第四章图像变换详解
高考数学中的图像变换相关知识点详解
高考数学中的图像变换相关知识点详解图像变换在高考数学中是一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
作为高考数学的一部分，图像变换不仅涉及到具体的计算方法，还要求我们掌握一些抽象的概念。
在本文中，我们将详细讨论高考数学中的图像变换相关知识点，帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、图像的基本变换类型在高考数学中，图像的基本变换类型包括平移、旋转、缩放和翻转等。
其中，平移是指在平面内保持图形形状和大小不变的情况下，将其平移指定的向量，从而得到一个新的图像。
旋转是指将图像围绕某个点或某条线进行旋转，使得图形的位置和形状发生变化。
缩放是指将图形按照固定比例进行变形，可以将图形放大或缩小。
翻转是指将图像沿着某个基准线进行翻转，从而得到一个关于基准线对称的新图像。
二、二维坐标系中的图像变换图像变换的描述离不开数学中的坐标系概念。
在二维坐标系中，我们可以用坐标表示平面上的点，并通过坐标系的变换来描述图像的变化。
下面我们就分别对四种基本变换类型在坐标系中的运算规则进行介绍。
1. 平移变换平移变换是将点 $(x,y)$ 变换成点 $(x+a,y+b)$ 的变换，其中$(a,b)$ 为平移向量。
也就是说，平移变换相当于将坐标系整体向右移动 $a$，向上移动 $b$。
例如，对于给定的点 $(1,2)$，以$(3,4)$ 为平移向量进行平移变换，得到新的点 $(4,6)$。
2. 旋转变换旋转变换是将点 $(x,y)$ 按照某个中心点绕指定的角度$\theta$ 进行旋转，得到新的点$(x',y')$。
旋转变换的基本公式为：$$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$$其中 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 分别表示旋转角度的余弦和正弦值。
第4章 图像变换 (1)
数字图像处理
数字图像处理
• 图像（正交）变换广泛地应用在图像增强、
图像复原、特征提取、图像识别和图像编码压 缩等处理中。
• 常用(正交)变换：
– 傅里叶变换 – 离散余弦变换 – 小波变换 – 离散K-L变换
• 典型变换：
– 傅里叶变换——频率域
傅里叶变换
数字图像处理
• 法国数学家傅里叶
• 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/ 或余弦和的形式，每个正弦和/或余弦乘以不同 的系数（傅里叶级数）。
相位谱(相位角)：(u, v) arctan[I (u, v) R(u, v)]
功率谱(谱密度)：P(u, v) F(u, v) 2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
数字图像处理
(2) 二维傅里叶变换举例
例：给定二维方波 f (x,y) 如图4-3（教材图3-19） 所示，求其傅里叶变换F(u,v)。
复数表示： F(u) = R(u) + j I(u)
指数表示： F(u) F(u) e j(u)
幅度谱：
F (u)
1
R2 (u) I 2 (u) 2
相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
功率谱（谱密度）： P(u) F(u) 2 R2 (u) I 2 (u)
1
数字图像处理
(3) 一维离散傅里叶变换(DFT)
一维离散傅里叶变换公式为：
F (u)
1
N 1
j 2ux
f (x)e N
N x0
逆变换为：
N 1
j 2ux
f (x) F (u)e N
u0
u 0,1,, N 1
x 0,1,, N 1
图像变换
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
4第四章图像的几何变换详述
j
'
i
sin
j
cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。
图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。
图像的旋转板例书：题计算像素（1，1）
的旋转新坐标
30
i ' 0.866i 0.5 j
例题: 缩小6×6的图像，设k1=2/3, k2=3/4;
原图像f（i, j)＝f i j
新图像大小：k1M×k2N ＝4×5
f11 f12 f13 f14 f15 ff1166
f21 f22 f23 f24 f25 ff2266 采样间隔： Δi=3/2， 新图像g（i, j）
f31 f32 f33 f34 f35 ff3366 Δj=4/3
subplot(2,2,1); % 将当前图像窗口划分为2行2列，即
4个子窗口，要显示的内容在第一个
子窗口中显示
例 如：
关于图像的函数和命令 (3)
im2double(F); %将图象数组F转换成double精度类型 im2uint8(F); %将图象数组F转换成unit8类型 im2uint16(F); %将图象数组F转换成unit16类型
根据：g(i,j)=f(Δi×i, Δj×j) 对于：i=1，j＝1 → g(1,1)=f (1×3/2, 1×4/3)＝f 21 对于：i=2，j＝1 → g(2,1)=f (2×3/2, 1×4/3)＝f 31
……………………………
注意：不按比例 缩小会导致几何 畸变。
二、基于局部均值的的图像缩小方法
该方法通过对原图像的均匀采样该方法通过对原图像的均匀采样等间隔等间隔地选取一部分像素地选取一部分像素从而获得小尺寸图像的数据从而获得小尺寸图像的数据并且尽量保持原有图像特征不丢失并且尽量保持原有图像特征不丢失
第四章--图像的几何变换
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i=[1,6], j=[1,6]. x=[1,6*06]=[1,4], y=[1,6*0.75=[1,5]. x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[i2,i3,i5,i6], y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].
素值的填充是不连续的。 因此可以采用插值填充的方法来解决。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
最简单的方法是行插值（列插值）方法
1. 找出当前行的最小和最大的 非背景点的坐标，记作：
(i,k1)、(i,k2)。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
2. 在(k1,k2)范围内进行插值， 插值的方法是：空点的像素 值等于前一点的像素值。
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画 布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。
4.1.2 图像的镜像
镜像分为水平镜像和垂直镜像
水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：
x' y'
x
(水平镜#39; x
平移：
y
''
y '
N
1
N
1
y
123 1
2
3
-1 -2 -3 1
2
3
N 3
图像的旋转计算公式如下： x' x cos y sin y' x sin y cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在 的范围不同。
• 因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理
图像变换原理
图像变换原理图像变换是一种通过改变图像的像素值或空间关系，以得到新的视觉效果或数据表示的技术。
它在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域中具有重要的应用。
图像变换可以分为两类：几何变换和像素变换。
几何变换是通过改变图像的形状、位置、大小或者方向来实现的。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
平移是通过将图像在水平和垂直方向上的像素值进行移动来实现的，旋转是将图像绕着某个中心点旋转一定角度，缩放是通过改变图像的像素间距来改变图像的大小，而错切是通过改变图像像素之间的相对位置来改变图像的形状。
像素变换是通过改变图像的像素值来实现的。
常见的像素变换包括亮度调整、对比度调整、颜色空间转换和直方图均衡化等操作。
亮度调整是通过改变图像的亮度值来调整图像的明暗程度，对比度调整是通过改变图像的像素值范围来调整图像的清晰程度，颜色空间转换是将图像从一个颜色空间转换到另一个颜色空间，而直方图均衡化是通过改变图像的像素分布来增强图像的对比度和细节。
图像变换的原理主要包括以下几个方面：1. 像素级处理：图像变换是在图像的每个像素上进行的，通过改变每个像素的数值或颜色来实现图像的变换。
2. 空间转换：图像变换可以在图像的整个空间范围内进行，也可以只在图像的局部区域进行。
3. 插值方式：在对图像进行变换时，需要对新像素的像素值进行估计。
插值是一种常用的方法，通过对周围已知像素的像素值进行加权平均或其他数学处理来估计新像素的像素值。
4. 变换模型：不同的图像变换可以使用不同的数学模型来描述。
常见的变换模型包括仿射变换、透视变换和非线性变换等。
图像变换的原理和方法是计算机图形学和图像处理领域的基础知识，它为我们理解图像的特征提取、目标识别、图像增强和图像生成等问题提供了重要的工具和思路。
随着计算机技术的不断发展，图像变换的应用和研究也在不断深入和扩展，为我们实现更加丰富多样的图像处理和图像生成效果提供了可能。
第四章 图像的几何变换ppt课件
2.不等比例缩放 B=imresize(A,[mrows ncola],method);
其中向量参数[mrows ncols]指明了变换后目标图 像B的具体行数（高）和列数（宽），其余均与 等比例缩放时的调用相同。
运行结果：
原VC++实现
原图像 水平镜像
竖直镜像
4.4 图像转置
图像转置是将图像像素的x坐标和y坐标互换。图像的大 小会随之改变：高度和宽度将互换。
实现
4.5 图像缩放
4.5.1 图像的缩小
• 分为按比例缩小和不按比例缩小两种。 • 图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布 可相应缩小。
1 1 2 3
2
3 -1 -2 -3
1
2
3
M 3
1 3 2 1
2
3
4.3.1 MATLAB实现
imtransform函数用于完成一般的二维空间变换，形式 如下：
B=imtransform(A,TFORM,method);
其中： ◆ 参数A为要进行几何变换的图像。 ◆空间变换结构TFORM制定了具体的变换类型。 ◆可选参数method用于为imtransform函数选择插值算 法。默认时为双线性插值——'bilinear'。
第四章 图像的几何变换
4.1 图像几何变换内容及一般思路
4.1.1 几何变换的内容 ◆ 作用： 包含相同内容的两幅图像可能由于成像角度、 透视关系乃至镜头自身原因所造成的几何失 真而呈现出截然不同的外观，这就给观测者 或是图像识别程序带来了困扰。通过适当的 几何变换可以最大程度地消除这些几何失真 所产生的负面影响，有利于在以后的图像处 理和识别中更集中于图像中的对象，而不是 对象的角度和位置等。
第四章数字图像的变换域处理
Lｅnａ图像的移动后的频谱结果显示于图4.２中，对比图４．２与图４.１(ｂ),可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵Ａ、B的卷积
>>[M,N]=size(Ａ);
>>[P，Q]=sｉze(B）;
>＞p1=M+Ｐ－1;
>＞q1=N＋Ｑ-1;
＞>A1=fft２（Ａ,p1,q1);
>>T=dｃtｍtx(n）;
函数返回值T为 的变换核矩阵，对于 的方阵Ａ,可以使用矩阵运算Ｂ=T*A＊D’计算其DCT变换。
例4．3利用Ｄcｔmtx（)函数编程实现对Lｅna图片计算其离散余弦变换。
＞＞f=imreaｄ('E:＼mａｔlab7\leｎａ.bmｐ＇);
＞>g＝ｒgｂ２gray(f);
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式,对于一个 的向量 ，其离散线性变换可以表示为:
(4-２1)
其中, 为变换结果， 为 的变换矩阵，如果 矩阵是非奇异的,其逆矩阵 存在,其逆变换可以表示为:
(4－２2)
如果逆矩阵 等于变换矩阵的 共轭转置，有
（4-23）
则称 矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式(4－２1）的矩阵表示,变换矩阵 为:
>>B1=fft2(B,ｐ1,q1）;
>>C=A1.*B1;
>＞C1=ifft2(C）;
其中ffｔ2(A,p1,q1）是将图像Ａ扩展为 矩阵后再计算其傅里叶变换。
４.２离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Dｉscｒete CoｓｉnｅＴrａnsform, DCT)的变换基矢量为余弦函数,一维离散余弦变换的基矢量为:
最新第4章-图像几何变换课件ppt
12
偏移变换
水平偏移变换
x = u + shv y=v
垂直偏移变换
x=u y = svu + v
13
灰度内插
重采样：
1. 对输出图像中每个像素使用逆映射，将结果映射到 输入图像
2. 由此产生的结果为一重采样栅格，该栅格表明了对 输入图像重采样的位置
3. 对输入图像在这些点进行采样，并将采样值赋给相 应的输出像素
3.
S(1-α) f(u+1, v)+ S(2-α) f(u+2, v)
4.
同理可得f(u0, v-1), f(u0, v+1), f(u0, v+2)
5. 根据f(u0, v-1), f(u0, v), f(u0, v+1), f(u0, v+2)计算f(u0,
v0)
22
三种方法比较
最近邻法
优点 简单快速
2. 然后将其收缩，使它准确地与原图像匹配，收缩后 的750×750网格的像素间隔要小于原图像的像素间 隔
3. 在原图像中按照某种方式寻找合适的像素，经过相 应运算后得到750×750网格中所有的新像素灰度值
4. 把新图像扩展到原来规定大小，得到放大后的图像
3
坐标的空间变换
(u, v)是原图像中像素的坐标 (x, y)是变换后图像中像素的坐标 例如，变换(x, y) = T{(u, v)} = (u/2, v/2)
双线性插值法 能够得到满意的 插值效果
三次内插法 精度高，能保持 较好的图像边缘
缺点
当(u0, v0)点相邻像素灰 度值相差很大时，这种 方法产生较大的误差
图像轮廓会有些模糊， 计算量增大
第四章 图形变换.ppt
cos
使矩形ABCD绕坐标原点逆时针旋转30°，其各点
坐标为：A(0,0)、B(2,0)、C(2,1.5)、D(0,1.5)，则变换
后各点坐标为：0
2 2 0
0
0
0
1.5
1.5
cos30 sin 30
sin 30 cos30
1.732 0.982 0.75
例2：平移——旋转
1 0 0 cos sin 0
T 0 l
1 m
0 sin 1 0
cos
0
0 1
c os
s in
0
sin
cos
0
l cos m sin l sin m cos 1
可见平移量受旋转量影响。
三 三视图的变换矩阵
（一）三维物体数学模型的建立 变换方法
（二） 三视图的变换矩阵
1 主视图投影变换矩阵
主视图是立体向XOZ面（V面）作正投影，立体向 V面作正投影的实质是压缩变形，即所有的 y=0，可通 过单位变换矩阵控制Y坐标的第2列各元素为零，即：
3 对称变换 图 1 0
（1）对XOY坐标平面的对称变换 T 0 1
0 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0
1
1
（2）对XOZ坐标平面的对称变换 T 0
0 0
00 1 0 01 00
0
0
0
1
1 0 0 0
（3）对YOZ坐标平面的对称变换T 0 1 0 0
1
平移矩阵为：T 0
l
0 0 1 0
m 1
1 0 0
最新【数字图像处理技术与应用】第四章 图像的几何变换幻灯片课件
彰，形成合力，促进教书育人功能的巨
大提高。
（横向拓展）
如今，我国的教育因各种原因 而困难重重，若能多几个像焦老师 那样不甘平庸、敢于创新的老师， 拿出更多的新招，我国教育必然能 冲破重重阴霾，走向教育强国的康 庄大道。（联系实际，快速收尾）
讨论： 建立作文框架应注意些什么？
建立基本框架
1.一个响亮的标题 2.引述＋表态＋观点（150字以内）
引述有针对性。表态坚决、果断而明确。观点呈现不拖泥带水， 要简洁明白。
3.分点分层阐述理由（400字左右） （1）阐述理由时，要具有条理性，就是分点； （2）还要注意内容的层次性：如由浅及深，由表及里，由具体到
抽象等
（3）论证的逻辑性：多用关联词以展示思维的深广度。 4.进一步深入阐述（150字左右）
针对问题提出可行的有时代意义的解决方法，即解决问题。 另外，还可以“横向拓展”“纵向挖掘”和进行简易的批驳。 5.联系实际，快速收尾。 （100字以内）
不能太婆婆妈妈，应如一部乐曲演奏完毕，戛然而止、曲终 人散、回味无穷。
一个小窍门：
阅读下面材料，根据要求写一篇不少于800字的议 论文。
本就生长在“物欲横流”的环境中，一
味用钱去引导学习，极有可能变得功利，
使教育变味。但是，教育不能因存在某
种风险而畏首畏尾或举步不前。只要是
“在课后”，“用小钱”，方式恰当，
不变本加厉，在红包激励的同时仍以精
神感化、正面教育为主线，发红包这样
的新举动一定能在教育中起到重要的激
பைடு நூலகம்
活辅助作用。
（预设反方，简
其三，如果能把“发红包”这种新
事物与传统的教书育人方法有机整合起
来，还可以给人们提供一种新的思维和
第4章图像变换ppt课件
小波概念
• 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
• 在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是 一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据 也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题 。如果没有现成的小波可用，那么还需要自己开发合用 的小波。
• 用数学方法重新描述小波变换的过程 ➢ 用V2 中的哈尔基表示
哈尔小波变换
➢ 用V1和W1 中的函数表示
哈尔小波变换
➢ 用V0,W0和W1中的函数表示
哈尔小波变换
• 例. 对函数f (x)= [2,5,8,9,7,4,-1,-1] 作哈尔 小波变换。
二维哈尔小波变换
• 一幅图像可看成是由许多像素组成的一个大矩阵，在 进行图像压缩时，为降低对存储器的要求，人们通常 把它分成许多小块，例如以8×8 个像素为一块，并用 矩阵表示，然后分别对每一个图像块进行处理。
小波简史
• 20 世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个 与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909 年他发现了小波 ，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和 使用了小波。
• 20 世纪70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet 提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。
一维哈尔小波变换
• 哈尔基函数
– 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信 号，例如用基函数的加权和表示。
– 最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函 数在1909 年提出，它是由一组分段常值函数(piecewiseconstant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区间 [0,1) 上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1” ，其他地方为“0”。
《图像变变变》 讲义
《图像变变变》讲义一、图像的基本概念在我们深入探讨图像如何变化之前，让我们先了解一下什么是图像。
图像，简单来说，就是用视觉形式呈现的信息。
它可以是一幅画、一张照片、一个屏幕上的显示等等。
图像是由一个个像素组成的，像素就像是图像的小砖块。
每个像素都有自己的颜色和亮度值，这些像素组合在一起，就形成了我们看到的各种各样的图像。
图像有不同的类型，比如位图和矢量图。
位图图像是由像素组成的，放大时会出现锯齿状的边缘；而矢量图则是由数学公式描述的，无论怎么放大缩小都不会失真。
二、图像变化的常见形式1、缩放缩放是图像变化中最常见的一种形式。
当我们想要把一张图像放大或缩小时，就会用到缩放操作。
比如，我们在查看照片时，可以通过手指在屏幕上的缩放动作来改变图像的大小。
在图像缩放的过程中，需要注意保持图像的清晰度和比例。
如果缩放的算法不好，可能会导致图像变得模糊或者失真。
2、旋转旋转图像可以让它以不同的角度呈现。
比如，我们可以把一张水平的照片旋转 90 度变成垂直的。
旋转图像时，同样要考虑图像的质量和完整性，确保图像中的内容不会因为旋转而丢失或变形。
3、裁剪裁剪图像就是把图像的一部分剪掉，只保留我们想要的部分。
这在图像处理中经常用于突出主题或者去除不需要的背景。
裁剪时要注意选择合适的裁剪区域，以达到最佳的视觉效果。
4、色彩调整色彩调整包括改变图像的亮度、对比度、饱和度、色调等。
通过这些调整，可以让图像的色彩更加鲜艳、清晰或者营造出特定的氛围。
比如，在一张昏暗的照片中增加亮度，可以让照片中的细节更加清晰；增加对比度可以让图像中的色彩更加分明。
5、滤镜效果滤镜效果可以为图像添加各种特殊的效果，比如模糊、锐化、浮雕、马赛克等等。
这些滤镜可以让图像产生独特的艺术效果或者用于隐藏图像中的某些信息。
三、图像变化的工具和软件要实现图像的变化，我们需要使用各种工具和软件。
常见的图像编辑软件有 Adobe Photoshop、Illustrator，以及免费的软件如 GIMP 等。
4-图像变换
数字图像处理
图像的水平镜像
10
示例：
1 1 2 3 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1
N 3
1 2
3
数字图像处理
水平镜像示例
11
数字图像处理
图像的垂直镜像
垂直镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
x ' x (垂直镜像) y' y
12
因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。
图像的加减运算
对图像进行加减运算，就是将图像对应的存储矩形点列 上的灰度值进行加减运算。 图像相加可以将一幅图像的内容加到另一幅图像上，可 以实现二次曝光，也可以对同一个场景的多幅图像求平均 值，这样可以降低加性随机噪声；还可以用于图片的衔接 和融合，如数字水印。 图像相减可以用于运动检测，是对运动物体定位的一种 常用方法，通常使用连续捕获到的两到三张图象，通过像 素相减求得图像间的差异，为后续识别和定位打下基础。 或去除图像中不需要的加性图案，如电视的蓝屏技术。
30
zw
数字图像处理
图像的仿射变换—— 齐次坐标的意义
31
提供了用阶数统一的矩阵运算把空间上的一个点 从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 便于表示无穷远点：(xw, yw, w)，令w等于0 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现
数字图像处理
图像的仿射变换—— 通式
x' x x 平移： y ' y y
数字图像处理
图像的仿射变换—— 齐次坐标的特点
w 可以取不同值，同一点齐次坐标不唯一。 如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
图像变换
图像变换图像是由点构成的，因此图像变换的根源是点的变换，搞清楚点的变换才能搞清楚图像变换。
中心对称和轴对称变换的根源是中点坐标公式，因此，搞清楚中点坐标公式才能理清图像的对称变换。
中点坐标公式：点1122(,),(,)A x y B x y 的中点1212(,)22x x y y M ++ 已知一个端点11(,)A x y ，中点00(,)M x y ，则另一个端点坐标0101(2,2)B x x y y --。
一、点的图像变换点(,)P x y 左移a 个单位，得到(,)x a y -，点(,)P x y 右移a 个单位，得到(,)x a y +，点(,)P x y 上移b 个单位，得到(,)x y b +，点(,)P x y 下移b 个单位，得到(,)x y b -，点(,)P x y 关于x 轴对称，得到(,)x y -，点(,)P x y 关于y 轴对称，得到(,)x y -，点(,)P x y 关于原点对称，得到(,)x y --，点(,)P x y 关于x a =对称，得到(2,)a x y -，点(,)P x y 关于y b =对称，得到(,2)x b y -，点(,)P x y 关于点(,)a b 对称，得到(2,2)a x b y --，函数()y f x =左移a 个单位，得到()y f x a =+，函数()y f x =右移a 个单位，得到()y f x a =-，函数()y f x =上移b 个单位，得到()y f x b =+，函数()y f x =下移b 个单位，得到()y f x b =-，总结：左右移动变x ，上下移动变y ，左加右减，上加下减。
注：左移a 个单位，是将原表达式中的所有x 都替换成x a +，上移b 个单位，是将原表达式后面加上b 。
函数()y f x =关于x 轴对称，得到()y f x =-，函数()y f x =关于y 轴对称，得到()y f x =-，函数()y f x =关于原点对称，得到()y f x =--，函数()y f x =关于x a =对称，得到(2)y f a x =-，函数()y f x =关于y b =对称，得到2()y b f x =-，函数()y f x =关于(,)a b 对称，得到2(2)y b f a x =--，（假设函数的定义域为R ，下列各式都省略了对任意x R ∈均成立）f 为奇函数()()f x f x ⇔=--，f 为偶函数()()f x f x ⇔=-，f 为关于x a =对称的函数()(2)f x f a x ⇔=-，f 为关于y b =对称的函数()2()f x b f x ⇔=-，四、两个图像之间的对称性。
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两边分别前后各乘一个反变换矩阵
BTB BAFAB
如果B = A–1
F BTB
第5章
2-D傅里叶变换
F(u,v)
1 N
N 1
x0
N 1
f (x, y)exp[ j2(ux vy) / N ]
y0
f (x, y)
1
N 1
N 1
F(u,v)exp[ j2(ux vy) / N ]
x0 y0
2-D图像的反变换
u,v 0, 1, , N 1
N 1 N 1
f (x, y) T (u,v)k(x, y,u,v)
u0 v0
x, y 0, 1, , N 1
h(x, y, u, v)为正变换核，k(x, y, u, v)为反变换核
第5章
可分离和对称变换
可分离变换中的变换核是可分离的
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分 析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某 种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空 间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再 转换回图像空间以得到所需的处理效果
变换是双向的，或者说需要双向的变换。 在图像处理中，一般将从图像空间向其他空间 的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空 间的变换称为反变换或逆变换
图像傅立叶变换
原图像
幅度谱
相位谱
原图像
Байду номын сангаас
幅度谱
相位谱
•幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多 少
•相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位 置
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 反映出原始图像 的灰度级变化， 这正是图像的轮 廓边
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
h(x, y, u, v) h1(x, u)h 2( y, v)
对称变换中的变换核是对称的
h(x, y, u, v) h1(x, u)h1( y, v)
具有可分离变换核的2-D变换可分成两个步 骤来计算，每个步骤使用一个1-D变换
第5章
可分离和对称变换
首先沿f(x, y)的每一列进行1-D变换
傅立叶变换的物理意义
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分 布是以原点为圆心，对称分布的。
将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率 分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期 性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正 弦干扰，移 频到原点的频谱图上可以看出除了中 心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点 集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以 很直观的通过在该位置放置带阻 滤波器消除干扰
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状 ， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
傅立叶变换的性质
加法定理 位移定理 相似性定理 能量保持定理
加法定理
N 1
T (x,v) f (x, y)h2( y,v) x,v 0, 1, , N 1
y0
然后沿T(x, v)的每一行进行1-D变换
N 1
T (u,v) T (x,v)h1(x,u)
x0
u,v 0, 1, , N 1
第5章
矩阵形式的变换表示
如果变换核是可分离的和对称的函数时，变 换可用矩阵形式表示。以正变换为例
•离散傅立叶正变换:
F(u)
N
1
f(x
)e
j
2ux N
x 0
u 0,1,2, ,N 1
离散傅立叶逆变换:
f (x)
1
N 1
j 2ux
F (u)e N
x 0,1,2,, N 1
N u0
可分离和对称变换
2-D图像的正变换
N 1 N 1
T (u,v) f (x, y)h(x, y,u,v)
N u0 v0
u,v 0, 1, , N 1 x, y 0, 1, , N 1
第5章
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的 指标，是灰度在平面空间上的梯度。
对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是 图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像 上各点并不存在一一对应的关系，即使在 不移频 的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的 明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点 差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的 大小
如：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频 率值很低；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域 ，对应的频率值较高。
傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们
首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。
问题的提出
目的：为达到某种目的将原始图象变换映射到另 一个空间上，使得图象的某些特征得以突出，以 便于后面的处理和识别。
图像变换： 原则上，所有的图像处理都是图像变换。 图像变换是指数字图像经过正交变换，把原
先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换 域”形式描述的过程。
g(x, y) [ f (x, y)]
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号 ，都 可以表示为不同频率的正弦波信号的无限 叠加。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法 。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这 样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个 信号。
因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的 时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号 的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号 进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变 换将这些频域信号转换成时域信号。
变换后的图象，大部分能量都分布 于低频谱段，这对以后图象的压缩、 传输都比较有利。使得运算次数减少， 节省时间。
傅里叶变换
一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个 玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜 色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（ 或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将 函数基于频率分解为不同的成分。当我们 考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅 立叶变换使我们能通过频率成分来分析一 个函数。