北京丰台0809学年九年级上期末练习试卷数学

北京丰台0809学年九年级上期末练习试卷数学
初三数学
2009．l
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．若
31=b a ，则
b b
a +的值是（ ） A ．
3
2
B ．
4
3 C ．
3
4 D ．3
2．假如⊙O 的半径为6cm ，OP ＝5cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外
D ．不能确定
3．同时抛掷两枚质地相同的硬币，落地后正面都朝上的概率是（ ） A ．1
B ．
21 C ．
3
1 D ．
4
1 4．若反比例函数y ＝x
k
，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范畴是（ ） A. k ＜0
B. k ＞0
C ．k ≤0
D ．k ≥0
5．在正方形网格中，∠AOB 的放置如图所示，则tan ∠AOB 的值是（ ） A ．
5
5
B ．
5
5
2 C ．
2
1 D ．2
6．圆心角为120º的扇形的半径是3cm ，则那个扇形的面积是（ ） A. 6πcm 2
B 3πcm 2
C ．9πcm 2
D ．πcm
2
7．如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36ºBD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中与ΔABC 相似的三角形（不包括ΔABC ）的个数有（ ） A. 0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0＜x 10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是__________________．
10．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65º．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装如此的监视器共______________台．
11．将抛物线y ＝x 2
＋3向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是________________．
12．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－1．若点（－
2
1
，y 1）、（2，y 2）是抛物线上两点，试比较y 1与y 2的大小：y 1_________y 2（填“＞”，“＜”或“＝”号）．
三、解答题（共3道小题，共15分） 13．（本小题满分5分）
运算：3tan30º－sin60º＋2cos45º． 解：
14.（本小题满分5分） 已知：反比例函数y ＝x
k
的图象通过点（2，3），求当x ＝4时，y 的值． 解：
15．（本小题满分5分）
已知：抛物线通过点A （－1，7）、B （2，1）和点C （0，1）．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
解：
四、解答题（共3道小题，共15分） 16．（本小题满分5分）
如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，F 是DC 的中点，BF 的延长线交射线AD 于点G ，BG 交AC 于点E ． 求证：
BE
FE
GB GF
证明：
17．（本小题满分5分）
已知：如图，在△ABC 中，∠A ＝120º，AB ＝AC ＝6，求BC 的长．
解：
18．（本小题满分5分）
已知：如图，在⊙O 中，直径AB 的长为10，弦AC 的长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求BC 和BD 的长．
解：
五、解答题（共2道小题，共10分） 19.（本小题满分5分）
在数学活动课上，九年级（1）班数学爱好小组的同学们测量校园内一棵大树的高度， 设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35º；
（2）在点A和大树之间选择一点B（A、B、D
在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰
角为45º；
（3）量得A、B两点间的距离为4．5米．
请你依照以上数据求出大树CD的高度．（可
能用到的参考数据：sin35º≈0．57，
cos35º≈0.82，tan35º≈0．70）
解：
20．（本小题满分5分）
A口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1和2；B口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3、4和5．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从A、B两个口袋中随机各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．那个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
解：
六、解答题（共2道小题，共11分）
21．（本小题满分5分）
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），
点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，
且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
解：
22．（本小题满分6分）
如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于
点D，且AB2＝AP·AD．
（1）求证：AB＝AC；
（2）假如∠ABC＝60º，⊙O的半径为1，且P为弧AC的
中点，求AD的长．
解：
七、解答题（本题满分6分） 23．如图，二次函数y ＝
41x 2＋（4
m
＋l ）x ＋m （m ＜4）的图象与x 轴相交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标（可用含字母m 的代数式表示）； （2）假如那个二次函数的图象与反比例函数y ＝x
9
的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦
值为
5
3
，求那个二次函数的解析式. 解：
八、解答题（本题满分7分）
24．如图，点P 是边长为3的正方形ABCD 内一点，且PB ＝2，BF ⊥BP ，垂足为B ．请在射线BF 上确定点M ，使以点B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似，并证明你的结论． 解：
九、解答题（本题满分8分）
25．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）是方程x 2
－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求此抛物线的解析式；
（2）联结AC 、BC ．若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，联结CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为s ，求s 与m 之间 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范畴；
（3）在（2）的基础上试说明s 是否存在最大值，若存在，要求出s 的最大值，并求出现在点E 的坐标，判定现在△BCE 的形状；若不存在．请说明理由． 解：
北京市丰台区2008—2009学年度第一学期初三数学期末试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．C
2．A
3．D
4．A
5. D
6．B
7．C
8．B
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．9：4， 10．3
11．（2；3） 12．＜．
三、解答题（共3道小题，共15分） 13．（本小题满分5分） 解：3tan30º－sin60º＋2cos45º
＝2
2223333⨯+-⨯
……………………………………………………3分 ＝
22
3
+……………………………………………………………………5分 14．（本小题满分5分） 解：∵ 反比例函数y ＝
x
k
的图象通过点（2，3）， ∴
2
k
＝3，……………………………………………………2分 ∴ k ＝6． ………………………………………………………3分 ∴反比例函数解析式为：y ＝
x
6
，……………………………………4分 当x=4时，y ＝
2
3
………………………………………………………5分 15．（本小题满分5分）
解：（1）设所求抛物线解析式为y ＝ax 2
＋bx+c ．依照题意，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=+=11247c c b a c b a ……………………………………………………………1分
解得，⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==142c b a ……………………………………………………………2分
所求抛物线解析式为1422
+-=x x y ………………………………3分
（2）12
24
2=⨯--=-
a b ，()1244124442
2-=⨯--⨯⨯=-a b ac
因此该抛物线的顶点坐标是（1，－1）………………………………5分 四、解答题（共3道小题，共15分） 16．（本小题满分5分）
证明：∵ AB ∥CD, ∴△GDF ∽△GAB ，△FCE ∽△BAE ，…………………2分
∴
AB DF GB GF =，AB
CF
BE FE =
…………………………4分 ∵CF DF =，∴
BE
FE
GB GF =
………………………5分
17．（本小题满分5分） 解：过点A 作AD ⊥BC 于D ；
∵AB=AC ；∠BAC=120º ∴∠B=30º，…………………………………1分 ∴BC ＝2BD ，…………………………………………………………2分
在Rt △ABD 中，∠ADB=90º，∠B=30º，AB ＝6，
AB
BD
B =
cos ,…………………………………………………………3分 ∴332
3
630cos =⨯
=︒=AB BD ，……………………4分 36=BC ………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：∵AB 为直径，∴∠ACB=∠ADB=9O º，……………………2分
在Rt △ACB 中，86102222=-=-=
AC AB BC ……………………3分
∵CD 平分∠ACB ，∴⋂
AD =⋂
BD ,∴AD=BD …………………4分 在等腰直角三角形ADB 中，
252
2
1045sin =⨯
=︒⨯=AB BD ……………………5分 五、解答题（共2道小题，共10分） 19，（本小题满分5分〕
解：在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝45º，∴∠BCD=45º， ∴CD=BD ………………………l 分
设CD=BD ＝x ，∴AD ＝x+4．5………………2分
在Rt △ACD 中,tan ∠CAD=
AD
CD
， ∴tan35º=
5
.4+x x
……………………………………4分
解得：x ≈10．5
因此大树的高约为10.5米…………………………………5分 20．（本小题满分5分）
解：从A ，B 两个口袋中随机地各取出1个小球，两个小球上的数字之和的所有可能显现的 结果有6个：4，5，6，5，6, 7，……………………………………… 2分
每个结果发生的可能性都相等，显现和为偶数的结果有3个；和为奇数的结果也有3个
∴P （数字之和为偶数）＝
63＝2
1
，……………………………………… 3分 P(数字之和为奇数）＝
63＝2
1
……………………… 4分 因此那个游戏对甲、乙双方公平………………………………………5分 六、解答题（共2道小题，共11分） 21．（本小题满分5分）
解：∵四边形OCDB 是平行四边形，点B 的坐标为（8，0），
CD ∥OA ，CD=OB=8…………………………………………1分 过点M 作MF ⊥CD 于F ，则CF ＝2
1
CD ＝4………………………………3分 过C 作CE ⊥OA 于E ，
∵A （10，0），∴OA=10，OM ＝5
∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1 联结MC ，MC=
2
1
OA=5 ∴在R T △CMF 中，
MF=3452222=-=-CF MC …………………………4分
∴点C 的坐标为（1，3）…………………………………………………5分 22．（本小题满分6分） 解：（1）证明：联结BP
∵AB 2
=AP －AD ，∴
AB
AD
AP AB =
∵∠BAD=∠PAB, ∴△ABD ∽△APB ………………2分 ∴∠ABC=∠APB, ∵∠ACB=∠APB,
∴∠ABC=∠ACB, ∴AB-AC …………………………3分
（2）由（1）知AB=AC, ∵∠ABC=60º, ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠BAC=60º, ∵P 为弧AC 的中点， ∴∠ABP=∠PAC=
2
1
∠ABC=30º………………………………4分 ∴∠BAP=90º, ∴BP 是⊙0的直径，………………………………5分 ∴BP=2, ∴AP=
2
1
BP=1, 在RT △PAB 中，由勾股定理得 AB 2
=BP 2
－AP 2
=3
∴32
==AP
AB AD …………………………………………………………6分 七、解答题（本题满分6分） 23．解：（1）解方程0)14
(412=+++m x m
x 得，,41-=x m x -=2 ∵m<4，∴A （－4，0），B （－m ，0）……………………………………2分 （2）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ， ∵sin ∠BAC=
53=AC CD , ∴ tan ∠BAC=4
3=AD CD 设CD ＝3k ，则AD ＝4k ，
∵OA ＝4， ∴OD ＝4k －4， ∴C （4k －4，3k ）
∵点C 在反比例函数x y 9=的图象上，∴k k 34
49
=-
解得，211=
k （不合题意，舍去），232=k ，∴C （2，2
9
）……………4分
∵点C 在二次函数m x m
x y +++=)14
(412的图象上
∴
2
9
2)14(2412=+⨯++⨯m m ，∴m ＝1
∴二次函数的解析式为14
5
412++=
x x y …………………………………………6分 八、解答题（本题满分7分）
24．解法一：作∠BCM 1=∠BAP,CM 1交BF 于点M 1，
作∠BC M 2=∠BPA, C M 2交BF 于点M 2，…………4分
则△CB M 1∽△ABP, △M 2BC ∽△ABP ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90º, ∵BF ⊥BP, ∴∠PBF=90º,
∴∠ABP=∠CB M 1，……………………………………5分 又∵∠BC M 1=∠BAP, ∴△CB M 1∽△ABP …………6分
同理可证△M 2BC ∽△ABP ………………………………7分
解法二：在射线BF 上截取线段B M 1=2,联结M 1C …………2分 在射线BF 上截取线段B M 2＝
2
9
，联结M 2C …………4分 则△CB M 1∽△ABP ，△M 2BC ∽△ABP
同解法一可证∠ABP=∠CB M 1 …………………………5分 ∵AB=BC=3, PB=B M 1=2, ∴△CB M 1≌△ABP
∴△CB M 1∽△ABP …………………………………………6分
∵AB=BC=3, PB=2, BM 2=
2
9 ∴
232=AB BM , 2
3
=BP BC ∴
BP
BC
AB BM =
2,∴△M 2BC ∽△ABP ……………………7分 九、解答题（本题满分8分）
25．解（1）解放程016102
=+-x x 得，21=x ，82=x ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB<OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线2-=x
∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-==++2
28024a b
c c b a 解得， ⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-=-=83832c b a ∴所求抛物线的解析式为：83
8
322+--
=x x y ………………………2分 （2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m
∵OA=6, OC=8,∴AC=10
∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴AB BE AC EF = 即 8810m EF -=， ∴4
540m EF -= 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG=sin ∠CAB=
54 ∴54=EF FG ∴m m FG --⨯=84
54054 ∴)8)(8(218)8(21m m m S S S BFE BCE ---⨯-=
-=∆∆
∴m m S 4212+-=…………………………………………………………5分 自变量m 的取值范畴是0<m<8………………………………………………6分
（3）存在。

理由：∵ 8)4(2142122+--=+-
=m m m S 且021<-，
∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8
∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形………………………………………………8分。