高中数学 第一章 等比数列课件 北师大版必修5(1)
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2023_2024学年高中数学第一章第2课时等比中项及等比数列的性质课件北师大版选择性必修第二册
自主预习 新知导学
一、等比数列的性质
【问题思考】
1.类比等差数列的性质,试分析等比数列有何性质.
答案:略.
2.等比数列的性质
(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为
ak+1,公比为 q ;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为
a5·a8=
.
解析:∵等比数列{an}的项a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,
∴a3·a10=-5,∴a5·a8=a3·a10=-5.
答案:-5
二、等比中项
【问题思考】
1.若a,G,b三个数成等比数列,则数a,b应满足什么条件?
提示:a与b同正或同负.
2.如果在 a 与 b 之间插入一个数 G,使得 a,G,b 成等比数列,那么根据等比数列
5
2
1
2
又 q>0,∴q= 2.∵a2=1,∴a1= =
= .
2
2
答案:B
D.2
).
3.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半
音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程
分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与
它的前一个单音的频率的比都等于
则 G2=ab,∴G= .
13
答案:(1)
16
(2)
探究二
等比数列的性质
【例2】 已知数列{an}为等比数列,
1
(1)若 a2a4= ,求 a132 a5;
2
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册
章末复习课 1
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
首页
自主预习
合作学习 当堂检测
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学 1.3.1.2 等比数列的性质同步课件 北师大版必修5
仍为等比数列，例如am,a2m,a3m也为等比数列.
第九页，共39页。
(3)数列{λan}(λ≠0)，{｜an｜}皆为等比数列，公比分别为q和｜
q｜.
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的
k次幂.
例如(lìrú)，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比
数列，公比为
∴第4个数为12q-6.∴6+6q+12q-6=12,解得
q 故2 .所求的4个数为9,6,4,2.
方法3(fāngfǎ)二：设后3个数分别为4-d,4,4+d,则第1个数1（为4 d）2,
由题意
解得4-d=6.∴d=-2.故所求的4个数为49，6，4，
1（4 d）2（4 d）4 216,
4.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程(fāngchéng)3x2-2x6=0的两根，则a4·a7=_________. 【解析】a4a7=a1a10=-2. 答案：-2
第三十八页，共39页。
5.已知实数(shìshù)a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列， 且a+b+c=15,求a,b,c. 【解析】∵a,b,c成等差数列，设公差为d，又a+b+c=15. ∴b=5,∴a+1=6-d,c+4=9+d, 又a+1,b+1,c+4成等比数列， ∴(a+1)(c+4)=(b+1)2,即（6-d)(9+d)=62, ∴d=3或d=-6,∴a,b,c分别为2,5,8或11,5,-1.
2.
4
第二十页，共39页。
【误区警示】在解决本题时注意审题，要求的是三个正数，所以解 出d=-10时需要舍去，不要忽视条件，导致(dǎozhì)错误.
高中数学 第一章《数列》等比数列的前n项和课件 北师大必修5
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10S411221011224
或
Sa51q6 1q
24126 12
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x1 y)(x2y 12) (xny 1n)
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第第第 第
一 二 三 四 ……64 格格格格 格
12 122 2 63
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
解：由题意，从第1年起，每年的产量
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
高中数学北师大版必修五《等比数列》课件
2•四1,级1,1，…，1；
• 五级
31, 2, 4,8,12,16, 20；
4 a, a2 , a3,……，an.
2024/11/14
5
单击此处编辑母版标题样式
q • 单击此问处题编提辑出母：版已如文知何本一写样个出等式它比的数通列项的公首式项？ a1和公比 ，
• 二级
q a • 首三级项是 • 四级
• 二级
• 三级
a , q, n, a ①• 四级 • 1五级
四个元素中可知三求一 n
②涉及多个已知条件时，可根据通项公式列方程组解决.
2024/11/14
8
单击此处编辑母版标题样式 16
●
14
（1）an 2n1 ：1，
2，4，8，16，…
5 4.
（2）an
1 2
n1
：1,
1 2
,
1 4
,
1 8
11
单击作此业：处课编本P辑30 ，母A版组1标，2题，3样，4式，6
• 单击（1此）“处生编态辑中国母，版绿色文中本国样”是式中国梦的重要组成部分。目前我国森林覆盖面积约
• 二级占国土面积的12%，处于较低水平，估计到2030年森林面积要在现有基础上
• 三翻级一番（即到达24%），生态环境明显改良。要实现上述目标，从2013年 到•20四3级•0年五森级林覆盖面积年平均增长率至少要为多少？
8
• 单击此处7 编辑●母版●文●本样●式 ● ● ● ● ● ●
• 二级 6
• 三级
•45四级• 五等级 比数列的图象4
3 （4）an 1 n1 ：1，-1，1，-1，1，-1，
2 1，…
1●
●
●
高中数学 第一章 等比数列课件 北师大版必修5(1)
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 如果一个数列从第2 项起，每一项与它 项起，每一项与前 前一项的 比 都等于 一项的差都等于同 一个常数，那么这 同一个非 0 常数 , 那 个数列叫做等差数 么这个数列叫做等 列.这个常数叫做等 比数列. 这个常数 差数列的公差，用d 叫做等比数列的公 比，用q表示. 表示
等比数列
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7 8
情景展示（1）
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度，关 于国际象棋有这样一个传说，国 王要奖励国际象棋的发明者，问 他有什么要求，发明者说：“请 在棋盘上的第一个格子上放1粒麦 子，第二个格子上放2粒麦子，第 三个格子上放4粒麦子，第四个格 子上放8粒麦子，依次类推，直到 第64个格子放满为止。” 国王慷 慨地答应了他。你认为国王有能
(4)1, 0, 1, 0 ……
是 不是
q =1
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) a1 0 a1 0 或 {an }递增； q 1 0 q 1 a1 0 a1 0 或 {an }递减； 0 q 1 q 1 q=1，常数列； q<0，摆动数列；
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
高中数学必修五课件：2.4《等比数列(一)》(人教A版必修5)
特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
北师大版必修5高中数学第一章数列小结课件
第一章《数列》
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问
题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能 力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练
程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析 的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
三、教学难点 解题思路和解题方法的优化。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列
的
应
用
数列求和
知识归纳
知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的
思想方法。 3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题
中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作
过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构； 2.提高对几种常见类型的认识；
得：an 2 3 3 n1 an 3n 2
性质的应用 {an }中, 例5 在 等 差 数 列
10 (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______;
( 2)若a1 a4 a7 39, a 2 a5 a8 33, 则
27 a3 a6 a9 ______ 24 ( 3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问
题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能 力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练
程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析 的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
三、教学难点 解题思路和解题方法的优化。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列
的
应
用
数列求和
知识归纳
知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的
思想方法。 3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题
中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作
过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构； 2.提高对几种常见类型的认识；
得：an 2 3 3 n1 an 3n 2
性质的应用 {an }中, 例5 在 等 差 数 列
10 (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______;
( 2)若a1 a4 a7 39, a 2 a5 a8 33, 则
27 a3 a6 a9 ______ 24 ( 3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5
(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么 可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
第五页，共38页。
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.3.1.1
解得
������1 = 27,
������
=
2 3
或
������1 = -27,
������
=
-
2 3
.
(3)由题意得
������1 ������1
������4-������1 ������3-������1
= 15①, ������ = 6②,
由
① ②
得
������2+1 ������ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
52,
解得
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
2.通项公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1
(a1≠0,q≠0). 【做一做2-1】在等比数列{an}中,a1=2,q=3,则an等于( ).
A.6 B.3×2n-1 C.2×3n-1 D.6n 解析:an=a1qn-1=2×3n-1.
答案:C
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做2-2】 有下列3个说法:
①等比数列中的某一项可以为0; ②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞); ③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1.
×
1 2
������ - 1
, ∴ ������ = 9.
解法二:∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,
∴q=
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等比数列的概念及其通项公式一课件
方法归纳
等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时，等比数列{an}为递增数列； (2)当a1>0，0<q<1或a1<0，q>1时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q＝1时，数列{an}是常数列； (4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
跟踪训练2 已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2) ＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝____2_n ___．
解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴aa31＝q2＝−−82＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an ＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
题型探究·课堂解透
题型一 等比数列的基本运算 例1 在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
例2
已知
2， 3
2
，
5， 3
16
是等比数列{an}图象上的两点，求数列
{an}的通项公式并判断{an}的单调性．
解析：由题意知a2＝32，a5＝136
∴q3＝aa52＝18
∴q＝12
∴an＝a2·qn－2＝32 ×
1 2
n−2
＝3×
1 2
n−1
∴a1＝3
∵a1>0，0<q<1
∴数列{an}单调递减．来自(2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等 于( )
A．12
B．18
C．24
D．36
答案：B
解析：设公比为q， 由已知得6＋6q＋6q2＝78， 即q2＋q－12＝0 解得q＝3或q＝－4(舍去)． ∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B.
等比数列求和公式及性质
后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟
上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
Sn a1a2an a1(11qqn)1251(5 4)n125 答这个热气球不 上可 升能 的 12超 m 高 5. 过 度
比数列 SN
r 2 1
1
1 4
1 4
2
1 4
n1
3 6
a
2
1
1
1 4 1 4
n
4 a2
3 12
1
1
n
4
a 2 1 9
1 4n
第二十三页，本课件共有29页
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12 与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
若m+n=p+q,则 若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
Sn
na1
n(n1)d 2
？
第二页，本课件共有29页
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
Sn a1a2an a1(11qqn)1251(5 4)n125 答这个热气球不 上可 升能 的 12超 m 高 5. 过 度
比数列 SN
r 2 1
1
1 4
1 4
2
1 4
n1
3 6
a
2
1
1
1 4 1 4
n
4 a2
3 12
1
1
n
4
a 2 1 9
1 4n
第二十三页，本课件共有29页
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12 与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
若m+n=p+q,则 若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
Sn
na1
n(n1)d 2
？
第二页，本课件共有29页
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
【优质课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式同步优秀课件.ppt
(2)当他用满4年时，车的价值为a5 ＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.
容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L， 然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满， 如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是 多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使 酒精浓度低于10%?
[解析] 开始的浓度为 1，操作一次后溶液的浓度是 a1＝1 －1a.设操作 n 次后溶液的浓度是 an，则操作 n＋1 次后溶液的浓 度是 an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以 a1＝1－1a为首项，q＝1－ 1a为公比的等比数列．所以 an＝(1－1a)n，即第 n 次操作后溶液的 浓度是(1－1a)n.当 a＝2 时，由 a1＝(12)n<110，得 n≥4.
等比数列的判定
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n ∈N＋)．
(1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． [分析] 先利用 an＝SSn1－n＝Sn－11，n≥2 ，求 a1，a2，an，再 利用定义证明{an}是等比数列．
[解析] (1)由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)， ∴a1＝－12. 又 S2＝13(a2－1)，即 a1＋a2＝13(a2－1)，解得 a2＝14.
2．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则 a3等于( )
A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 [答案] C [解析] ∵a4＝a1q3＝8×q3＝64，∴q3＝8， q＝2. ∴a3＝a1q2＝8×22＝32.
3．下列数列为等比数列的是( ) A．0,0,0,0，… B．22,42,62,82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…… D.1a，a12，a13，a14，…
容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L， 然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满， 如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是 多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使 酒精浓度低于10%?
[解析] 开始的浓度为 1，操作一次后溶液的浓度是 a1＝1 －1a.设操作 n 次后溶液的浓度是 an，则操作 n＋1 次后溶液的浓 度是 an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以 a1＝1－1a为首项，q＝1－ 1a为公比的等比数列．所以 an＝(1－1a)n，即第 n 次操作后溶液的 浓度是(1－1a)n.当 a＝2 时，由 a1＝(12)n<110，得 n≥4.
等比数列的判定
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n ∈N＋)．
(1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． [分析] 先利用 an＝SSn1－n＝Sn－11，n≥2 ，求 a1，a2，an，再 利用定义证明{an}是等比数列．
[解析] (1)由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)， ∴a1＝－12. 又 S2＝13(a2－1)，即 a1＋a2＝13(a2－1)，解得 a2＝14.
2．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则 a3等于( )
A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 [答案] C [解析] ∵a4＝a1q3＝8×q3＝64，∴q3＝8， q＝2. ∴a3＝a1q2＝8×22＝32.
3．下列数列为等比数列的是( ) A．0,0,0,0，… B．22,42,62,82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…… D.1a，a12，a13，a14，…
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庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。 各年汽车的价格组成数列： 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
(4)1, 0, 1, 0 ……
是 不是
q =1
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明： (1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) a1 0 a1 0 或 {an }递增； q 1 0 q 1 a1 0 a1 0 或 {an }递减； 0 q 1 q 1 q=1，常数列； q<0，摆动数列；
等比数列
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7 8
情景展示（1）
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度，关 于国际象棋有这样一个传说，国 王要奖励国际象棋的发明者，问 他有什么要求，发明者说：“请 在棋盘上的第一个格子上放1粒麦 子，第二个格子上放2粒麦子，第 三个格子上放4粒麦子，第四个格 子上放8粒麦子，依次类推，直到 第64个格子放满为止。” 国王慷 慨地答应了他。你认为国王有能
例1:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
a 8 （ 1 ）根据题意，得 解： 2 a
解得
a=4或a=-4
（ 2 ）根据题意，得
c b - 4 b 1 2 c c b
解得
b 2 c 1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。G
回忆
什么是等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10
(1) (2)
,
2 10
,
3 10
,
4 10
, . (3)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
ab
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个 数就会成为一个等比数列： （1）1， ±3 ， 9 （2）-1， ±2 ，-4
±6 ，-3 （3）-12，
（4）1，±1 ，1
小 结：
知识内容
等比数列的概念。
研究方法 类比
思想方法 方程的思想。
名
称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数， 一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
上述棋盘中各格子里的 麦ห้องสมุดไป่ตู้数按先后次序排成 一列数：
1， 2， 22 ， 23 ， ， 263
1844,6744,0737,0955,1615
力满足上述要求吗？
猜一猜：
给你一张足够大的纸，假设 其厚度为0.1毫米，那么当你 把这张纸对折了51次的时候， 所达到的厚度有多少？
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
数学式 子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
an1 q an
通项公式
?
猜一猜？
如果等比数列 {an}的首项是a1 ,公比是q,那么 这个等比数列的第n 项an 如何表示?
a3 a2 q q ∵ a1 a2 ∴ a2 a1 q
……
an q a n 1
a3 a2 q a1 q2 ……
比较下列数列
(1) 1, 2, 22 , 23 ,
……
, 263
1 1 1 1 , , , , …… (2) 2 4 8 16
(3）9，92，93，94，95，96，
9
7
（ 4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都
等于同一常数.
等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比 数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母q表示。 (q≠0）
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 如果一个数列从第2 项起，每一项与它 项起，每一项与前 前一项的 比 都等于 一项的差都等于同 一个常数，那么这 同一个非 0 常数 , 那 个数列叫做等差数 么这个数列叫做等 列.这个常数叫做等 比数列. 这个常数 差数列的公差，用d 叫做等比数列的公 比，用q表示. 表示
其数学表达式：
an an1 * q(n 2) 或 q(n N ) an1 an
问：如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是 否是等比数列？为什么？
答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等 式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与 它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都 不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒 成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符 合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。 所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不 一定是等比数列。
注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前 一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一 个非零常数。
练习
1、判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 …… 不是
2 1 (1) 2 , 1, , , 2 2
2 2
……
是
q=
(3)2, 2, 2, 2, …