全国大学生数学竞赛(河北赛区)试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案

一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1lim

2

22222

--++-+-∞→n n n n n n 。

【解】 ))1(21(1

222222--++-+-=

n n n n n

S n ))1(1)2(1)1(1(1222n

n n n n --++-+-=

n

n n n n n n 1))1(1)2(1)1(1)0(1(12222---++-+-+-=

n

n n i n i 1

1.)(11

2--=

∑

-=

=∞

→n n S lim ]11.)(1[

lim 1

2n

n n i n i n --∑

-=∞

→

因21x -在]1,0[上连续，故

dx x ⎰

1

2-1存在，且

dx x ⎰

1

2

-1=∑-=∞→-1

21

.)(1lim n i n n n i ，

所以，=

∞→n n S lim n dx x n 1lim -11

2

∞→-⎰

4

-1102π==⎰dx x 。

二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1

lim 22

0c t

dt t ax x x b x =+-⎰→

【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到

22

02201)(cos lim

1sin 1lim x

a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则

21)1(cos lim 1sin 1lim 22

220-=+-=+-→→⎰x

x x t dt t ax x x x b x ，

综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、(本题满分10 分) 计算定积分⎰

+=

2

2010

tan 1π

x

dx

I 。 【解】 作变换t x -=

2

π

，则

⎰=+-=0

22010

cot

1π

t dt

I I dt dt t t tdt -=+-=+⎰⎰⎰202020201020102010)tan 111(tan 1tan π

ππ

=

I 22

2

π

π

=

⎰

dt ，

所以，4

π=

I 。

四、(本题满分10 分) 求数列}{1n

n

-

中的最小项。

【解】 因为所给数列是函数x

x

y 1-

=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

又)1(ln 21-=--x x

y x

且令e x y =⇒='0，

容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x

x

y 1-=有唯一极小值e

e

e y 1)(-

=。

而3

3

1

2

132>

⇒

<

n -的最小项

3

3

1

。

五、(本题满分10 分) 求∑∞

=-+0

1n n

n e 。

【解】 考虑幂级数∑∞

=+01

n n

n x 。

其收敛半径为 1，收敛区间为)1,1(-，

当1-=x 时，∑∑∞

=∞

=+-=+001

1)1(1n n

n n n n x 收敛；

当1=x 时，∑∑∞

=∞

=+=+0

011

1n n n n n x 发散，因此其收敛域为)1,1[-。 设其和函数为)(x s ，则

)1,1(-∈∀x ，x x x dt n t dt n t dt t s n n n x n x n n x

-==+=+=∑∑⎰⎰

∑⎰∞=+∞=∞

=111)(0

1

000

00

。 于是， .)

1(1

)1(

)(2

x x x x s -='-= 故，2121

0)()(1

--∞

=-==+∑e e e s n e n n 。

六、(本题满分10 分) 设⎰

--=x

dt t f t x x x f 0

)()(sin )(，其中f 为连续函数，求)(x f 。

【解】 原方程可写为

⎰⎰+-=x

x

dt t tf dt t f x x x f 0

)()(sin )(，

上式两端对x 求导得

⎰⎰

-=+--='x

x

dt t f x x xf x xf dt t f x x f 0

)(cos )()()(cos )(

（*）

两端再对x 求导得

)(sin )(x f x x f --='' 即 x x f x f sin )()(-=+''

这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知0)0(=f ，由（*）式知1)0(='f 。 特征方程为

012

=+λ，i ±=λ