复数+导数
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数共轭求导
复数共轭求导复数共轭求导的方法有很多，它适用于任何一种数系。
在复变函数论中，一般将复变函数中的复数，称为共轭复数。
那么复数共轭的定义是什么呢？我们今天就一起来学习一下吧！复数共轭求导，就是将复数化为实数以后，再进行求导，其意思就是两个或者几个共轭复数对一个实数进行求导，使得他们对应的导数相等，也就是说要把一个复数变成实数，然后求导。
就可以知道这些复数的关系了。
在n个非零复数所成的表示，也叫做复平面上的共轭表示。
在复变函数中，通常将共轭复数称为n阶共轭复数，因此，复平面上的共轭表示也称为n阶共轭表示。
当n阶共轭复数只有共轭虚数的时候，由于共轭虚数与共轭复数具有完全一样的分布，故称为简单共轭虚数。
共轭虚数是有两个共轭复数构成的，它们与同一个导数相乘后即为导数。
当n阶共轭复数只有共轭实数的时候，由于共轭实数与共轭复数具有完全一样的分布，故称为简单共轭实数。
共轭实数也是有两个共轭复数构成的，它们与同一个导数相乘后即为导数。
11=6，而22=4、 33=2、 44=1、 50=5， 11与44就有共轭复数33和44。
11=33的导数和11=44的导数分别是33和44。
33是44的导数，而44是11的导数。
10是2个非零共轭复数，用复数形式表示为复数共轭求导。
先求解第一个方程。
10-2=8+4+4+4=16，可以看出x=3， y=-1。
然后求解第二个方程。
10-6=6+5+4+4+4+4+4+4=16+10=18。
可以看出x=2，y=0。
最后将x=2代入第一个方程，即得： 10-2=8+4+4+4+4=16，可以看出x=3， y=-1。
然后求解第二个方程。
10-6=6+5+4+4+4+4+4+4+4=16+10=18。
可以看出x=2， y=0。
最后将x=2代入第一个方程，即得： 10-2=8+4+4+4+4=16，可以看出x=3，y=-1。
所以10与44有共轭复数18。
9=4个共轭复数，可以列成三个不等式求解。
数学导数复数知识点总结
数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。
一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。
复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。
而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。
1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。
通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。
1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。
而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。
设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。
如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导复变函数是指定义域和值域都是复数的函数。
对于复变函数来说，求导是指对其进行复数域内的导数运算。
求导的方法可以分为两种：分别是实部与虚部的求导和复合函数法则。
1.实部与虚部的求导：对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是 f(z) 的实部和虚部。
可以将 f(z) 拆分为两个变数的函数，分别是 u(x, y) 和 v(x, y)。
对 u(x, y) 和 v(x, y) 分别求导，并满足 Cauchy-Riemann 方程∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x求导的步骤如下：(1) 将复变函数 f(z) 分解为实部和虚部：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)。
(2)对实部u(x,y)和虚部v(x,y)分别求导，得到对x和y的偏导数：∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y。
(3) 根据 Cauchy-Riemann 方程，验证偏导数是否满足关系：∂u/∂x = ∂v/∂y 、∂u/∂y = - ∂v/∂x。
(4)如果关系成立，则复变函数f(z)可导；如果关系不成立，则复变函数f(z)不可导。
例子：求复变函数f(z)=z^2的导数。
解：将复变函数 f(z) = z^2 分解为实部和虚部：f(z) = u(x, y) +iv(x, y) = (x^2 - y^2) + i(2xy)。
对实部u(x,y)和虚部v(x,y)分别求导，得到对x和y的偏导数：∂u/∂x=2x，∂u/∂y=-2y，∂v/∂x=2y，∂v/∂y=2x。
根据 Cauchy-Riemann 方程，验证偏导数是否满足关系：2x=2y，2y=-2x。
由此可知，偏导数满足关系。
所以复变函数f(z)=z^2是可导的。
2.复合函数法则：复合函数法则是将复变函数看作是两个实变量的复合函数进行求导。
对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是 f(z) 的实部和虚部，z = x + iy。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
导数与积分复数坐标系
在复数坐标系中，函数f(z)=Im(z)的导数为-i， 表示函数在任意点z=a+bi的切线斜率为-i。
积分的实例分析
函数f(z)=z在复数坐标系中的积分
在复数坐标系中，函数f(z)=z的积分结果为z^2/2，表示函数在任意区间上的面积。
函数f(z)=Re(z)在复数坐标系中的积分
积分的性质
01
可积性
在复数坐标系中，一个复函数在 其定义域内是可积的，即存在原 函数。
02
积分与路径无关
03
积分的几何意义
对于一个复函数，如果它在某区 间内的积分与积分路径无关，则 该函数是全纯的。
在复数坐标系中，一个复函数的 积分表示该函数与坐标轴围成的 区域面积。
导数与积分在复数坐标系中的关系
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导数的定义
实数函数的导数
导数是函数在某一点的切线的斜率， 表示函数在该点的变化率。对于实数 函数，导数的定义基于极限概念。
复数函数的导数
复数函数在复平面上的导数表示函数 值随复数变量变化的速率和方向，可 以通过实部和虚部的导数来计算。
积分的定义
实数函数的积分
积分是定积分、不定积分和反常积分的总称，表示函数与直线围成的面积。对于实数函数，积分基于微分的概念。
导数与积分在复数坐标系 中的实例分析
REPORTING
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导数的实例分析
函数f(z)=z的导数
在复数坐标系中，函数f(z)=z的导数为1，表 示函数在任意点z=a+bi的切线斜率为1。
函数f(z)=Re(z)的导数
在复数坐标系中，函数f(z)=Re(z)的导数为0，表示函 数在任意点z=a+bi的切线斜率为0。
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导一、复变函数的定义和导数的概念复变函数是定义在复数域上的函数，即f(z)为一个复数。
复变函数可表示为以下形式：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)其中，u(x,y)和v(x,y)是x和y的实函数，而i是单位虚数。
复变函数的导数也称为复变函数的导函数，它在复平面上沟通了函数在给定点z的速率和方向。
在复变函数的导数中，我们使用了复后向差商，其定义如下：f'(z) = lim[Δz→0] ( f(z+Δz) - f(z) ) / (Δz)其中，Δz是一个非零的复数。
二、柯西-黎曼条件和解析函数对于复变函数 f(z)=u(x, y) + iv(x, y)，柯西-黎曼条件为：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x柯西-黎曼条件意味着一个函数只有在满足这些条件时才是解析的。
当柯西-黎曼条件满足时，即∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x，在这种情况下，函数称为解析函数。
在实际计算中，我们可以使用以下方法来确定函数是否满足柯西-黎曼条件：1.对u(x,y)和v(x,y)进行偏导数，并计算∂u/∂x、∂v/∂y、∂u/∂y和-∂v/∂x。
2.比较这些偏导数，如果它们相等，则函数满足柯西-黎曼条件。
三、复变函数的导数计算方法1.利用柯西-黎曼条件对于复变函数 f(z)=u(x, y) + iv(x, y)，如果 f(z) 是解析函数，那么根据柯西-黎曼条件，我们可以得到：f'(z) = (df/dx)d/dz = ((∂u/∂x) + i(∂v/∂x))d/dz= ((∂v/∂y) - i(∂u/∂y))d/dz其中，d/dz 是求导符号，它可以将表达式中所有含有 z 的项当作一个整体一样求导。
例如，对于f(z)=z^2，我们有：f'(z) = (d/dz)(z^2) = 2z2.利用复函数公式复变函数的导数可以利用一些已知的复函数公式来计算，如指数函数、对数函数、三角函数等。
1-3复变函数的导数(1)
$1.3 复数函数的导数授课要点：导数的定义，柯西—黎曼条件1、 复变函数的导数：0'()lim z df w f z dz z∆→∆==∆ 如果极限存在，且与0z ∆→的方式无关，则称()f z 在z 点可导。
'()f z 或df dz 称为函数在z 点的导数.从形式上看，复变函数的导数与实变函数的导数一样，实变函数中的一些关于求导的公式也可用于复变函数之中，比如121212122111212222()()''(1()dw dw d w w dz dz dz dw dw d w w w w dz dz dz w w w w w d dz w w dw dz dz dw dF dF dw F w dz dw dz ⎧+=+⎪⎪⎪=+⎪⎪-⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⋅⎪⎩ 1sin cos cos sin ln 1n n z z dz nz dz d e e dz d z z dz d z z dz d z dz z -⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩复变函数导数存在的条件是一个很严格的条件，因为 0limz w z∆→∆∆ 的值存在必须是在z ∆以任意方式趋于零的条件下成立，首先考虑两种特殊情况：（1） 沿平行于x 轴方向，这意味着z x ∆=∆；从而： 0lim (,)(,)(,)(,)lim 0x w u x x y iv x x y u x y iv x y z z x∆→∆+∆++∆--=∆→∆∆ 0(,)(,)(,)(,)lim[]x u x x y u x y v x x y v x y i x x∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i x x∂∂=+∂∂ (1) 同样的道理，若考虑沿平行于y 轴的方向，有z i y ∆=∆，则：00(,)(,)(,)(,)lim lim z y w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y ∆→∆→∆+∆++∆--=∆∆0(,)(,)(,)(,)lim[x u x y y u x y v x y y v x y i i y i y∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i y y∂∂=-+∂∂ (2) 函数的导数只能有一个，故由（1），（2）可得：u v x y v ux y ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩这就是柯西—黎曼方程，或柯西—黎曼条件（Cauthy—Riemann ）。
复变函数的可导与解析,高数
为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
复数的运算法则及公式
复数的运算法则及公式假设互联网的发展的短短的数十年，已经完成了一个重要的转折，迅速发展成为我们日常必不可少的一部分。
然而，互联网的运行在很大程度上取决于运算法则及公式，以便更好地辅助人们处理和解决网络上的各种问题，这就是复数的运算法则及公式。
对于复数的运算法则及公式的定义是指一种加法，减法，乘法和除法的规则，用于处理复数的运算。
正如那些熟悉数学的人都知道的，复数是在实数的基础上增加了虚数的概念的一种数字。
这使得复数的运算变得更加复杂，因为虚数部分就像实数的虚幻一样，涉及许多复杂的定义。
掌握复数的运算法则及公式最基本的法则规则之一就是几何体中复数的乘法。
在几何体中，一个复数由它的实部（x）和虚部（y）唯一确定。
因此，由除以乘法法则，两个复数相乘可以表示为：（x1 * x2 - y1 * y2） + （x1 * y2 + y1 * x2）i。
另一个重要的复数运算法则及公式是对复数的偏导数的运算。
其定义为，当复数的自变量发生变化时，由复数的实部和虚部自动求出一个实数或虚数。
例如，如果给定一个复数，z = x + iy，则偏导数可以表示为：dz/dx = 1; dz/dy = i。
最后，不可空运算法则及公式也是复数的运算法则及公式中重要的一部分，也是互联网中应用最广泛的一类数学运算法则及公式。
其定义为，在不变点运算中，如果把发生变化的复数实部和虚部传递给复数的另一个实部和虚部，则之间的关系也不会改变。
例如，如果一个复数的实部发生变化，则虚部也会如此，这样可以避免复数在发生变化时出现混乱的情况。
另外，不可空运算法则及公式在许多计算机编程语言中也有广泛的应用。
总之，复数的运算法则及公式是保持互联网正常运行的基础。
复数的运算法则及公式有助于处理复数，如几何体中复数的乘法，偏导数运算和不可空运算以及许多计算机编程语言中的应用，都是为了保证。
【高中数学】导数的综合应用极限复数
【高中数学】导数的综合应用极限复数【高中数学】导数的综合应用、极限、复数一、课程内容：导数的综合应用、极限、复数二、教学重点和难点：1.理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值2.掌握序列和函数极限的算法，能够找到序列的函数极限，理解连续性的含义3.了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算[典型示例][例1]已知a为实数在和上都递增，求的取值范围。
解决方案：，即①∴当时,，当时，② 设定当时，这是从① 及② 上半部分是一个减法函数，计算的值范围。
解：命令或∵当函数的值为时，它在函数的值范围内。
解析：（1）对函数，得因此，变化如下：x－ㄊ最大值ㄋ最低限度ㄊ在那个时候，上限是一个减法函数，上限是时间，时间，时间，时间的单调函数。
充分必要条件是解为综上高中化学，上为单调函数的充分必要条件为，即的取值范围是，，若存在单调递减区间，求<0"style=''>的范围。
解决方案：<3"style='width:89.25pt;>明确指出<5“style=>有一个解决方案∴∵（*）设，∵当∵ 不能小于0∴又∵且∴，即函数定义域为对（0，10）10（10，30）－ㄊㄋ①当取得最大值为即时，在取得最大值。
解：∵‡这是方程式吗∴[例7]有一个常数对所有正整数都成立吗？证明你的结论。
解：分别将∴下面用归纳法证明（1）当时，它成立了（2）假设时，左边由（1）（2）知等式对一切成立[例8]当m取任何实数时，复数就是实数∴② ‡ 和③∴或[模拟]一.选择题1.如果已知是上的单调递增函数，则的最大值为（）a.0b.1c.2d.32.如果曲线通过一个点，该曲线在该点的切线方程为（）a.d.3.已知最大值为6 on，则此函数为in，其中，则c.极大值为5，无极小值d、最小值是，没有最大值6.函数的极值点是（）a、博士③；④ 当极限值为1（）a.①③b.②③c.③④d.①④8.c.d（1）若的取值范围。
(整理)复数导数统计概论
复数 基础知识1、数系的扩充：N Z Q R C2、形式：),(R b a bi a z ∈+=,其中，b a ，分别为复数z 的实部和虚部 复数z 是实数⇔ ；复数z 是虚数⇔ ； 复数z 是纯虚数⇔ 。
3、di c bi a +=+⇔4、运算：=+++)()(di c bi a ; =+-+)()(di c bi a ；=++))((di c bi a ；=++dic bia .若N n ∈，则=ni4 ；=+14n i ；=+24n i ；=+34n i .共轭复数：①复数yi x z +=的共轭复数=z②性质：z z =； R z z z ∈⇔=； yi z z x z z 2,2=-=+； 2121z z z z +=+； 2121z z z z -=-； 2121z z z z ∙=； 2121)(z zz z =； n n z z )(=. 5、复数bi a z +=的模||z = 性质：|||||z |2121z z z =;||||||2121z z z z =；22||||z z z z ==；n n z z ||||=）（+∈N n ; ||||||||||||212121z z z z z z ≤±≤- 设C z ∈,则满足2||=z 的点Z 的集合表示的图形 一、小题训练 1、复数21ii-的虚部是 2、若复数21(1)z a a i =-++（a R ∈）是纯虚数，则z = . 3、 “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的 条件4、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝5、若∈+=-b a i b iia ,,2其中R ，i 是虚数单位，则ab -的值为 6、如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 7、复数i a a a a z )2(222--+-=）（对应的点在虚轴上，则=a8、已知复数z 满足()()25,i z i -=是虚数单位则z =9、在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量A O 和B O , 其中O 为坐标原点,则B A=10、复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 象限 11、复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是12、给出下列四个命题:①若z ∈C,22z z =,则z ∈R; ②若z ∈C,z z =-,则z 是纯虚数;③若z ∈C,2z zi =,则z=0或z=i ; ④若121212,,z z C z z z z ∈+=-则120z z =. 其中真命题的个数为 ．导数二、基础知识1、 函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）2、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
复数的模求导
复数的模求导一、什么是复数的模？复数是数学中的一个概念，它由实部和虚部构成。
复数的模表示复数与原点之间的距离，也可以理解为复数的绝对值。
在复平面上，复数的模等于复数到原点的距离。
二、复数的模的性质1.复数的模是非负实数，即模大于等于0。
2.复数的模为0的充分必要条件是该复数本身为0。
3.复数的模的平方等于复数的实部平方与虚部平方之和。
4.复数的模与复数的共轭相等。
三、复数的模求导的方法对于实数函数的求导，我们可以直接应用导数的定义和常用的求导法则。
但是对于复数函数的求导，我们需要使用共轭函数和复合函数的求导法则。
复数函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别表示实部和虚部。
1.对于复数的模函数|z|=√x2+y2，我们可以将其表示为f(z)=√u2+v2。
2.对于复数的模函数的导数，我们有以下公式：df dz =dfdu⋅dudx+dfdu⋅dudyi+dfdv⋅dvdx−dfdv⋅dvdyi其中，dfdu 表示对u求导，dfdv表示对v求导。
四、复数的模求导的例子假设我们要求函数f(z)=|z|2的导数，其中z=x+yi。
首先，我们可以将函数f(z)展开为：f(z)=|z|2=(x+yi)(x−yi)=x2+y2然后，我们可以计算导数：df dz =dfdu⋅dudx+dfdu⋅dudyi+dfdv⋅dvdx−dfdv⋅dvdyi其中，dfdu =2u，dfdv=2v，dudx=1，dudy=0，dvdx=0，dvdy=1。
代入上述值，我们可以得到：df=2u+2vi=2(x+yi)dz因此，函数f(z)=|z|2的导数为2z。
五、复数的模求导的应用复数的模求导在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1.在电路分析中，复数的模求导可以帮助我们计算电压和电流的相位差。
2.在信号处理中，复数的模求导可以用于计算信号的频谱特性。
3.在光学中，复数的模求导可以帮助我们分析光的传播和干涉现象。
复变函数的导数
复变函数的导数在学习数学过程中，求导数是一个重要的课题。
复变函数的导数更是数学研究者深入探索的一个领域。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
首先，我们来了解一下什么是复变函数。
复变函数是一类具有特殊特性的函数，其中的变量可以是复数，且它的值也可以是复数。
复变函数的性质使其在许多应用方面变得非常有用，例如，复变函数可用于研究物理形态的变化，可用于解决天体的轨道变化问题，以及可以用来解释解析几何中的复形等。
接下来，我们来认识一下复变函数的导数。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
复变函数的导数指的是在某一复数点处函数值的变化幅度，导数的符号表示为dF/dz”，其中F为复变函数，z为变量，z点为F在该点处的导数。
要求复变函数的导数，可使用复变函数的定义，通过求偏导数的方式进行求解。
复变函数的定义一般为 F(z)=f(z)，其中z为复变量，f(z)为单变量函数，假定形如f(z)=bz+c，其中b、c为常数，则导数为dF/dz=b。
在复变函数中，还存在着一类特殊的复变函数，即复数函数。
复数函数除了可以用复变函数形式表示外，还可以用复分式的形式表示，其形式为F(z)=A/B，其中A、B为复多项式，A、B的共同的纯量因子除外。
要求复数函数的导数，直接用其定义来求偏导数，即可求出F(z)在z点处的导数，导数的表达式为dF/dz=(AB’-BA’)/(BB’)。
复变函数的导数在复数分析函数和复数分析函数的研究中发挥着重要的作用，它可以帮助我们理解复变函数形式及其特性，以及复数函数在复数空间中变化的特征，为了能够更好地研究复变函数，必须充分理解复变函数的导数的概念和表达式。
综上所述，复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数，它可以帮助我们理解复变函数以及复数函数变化的特征，从而为我们更好地利用复变函数提供有效的帮助。
1讲 复数、复变函数及其导数解析
z1 x1 iy1 令 z2 x2 iy2
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
得证。
共同证明 2、
i1 z e 1 1 令 i 2 z e 2 2
例2.几何意义 1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。 解： 令z =x +iy，
则|z-i|≤2
y
x ( y 1) 2
2 2
2
1
o
代表以（0，1）为圆心，以 2为半径的圆及其内部。
x
例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。 解：令z =x +i y，
则|z-i|=|z-2|
5、根式：
n
z e (cos
n n n
i
i sin ) n n
四、复运算结果的解释 1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则
z3 z2 z2 z3 z1
z1
四边形法则
三角形法则
2、根式结果的多值性 令 z e
i arg z
n
zne
i
2 k arg z n
物理学进展及其重要性 数学与物理的关系 如何学好《数学物理方法》
主 要 内 容
参考书目
一、物理学进展及其重要性
1、发展史（包括：经典与量子） (1)经典物理学 经典力学(Newton) 经典热力学(Carnot, Clausius) 经典电磁学(Coulomb, Maxwell) 等等 其中一些主观臆断性的结论是非科学的， 如： Newton认为光仅是一些传播的粒子。
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复数+导数上课时间： 上课教师：上课重点：利用导数求函数的极值以及最值、复数的概念 上课规划：解题技巧和方法一 复数的概念(实部、虚部、纯虚数的相关考察）---必须掌握 例题：若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．1-练习1、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 练习2、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，二 复数相等以及复数的模----复数相等必须掌握 例题：满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（ ）A ．1313i i 2222⎧⎫⎪⎪-+--⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭，C ．2222i i 2222⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，D ．1313i i 2222⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 练习1、已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．练习2、如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．5三 复数的几何意义---必须掌握例题：复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）典例分析A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 练习1、复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、在复平面内，复数200921i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是（ ） A ． 1 B ． 2 C ．2 D ． 22 四 复数的四则运算---必须掌握例题：已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-练习1、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．1±B ．1C ．0D ．1-2、设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则z z等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±3、已知集合(3)(3)2i i z i +-=-，则||z =（ ） A ．55B ．255C ．5D ．25导数(一）定值---必须掌握 例题：设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．练习1、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ． （二）取值范围 例题：函数31()43f x x a x =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ．练习1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e-<< D ．ea 1-<练习2、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______． 考点三 导数的综合运用 数学思想方法（一) 函数与方程（不等式)的思想 例题:设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈ （1）求函数)(x f 的单调区间和极值（2）若关于x 的方程a x f =)(有三个不同实根，求实数a 的取值范围1、方程0ln 2)1)(2(=---x x a ，在)21,0(无解，求实数a 的范围。
2、已知函数42)(23-++=x x x x f ，8)(2-+=x ax x g ，若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围（二）分类讨论思想例题：已知函数2()(2)e axf x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥.（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(2,2)上单调递减，求实数a 的取值范围.1、已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；基础训练例题：已知函数32()393f x x x x =-++-，⑴求()f x 的单调递减区间与极小值； ⑵求()f x 过点(18)，的切线方程．1、已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； ⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．图像例题：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(10)，，(20)，，如图所示，求⑴0x 的值；⑵a b c ，，的值． 21yxO练习：设函数32y x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，⑴求a b c ，，的值；⑵求函数的递减区间．yxO能力提高练习：已知函数32()c f x x bx x d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．⑴求函数()y f x =的解析式．⑵求()f x 的单调递减区间与极小值．练习1、已知2a <，函数2()()e x f x x ax a =++． ⑴当1a =时，求()f x 的单调递增区间； ⑵若()f x 的极大值是26e -⋅，求a 的值．2、已知函数()(1)e x f x ax =-，a ∈R ， ⑴当1a =时，求函数()f x 的极值；⑵若函数()f x 在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．课后练习1、若复数(2)i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = ．2、设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为 ． 4、已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++--=，求d z=的最大值与最小值．5、设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数6、在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1z z=． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1>a B ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或8、已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）A ．3iB ．4iC ．5iD ．－5i9、复数2i 12i m z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、已知复数12232i 23i ,(2i)z z +=-=+，则12z z =（ ） A ． 49 B ．7 C ． 25 D ． 511、若将复数11i i+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ．12、若复数3i 12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．613、设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b = 14、复数321i +=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．1-D ．3能力提高1、计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = （i 表示虚数单位）2、若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则ai i a ++1=3、定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件120121z i i i+=--的复数z 对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ）A ．13 B ．14 C ．16 D ．1126、已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________7、已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）A ．2-B ．2±C ．2-D ．4 8、复数45(22i)(13i)+-等于（ ） A ．13i + B ．13i -+ C ．13i - D ．13i --9、若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数）10、已知2211z x i x =++，22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．11、关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．12、若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．2313、若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞， C ．(0)+∞， D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，。