用“调整优值法”求“线性规划问题”的最优整数解
线性规划中的最优整数解
线性规划中的最优整数解线性规划中的最优解，就是在线性约束条件下使目标函数取得最大值或最小值的可行解，而求最优整数解，是同学们的棘手问题，下面以例题的形式讲讲如何求最优解。
例. 某人承揽了一项业务：需做文字标牌6个，绘画标牌5个。
现有两种规格的原料，甲种规格每张32m ，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张22m ，可做文字标牌2个、绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使总的用料面积最小？最小用料面积是多少？分析：将已知数据列成如下所示的表格：解法一：设甲种规格的原料用x 张，乙种规格的原料用y 张，总的用料面积为z 2m ,则z=3x+2yx+2y ≥62x+y ≥5x ≥0y ≥0其可行域如图所示：解方程组x+2y=62x+y=5得M 的坐标为47(,)33当直线z=3x+2y过点M47(,)33时z最小，此时472632333z=⨯+⨯=由题意可知，点M47(,)33不是最优解，因为此问题最优解(x,y)中x，y应都是非负整数，所以目标函数z的最小值一定是大于263的整数，且x，y都是非负整数。
取z=9,得3x+2y=9，其非负整数解是（1，3）和（3，0），但点（3，0）不在可行域内，舍去，所以点（1，3）是最优解，min 9z=解法二：由解法一可知，点M47(,)33不是最优解，这时可求出可行域内左下侧靠近边界的整点，依次为A（0，5），B（1，3），C（2，2），D（3，2），E（4，1），F（5，1），G（6，0），将这些点的坐标分别代入目标函数z=3x+2y，求出z的各对应值，经检验可知，在整点B（1，3）处z取得最小值9。
答：甲种规格的原料用1张，乙种规格的原料用3张时，总的用料面积最小，其最小用料面积为92m。
对于线性规划中的最优整数解问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可采用如下的方法：1.调整优值法：先求“非整点最优解”及“最优值”，根据题意调整“最优值”，再求目标函数中的整数解，便可得出最优整数解。
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
求线性规划问题的最优整数解的方法
求线性规划问题的最优整数解的方法作者：陈树礼来源：《中学教学参考·理科版》2010年第01期线性规划是新教材新增内容,在近几年高考中都以较易题目出现,要学好本节内容,应注意以下三点.一、判定最优解求线性目标函数z=ax+by(a≠0、b≠0)在线性约束条件下的最优解问题,可转化为求直线y=-abx+zb在y轴上的截距的最大值和最小值.易知在b>0时,当zb最大时,z取得最大值,当zb最小时,z取得最小值;在b二、求出最优解依据边界直线的斜率(或倾斜角)计算出最优解.三、修正最优解,得到最优整数解现改编人教版高二(上例3的问题,以求达到抛砖引玉的目的.【例】某工厂生产甲、乙两种产品.已恬生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t.求:(1)甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(2)若甲种产品每吨利润600元,乙产品每吨利润200元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(3)若甲种产品每吨利润400元,乙产品每吨利润200元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(4)若甲种产品每吨利润200元,乙产品每吨利润600元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(5)若甲种产品每吨利润1000元,乙产品每吨利润800元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?解:(1)设生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨.利润为z元.则10x+4y≤300,5x+4y≤200,4x+9y≤360,x≥0,y≥0,z=600x+1000y.作出以上不等式组表示的平面区域,即可行域.作直线:600x+1000y=0,即直线:3x+5y=0,则z=200(3x+5y).设u=3x+5y,则当u最大时,z最大.易知直线NQ、MN、PM的斜率分别为-52,-54,-49,直线l的斜率为-53.平移直线∵M点为最优解点.由方程组5x+4y=200,4x+9y=360得M点的坐标为(36029,100029).∵x,y都是正整数,∴u=3x+5y=608029也应为正整数.∴u=3x+5y≤209.于是整点(11,35)为所求.当生产甲产品11吨,乙产品35吨时,能使利润总额最大.(2)此时目标函数为z=600x+200y.作直线平移直线∵直线经过点Q(30,0)时,z取得最大值.即只生产甲产品30吨时,获得利润最大.(3)此时目标函数为z=400x+200y.作直线平移直线∵-类似(1)可求解.(4)此时目标函数为z=200x+600y.作直线平移直线∵--49.∴当直线经过点P(0,40)时,5x+4y=0,即只生产乙产品40吨时,获得利润最大.(5)此时目标函数为z=1000x+800y.作直线平移直线∵-∴当直线与直线5x+4y=0重合时,z取得最大值.∴当点位于线段MN上任意一点时,都能使z取得最大值.总之,在本部分内容的学习中,要做到“一定、二算、三修正”.(责任编辑金铃)。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
2017届高考数学大一轮 第六章 不等式与推理证明 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理
1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.
如何寻找_线性规划问题_的整点最优解
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线
l0: 4x + 3y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最大, 此时 z = 200x + 150y 取最大值Ζ
= 1, 2, 3, 4, 如图 4, 打出网格, 这时网格在可行域
内的交点, 即可行域内的整点Ζ
将直线 l1 向上平移到 l2 的位置时, 直线 l2 最
先经过可行域内的整点B (5, 2) , 且使 z = 160x +
252y 取最小值, 此时
z 最小= 160×5+ 252×2= 1304.
2000 年 第 3 期 数学通报
19
如何寻找《线性规划问题》的整点最优解
安培录 (山西省代县中学校 034200)
试验教材高二数学 (上) 增加了《简单的线性
规划》的内容, 利用图解法解答线性规划的两类问 题Ζ 对此, 大纲要求“会简单的应用”Ζ
学生对线性规划的基本概念、基本方法在两
类实际问题中的应用, 基本可以达纲, 但对寻找 《线性规划问题》的整点最优解的问题, 感到不好 入手, 完成作业困难较大Ζ 在这个问题上, 试验教 材安排了一个例题 (P 76 页例 4) , 两个习题 (P 79 页第 3、4 题) , 一个复习题 (P 107 页第 17 题) Ζ 针 对学生从认知到应用这一过程存在的问题, 笔者 在教学实践中归纳整理了三种基本方法, 现举例 说明如下:
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
线性目标函数最优解的求解方法
线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。
现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。
于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。
故选B 。
评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。
二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。
例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。
评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。
3.3.2简单的线性规划问题2
[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15， x＋2y≥18， 可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0.
且 x、y 都是整数，
求目标函数 z＝x＋y 取最小值时的 x、y.2 分 作可行域如图所示，6 分
18 x＝ 5 ， x ＋ 3 y ＝ 27 ， ∵ ∴ 2x＋y＝15， y＝39， 5 平移直线
18 39 ∴A 5 ， 5
18 39 z＝x＋y，可知直线经过点 5 ， 5 ，此时
x＋y
18 39 57 18 39 ＝5， 但 5 与 5 都不是整数， 所以可行域内的点 A 5 ， 5 不
是最优解.8 分
方法一：平移求解法 首先在可行域内打网格，其次描出
下取得最大值时的最优解只有一个， 则实数 a
的取值范围是________． 解析：
x＋y－3≥0 作出线性约束条件2x－y≤0 y≤a
表示的平面
区域， 如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数 a的取值范 围是[2，＋∞)． • 答案： [2，＋∞)
∴A′(3,3)是最优解． 所以，甲、乙两种药片各用 3 片配餐最好．
•
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1) 处取得最大值，则a的取值范围为________．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①可行域已知； • ②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大 值． • 解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
• 1 ． 用图解法解决线性目标函数的最优解问题的 一般步骤 • (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把 可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可 以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大 的平面区域． • (2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看 成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最 先通过或最后通过的顶点便是所需要的点． • (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
(整理版)如何求最优整数解
如何求最优整数解求线性规划中最优整数解的问题，是学生最感头疼的事．下面仅举一例谈谈此类问题的求解策略，以供参考．题目：要将两种大小不同的钢板截成A B C ，，三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表所示：今需要A B C ，，三种规格的成品为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少．分析：这是一道求线性规划中最优整数解的问题，设两种钢板分别需要x y ，张，那么约束条件为21521832700.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩，，，，≥≥≥≥≥目标函数z x y =+，对应的可行域如下图．那么，怎样寻找其最优整数解呢？分解步骤如下：步骤1：作出一组平行直线x y t +=中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线．步骤2：求出直线327x y +=和直线215x y +=的交点183955A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 步骤3：写出过交点的目标函数的方程575x y +=． 步骤4：判断A 点是不是最优解．因为183955，都不是整数，所以可行域内的183955A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不是最优解．步骤5：找出接近575且适合题意的整数．经过可行域内的点且与原点距离最近的直线为12x y +=． 步骤6：确定适合题意的整点，得(39)(48)B C ，，，，即为所求的最优解． 评注：线性规划问题主要是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能标准．但考虑到作图毕竟会有误差，假假设图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以“验明正身〞．小结：运用线性规划的理论求解实际问题，与求解其它类型的实际问题一样，关键是建立数学模型，这既是学习中的重点，也是一个难点．对此，我们一定要予以充分的重视，加强训练，努力提高应用数学理论分析和解决实际问题的能力．。
简单的线性规划问题
目标函数为：z＝28x＋21y
1、找
4 3 x z 28
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即 可行域 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y
2、画
它表示斜率为 3 纵截距随z变化的一 组平行直线 z
28
4
6/7 y
是直线在y轴上 的截距，当截距最 小时，z的值最小。
5/7
M
3、移
0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为
了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使
花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A
B
0.105
0.105
0.07
0.14
0.14
0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B， 总成本为z，那么
1 7 4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
5、答
由此可知，每天食用食物A143g，食 物B约571g，能够满足日常饮食要求，又 使花费最低，最低成本为16元。
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数； （1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解； （4）5、答：作出答案。
7
小结：
线性规划求最优整数解的一般方法: 方法1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域 内的整点，平移直线，最先经过或最后经
过的整点坐标即为最优整解． 方法2.调整优解法： 即先求非整数条件下的最优
简单的线性规划整点最优解
0
使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) ，
1
且最大值为 3 ；
y=-1
(-1,-1)
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ，
x
(2,-1)
且最小值为 -3 ；
这两个最值都叫做问题的 最优解。
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例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt 资源限额
（1t）
（t）
4
300
4
200
9
360
1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300
5x+4y≤200 4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章线性规划(复习思考题)1 .什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划(Linear Programming, LP)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误答：(1)唯一最优解：只有一个最优点；(2)多重最优解：无穷多个最优解；(3)无界解：可行域无界，目标值无限增大；(4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3.什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b i 0,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“学”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件AX b, X 0的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
L~ —1|最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：基可行解5.用表格单纯形法求解如下线性规划max Z 4x1 x2 2x38x1 3x2 x3 26x1 x2 x3 8x1, x2,x3 0解：标准化maxZ 4x1 x2 2x38x1 3x2 x3 x4 26x1 x2 x3 x5 8x1,x2,x3,x4,x5 0列出单纯形表12 5 2故最优解为X* (0,0,2,0,6)T ,即x1 0,x2 0,x3 2,此时最优值为Z(X*) 4.6.表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中“，a2，C i，C2，d为何值及变量属于哪一类型时有：(1)表中解为唯一最优解；(2)表中解为无穷多最优解之一；(3) 下一步迭代将以必代替基变量X5；(4)该线性规划问题具有无界解；(5)该线性规划问题无可行解。
线性规划习题精选精讲含答案
O
x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y＝ 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D 五、求非线性目标函数的最值
2 x y 2 0 例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2 y 4 0 3 x y 3 0
是 （ A、 13， 1 C、 13， ） B、 13， 2 D、
3
0.18 x 0.09 y 72 0.08 x 0.28 y 56 解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 x 0 y 0
2
而 z=6x+10y.
习题精选精讲
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点 距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
x 2 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2 x y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是
（
）
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 （ 3,5] 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y＝ 0， 将 l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值 2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A 二、求可行域的面积
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低. 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它 ,这是线性规划中最常 见的问题之一.
线性规划问题的最优解
线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。
线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。
而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。
1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。
设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。
整数规划
xj 0 j 1,2,3,4
(5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) (5.2.9)
18
二、求解线性规划问题(1)
用单纯形法的表格形式求解，得最终表，见表5.2.1。 由表5.2.1及式max Z =一[min(一Z)]可知，问题(0)的
最优解A1点为
求解过程参见图5.3.1
30
2.判断无约束下最优解(0，0，0)T即节点1是否 是可行解?
显然，(0，0，0) T是无约束下的最优解，若它能使各 约束式得到满足，则它必是0-1规划原问题的最优解。
本例中把(0，0，0) T代入各约束式。得. Q1 = 4≥0 Q2 = －3 Q3 = －1
第五章
整数规划
1
线性规划问题中，最优解可能是整数，也可能不 是整数，而实际中有相当多的问题要求解答必须 是整数。
对于线性规划问题，如果增加部分变量或全部变 量为整数的要求，就构成了整数线性规划问题。 其中，要求全部变量为整数的问题称为纯整数规 划问题，要求部分变量为整数的问题称为混合整 数规划问题。
32
4.欲分枝，必须从某个不满足的约束的系数为 正值的变量中，选择一个自由变量Xj作非自由 变量。
求解问题(2)时，可以利用3.4节灵敏度分析中介 绍的增加一个新的约束条件的做法，尽快地得 到新的最优解。
21
五、例题的图解法结果
上述例题的 图解法结果示于 图 5.2.1中 。 图5.2.1中，各点的坐标及最优点的目标函数值列于
表5.2.3。
12
五、修改原来的上、下界
1．修改下界Z ：
– 从分支中，找出目标函数最大者为新的下界。
求线性规划问题的最优整数解的方法
取 得 最 小值 ． 二 、 出最的斜率（ 或倾斜角） 计算 出最优解． 三 、 正 最 优 解 。 到最 优 整 数解 修 得 现改编人教版高二（ ） ３的问题 ， 上 Ｐ 例 以求 达到抛 砖 引 玉 的 目的． 【 】 某工 厂生产 甲、 例 乙两 种 产 品． 恬 生 产 甲 种 已 产 品 ｌ 需 耗 Ａ种 矿 石 １ 、 ｔ ＯｔＢ种 矿 石 ５ｔ煤 ４ ； 产 乙 、 生 ｔ 种 产 品 １ 需 耗 Ａ 种 矿 石 ４ｔＢ种 矿石 ４ｔ煤 ９ｔ每 １ ｔ 、 、 ． ｔ 甲种 产 品 的 利 润 是 ６ ０元 ， １ ０ 每 种 产 品 的 利 润 是 ｔ乙 １０ 元 ． ００ 工厂 在生产 这 两种 产 品的计 划 中要求 消耗 Ａ 种 矿石 不 超 过 ３０ｔＢ种 矿 石 不 超 过 ２０ｔ煤 不 超 过 ０ 、 ０ 、
当÷最大时， 取得最大值， ｚ 当÷最小时， 取得最小值；
Ｕ ¨
平 移 直 线 ，。 ＜ Ｋ Ｋ ， ． 直线 ｚ 经过 Ｍ ‘Ｋ ． ＜ ．当 ‘
在ｂ ＜Ｏ时 ， Ｅ最 小时 ， 得最 大值 ， 当－ ‘ 取 当÷ 最 大时 ， ｚ
Ｉ ， ｆ ，
Ｉ： ｘ Ｏ ｉ３ ＋５ｙ ＝
润为 ｚ ． 元 则
ｆ０ ｑ ４ ￣３ ０ ｘ －ｙ ０ ， ｌ
（） 时 目标 函 数 为 一４ ０ ３此 Ｏ ＋２ ０ ． 直 线 ： ０ｙ 作 。２
＋ ＝０平移直线 如 ’一昔一Ｋ ＝ ， ＝ ，‘ ． №＜Ｋ 一一２ 一 ＜Ｋ
一
寻，． ．当直线经过点 Ｎ 时， 取得最大值． ‘ 类似（ ） １可
最大．
求 ：１ 甲、 （） 乙两种产品各 生产多少 吨（ 精确到 １吨） 才能使利润最大？ （） 甲种 产 品 每 吨 利 润 ６０元 ， 产 品 每 吨 利 润 ２若 ０ 乙 ２０ ． 、 两种 产 品各 生 产 多 少 吨 （ 确 到 １吨 ） 能 ０元 甲 乙 精 才 使利润最大？ （） 甲种 产 品每吨利 润 ４ ０元 ， ３若 ０ 乙产 品每 吨利润 ２０ ０ 元． 乙两种产品各生产多少 吨（ 甲、 精确到 １ ） 能 吨 才 使利润最大？ （） 甲种 产品每 吨利润 ２ ０元 ， ４若 ０ 乙产 品每 吨利润 ６０ ． 、 ０ 元 甲 乙两 种 产 品各 生产 多 少 吨 （ 确 到 １ ） 能 精 吨 才 使 利 润最 大 ？ （ ） 甲种 产 品每 吨 利 润 １０ 元 ， 产 品 每 吨利 润 ５若 ００ 乙 ８ ０ 甲、 ０ 元． 乙两种产品各生产多少吨（ 精确 到 １吨） 能 才 使利润最大？ 解 ：１设 生 产 甲 、 两 种 产 品分 别 为 吨 ， （） 乙 Ｙ吨． 利
运筹学习题习题解答
第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答：1、将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
解：1）在约束条件(1)式两边同时乘以-1，得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4，且x'4，x"4≥0。
在(4)式中加入人工变量x5，在(2)式中加入松弛变量x6，在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8；把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4）-M x5+0x6+0x7-M x8。
则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表（其中M为充分大的正数）：2）在上述问题2）的约束条件中加入人工变量x1，x2，…，x n得：初始单纯形表如下表所示：2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解：解：（1）大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4，x5，再分别加上人工变量x6，x7得：列出单纯形表如下表所示：由上表知：线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
（2）两阶段法第一阶段数学模型为：第一阶段单纯形表间下表所示：上述线性规划问题最优解，且标函数的最优值为0。
第二阶段单纯形表为下表所示：由上表知：原线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。
解：（1）上表中解为唯一最优解时，必有d>0，c1<0，c2<0。
（2）上表中解为最优解，但存在无穷多最优解，必有d>0，c1<0，c2=0或d>0，c1=0，c2<0。
线性规划整理
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
1
O
1 A(2,-1) 5
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
x+y-1=0
x - y 0 1 画出x y - 1 0区域 、 y y 1 0
•
x-4y+3=0
A
l： y 0， 2x
平移，使之与平面区域有公共点， 由图可知,当 z的值最大， 所以，
l 过B(1,1)时，
l
3x+5y-25=0
ｚ的值最小，当
过A(5,2)时， O -1 -1
3
4
5
6
7
x
zmin 2 1 1 3 zmax 2 5 2 12
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
1
O
1 A(2,-1) 5
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
x+y-1=0
x - y 0 1 画出x y - 1 0区域 、 y y 1 0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的 直 线 与 x y 0平 行. 2
o
x
2.作出下列不等式组的所表示的平面区域