高中数学 第二章 正弦定理课件2 北师大版必修5
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北师大版高中数学必修五第二章第一节《正弦定理》课件(共17张ppt)
a b c sin A sin B siC n
结构特点： 和谐美、对称美.
变形公式:
(1) a b
sin A； b sin B c
sin sin
B C
；
a c
sin A sin C
(2 )a :b :c siA :n sB i:n sC in
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
∴ A=30⁰
变式训练
变式1:在△ABC中,已知a= ,b= 4
解：由
a sin A
b sinB
得
43 42 sinA sin45
2 ,B=45⁰,求A
sin A 3 ， A=60⁰或120⁰
2
∵ a>b
∴ A>45⁰ ∴ A=60⁰或120⁰
变式训练
变式2：在△ABC中,已知a=8,b= 4 2 ,B=45⁰,求A
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可
结构特点： 和谐美、对称美.
变形公式:
(1) a b
sin A； b sin B c
sin sin
B C
；
a c
sin A sin C
(2 )a :b :c siA :n sB i:n sC in
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
∴ A=30⁰
变式训练
变式1:在△ABC中,已知a= ,b= 4
解：由
a sin A
b sinB
得
43 42 sinA sin45
2 ,B=45⁰,求A
sin A 3 ， A=60⁰或120⁰
2
∵ a>b
∴ A>45⁰ ∴ A=60⁰或120⁰
变式训练
变式2：在△ABC中,已知a=8,b= 4 2 ,B=45⁰,求A
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可
高中数学 第二章 解三角形 2_1_1_2 正弦定理的变形及三角形面积公式课件 北师大版必修5
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦定理的变形应用 [例 1] 在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求 b 及△ABC 外接圆的半径 R.
【解析】 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1，
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
a2＋b2－2abcosπ3＝7， 所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7， 所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解
过程既方便又灵活．
(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适
的面积公式．在解三角形中通常选用S＝
＝
40 6＋
2＝10(
6－
2) (km)．
即 C 到灯塔 A 的距离为 10( 6－ 2) km.
方法归纳
解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程，解方程得出所要求的解．
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
【解析】
(1)因为
3a＝2csinA，所以sianA＝
2c 3.
由正弦定理知sianA＝sincC，
所以sincC＝ 2c3，所以sinC＝
3 2.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为c＝ 7，C＝π3，
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
北师大版高中数学必修五：正弦定理课件
1.1.1正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
A
c
c 不难得到:
c b
C
B
a
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
所以AD=csinB=bsinC, 即
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1、在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。解三角形 (精确到
0.01）
C
b
a
Ac
B
练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
A=90°，C=60°，c=
(2) b=40，c=20，C=45°.
c asinC 16. sin A
练习：在ABC中，B=60 ，b 7 6, a 14,求角A.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝
A、
即
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证:
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
c 2R
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
A
c
c 不难得到:
c b
C
B
a
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
所以AD=csinB=bsinC, 即
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1、在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。解三角形 (精确到
0.01）
C
b
a
Ac
B
练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
A=90°，C=60°，c=
(2) b=40，c=20，C=45°.
c asinC 16. sin A
练习：在ABC中，B=60 ，b 7 6, a 14,求角A.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝
A、
即
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证:
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
c 2R
高中数学北师大版必修5《第2章 1 1.1 正弦定理》课件
16
法二：根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sin B＝bsian A，当bsian A＞1 时，无解；当bsian A＝ 1 时，有一解；当bsian A＜1 时，如果 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐 角，有一解；如果 a＜b，即 A＜B，有两解． 法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判 断解的个数．
20
判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三 个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈 现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断． (2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、 直角三角形、纯角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三 角形”与“等腰或直角三角形”的区别．
31
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求另外两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化： 一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面， 也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
32
思路探究：cosB2＝25 5⇒sin B⇒sin A⇒求边 c⇒△ABC 的面积． [解] ∵cosB2＝2 55， ∴cos B＝2cos2B2－1＝35. ∴B∈0，2π，∴sin B＝45.
25
∵C＝π4，
∴sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102. ∵sina A＝sinc C，
30
1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所 以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式． (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha、hb、hc 分别表示 a，b，c 边上的高)． (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
法二：根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sin B＝bsian A，当bsian A＞1 时，无解；当bsian A＝ 1 时，有一解；当bsian A＜1 时，如果 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐 角，有一解；如果 a＜b，即 A＜B，有两解． 法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判 断解的个数．
20
判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三 个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈 现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断． (2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、 直角三角形、纯角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三 角形”与“等腰或直角三角形”的区别．
31
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求另外两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化： 一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面， 也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
32
思路探究：cosB2＝25 5⇒sin B⇒sin A⇒求边 c⇒△ABC 的面积． [解] ∵cosB2＝2 55， ∴cos B＝2cos2B2－1＝35. ∴B∈0，2π，∴sin B＝45.
25
∵C＝π4，
∴sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102. ∵sina A＝sinc C，
30
1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所 以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式． (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha、hb、hc 分别表示 a，b，c 边上的高)． (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
高中数学 第二章 正弦定理课件2 北师大版必修5(1)
2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
高中数学北师大版必修5 正弦定理 课件(34张)
csin A 10× sin 45° ∴ a＝ ＝ ＝ 10 2， sin C sin 30° ∠ B＝ 180°－ (A＋ C)＝ 180°－ (45°＋30° )＝ 105° . b c 又 ＝ ， sin B sin C c· sin B 10× sin 105° 6＋ 2 ∴ b＝ ＝ ＝ 20sin 75 °＝ 20× 4 sin C sin 30° ＝ 5( 6＋ 2)．
同理，当 C2≈58.05°时， BC2≈ 344.4 km， t2≈ 8.6 h. t2－ t1≈ 8.6－ 2.0＝6.6 (h)． 所以，约 2 h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6 h.
已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无
如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定
理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三 角形的另两边．
1 ．已知在△ABC 中， c ＝ 10 ，∠ A ＝ 45 °，∠ C ＝ 30 °， 求a，b和∠B. a c 解：∵ ＝ ， A＝ 45°， C＝30°， sin A sin C
学法 指导
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 ________________ 的比相等，即
b c a sin B ＝______ sin C ＝ 2R(其中 R 为△ ABC 的外接圆半 sin A ＝______ ______ 径 )．
2．三角形的面积公式 对于任意△ ABC，若 a、b、c 分别为三角 A，B，C 的对边，
△ ABC 中， BC＝ 2.57 cm， B＝ 45°， C＝ 120°， A＝180° － (B＋ C)＝ 180°－ (45°＋120° )＝15° . BC AC BCsin B 2.57sin 45° 因为 ＝ ，所以 AC＝ ＝ . sin A sin B sin A sin 15° 利用计算器算得 AC≈ 7.02(cm)． 同理， AB≈ 8.60(cm)． 所以，原玉佩两边的长 分别为 7.02 cm， 8.60 cm.
同理，当 C2≈58.05°时， BC2≈ 344.4 km， t2≈ 8.6 h. t2－ t1≈ 8.6－ 2.0＝6.6 (h)． 所以，约 2 h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6 h.
已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无
如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定
理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三 角形的另两边．
1 ．已知在△ABC 中， c ＝ 10 ，∠ A ＝ 45 °，∠ C ＝ 30 °， 求a，b和∠B. a c 解：∵ ＝ ， A＝ 45°， C＝30°， sin A sin C
学法 指导
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 ________________ 的比相等，即
b c a sin B ＝______ sin C ＝ 2R(其中 R 为△ ABC 的外接圆半 sin A ＝______ ______ 径 )．
2．三角形的面积公式 对于任意△ ABC，若 a、b、c 分别为三角 A，B，C 的对边，
△ ABC 中， BC＝ 2.57 cm， B＝ 45°， C＝ 120°， A＝180° － (B＋ C)＝ 180°－ (45°＋120° )＝15° . BC AC BCsin B 2.57sin 45° 因为 ＝ ，所以 AC＝ ＝ . sin A sin B sin A sin 15° 利用计算器算得 AC≈ 7.02(cm)． 同理， AB≈ 8.60(cm)． 所以，原玉佩两边的长 分别为 7.02 cm， 8.60 cm.
【北师大版】高中数学必修五：第2章《解三角形》2-1-17【ppt课件】
第二章 · §1 · 1.2 · 第17课时
第15页
北师大版· 数学· 必修5
45分钟作业与单元评估
二合一
解析：由sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13及正弦定理得a∶b∶c＝ 5∶11∶13.设a＝5k，b＝11k，c＝13k，k>0，则由余弦定理得cosC＝ 52＋112－132 <0，所以角C为钝角．故应选C. 2×5×11
第13页
北师大版· 数学· 必修5
解析：由余弦定理得
45分钟作业与单元评估
二合一
b2＋c2－a2 a2＋b2－c2 (2b－c) 2bc ＝a· 2ab ， 即2b3＋2bc2－2ba2－b2c－c3＋a2c＝a2c＋b2c－c3， 上式整理后为b2＋c2－a2－bc＝0， b2＋c2－a2 1 1 即 ＝ ，因此cosA＝ .故A＝60° . 2bc 2 2
45分钟作业与单元评估
45分钟作业与单元评估
二合一
1．理解余弦定理的结构特征，并会用余弦定理解三角形． 2．掌握余弦定理及其变形，并能在化简、证明中灵活运用．
第二章 · §1 · 1.2 · 第17课时
第6页
北师大版· 数学· 必修5
45分钟作业与单元评估
二合一
基础训练 作 业设计
第二章 · §1 · 1.2 · 第17课时
二合一
1 解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝ 2 (a2＋b2)，得
2 2 a ＋ b 1 2 2ab 1 2 2abcosC＝ (a ＋b )，即cosC＝ ≥ ＝ ，所以选C. 2 4ab 4ab 2
答案：C
第二章 · §1 · 1.2 · 第17课时
第20页
2020-2019学年北师大版数学必修5课件：第二章 1.1 正弦定理
2.
2
∴C的大小为45°，b，c的长为5( 6＋ 2)，10 2.
2．将本例中的“A＝30°”改为“B＝30°”，解这个三角形．
解析：由三角形内角和知A＝45°，
∵sin C＝sin 105°＝
6＋ 4
2，
根据正弦定理sina A＝sinc C
得c＝assininAC＝10×
6＋ 4
2
2 ＝5(
3＋1)，
变形探究
设△ABC的外接圆的半径为R，则
a (1)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R.
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R为△ABC外接圆的半径)．
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶设AB边上的高为CD，如图 根据三角函数的定义，有 CD＝asin(π－B) ＝asin B CD＝bsin A， 所以asin B＝bsin A 得到sina A＝sinb B，同理得到sinb B＝sinc C， 故sina A＝sinb B＝sinc C.
知识梳理
2
答案：C
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A.
3 3
B.
6 3
C.
2 2
D.
3 2
解析：由正弦定理sina
A＝sinb
B，知sin
B＝bsian
A＝10×15
3 2＝
33.故选A.
答案：A
3．在△ABC中，若 3a＝2bsin A，则B＝________． 解析：由正弦定理得 3sin A＝2sin B·sin A，∵sin A≠0，∴sin B＝ 23.又0＜B＜ 180°，∴B＝60°或120°.
高中数学北师大版必修5 2.1 教学课件 《正弦定理》(数学北师大版必修5)
大角对大边
北京师范大学出版社 高三 | 必修5
问题提出
在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，
C=900 ,则有:
A
c b
Ca
B
那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？
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分析理解
如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴 上的射影为C’
与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长.中,
BC=2.57cm, B=45O, C=120O
D
E
A=180O-(B+C)=15O
B
C
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利用计算器算得： 同理： 答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.
AC
250 5
解得
C1 58.05, C2 121.95
当
C1 58.05时,
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同理,当 答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.
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已知两边一对角，三角形解的个数
正弦定理的推论：
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例２：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西
北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不
变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确
到0.1h)?
D
N
C
1
A
C
2
B
分析：如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动 ,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距 离不大于250km时,该市受台风影响.
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问题提出
在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，
C=900 ,则有:
A
c b
Ca
B
那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？
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分析理解
如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴 上的射影为C’
与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长.中,
BC=2.57cm, B=45O, C=120O
D
E
A=180O-(B+C)=15O
B
C
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利用计算器算得： 同理： 答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.
AC
250 5
解得
C1 58.05, C2 121.95
当
C1 58.05时,
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同理,当 答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.
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已知两边一对角，三角形解的个数
正弦定理的推论：
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例２：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西
北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不
变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确
到0.1h)?
D
N
C
1
A
C
2
B
分析：如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动 ,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距 离不大于250km时,该市受台风影响.
高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5
第2页
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
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【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
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题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
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【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1
北师大版高中数学必修5课件2.1正弦定理 课件
C b A
CH=bsinA<a<b 有两个解
仅有一个解
a b 无解 ⑵若 A 为直角或钝角时: a b 一解
C b A
a
C b A a
B
B
a b 一解
a b 无解
变式训练 2：根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：
（1） a 5 ， b 4 ， A 120 ，求 B （3） a 5 ， b （2） a 5 ， b 4 ， A 90 ，求 B
AB sin B 300sin 450 3 2 AC AB BC 由正弦定理得 知 sin C 0.8485 sin B sin C sin A AC 250 5
利用计算器得角 C1 121.950 , C2 58.050 当 C1 121 .950 时， A 1800 ( B C1 ) 1800 (450 121.950 ) 13.050
多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，
已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10 km，求
AC与BC的长”。
探索新知
a b 直角三角形中：sinA= ，sinB= ， sinC=1 c c
即
a b c c= ， c= ， c= sin A sin B sin C
b a c ∴ = = sin A sin B sin C
同理求出 AB 8.60cm
B
D
E
C
答：原玉佩两边的长分别约为 7.02cm,8.60cm
变式训练 1：在△ABC 中，(1)已知 c＝ 3 ，A＝45°，B＝60°，求 b
(2)已知 b＝12， A＝30°，B＝120°，求 a (结果保留两个有效数字)
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∴本题有一解.
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
北师大版高中数学必修五第二章解三角形2.1.1正弦定理课件
-4-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中
������ ������ ������ , = = . sin������ sin������ sin������
2 1
(2)S△ABC= ������������sin ������ = ������������sin ������ = ������������sin ������.
2 2 2
1
1
1
【做一做2】 在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积 S= .
解析:S= ������������sin C= × 10 × 8 × sin 30°=20.
-7-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,△ABC 的外接圆半 径为 3, 则������ = . ������ 解析: ∵ = 2������ , sin������ ������ 3 3 ∴sin A = = = .
2������
-6-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 其中正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理 可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故 ③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B. 答案:B
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(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 , a sin C 20 sin 76 c 30(cm). sin A sin 40 (2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 相等，即
a b c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
正弦定理中的比值常数
典例1 .在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c， 若a=2bsinA，求B。
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ c ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
形的形状。 典例4 在△ABC中，求证： 典例5在△ABC中，如果 B为锐角，试判断此三角形的形状。
试判断此三角
且
三角形面积计算公式
典例1 在△ABC中，a=3，b=5，cosC为方程10x2－29x－ 21=0的根，求△ABC的面积。
典例2在△ABC中，若AB=2，BC=5，S△ABC =4，求 的值。
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
正弦定理
例题讲解
例1，在ABC中，已知 A 32.0 , B 81.8 ,
a 42.9cm, 解三角形 解：根据三角形内角和 定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 a sin B 42.9 sin 81.8 根据正弦定理，b 80.1(cm) sin A sin 32.0
a sin C 20 sin 24 c 13(cm). sin A sin 40
正弦定理
例题讲解
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 例3 在 ABC 中，
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 66.2 根据正弦定理，c 74.1(cm) sin A sin 32.0
正弦定理
例题讲解
例2，在ABC中，已知 a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
b sin A 28sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.8999. a 20 因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
∴ 等式成立
利用正弦定理证明“角平分线定理”
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。
典例2 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，
已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(A≠B)，试判断 △ABC的形状。
典例3在△ABC中，有
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 tan A A B 90 a b c b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
A c a b
C
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 相等，即
a b c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
正弦定理中的比值常数
典例1 .在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c， 若a=2bsinA，求B。
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ c ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
形的形状。 典例4 在△ABC中，求证： 典例5在△ABC中，如果 B为锐角，试判断此三角形的形状。
试判断此三角
且
三角形面积计算公式
典例1 在△ABC中，a=3，b=5，cosC为方程10x2－29x－ 21=0的根，求△ABC的面积。
典例2在△ABC中，若AB=2，BC=5，S△ABC =4，求 的值。
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
正弦定理
例题讲解
例1，在ABC中，已知 A 32.0 , B 81.8 ,
a 42.9cm, 解三角形 解：根据三角形内角和 定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 a sin B 42.9 sin 81.8 根据正弦定理，b 80.1(cm) sin A sin 32.0
a sin C 20 sin 24 c 13(cm). sin A sin 40
正弦定理
例题讲解
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 例3 在 ABC 中，
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 66.2 根据正弦定理，c 74.1(cm) sin A sin 32.0
正弦定理
例题讲解
例2，在ABC中，已知 a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
b sin A 28sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.8999. a 20 因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
∴ 等式成立
利用正弦定理证明“角平分线定理”
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。
典例2 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，
已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(A≠B)，试判断 △ABC的形状。
典例3在△ABC中，有
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 tan A A B 90 a b c b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
A c a b
C
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C