高中数学必修内容复习(1)--集合与简易逻辑
高中数学核心知识点及基本思想方法总结1----集合与简易逻辑
高中数学核心知识点及基本思想方法总结第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论。
“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年,德国人)是集合论的创始者。
目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。
集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。
要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合。
◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。
一般地,某些指定的对象.....集在一起就成为一个集合(确定性)。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
【注意】①集合的确定性如何体现?(例如很高的山,一条快乐的鱼能成为一个集合么) ②元素与集合的关系。
(属于∈、不属于∉)【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==,若B b A a ∈∈,,试判断a+b 与A 、B 的关系。
〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量,即解作:Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,,此法失去任意性。
〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。
(确定性、互异性、无序性) 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ,其中R a ∈。
(1)若A ∈-3,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些?(列举法、描述法、图示法、区间法)【思考】各表示方法的特点,比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。
集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习
知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象.2.集合元素的特征(1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.(2)互异性:集合中任何两个元素都是互不相同的,即相同元素在同一个集合中不能重复出现.(3)无序性:集合与其组成元素的顺序无关.3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种.4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图).5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ,记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).(2)真子集:若A B ⊆,且存在b B ∈,但b A ∉,则集合A 是集合B 的真子集,记作AB (或B A ⊃≠). 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等:对于两个集合A 与B ,如果A B ⊆,同时B A ⊆,那么集合A 与B 相等,记作A =B .(4)空集:把不含任何元素的集合叫做空集,记作∅;(三)集合的基本运算(1)交集:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,记作A B ⋂, 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且.(2) 并集:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集,记作A B ⋃,(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或.(3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作U C A ,即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质:①交换律:A ∪B =B ∪A ;A ∩B =B ∩A ;②结合律:(A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C );(A ∩B )∩C =A ∩(B ∩C );③分配律:(A ∩B )∪C =(A ∪C )∩(B ∪C );(A ∪B )∩C =(A ∩C )∪(B ∩C );【集合常用结论】1.子集个数:含有n个元素的有限集合M,其子集个数为2n;其真子集个数为2n-1;其非空子集个数为2n-1;其非空真子集个数为2n-2.2. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B);4.A∪B=A⇔B⊆A;A∩B=B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),其否定为特称(存在性)命题:¬p:∃x0∈M,¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p:∃x0∈M,p(x0),其否定为全称命题:¬p:∀x∈M,¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法:若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法:利用集合间的包含关系。
高考数学《集合与简易逻辑》(考纲要求)
第一章 集合、简易逻辑考试内容:集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求:(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.知识结构:基本方法和数学思想1.必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ;2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3.(1)含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集(非空子集)个数为2n -1;(2);B B A A B A B A =⇔=⇔⊆(3);)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==4、一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<;121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.5.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;6.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;7.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若B A ⊆,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;高考热点分析集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识,是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.。
高考数学知识点复习-集合与简易逻辑
高考数学知识点复习——集合、简易逻辑考试内容:集合。
子集。
补集。
交集。
并集。
逻辑联结词。
四种命题。
充分条件和必要条件。
考试要求:(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合。
【导读】数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思维方法解决问题。
学会运用数形结合、分类讨论的思维方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质。
【试题举例】已知集合S={x∈Rx+1≥2},T={-2,-1,0,1,2},则S∩T=( )A.{2 }B. {1,2 }C. {0,1,2 }D.{-1,0,1,2}【答案】B【解析】(直接法)S={x∈Rx+1≥2}⇒S={x∈Rx≥1},T={-2,-1,0,1,2},故S∩T={1,2}.(排除法)由S={x∈Rx+1≥}2⇒S={x∈Rx≥1ng}可知S∩T中的元素比0要大,而C、D项中有元素0,故排除C、D项,且S∩T中含有元素1,故排除A项。
故答案为B.(2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
理解四种命题及其相互关系。
掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
【导读】可以判断真假的语句叫做命题。
构成复合命题的p或q可以是两个不相关的命题,判断命题真假的步骤是:(1)定形式;(2)判简单;(3)判复合,以真值表为依据。
规律是“或命题”一真俱真,要假全假.“且命题”一假俱假,要真全真。
当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假。
高考在考查其他部分内容时涉及集合的知识。
很少有正面考查逻辑的内容。
逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来并汇考查。
【试题举例】(2008·全国卷二)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①;充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形。
高考数学必修1总复习《集合与简易逻辑》
具体化(具体求出相关的集合,
Venn 图、
函数的图像等,即数形结合的思想).
考点三 集合的运算
【例3】 (2010·全国)设全集U={x∈N+|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则 ∁U(A∪B)=( )
A. {1,4} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
解 ∵A={1,3},B={3,5},∴A∪B={1,3,5},∴∁U(A∪B)={2,4},故选C.
考点二 集合之间的关系 【例2】 已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A M⊆B,则满足上述 条件的集合M有________个. 解 ∵A M, ∴M中一定含有A的全部元素1,2,且至少含有一个不属于A的元素. 又∵M⊆B, ∴M中的元素除了含有A的元素1,2外,还有元素3,4,5中的1个、2个或3 个.故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集 合M有23-1=7个.
正整数 集
整数集
有理数 集
实数集 复数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法: __列__举__法__、 __描__述__法__、 V__e_n_n_图_法__ 、 __区__间____、 __不__等__式__. 2. 集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言
子集 相等 真子集
A中任意一个元素均为B中的元 素
(1)若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是________;
(2)若A∩B≠A,则实数a的取值范围是________;
(3)若A∪B=B,则实数a的取值范围是________.
解析:A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a},将集合A、B表示在数轴上(注:集 合B表示的范围随着a值的变化而在移动),如图所示,要注意的就是对于端 点值的取舍.
高考数学专题1 集合与简易逻辑
专题1 集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础,由“运算”分枝杈.二.高考考点1.对于集合概念的认识与理解,重点是对集合的识别与表达.2.对集合知识的综合应用,重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;命题的四种形式;相关命题的等价转换,重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4.充分条件与必要条件的判定与应用.三.知识要点(一)集合1.集合的基本概念(1)集合的描述性定义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知:集合由一组指定的(或确定的)对象的全体组成,整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性:(I)确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的,只有“是”与“否”两种情况.(II)互异性:集合中的任何两个元素都不相同.(III)无序性:集合中的元素无前后顺序之分.(2)集合的表示方法集合的一般表示方法主要有(I)列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒:用列举法表示集合时,须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”,以防自己表示有误或被他人迷惑.(II)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式:{x|p(x),x∈A}其中,大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”,竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围(即判断对象是否属于集合的确定的条件).②认知集合的过程:认清竖线前的代表元素;考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例:认知以下集合:; ;; ,其中M={0,1}.分析:对于A,其代表元素是有序数对(x,y),即点(x,y)点(x,y)坐标满足函数式y=x2-1(x∈R)点(x,y)在抛物线y=x2-1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B,其代表元素为y y是x的二次函数:y=x2-1(x∈R),再注意到集合的意义是范围集合B 是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域,故B={y|y≥-1}.对于C,其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域,即C=R.对于D,其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的(全部)子集组成,故D={φ,{0},{1},{0,1}}.(III)数轴法和文氏图法:文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域(内部)表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注:集合的符号语言与文字语言的相互转化,是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展,这一软性作业必须高质量完成.2.集合间的关系(1)子集(I)子集的定义(符号语言):若x∈A x∈B,则A B(注意:符号的方向性)规定:空集是任何集合的子集,即:对任何一个集合A,都有φ A显然:任何一个集合都是自身的子集, 即A A.(II)集合的相等:若A B且B A,则A=B.(III)真子集定义:若A B且A≠B;则A B(即A是B的真子集).特例:空集是任何非空集合的真子集.(2)全集,补集(I)定义设I是一个集合,A I,由I中所有不属于A的元素组成的集合,叫做I中子集A的补集(或余集),记作A,即A={x|x∈I,且x A}.在这里,如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素,则将I称为全集,全集通常用U表示.(II)性质:φ=U;U=φ;(A)=A(III)认知:补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题,当正面入手头绪繁多或较为困难时,要想到运用“间接法”进行转化求解.(3)交集,并集(I)定义:①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x ∈A,且x∈B};②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x ∈A,或x∈B}.(II)认知:上面定义①、②中的一字之差(“且”与“或”之差),既凸显交集与并集的个性,又展示二者之间的关系.在这里,要特别注意的是,并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同,并集概念中的“或”源于生活,但又高于生活中的“或”:生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一,并不兼有;而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”,可以兼有.因此,“x∈A或x∈B”包括三种情形:x∈A且x B;x∈B且x A;x∈A且x∈B.(III)基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A;A∩φ=φ;A∩B= B∩A;A∩ A =φ;(A∩B)∩C= C∩(A∩B)= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A;A∪φ=A;A∪B= B∪A;A∪A=I;(A∪B)∪C=A∪(B∪C)= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∩(A∪C)=AA∪(A∩B)=A( IV )重要性质①A∩B=A A B; A∪B=B A B;②A∩B=(A∪B);A∪B=(A∩B)上述两个性质,是今后解题时认知、转化问题的理论依据.(二)简易逻辑1.命题(1)定义(I)“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.(II)可以判断真假的词句叫做命题.其中,不含逻辑联结词的命题叫做简单命题,由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式:①p或q;②p且q;③非p(即命题p的否定).(2)复合命题的真假判断(I)当p、q同时为假时“p或q”为假,其它情况时为真;(II)当p、q同时为真时“p且q”为真,其它情况时为假;(III)“非p”与p的真假相反.(3)认知(I)这里的“或”与集合的“并”密切相关(并集又称为或集):集合的并集是用“或”来定义的:A∪B={x| x∈A或x∈B}.“p或q”成立的含义亦有三种情形:p成立但q不成立;q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B;B∩ A;A∩B.不过,A∪B强调的是一个整体,而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.(II)“或”、“且”联结的命题的否定形式:“p或q”的否定p且q;“p且q”p或q.它们类似于集合中的(A∪B)=(A)∩(B),(A∩B)=(A)∪(B)(4)四种命题(I)四种命题的形式:用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p和q的否定,则四种命题的形式为原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p则q逆否命题:若q则p.(II)四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件(I)定义:若p q则说p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p q则说p 是q的充分必要条件(充要条件).(II)认知:①关注前后顺序:若p q则前者为后者的充分条件;同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论,则这一条件为结论的充分条件;若结论条件,则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1.判断下列命题是否正确.(1)方程组的解集为{(x,y)|x=-1或y=2};(2)设P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2},则p Q;(3)设,则M N;(4)设,,则集合等于M∪N;分析:(1)不正确.事实上,方程组的解为有序实数对(-1,2),而-1或2不是有序实数对,故命题为假.正确解题:方程组解集应为(初始形式)=={(-1,2)}(2)不正确.在这里,P为数集,Q为点集,二者无公共元素,应为P∩Q=φ.(3)为认知集合中的元素的属性,考察代表元素的特征与联系:对两集合的代表元素表达式实施通分,对于集合M,其代表元素,2k+1为任意奇数;对于集合N,其代表元素,k+2为任意整数.由此便知M N,故命题正确.(4)不正确.反例:注意到这里f(x),g(x)的定义域未定,取,,则f(x)·g(x)=1(x≠-3且x≠1),此时f(x)g(x)=0无解.揭示:一般地,设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q,且,,则有例2.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}(1)若A∩B=B,求a的值;(2)若A∪B=B,求a的值.解:集合A={-4,0}(1)A∩B=B B A即B{-4,0}由有关元素与B的从属关系,引入(第一级)讨论.(I)若0∈B,则有a2-1=0a=1(以下由a的可能取值引入第2级讨论).又当a=-1时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0x2=0x=0此时B={0}符合条件;当a=1时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.(II)若-4∈B,则有16+2(a+1)(-4)+a2-1=0a2-8a+7=0(a-1)(a-7)=0 a=1或a=7 当a=1时,由(I)知B=A符合条件;当a=7时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=-12或x=-4此时B={-12,-4} A.(III)注意到B A,考察B=φ的特殊情形:B=φ=4(a+1)2-4(a2-1)<0 a<-1,此时集合B显然满足条件.于是综合(I)、(II)、(III)得所求a的取值集合为{a|a=1或a≤-1}.(2)集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2-1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A此时,由(1)知a=1,即所求a的的数值为a=1.点评:(1)在这里,对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要:对集合A.B的关系,分别考察特殊(相等)和一般(真包含)情形,引出第一级讨论;对集合B的存在方式,又分别考察特殊(B=φ)和一般(B≠φ)的两种情形,引出第二级讨论.“特殊”(特殊关系或特殊取值)是分类讨论的切入点.(2)空集φ作为一个特殊集合,既是解题的切入点,又是设置陷阱的幽灵,注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系,解题时应适时考察“特殊”,自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3.已知A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}若A B,试求实数a的取值范围.解:A={x|1<x<3}=(1,3)注意A B,故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2-2(a+7)x+5≤0总成立.(1)对任意x∈(1,3),f(x)=x2-2(a+7)x+5≤0总成立,f(x)=0有两实根,且一根不大于1,而另一根不小于3①(2)令g(x)=-21-x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3),21-x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤-1 ②∴将①.②联立得-4≤a≤-1.∴所求实数a的取值范围为{a|-4≤a≤-1}.点评与揭示:在某个范围内不等式恒成立的问题,要注意向最值问题的等价转化:(1)当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)(2)当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界例4.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.分析:从认知与q入手,为了化生为熟,将,q分别与集合建立联系.解:由已知得:x<-2或x>10;q:x<1-m或x>1+m(m>0).令A={x|x<-2或x>10},B={x| x<1-m或x>1+m(m>0)},则由是q的必要而不充分条件B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9,+∞).点评:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的又一基本策略.例5.设有两个命题,p:函数f(x)=+2ax+4的图像与x轴没有交点;Q:不等式恒成立,若“P或Q”为真,“P且Q”为假,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析:(ⅰ)化简或认知P、Q:函数f(x)=+2ax+4的图像与x轴没有交点,△=-2<a<2∴P: -2<a<2 ①又不等式恒成立a小于的最小值②+≥=2 ③∴由②、③得 a﹤2即Q: a﹤2(ⅱ)分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤-2或a≥2 ⑤于是由④⑤得,同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤-2∴实数a的取值范围为(-∞,-2].例6. 若p:-2﹤m﹤0,0﹤n﹤1;q:关于x的方程有两个小于1的正根,试分析p是q的什么条件?分析:在这里,q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件,为便于表述,设该方程的两个实根为,且.然后根据韦达定理进行推理.解:设,为方程的两个实根,且,则该方程的判别式为:△=又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时,由②得-2﹤m﹤0,0﹤n﹤1即 q p ③另一方面,若在p的条件下取m=-1,n=0.75,则这一关于x的二次方程的判别式△===1-3﹤0,从而方程无实根∴p q ④于是由③④得知,p是q的必要但不充分的条件.点评:若令f(x)=,则借助二次函数y=的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为:方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是注意到这里的p由※式中部分条件构造而成,它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1.设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面判断正确的是()A.S1∩(S2∪S3)=φ B. S1(S2∩S3)C.S1∩S2∩S3=φ D. S1(S2∪S3)分析:对于比较复杂的集合运算的问题,一要想到利用有关结论化简,二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一(直接法):注意到A∩B=(A∪B),A∪B=(A∩B)及其延伸,∴S1∩S2∩S3=(S1∪S2∪S3)=I=φ,故选C解法二(特取法):令S1={1,2},S2={2,3},S3={1,3}I={1,2,3}则S1={3}S2={1}S3={2}由此否定A、B;又令S1=S2=S3={a},则I={a},S2=S3=φ,由此否定D.故本题应选C2.已知向量集合,则M∩N等于()A.{(1,1)} B. {(1,1),(-2,-2)} C .{(-2,-2)} D.φ分析:首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得,又令=(x,y),则有,消去λ得4x-3y+2=0,∴M={(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R}.同理={(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R}∴M∩N=={(-2,-2)},∴本题应选C点评:从认知集合切入,适时化生为熟,乃是解决集合问题的基本方略.3.设集合I={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是()A. m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析:由题设知P(2,3) ∈A,且P(2,3)∈ B (※)又B={(x,y)|x+y-n>0},∴由(※)得,故本题应选A4.设函数,区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N成立的实数对(a,b)有()A.0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析:从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|,为求f(x)的值域,先将f(x)化为分段函数的形式,以便于化整为零,逐段分析.∴当x>0时,f(x)<0;当x=0时,f(x)=0;当x<0时,f(x)>0.由此可知,当x≠0时,f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等;又当x=0时,f(x)的定义域为{0},故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0,因此,本题应选A.点评:解决分段函数问题的基本策略:分段考察,综合结论.在这里,认知集合N仍是解题成败的关键所在.5.函数,其中P,M为实数集R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出下列四个判断:①若P∩M=φ,则f(P)∩f(M)= φ;②若P∩M≠φ,则f(P)∩f(M)≠φ;③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)= R;④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有()A. 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析:首先认知f(P),f(M):f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域;f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题,从构造反例切入进行筛选.(1)取P={x|x≥0},M={x|x<0},则f(P)={x|x≥0}, f(M)={x|x>0}此时P∩M=φ,P∪M=R,但f(P)∩f(M) ≠φ,f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确(2)当P∩M≠φ时,则由函数f(x)的定义知P∩M={0}(否则便由f(x)的解析式导出矛盾),所以0∈f(P),0∈f(M),从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.(3)当P∪M≠R时,若0P∪M,则由函数f(x)的定义知,0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时,有x0f(P)∪f(M);当x0∈f(M)时,则易知-x0∈M.注意到这里-x0≠0,所以-x0P,从而-x0f(P).又∵x0M,∴-x0f(M),∴-x0f(P)∪f(M) (※※)∴由①.②知当P∪M≠R时,一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评:认知f(P).f(M)的本质与特殊性,是本题推理和筛选的基础与保障.6.设全集I=R,(1)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(2)设A为(1)中不等式的解集,集合,若(A)∩B恰有3个元素,求a的取值范围.分析:(1)原不等式|x-1|>1-a,运用公式求解须讨论1-a的符号.(2)从确定 A与化简B切入,进而考虑由已知条件导出关于a的不等式(组),归结为不等式(组)的求解问题.解:(1)原不等式|x-1|>1-a当1-a<0,即a>1时,原不等式对任意x∈R成立;当1-a=0,即a=1时,原不等式|x-1|>0x≠1;当1-a>0,即a<1时,原不等式x-1<a-1或x-1>1-ax<a或x>2-a于是综合上述讨论可知,当a>1时,原不等式的解集为R;当a≤1时,原不等式的解集为(-∞,a)∪(2-a,+ ∞)(2)由(1)知,当a>1时,A=φ;当a≤1时, A={x|a≤x≤2-a}注意到==∴∴(A)∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.(A有三个元素的必要条件)(对A=[a,2-a]的右端点的限制)(对A=[a,2-a]的左端点的限制)故得-1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评:不被集合B的表象所迷惑,坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时,寻觅等价的不等式组,既要考虑A含有三个整数的必要条件(宏观的范围控制),又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件(微观的左右“卡位”),两方结合导出已知条件的等价不等式组.。
推荐-人教版高一数学-集合与简易逻辑--知识要点复习 精品
第一章 集合与简易逻辑一、 集合:1、集合:某些 的对象集在一起就形成一个集合,简称集。
2、元素:集合中的每个 叫做这个集合的元素。
3、常用数集的记法:N 表示 、N *表示 、Z 表示 、Q 表示 、R 表示 。
4、a 是集合A 的元素,记做 、a 不是集合A 的元素,记做 。
5、元素性质:集合的元素具有 、 、 。
6、集合的表示方法:常用的有 与 。
7、方程0652=+-x x 的解集,可用描述法表示为 、用列举法表示为 。
8、集合分类:按元素的多少,集合可分为 、 、 三类。
二、 子集、全集、补集9、子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的 元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 集合B ,或集合B 集合A 。
也说集合A 是集合B 的子集。
即:若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。
10、任何一个集合是 的子集。
11、空集是 集合的子集。
12、相等:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的 元素都是集合B 的元素,同时集合B 的 元素都是集合A 的元素,我们就说A B 。
即:若A B ,同时B A ,那么B A =。
13、真子集:对于两个集合A 与B ,如果A B ,并且A B ,我们就说集合A 是集合B 的真子集。
14、空集是 集合的真子集。
15、全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的 ,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U 表示。
16、补集:设S 是一个集合,A 是S 的子集,由S 中所有 A 元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集。
即:=A C S 。
三、 交集、并集17、交集:由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的交集。
即:=B A 。
18、并集:由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的并集。
即:=B A 。
19、性质:=A A ,=φ A ,=B A ; =A A ,=φ A ,=B A ; A (A C U )= ,A (A C U )= ;(A C U ) (B C U )= ,(A C U ) (B C U )= 。
高中数学高考总复习——第一章-集合与简易逻辑
A.3
B.6
C.8
D. 10
(文 )(2013 济·南模拟 ) 若集合 A= { - 1,1} , B={0,2} , 则集合 { z|z= x+ y, x∈ A, y ∈B} 中的元素的个数为 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)已知集合 A= { - 4,2a-1, a2} , B= { a- 5,1- a,9} , 若 9∈ (A∩ B), 则实数 a
解: ∵A∩ B= {9} , ∴9∈ A 且 9∈ B, ∴ 2a-1= 9 或 a2=9,
则实数 a 为
即 a=5 或 a= ±3. 当 a=5 时, A= { - 4,9,25} , B= {0 , - 4,9} , ∴ A∩ B= { - 4,9} , 不满足题意, ∴ a≠ 5. 当 a=3 时, A= { - 4,5,9} , B= { - 2, - 2,9} , 不满足集合中元素的互异性, ∴
若全集为 U, 则集 合 A 的补集为 ?UA
图形表示
意义
{ x|x∈ A, 或 x∈ B}
{ x|x∈ A, 且 x∈ B}
?UA= { x|x∈ U, 且 x?A}
[探究 ] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗? 提示: 一般情况下不相同, 如 A= {0,1} 在全集 B= {0,1,2} 中的补集为 ?BA= {2} , 在 全集 D ={0,1,3} 中的补集为 ?DA= {3} .
的值为 ________.
[自主解答 ] (1)( 理 ) 法一 :由 x- y∈ A, 及 A= {1,2,3,4,5} 得 x>y, 当 y= 1 时, x 可取 2,3,4,5, 有 4 个; y= 2 时, x 可取 3,4,5 , 有 3 个; y= 3 时, x 可取 4,5, 有
高中数学 知识点归纳 1集合与简易逻辑
一、集合与简易逻辑:一、理解集合中的有关概念(1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。
集合元素的互异性:如:)}lg(,,{xy xy x A =,}|,|,0{y x B ,求A ; (2)集合与元素的关系用符号∈,∉表示。
(3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。
(4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。
注意:区分集合中元素的形式:如:}12|{2++==x x y x A ;}12|{2++==x x y y B ;}12|),{(2++==x x y y x C ;}12|{2++==x x x x D ;},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==;}12|)',{(2++==x x y y x F ;},12|{2xyz x x y z G =++==(5)空集是指不含任何元素的集合。
(}0{、φ和}{φ的区别;0与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
注意:条件为B A ⊆,在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
如:}012|{2=--=x ax x A ,如果φ=+R A ,求a 的取值。
二、集合间的关系及其运算(1)符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
(2)_}__________{_________=B A ;____}__________{_________=B A ; _}__________{_________=A C U (3)对于任意集合B A ,,则:①A B B A ___;A B B A ___;B A B A ___; ②⇔=A B A ;⇔=A B A ;⇔=U B A C U ;⇔=φB A C U ;③=B C A C U U ; )(B A C U =;(4)①若n 为偶数,则=n ;若n 为奇数,则=n ;②若n 被3除余0,则=n ;若n 被3除余1,则=n ;若n 被3除余2,则=n ;三、集合中元素的个数的计算:(1)若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 。
高考,数学,集合与简单逻辑,知识点
§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:二、知识回顾: (一)集合1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ⊆; ②空集是任何集合的子集,记为A ⊆φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆,那么,.[注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×)②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ,则C B A = ∅, C A B = ∅ C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ∅). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R}二、四象限的点集.③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2,1)}.②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅)4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②,且21≠≠y x 3≠+y x . 解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若255 x x x 或,⇒. 4. 集合运算:交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交:且并:或补:且C 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C(2) 等价关系:U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C (3) 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律:,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律:.,A A A A A A ==求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x(自右向左正负相间)则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论;22.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0);)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组)⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3.含绝对值不等式的解法(1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) (1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)
专题一:集合与常用逻辑用语一、知识梳理:1、集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的常用表示法:______ 、 ____ 。
集合元素的特征: _____ 、 ____ 、 _______。
2、子集:如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为A ⊆B ,或B ⊃A ,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。
即:若A a ∈则B a ∈,那么称集合A 称为集合B 的子集注:空集是任何集合的子集。
3、真子集:如果A ⊆B ,并且B A ≠,那么集合A 成为集合B 的真子集,记为A ⊆B 或B ⊇A ,读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”,如:}{}{b a a ,⊆。
集合的子集个数:设含有n 个元素的集合A ,则A 的子集个数为________;A的真子集个数为 ;A 的非空子集个数为 ;A 的非空真子集个数为 。
4、补集:设A ⊆S ,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集,记为A C s ,读作“A 在S 中的补集”,即A C s =}{A x S x x ∉∈且,|。
5、全集:如果集合S 包含我们所要研究的各个集合,这时S 可以看作一个全集。
通常全集记作U 。
6、交集:一般地,由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的交集,记作B A ⋂(读作“A 交B ”),即:B A ⋂=}{B x A x x ∈∈且,|。
B A ⋂=A B ⋂,B A ⋂B B A A ⊆⋂⊆,。
7、并集:一般地,由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的并集,记作B A ⋃(读作“A 并B ”),即:B A ⋂=}{B x A x x ∈∈或,|。
B A ⋃=A B ⋃,⊆A B A ⋃,⊆B B A ⋃。
8、元素与集合的关系:有 、 两种,集合与集合间的关系,用 。
【课件】高一数学集合与简易逻辑复习1
逻辑法与集合法:
p : A x p(x), q : B x q(x)
文字语言
P是q的充分 不必要条件
P是q的必要 而不充分条件
P是q的 充要条件
P既不是q的充分 条件,也不是q
的必要条件
符号语言
p q且q / p
A B
q p且p / q
B A
p q且q p
AB
p / q且q / p
原命题 : 逆命题 : 否命题 : 逆否命题 :
若p则q( p q) 若q则p(q p) 若p则q(p q) 若q则p(q p)
四种命题之间的相互关系:
原命题 若p则q
互 否
否命题
互逆 逆命题
互 互 若q则p
为为 逆逆 否否
互 否
逆否命题
若 p则 q
互逆 若q则p
6、充分条件、必要条件、 充要条件、非充分非必要条件
例3、p
x
x
6
p 1, 6
p
Z
Q
x
x
a 2
1 3
,
q
Z
R
x
x
r 2
1 6
,
r
Z
问P,Q, R是什么关系?
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x x2或x x1
x
x
b 2a
R
ax2 bx c 0 x x1 x x2
(a 0)的解集
一元高次不等式的解法: 根轴法. 分式不等式的解法
三、简易逻辑:
1、命题的概念:可以判断真假的 语句叫做命题.
2、逻辑联结词:
“或”、“且”、“非”这些词叫做 逻辑联结词。
第一章 集合与简易逻辑 复习(1)
新课标高三数学教材重难点解析:第一章:集合与简易逻辑
第一章:集合与简易逻辑一、集合(必考1个选择或填空) (一)集合的基本概念(熟记)13 2 345以x ,y 以x ,y ,z (二)集合间的关系(熟记) 1、子集的定义:集合A 是B 2、真子集的定义:集合A 是B (三)集合的运算(交并补)(熟记) 设全集:1、 A ⋂2、 A ⋃3、 U C A(四)集合的有关性质(熟记)1、若AB 互为子集,则必有2、 若A ⊆B ,且B ⊆C ,则34、空集φ5、德摩根定律:集为U ,对于集合A 、B ,6、若集合A 中有n 个元素,则A7、集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素(n>m ),则:若A C B ⊆⊆,则满足条件的集合C若A C B A C B ⊂⊆⊆⊂或,则满足条件的集合C若A C B ⊂⊂,则满足条件的集合C(五)集合中易错问题(理解,易考查选择题,错误概率极高)判断下面说法的正误:1、φ∈{1}2、φ∈{φ}3、φ⊆{1}判断φ4、{0}、φ、{φ}二、简易逻辑Ⅰ 命题及其关系、充分条件与必要条件 (一) 命题(熟记,易考,已经多年未考)1、 命题的概念:2、 四种命题及其关系1) 若原命题为:若p 则q 2) 真假关系(二) 充分条件和必要条件(熟记,易考,已经多年未考)1、 若,p q q p ⇒⇒但不能,则p 是q2、 若,q p q ⇒⇒但p 不能,则p 是q3、 若p q,q p ⇒⇒且,则p 是q4、 若p q,q p ⇒⇒不能且不能,则p 是q 注意:充分和必要条件的两个特征:1)2)Ⅱ 简单的逻辑联接词 全称量词与存在量词(易考考点) (一) 逻辑联接词(了解)1、 2、 3、 复合命题的真假判定(熟记)“非p(二)全称量词和特称命题(理解)1、2、3、。
高一数学必修一知识点:集合、不等式和简易逻辑
高一数学必修一知识点:集合、不等式和简易逻辑重点知识归纳、总结(1)集合的分类(2)集合的运算①子集,真子集,非空子集;②A∩B={x|x∈A且x∈B}③A∪B={x|x∈A或x∈B}④A={x|x∈S且xA},其中AS.2、不等式的解法(1)含有绝对值的不等式的解法①|x|0)-a|x|;a(a;0)x;a,或x;-a.②|f(x)||f(x)|;g(x)f(x);g(x)或f(x);-g(x)。
③|f(x)|;|g(x)|[f(x)]2;[g(x)]2[f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)];0.④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式,利用“零点分段讨论法”去绝对值。
如解不等式:|x+3|-|2x-1|;3x+2.3、简易逻辑知识逻辑联结词"或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据,理解好四种命题的关系,对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。
(2)复合命题的真值表非p形式复合命题的真假可以用下表表示。
p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示。
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示。
(3)四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的。
(4)充分、必要条件的判定①若pq且qp,则p是q的充分不必要条件;②若pq且qp,则p是q的必要不充分条件;③若pq且qp,则p是q的充要条件;死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
④若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。
高中数学重点手册1——集合、简易逻辑
1.集合、简易逻辑「集合」把某些指定的对象集中在一起就成为一个集合,简称集。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
集合通常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示集合,用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示集合的元素。
「集合的特征」集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
「集合的类型」① 有限集:含有有限个元素的集合叫有限集。
② 无限集:含有无限个元素的集合叫无限集。
③ 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作∅。
「集合的表示方法」①列举法 把一个集合的元素逐个列举出来,写在大括号内,这一表示法叫做列举法。
②特征性质描述法 用该集合所含元素的共有特征性质来描述,这一表示法叫做特征性质描述法,具体作法是:在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号及其取值范围,再画一条竖线(或一个冒号或分号),再写出这一集合中的元素所具有的一个特征性质。
特征性质必须绝对明确,必须是集合中所有元素共有的特征性质。
「元素与集合的从属关系」如果元素a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作A a ∈;如果元素a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作A a ∉或A a ∈或a ∈.A 。
「集合与集合的容量关系」对于两个集合,,B A 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作B A ⊆或A B ⊇,读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
如果A 是B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A ,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A ØB 或B ÙA。
当集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A 时,记作A B ⊂或 .B A ⊃显然,空集是任何集合A 的子集,即A ∅⊆,空集是任何非空集合B 的真子集,即∅ ØB若,,A B B C ⊆⊆则;A C ⊆若,,A B B A ⊆⊆则.A B =「常用数集的符号」 N 非负整数集;自然数集*N 或+N 正整数集Z 整数集-+Z Z 整数集Z 内排除0的集Q 有理数集。
高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合
数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一.集合的概念:集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集。
集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. (2)互异性:集合中的元素一定是不同的. (3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类:根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类: (1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф (2)含有有限个元素的集合叫做有限集 (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集 注:应区分Φ,}{Φ,}0{,0等符号的含义 4、常用数集(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N *或N + (3)整数集:全体整数的集合.记作Z (4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q (5)实数集:全体实数的集合.记作R 注:(1)自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集.记作N *或N +,Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z *二.集合的表示法:1.列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N +={0,1,2,3,…};2.描述法:例如,不等式232>-x x 的解集可以表示为:}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x , 3.韦恩图: 4.区间法:三.集合间的基本关系:1.元素与集合的关系,用∈或∉表示;属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A 不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉ 要注意“∈”的方向,不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系,用⊆,≠⊂,=表示,当A ⊆B 时,称A 是B 的子集;当A ≠⊂B 时,称A 是B 的真子集。
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳1. 集合与简易逻辑- 集合的概念:集合是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。
- 集合的表示法:列举法和描述法。
- 集合间的基本关系:子集、真子集、相等。
- 集合的基本运算:交集、并集、补集。
- 简易逻辑:命题、逻辑连接词、真值表、四种命题。
2. 函数- 函数的概念:函数是定义域到值域的映射关系。
- 函数的表示法:解析式、图象、列表。
- 函数的性质:定义域、值域、单调性、奇偶性。
- 函数的图象:函数图象的绘制、变换。
- 基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
3. 指数与对数- 指数的概念:指数是幂运算的逆运算。
- 指数函数的性质:单调性、周期性。
- 对数的概念:对数是指数运算的逆运算。
- 对数函数的性质:单调性、周期性。
- 指数与对数的运算:指数运算法则、对数运算法则。
4. 三角函数- 任意角的概念:角度制与弧度制的转换。
- 三角函数的定义:正弦、余弦、正切。
- 三角函数的图象:正弦、余弦、正切的图象。
- 三角函数的性质:周期性、单调性、奇偶性。
- 三角恒等变换:和差公式、倍角公式、半角公式。
5. 平面向量- 向量的概念:向量是具有大小和方向的量。
- 向量的表示法:坐标表示法、几何表示法。
- 向量的运算:向量加法、减法、数乘。
- 向量的数量积:定义、性质、计算。
- 向量的向量积:定义、性质、计算。
6. 解析几何- 直线的方程:点斜式、斜截式、一般式。
- 直线的位置关系:平行、垂直、相交。
- 圆的方程:标准方程、一般方程。
- 圆的位置关系:相切、相交、相离。
- 直线与圆的位置关系:切线、相交、相离。
7. 立体几何- 空间几何体:柱、锥、球。
- 空间几何体的表面积与体积:公式与计算。
- 空间直线与平面的位置关系:平行、垂直、相交。
- 空间平面与平面的位置关系:平行、垂直、相交。
8. 概率与统计- 随机事件:必然事件、不可能事件、随机事件。
- 概率的计算:古典概型、几何概型。
高考数学复习要点点点清
一、 集合与简易逻辑(必修一第一章、选修2-1第一章)1. 含有n 个元素的有限集合,共有n2个子集,其中非空子集有n2 – 1 个; 非空真子集有n2 – 2 个。
2. 在解决A ⊂B 或A ⊆B 的有关问题时,易忽略A =φ的情况;同时应注意空集不能写成{φ}和{0}, 写集合的常见错误有:{– 1 < x < 2 }、x = {x| x ∈– 1 < x < 2 }3. 看一个集合,首先看集合以什么为元素,其次是元素满足的条件。
4. 集合的相等指的是两集合的元素完全相同,并非要求集合的结构或表述完全相同。
如:A = {x| x = 2k + 1 ,k ∈Z }与 B= {x| x = 2k - 1 ,k ∈Z }M = {y| y = x + 1} 与N = {x | y = x 2 }5.韦恩图能很好地帮助我们理解集合间的关系和运算。
6.复习一下“或”、“非”、“且”三种复合命题的真值表。
7.四种命题的相互关系、充分必要条件的概念要清楚。
如:“α≠3π是cos α≠21的什么条件?”等价于“cos α=21是α=3π的什么条件?”二、函数、导数(必修一第二、三章、选修2-2第一章) 1.映射是高考的重点内容,常与其它知识联系在一起考查。
2.研究函数问题的基本思想是数形结合,在可能的条件下尽量把图象画出来(那怕是草图) 3.忽略定义域,是解函数问题的“多发病”。
4.形如:y =d cx b ax ++的值域为y ∈R 且y ca≠5. 形如:y = ax +c bx +的值域:a 、b 同号时用单调性;a 、b 异号时用换元法(即设u = c bx +, 则x =bcu 2-. 注意u ≥0)6. 有关指数、对数函数的问题,应注意底数的范围,若底数不确定要讨论。
同时还要小心真数大于0的隐含条件。
对数函数的图象和对数运算法则默一遍,注意:y = log 2 x 与y = log 3 x ,y = log x 21与y = x log 31的位置关系.7. 若y = log m (ax 2 + bx + c )的定义域是R ,则a > 0 且 Δ< 0; 若y = log m (ax 2 + bx + c )的值域是R ,则a > 0 且 Δ≥0;9.方程实根的个数、图象的交点个数问题,可先考虑用数形结合解决,再考虑用判别式法。
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高中数学必修内容复习(1)--集合与简易逻辑
一、选择题(每题3分,共54分) 1、已知集合{}{}2,1,,0==N x M ,若{}2=⋂N M ,则=⋃N M ( )
A .{}2,1,,0x
B .{}2,1,0,2
C .{}2,1,0
D .不能确定
2、不等式0)32)(1(2
>+-+x x 的解集是( )
A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧23
B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x
C .⎭⎬⎫⎩⎨⎧<23x x
D .⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
->23x x
3、已知集合{}
{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ,那么集合N M ⋂为( ) A .1,3-==y x
B .)1,3(-
C .{}1,3-
D .{})1,3(-
4、设不等式b a x <-的解集为{}
21<<-x x ,则a 与b 的值为(
)
A .3,1==b a
B .3,1=-=b a
C .3,1-=-=b a
D .2
3
,21==
b a 5、不等式
032
>-+x
x 的解集是( ) A .{}23-<>x x x 或 B .{}32<<-x x C .{}32<->x x x 或 D .{}23-<<x x 6、若q p ,是两个简单命题,且“p 或q ”的否定是真命题,则必有( )
A .p 真q 真
B .p 假q 假
C .p 真q 假
D .p 假q 真
7、已知A 与B 是两个命题,如果A 是B 的充分不必要条件,那么A ⌝
是B ⌝
的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
8、⎩⎨⎧>>3321x x 是⎩⎨⎧>>+962
121x x x x 成立的(
)
A . 充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 9、命题“若b a >,则c b c a +>+”的逆否命题为( )
A .若b a <,则c b c a +<+
B .若b a ≤,则c b c a +≤+
C .若c b c a +<+,则b a <
D .若c b c a +≤+,则b a ≤ 10、已知全集U {}2,1,0=且{}2=A C U ,则集合A 的真子集共有( )
A .3个
B .4个
C .5个
D .6个
11、二次函数c bx ax y ++=2
中,若0<ac ,则其图象与x 轴交点个数是( )
A .1个
B .2个
C .没有交点
D .无法确定 12、设集合A {}
13≤=x x ,32=a ,那么下列关系正确的是( )
A .A a ⊂
B .A a ∈
C .A a ∉
D .{}A a ∈
13、不等式321<-x 的解集是( )
A .{}
1<x x B .{}
21<<-x x
C .{}
2>x x D .{}
21>-<x x x 或 14、下列命题为“p 或q ”的形式的是(
)
A .25>
B .2是4和6的公约数
C .{}0≠Φ
D .B A ⊆
15、已知全集U {
}8,7,6,5,4,3,2,1=,集合A ={}5,4,3,B ={}6,3,1,那么集合C ={}8,7,2是( ) A .B C U
B .B A ⋂
C .)()(B C A C U U ⋂
D .)()(B C A C U U ⋃
16、不等式
11
>x
的解集是( ) A .{}1>x x B .{}1<x x
C .{}
10<<x x
D .{}
01<>x x x 或
17、二次不等式02
>++c bx ax 的解集为全体实数的条件是( )
A .⎩
⎨⎧>∆>00a
B .⎩
⎨⎧<∆>00
a
C .⎩
⎨⎧>∆<00
a
D .⎩
⎨⎧<∆<00
a
18、下列命题为复合命题的是(
) A .12是6的倍数
B .12比5大
C .四边形ABC
D 不是矩形
D .2
2
2
c b a =+
二、填空题(每题3分,共15分)
19、若不等式02
<-ax x 的解集是{}
10<<x x ,则=a
20、抛物线16)(2
+-=x x x f 的对称轴方程是
21、已知全集U {}5,4,3,2,1=,A {}3,1=,B {}4,3,2=,那么=⋃)(B C A U 22、设二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f ,若)()(21x f x f =(其中21x x ≠),则)2
(2
1x x f +等于
23、已知{}
2
,2,1x x ∈,则实数x =
三、解答题(第24、25两题每题7分,第26题8分,第27题9分,共31分)
24、解不等式723>-x
25、用反证法证明:已知R y x ∈,,且2>+y x ,则y x ,中至少有一个大于1。
26、若不等式022
>++bx ax 的解集为)3
1
,21(-
,求b a +的值 27、已知集合A {}0652
=+-=x x x ,B {}01=+mx x ,且A B A =⋃,求实数m 的值组成的集合。
参考答案
二、填空题
19、 1 20、3=x 21、{}5,3,1 22、
a
b a
c 442
- 23、0或2 三、解答题
24、3
53,723723723-<>∴-<->-⇔>-x x x x x 或或
故原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
-<>353x x x 或
25、假设y x ,均不大于1,即2,11≤+≤≤y x y x 则且,这与已知条件2>+y x 矛盾
y x ,∴中至少有一个大于1
26、由题意知方程022
=++bx ax 的两根为3
1,2121=-=x x ,
又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a x x a b x x 22121,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
⨯--=+-a a b 2312131
21,解得⎩⎨⎧-=-=212b a , 14-=+∴b a
27、{}{}A B A B A x x x A ⊆∴=⋃==+-=,,3,20652
① A B B m ⊆Φ==,,0时; ② 0≠m 时,由m
x mx 1,01-
==+得。
3
1
21,3121,1,--==-=-∴∈-∴⊆或得或m m m A m A B
所以适合题意的m 的集合为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
--31,21,0。