电动力学三二(磁标势)
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R m 0
R 0 m 有限的边界条件。
( R R0 ) ( R R0 )
21
22
例 2 ：设 x<0 半空间充满磁导率为 的均匀介质， x>0的半空间为真空。有线电流 I沿 z轴流动。求磁感 应强度和磁化电流分布。 解：将线电流表面及x=0,y>0的界面挖去 磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化 电流。空间磁场由I、Im共同决定。 无关。 磁场应正比于1/r，与z、
平面一侧发出，终止在另一侧上，就好象一面分布有正磁荷， 而另一面上有负磁荷，这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止 在负磁荷上的纵场。因此可以用标势描写。
9
又例如电磁铁，我们想求出 两磁极间隙处的磁场，在这 个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子 电流激发的，没有任何自由电流， 因此永磁体的磁场甚至在空间（包 括磁铁内部）都可以用磁标势来描 述。
10
总结起来，在某区域内能够引入
磁标势的条件是该区域内的任何回路
都不被电流所链环，就是说该区域是
没有自由电流分布的单连通区域。
11
2· 公式推导
B 0 ( H M ) f ( H )
此式表示一般的函数关系，是由于在铁磁性物质中，线性关 系B=H不成立。磁标势法的一个重要应用是求铁磁体的磁场， 则此式中函数f(H) 不是单值，它依赖于磁化过程。 12
H d l 0 ,
L
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似， 因而不能引入标势。 2
在解决实际问题时，我不考虑整个空间中 的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所 有回路都没有链环着电流，则
H d l 0 , L H 0
因而在这个区域内可以引入标势。
m 0 M .
13
在J=0区域内， 所满足的微 分方程
静电场微 分方程
H 0
H m / 0
E ( f p ) / 0
E 0
两组方程对比，差别仅在于没有自由磁荷， 这是由于磁荷都是由分子电流的磁偶极矩假 想而来的，到目前为止实验还没有发现以磁 单极子形式存在的自由磁荷。
了使导线外空间满足可以用标势描述的条件，我们需要去掉含
导线在内的整个半无限大平面。这时闭合曲线 L ，由于去掉了 在半无限大平面上的点，就不再是闭合的了。其余空间中任何 一条闭合曲线都不会再连环着电流。 从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。由于
去掉的部分切断了原来闭合的磁力线，使磁力线从从半无限大
H 0
在J=0的区域内，磁场满足方程
B 0
因
H M
B 0 B 0 ( H M ) f ( H )
分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极 子，则物质磁化后就出现假想磁荷分布，和 电场值中P=－P 对应，假想磁荷密度为
电流仅有 e 方向分量，并且电流分布与 显然问题具有轴对称
角无关。
19
球转动时在球面上形成传导面电流 f ， f 将球内 外分成两个区，每一个区都可以用磁标势．由于球内 外都是真空，所以球内外的磁标势都满足拉普拉斯方 程．以球心为原点，ω方向为球坐标极轴，磁标势是 (R,θ)的函数。考虑到：
z
y
设x<0, ； m1 ； x>0， m 2 。 n 它们均满足拉普拉斯方程。
x
0
m m 1 m 在柱坐标中： m er e ez H r r z
因H正比于1/r
m 常数 选 0 m2 0
m1 s m 2 s 0 f n ( H 2 H1 ) f (进行分量展开) 0
把 H m B 0 ( H M ) 代入得出另一边值关系：
m 2 m1 0 0 m n n m 0 n ( M 2 M 1 )
由麦克斯韦方程组之一，得：
相矛盾！
7
如果我们挖去线圈所围着的 一个壳形区域之后，则剩下 的空间 V中任一闭合回路都 不链环着电流（如图）。因 此，在除去这个壳形区域之 后，在空间中就可以引入磁 标势来描述磁场
8
例如空间一根无限长载流直导线，导线外的空间中不存在 电流，但在导线外空间中仍可作出连环着电流的闭合曲线。为
14
由此，可以引入磁标势m，使
H m
m m / 0
2Βιβλιοθήκη Baidu
15
用磁标势法时，H和电场中的E相对应。
16
磁标势在两介质交界面上的边值关系可以从普遍磁场 的边值关系得出。
n ( B2 B1 ) 0
n ( H 2 H1 ) a f
则磁标势边值关系：
17
对于非铁磁质来说， B μH ，故得到
m2 μ2 n
S
m1 μ1 n
S
18
例1：一个半径为R0的均匀带电 薄导体球壳，绕自身某直径以角 速度ω旋转，给定球壳上的总电 荷Q，求球壳内外空间中磁场。
f v r
解：取球心为原点、极轴沿转轴的球坐标系。球壳 上有面电流
3
问题的提出： 如果所讨论的区域没有传导的电流， 那么是否就一定可以采用类似电势的磁 势来描述静磁场？ 答案：否
4
分析这样一个例子：
除了载流线圈所处的位置，空间任意一点的磁 场强度满足
H 0
5
对于积分回路L1
这个结果与麦克斯韦方程之相一致。
6
对于积分回路 ,假设回路 L2上的每一点的磁势都有 定义,则：
1、标势的引入
在一般情况下磁场不能用标势描述，而需 要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但 解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们 考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标 势的可能性。
1
由磁场环路定律得
H d l J d S ,
L S
L为S的边界。如果回路 L环着电流，即有电流 穿过L所围曲面S，则
R 0 m 有限的边界条件。
( R R0 ) ( R R0 )
21
22
例 2 ：设 x<0 半空间充满磁导率为 的均匀介质， x>0的半空间为真空。有线电流 I沿 z轴流动。求磁感 应强度和磁化电流分布。 解：将线电流表面及x=0,y>0的界面挖去 磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化 电流。空间磁场由I、Im共同决定。 无关。 磁场应正比于1/r，与z、
平面一侧发出，终止在另一侧上，就好象一面分布有正磁荷， 而另一面上有负磁荷，这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止 在负磁荷上的纵场。因此可以用标势描写。
9
又例如电磁铁，我们想求出 两磁极间隙处的磁场，在这 个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子 电流激发的，没有任何自由电流， 因此永磁体的磁场甚至在空间（包 括磁铁内部）都可以用磁标势来描 述。
10
总结起来，在某区域内能够引入
磁标势的条件是该区域内的任何回路
都不被电流所链环，就是说该区域是
没有自由电流分布的单连通区域。
11
2· 公式推导
B 0 ( H M ) f ( H )
此式表示一般的函数关系，是由于在铁磁性物质中，线性关 系B=H不成立。磁标势法的一个重要应用是求铁磁体的磁场， 则此式中函数f(H) 不是单值，它依赖于磁化过程。 12
H d l 0 ,
L
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似， 因而不能引入标势。 2
在解决实际问题时，我不考虑整个空间中 的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所 有回路都没有链环着电流，则
H d l 0 , L H 0
因而在这个区域内可以引入标势。
m 0 M .
13
在J=0区域内， 所满足的微 分方程
静电场微 分方程
H 0
H m / 0
E ( f p ) / 0
E 0
两组方程对比，差别仅在于没有自由磁荷， 这是由于磁荷都是由分子电流的磁偶极矩假 想而来的，到目前为止实验还没有发现以磁 单极子形式存在的自由磁荷。
了使导线外空间满足可以用标势描述的条件，我们需要去掉含
导线在内的整个半无限大平面。这时闭合曲线 L ，由于去掉了 在半无限大平面上的点，就不再是闭合的了。其余空间中任何 一条闭合曲线都不会再连环着电流。 从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。由于
去掉的部分切断了原来闭合的磁力线，使磁力线从从半无限大
H 0
在J=0的区域内，磁场满足方程
B 0
因
H M
B 0 B 0 ( H M ) f ( H )
分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极 子，则物质磁化后就出现假想磁荷分布，和 电场值中P=－P 对应，假想磁荷密度为
电流仅有 e 方向分量，并且电流分布与 显然问题具有轴对称
角无关。
19
球转动时在球面上形成传导面电流 f ， f 将球内 外分成两个区，每一个区都可以用磁标势．由于球内 外都是真空，所以球内外的磁标势都满足拉普拉斯方 程．以球心为原点，ω方向为球坐标极轴，磁标势是 (R,θ)的函数。考虑到：
z
y
设x<0, ； m1 ； x>0， m 2 。 n 它们均满足拉普拉斯方程。
x
0
m m 1 m 在柱坐标中： m er e ez H r r z
因H正比于1/r
m 常数 选 0 m2 0
m1 s m 2 s 0 f n ( H 2 H1 ) f (进行分量展开) 0
把 H m B 0 ( H M ) 代入得出另一边值关系：
m 2 m1 0 0 m n n m 0 n ( M 2 M 1 )
由麦克斯韦方程组之一，得：
相矛盾！
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如果我们挖去线圈所围着的 一个壳形区域之后，则剩下 的空间 V中任一闭合回路都 不链环着电流（如图）。因 此，在除去这个壳形区域之 后，在空间中就可以引入磁 标势来描述磁场
8
例如空间一根无限长载流直导线，导线外的空间中不存在 电流，但在导线外空间中仍可作出连环着电流的闭合曲线。为
14
由此，可以引入磁标势m，使
H m
m m / 0
2Βιβλιοθήκη Baidu
15
用磁标势法时，H和电场中的E相对应。
16
磁标势在两介质交界面上的边值关系可以从普遍磁场 的边值关系得出。
n ( B2 B1 ) 0
n ( H 2 H1 ) a f
则磁标势边值关系：
17
对于非铁磁质来说， B μH ，故得到
m2 μ2 n
S
m1 μ1 n
S
18
例1：一个半径为R0的均匀带电 薄导体球壳，绕自身某直径以角 速度ω旋转，给定球壳上的总电 荷Q，求球壳内外空间中磁场。
f v r
解：取球心为原点、极轴沿转轴的球坐标系。球壳 上有面电流
3
问题的提出： 如果所讨论的区域没有传导的电流， 那么是否就一定可以采用类似电势的磁 势来描述静磁场？ 答案：否
4
分析这样一个例子：
除了载流线圈所处的位置，空间任意一点的磁 场强度满足
H 0
5
对于积分回路L1
这个结果与麦克斯韦方程之相一致。
6
对于积分回路 ,假设回路 L2上的每一点的磁势都有 定义,则：
1、标势的引入
在一般情况下磁场不能用标势描述，而需 要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但 解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们 考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标 势的可能性。
1
由磁场环路定律得
H d l J d S ,
L S
L为S的边界。如果回路 L环着电流，即有电流 穿过L所围曲面S，则