第5章 图像变换
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N 1
f ( x, y) exp[ j2vy / N ] y 0
1次2-D 2次1-D O(N 4)减为O(N 2)
V ( N -1)
F ( u, v )
Y ( N-1) f ( x, y ) X (0,0) ( N -1)
1 N
N 1 x 0
F ( x, v ) exp[ j2ux / N ]
T (u, v)
N 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)h( x, y, u, v)
变换核与 原始函数及 变换后函数无关 反向变换核
f ( x, y)
N 1 N 1 u 0 v 0
T (u, v)k ( x, y, u, v)
5.1 可分离图象变换
可分离：1个2-D变换分成2个1-D变换
处理中，一般将从图象空间向其他空间的变换称
为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称
为反变换或逆变换
图像空间
变换空间
图像变换使图像在视觉上失去了原有图像的形
态，尽管视觉上不同，但是保留了很多本质特 征。
一般变换后的图象，大部分能量都分布于低频
谱段，这对以后图象的压缩（对集中部分编 码）、传输都比较有利。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.1 可分离图象变换
对称
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
(h1与h2的函数形式一样)
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
5.2 傅里叶变换
5.2.1 2-D傅里叶变换 5.2.2 傅里叶变换定理
5.2.3 快速傅里叶变换
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
T (u, v)
N 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)h( x, y, u, v)
N 1 x 0
T ( x, v)
N 1 y 0
f ( x, y)h2 ( y, v) T (u, v) T ( x, v)h1 ( x, u )
25
26
5.2.2 傅里叶变换定理
7、卷积定理
f ( x) g ( x) F (u)G(u) f ( x) g ( x) F (u) G(u)
2-D
f ( x, y ) g ( x, y )
- -
f ( p, q) g ( x p, y q)dpdq
因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个
特点来进行的。
二维Fourier变换的应用—用于图像滤波
首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分
为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要
的高频或是低频滤波。
Fourier变换的低通滤波示例
一个恰当的比喻是将傅里叶变换比做一个玻璃
棱镜。棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物 理仪器，每个成分的颜色由波长 ( 或频率 ) 决定。
傅里叶变换可看做“数学的棱镜”，将函数基
于频率分成不同的成分。当我们考虑光时，讨 论它的光谱或频率谱线。同样，傅里叶变换使 我们能够通过频率成分来分析一个函数。
图像在空间平移相当于其变换在频域与一个指数项相乘
F (u c, v d ) exp[ j2(cx dy ) / N ] f ( x, y )
图像在空间与一个指数项相乘相当于其变换在频域平移 图像平移不影响其傅里叶变换的幅值
2、旋转定理
f(x,y)旋转一个角度对应于将其傅里叶变换F(u,v)也 旋转相同的角度
1 2
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
5.2.1 2-D傅里叶变换
变换对公式
1 N 1 N 1 F (u, v) f ( x, y ) exp[ j2(ux vy) / N ] N x 0 y 0
1 N 1 N 1 f ( x, y) F (u, v) exp[j2(ux vy) / N ] N u 0 v 0
5.2.1 2-D傅里叶变换
1-D反变换
变换表达
F (u ) R(u ) jI (u ) F (u ) exp j (u )
F
1
F (u) f ( x) F (u) exp[j2ux / N ]
u 0
N 1
频谱（幅度）
F (u ) R 2 (u ) I 2 (u )
在傅立叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，
那么其傅立叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出 余弦变换，因此称之为离散余弦变换。 傅立叶级数 欧拉公式
5.4 离散余弦变换
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换（DCT）
(2 x 1)u C (u) a(u) f ( x ) cos 2N x 0
14
5.2.1 2-D傅里叶变换
1-D正变换
1 F f ( x ) F (u ) N
N 1 x 0
f ( x ) exp[ j2ux / N ]
对1个连续函数 f (x) 等间隔采样
f (x ) 75 50 10 15 0 1 2 25 x 3 4 5 6 7 85 90
另一幅图像效果
基于Fourier变换的压缩示例
压缩率为：16.1 8.1： 10.77 ： 111 ：
离散余弦变换
●离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅 里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。
5.4 离散余弦变换
2-D离散余弦变换（DCT）
C (u, v) a(u )a(v)
N 1 N 1 x 0
(2 x 1)u (2 y 1)v cos f ( x, y) cos 2N 2N y 0
f ( x, y)
Fourier变换的高通滤波示例
Fourier变换的应用----用于图像压缩
变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅
值。在小波变换没有提出时，用来进行压 缩编码。
考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌
的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗 过人眼。
基于Fourier变换的压缩示例
压缩率为：3.3 1.7： 2.24 ： 11
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
离散余弦变换（DCT）—— 应用
余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构
成的变换。
余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩
标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。
具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v)G(u, v)
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G(u, v)
二维Fourier变换的应用
前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：
可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算
转换为乘积运算。
k 0
N 1
j
2 nk N
正向变换核
f ( x)h( x, u)
u 0, 1, , N 1
反变换
f ( x)
N 1 u 0
反向变换核
T (u)k ( x, u)
x 0, 1, , N 1
5.1 可分离图象变换
2-D可分离变换
（傅里叶变换是一个例子）
正向变换核
N 1 N 1
u 0
(2 x 1)u (2 y 1)v a ( u ) a ( v ) C ( u , v ) cos cos 2N 2N v 0
可分离性和对称性
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
频谱（幅度） 相位角 功率谱
F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
12
(u, v) arctan[I (u, v) R(u, v)]
P ( u , v ) F ( u, v )
2
R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
1 F 0,0 MN
23
24
3.尺度定理
（1）对f(x,y)在幅度方面的尺度变换导致对其傅里叶变换 F(u,v)在幅度方面的对应尺度变化。 （2）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅里叶变换 F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。
（3）对f(x, y)的收缩(对应a>1, b>1)不仅导致F(u, v)空间的 膨胀，还使F(u, v)的幅度减小。
4
傅立叶变换例子
原图像
幅度谱
相位谱
第5章 图象变换基础
5.1 可分离图象变换 5.2 傅里叶变换
5.4 离散余弦变换
X ( k ) x ( n)e 5.1 可分离图象变换
n 0
N 1
j
2 nk N
1-D可分离变换
正变换
T (u )
N 1 x 0
1 x(n) N
X ( k )e
低频部分压缩少一些。
第5章
图象变换基础
第5章 图象变换基础
为了有效和快速地对图象进行处理，常常
需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换
到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质 方便地进行一定的加工，最后再转换回图象空间 以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着 重介绍和讨论的图象变换技术
第5章 图象变换基础
变换是双向的，或者说需要双向的变换。在图象
M 1 N 1 x 0 y 0
f x, y
一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均 灰度级。
傅立叶变换例子（一）
原图像
幅度谱
相位谱
傅立叶变换例子（二）
原图像
幅度谱
相位谱
5.2.2 傅里叶变换定理
分离性质
1 F ( x, v ) N N
1 N 1 N 1 F (u, v) f ( x, y ) exp[ j2(ux vy) / N ] N x 0 y 0
V ( N -1)
列变换 乘以 N (0,0)
F ( x, v ) X ( N -1)
行变换
F (u, v) U (0,0) ( N -1)
5.2.2 傅里叶变换定理
1、平移定理
f ( x, y ) F (u, v)
f ( x a, y b) exp[ j2(au bv) / N ]F (u, v)
f ( x) (2 x 1)u a ( u ) C ( u ) cos 2N u 0
当 u0 当 u 1, 2, , N 1
N 1
N 1
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
1N a (u ) 2 N
f ( x, y) exp[ j2vy / N ] y 0
1次2-D 2次1-D O(N 4)减为O(N 2)
V ( N -1)
F ( u, v )
Y ( N-1) f ( x, y ) X (0,0) ( N -1)
1 N
N 1 x 0
F ( x, v ) exp[ j2ux / N ]
T (u, v)
N 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)h( x, y, u, v)
变换核与 原始函数及 变换后函数无关 反向变换核
f ( x, y)
N 1 N 1 u 0 v 0
T (u, v)k ( x, y, u, v)
5.1 可分离图象变换
可分离：1个2-D变换分成2个1-D变换
处理中，一般将从图象空间向其他空间的变换称
为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称
为反变换或逆变换
图像空间
变换空间
图像变换使图像在视觉上失去了原有图像的形
态，尽管视觉上不同，但是保留了很多本质特 征。
一般变换后的图象，大部分能量都分布于低频
谱段，这对以后图象的压缩（对集中部分编 码）、传输都比较有利。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.1 可分离图象变换
对称
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
(h1与h2的函数形式一样)
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
5.2 傅里叶变换
5.2.1 2-D傅里叶变换 5.2.2 傅里叶变换定理
5.2.3 快速傅里叶变换
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
T (u, v)
N 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)h( x, y, u, v)
N 1 x 0
T ( x, v)
N 1 y 0
f ( x, y)h2 ( y, v) T (u, v) T ( x, v)h1 ( x, u )
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5.2.2 傅里叶变换定理
7、卷积定理
f ( x) g ( x) F (u)G(u) f ( x) g ( x) F (u) G(u)
2-D
f ( x, y ) g ( x, y )
- -
f ( p, q) g ( x p, y q)dpdq
因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个
特点来进行的。
二维Fourier变换的应用—用于图像滤波
首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分
为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要
的高频或是低频滤波。
Fourier变换的低通滤波示例
一个恰当的比喻是将傅里叶变换比做一个玻璃
棱镜。棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物 理仪器，每个成分的颜色由波长 ( 或频率 ) 决定。
傅里叶变换可看做“数学的棱镜”，将函数基
于频率分成不同的成分。当我们考虑光时，讨 论它的光谱或频率谱线。同样，傅里叶变换使 我们能够通过频率成分来分析一个函数。
图像在空间平移相当于其变换在频域与一个指数项相乘
F (u c, v d ) exp[ j2(cx dy ) / N ] f ( x, y )
图像在空间与一个指数项相乘相当于其变换在频域平移 图像平移不影响其傅里叶变换的幅值
2、旋转定理
f(x,y)旋转一个角度对应于将其傅里叶变换F(u,v)也 旋转相同的角度
1 2
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
5.2.1 2-D傅里叶变换
变换对公式
1 N 1 N 1 F (u, v) f ( x, y ) exp[ j2(ux vy) / N ] N x 0 y 0
1 N 1 N 1 f ( x, y) F (u, v) exp[j2(ux vy) / N ] N u 0 v 0
5.2.1 2-D傅里叶变换
1-D反变换
变换表达
F (u ) R(u ) jI (u ) F (u ) exp j (u )
F
1
F (u) f ( x) F (u) exp[j2ux / N ]
u 0
N 1
频谱（幅度）
F (u ) R 2 (u ) I 2 (u )
在傅立叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，
那么其傅立叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出 余弦变换，因此称之为离散余弦变换。 傅立叶级数 欧拉公式
5.4 离散余弦变换
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换（DCT）
(2 x 1)u C (u) a(u) f ( x ) cos 2N x 0
14
5.2.1 2-D傅里叶变换
1-D正变换
1 F f ( x ) F (u ) N
N 1 x 0
f ( x ) exp[ j2ux / N ]
对1个连续函数 f (x) 等间隔采样
f (x ) 75 50 10 15 0 1 2 25 x 3 4 5 6 7 85 90
另一幅图像效果
基于Fourier变换的压缩示例
压缩率为：16.1 8.1： 10.77 ： 111 ：
离散余弦变换
●离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅 里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。
5.4 离散余弦变换
2-D离散余弦变换（DCT）
C (u, v) a(u )a(v)
N 1 N 1 x 0
(2 x 1)u (2 y 1)v cos f ( x, y) cos 2N 2N y 0
f ( x, y)
Fourier变换的高通滤波示例
Fourier变换的应用----用于图像压缩
变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅
值。在小波变换没有提出时，用来进行压 缩编码。
考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌
的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗 过人眼。
基于Fourier变换的压缩示例
压缩率为：3.3 1.7： 2.24 ： 11
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
离散余弦变换（DCT）—— 应用
余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构
成的变换。
余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩
标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。
具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v)G(u, v)
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G(u, v)
二维Fourier变换的应用
前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：
可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算
转换为乘积运算。
k 0
N 1
j
2 nk N
正向变换核
f ( x)h( x, u)
u 0, 1, , N 1
反变换
f ( x)
N 1 u 0
反向变换核
T (u)k ( x, u)
x 0, 1, , N 1
5.1 可分离图象变换
2-D可分离变换
（傅里叶变换是一个例子）
正向变换核
N 1 N 1
u 0
(2 x 1)u (2 y 1)v a ( u ) a ( v ) C ( u , v ) cos cos 2N 2N v 0
可分离性和对称性
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
频谱（幅度） 相位角 功率谱
F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
12
(u, v) arctan[I (u, v) R(u, v)]
P ( u , v ) F ( u, v )
2
R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
1 F 0,0 MN
23
24
3.尺度定理
（1）对f(x,y)在幅度方面的尺度变换导致对其傅里叶变换 F(u,v)在幅度方面的对应尺度变化。 （2）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅里叶变换 F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。
（3）对f(x, y)的收缩(对应a>1, b>1)不仅导致F(u, v)空间的 膨胀，还使F(u, v)的幅度减小。
4
傅立叶变换例子
原图像
幅度谱
相位谱
第5章 图象变换基础
5.1 可分离图象变换 5.2 傅里叶变换
5.4 离散余弦变换
X ( k ) x ( n)e 5.1 可分离图象变换
n 0
N 1
j
2 nk N
1-D可分离变换
正变换
T (u )
N 1 x 0
1 x(n) N
X ( k )e
低频部分压缩少一些。
第5章
图象变换基础
第5章 图象变换基础
为了有效和快速地对图象进行处理，常常
需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换
到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质 方便地进行一定的加工，最后再转换回图象空间 以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着 重介绍和讨论的图象变换技术
第5章 图象变换基础
变换是双向的，或者说需要双向的变换。在图象
M 1 N 1 x 0 y 0
f x, y
一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均 灰度级。
傅立叶变换例子（一）
原图像
幅度谱
相位谱
傅立叶变换例子（二）
原图像
幅度谱
相位谱
5.2.2 傅里叶变换定理
分离性质
1 F ( x, v ) N N
1 N 1 N 1 F (u, v) f ( x, y ) exp[ j2(ux vy) / N ] N x 0 y 0
V ( N -1)
列变换 乘以 N (0,0)
F ( x, v ) X ( N -1)
行变换
F (u, v) U (0,0) ( N -1)
5.2.2 傅里叶变换定理
1、平移定理
f ( x, y ) F (u, v)
f ( x a, y b) exp[ j2(au bv) / N ]F (u, v)
f ( x) (2 x 1)u a ( u ) C ( u ) cos 2N u 0
当 u0 当 u 1, 2, , N 1
N 1
N 1
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
1N a (u ) 2 N