高中数学 第二章 正弦定理课件2 北师大版必修5
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2 2( 3 1)( h ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b sin A 三角形面积公式 B 6 2 C 4 1 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin3A S ABC aha 1 1 2 24 ( ) 6 2 3 S 2 ab sin C 2 2( 3 1) ABC 2 2 2
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 相等，即
a b c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
正弦定理中的比值常数
典例1 .在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c， 若a=2bsinA，求B。
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ c ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
形的形状。 典例4 在△ABC中，求证： 典例5在△ABC中，如果 B为锐角，试判断此三角形的形状。
试判断此三角
且
三角形面积计算公式
典例1 在△ABC中，a=3，b=5，cosC为方程10x2－29x－ 21=0的根，求△ABC的面积。
典例2在△ABC中，若AB=2，BC=5，S△ABC =4，求 的值。
a sin C 20 sin 24 c 13(cm). sin A sin 40
正弦定理
例题讲解
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 例3 在 ABC 中，
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 75 A
a sin C 42.9 sin 66.2 根据正弦定理，c 74.1(cm) sin A sin 32.0
正弦定理
例Baidu Nhomakorabea讲解
例2，在ABC中，已知 a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
b sin A 28sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.8999. a 20 因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
正弦定理
例题讲解
例1，在ABC中，已知 A 32.0 , B 81.8 ,
a 42.9cm, 解三角形 解：根据三角形内角和 定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 a sin B 42.9 sin 81.8 根据正弦定理，b 80.1(cm) sin A sin 32.0
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 tan A A B 90 a b c b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
A c a b
C
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
∴ 等式成立
利用正弦定理证明“角平分线定理”
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。
典例2 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，
已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(A≠B)，试判断 △ABC的形状。
典例3在△ABC中，有
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 , a sin C 20 sin 76 c 30(cm). sin A sin 40 (2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 相等，即
a b c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
正弦定理中的比值常数
典例1 .在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c， 若a=2bsinA，求B。
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ c ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
形的形状。 典例4 在△ABC中，求证： 典例5在△ABC中，如果 B为锐角，试判断此三角形的形状。
试判断此三角
且
三角形面积计算公式
典例1 在△ABC中，a=3，b=5，cosC为方程10x2－29x－ 21=0的根，求△ABC的面积。
典例2在△ABC中，若AB=2，BC=5，S△ABC =4，求 的值。
a sin C 20 sin 24 c 13(cm). sin A sin 40
正弦定理
例题讲解
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 例3 在 ABC 中，
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 75 A
a sin C 42.9 sin 66.2 根据正弦定理，c 74.1(cm) sin A sin 32.0
正弦定理
例Baidu Nhomakorabea讲解
例2，在ABC中，已知 a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
b sin A 28sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.8999. a 20 因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 > sinA+sinB____sinC.
sin 3B (3)在ABC中，C 2 B, 则 等于(B) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
正弦定理
练习： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
正弦定理
例题讲解
例1，在ABC中，已知 A 32.0 , B 81.8 ,
a 42.9cm, 解三角形 解：根据三角形内角和 定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 a sin B 42.9 sin 81.8 根据正弦定理，b 80.1(cm) sin A sin 32.0
（2）在 ABC 中，若
a A cos 2
b B cos 2
c C cos 2
，则 ABC 是( D )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三有形
正弦定理
练习： （3）在任一 ABC 中，求证： a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 tan A A B 90 a b c b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？ B
A c a b
C
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
∴ 等式成立
利用正弦定理证明“角平分线定理”
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。
典例2 已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，
已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(A≠B)，试判断 △ABC的形状。
典例3在△ABC中，有
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 , a sin C 20 sin 76 c 30(cm). sin A sin 40 (2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
证明：由于正弦定理：令 a k sin A, B k sin B, c k sin C
代入左边得：
左边＝ k (sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin B sin A sin C sin A sin C sin B) 0 =右边