)2⋅t 2−44+2(t−2)⋅−√2t 2+(t−2)2＝0，所以可证的PE ，PF 的斜率k 1，k 2的和为定值0．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．表1患感冒人数不患感冒人数合计男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计mn200表2温差x678910患感冒人数y810142023（1）写出m，n，p的值；（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）．附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.250.150.100.0500.0250.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2√∑i=1(y i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝10，∑5i=1（y i−y）2＝164，√410≈20.2485．【分析】（1）根据表中数据直接可以算出结果；（2）由题中数据直接代入K2公式，算出结果，进而判断结论；（3）由题算出x，y，代入r公式即可算出结果，进而判断结论．解：（1）根据表中数据直接可以得出m＝72，n＝128，p＝100；（2）由题中数据直接代入K2=(30×58−42×70)272×128×100×100=3.125＜3.841，所以没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）由题x=6+7+8+9+105=8，y=8+10+14+20+235=15，所以∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)=40，则r =10164=410=2020.2485=0.9877＞0.75，所以y 与x 的线性相关性很强．【点评】本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题． 21．已知函数f （x ）＝x 2lnx ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣ax +1≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求导，判断导函数与0的关系，进而得出单调性情况；（2）问题转化为a ≤xlnx +1x 恒成立，令g(x)=xlnx +1x ，利用导数求其最小值即可．解：（1）由已知，函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=2xlnx +x =2x(lnx +12)，令f ′（x ）＝0，解得x =√e e，当0＜x ＜√ee 时，f ′（x ）＜0，f （x ）在(0，√ee )上单调递减，当x ＞√e e时，f ′（x ）＞0，f （x ）在(√e e，+∞)上单调递增．综上，f （x ）的单调递减区间为(0，√ee )，单调递增区间为(√ee，+∞)；（2）∵f （x ）﹣ax +1≥0恒成立，即x 2lnx ﹣ax +1≥0等价于a ≤xlnx +1x恒成立，令g(x)=xlnx +1x ，g′(x)=lnx +1−12，令h(x)=lnx +1−12，则h′(x)=1x +23＞0在（0，+∞）上恒成立，∴g ′（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵g ′（1）＝0，∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）上单调递减， x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴g （x ）min ＝g （1）＝1，∴a ≤1，即实数a 的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t 2+4t 2−4y =2t −4t（t 为参数，且t ＞0），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣3ρsin θ﹣1＝0．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交点记为M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，求1|PM|+1|QM|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =t 2+4t 2−4y =2t −4t （t 为参数，且t ＞0），转换为直角坐标方程为y 2＝4x ．直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣3ρsin θ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为x ﹣3y ﹣1＝0．（2）直线l 与x 轴交点记为M ，即（1，0），转换为参数方程为{x =1310y =110（t为参数）与曲线C 交于P ，Q 两点，把直线的参数方程代入方程y 2＝4x ．得到t 210−√10t −4=0，所以t 1+t 2=12√10，t 1t 2＝﹣40，则：1|PM|+1|QM|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(12√10)2+16040=1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b 为实数，且满足3a 2+4b 2≤12．证明：（1）ab ≤√3；（2）a +2b ≤4．【分析】（1）根据基本不等式即可证明；（2）利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可．【解答】证明：（1）∵3a 2+4b 2≥4√3|ab |，当且仅当√3|a |＝2|b |取等号，且3a 2+4b 2≤12， ∴4√3|ab |≤12， ∴|ab |≤√3， ∴ab ≤√3；（2）证明：a ，b 为实数，且满足3a 2+4b 2≤12．可得：a 24+b 23≤1，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为（2cos θ，√3sin θ）， a +2b ＝2cos θ+2√3sin θ＝4cos （θ−π3），因为cos （θ−π3）≤1，所以4cos（θ−π3）≤4．所以a+2b≤4．【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．。

安徽省马鞍山市2020届高三数学第二次教学质量检测试题理

安徽省马鞍山市2020届高三数学第二次教学质量检测试题理本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =U A ．{|2}x x >- B ．{|2}x x ≥- C ．{|01}x x <≤ D ．{|01}x x ≤≤ 2．已知复数13i 22z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是 A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有 A ．10种 B ．40种 C ．80种 D ．240种 5．已知非零向量a r ，b r 满足||3||3||a b a b a -=+=r r r r r，则a r 与b r 的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．关于函数21()cos 3sin cos 2f x x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④ ()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[1,]2-．其中所有正确结论的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC △周长的最大值为53T ≤？第6题图A．2B．1+C ．3 D．9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．无法确定 10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是 A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形 B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形 C．该三棱柱的表面积一定为12+ D．该三棱柱的体积一定为11．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡L ，则b 的值可能是 A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．202112．梯形ABCD 中，AD BC ∥，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC △沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。