量子力学第四章-力学量用算符表达-郭华忠
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很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则:ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 证：
x
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
Baidu Nhomakorabea
（8）算符函数
F(x) n0
x F ( n ) (0) n n!
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
( I ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与x对 易 ， 但 是pˆ x 与x不 对 易 ； ( II ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与z对 易 ， 而pˆ x 与z对 易 。
的所有量换成复共轭.
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算 符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *U~ˆ dUˆ *
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
pˆ
x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
(1)
xpˆ x
x(
i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i 对易
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例 如:
i Hˆt
e
n0
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
n0
1 n!
[
i
Hˆt]n
（9）复共轭算符
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
ypˆ z
pˆ z
y
0
zpˆ
y
pˆ yz
0
pˆ y pˆ z pˆ z pˆ y 0 pˆ z pˆ x pˆ x pˆ z 0
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Hamilton算 符Hˆ 等 于
体系动能算符Tˆ和
势能算符Vˆ之和。
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系
（6）对易括号
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符
（12）厄密算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
[ x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
u 变成 v， Ô 就是这种变
换的算符。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
1）du / dx = v ，
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v，
x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
第四章 力学量用算符表达
§1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 §3 厄密算符的本征值与本征函数 §4 算符与力学量的关系 §5 共同本征函数 §6 测不准关系
§1 算符的运算规则
（一）算符定义 （二）算符的一般特性
（一）算符定义
代表对波函数（量子态）进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则:ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 证：
x
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
Baidu Nhomakorabea
（8）算符函数
F(x) n0
x F ( n ) (0) n n!
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
( I ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与x对 易 ， 但 是pˆ x 与x不 对 易 ； ( II ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与z对 易 ， 而pˆ x 与z对 易 。
的所有量换成复共轭.
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算 符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *U~ˆ dUˆ *
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
pˆ
x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
(1)
xpˆ x
x(
i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i 对易
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例 如:
i Hˆt
e
n0
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
n0
1 n!
[
i
Hˆt]n
（9）复共轭算符
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
ypˆ z
pˆ z
y
0
zpˆ
y
pˆ yz
0
pˆ y pˆ z pˆ z pˆ y 0 pˆ z pˆ x pˆ x pˆ z 0
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Hamilton算 符Hˆ 等 于
体系动能算符Tˆ和
势能算符Vˆ之和。
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系
（6）对易括号
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符
（12）厄密算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
[ x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
u 变成 v， Ô 就是这种变
换的算符。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
1）du / dx = v ，
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v，
x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
第四章 力学量用算符表达
§1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 §3 厄密算符的本征值与本征函数 §4 算符与力学量的关系 §5 共同本征函数 §6 测不准关系
§1 算符的运算规则
（一）算符定义 （二）算符的一般特性
（一）算符定义
代表对波函数（量子态）进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数