2211二次函数y=ax

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二次函数y=ax的图像

二次函数y=ax的图像

2 … y=x2
x

-3
-2
-1
0
1
2
3

y=x2

9
4
1
y 10 8 6 4 2
0
1
4
9

描点,连线
y= x2
-4
-3
-2
-1
0 -2
1
2
3
4
x
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。 函数y=ax2的图象,以后叫做抛物线y=ax2
观察图象,回答问题串
y
10
当x=
0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ,抛
物线y=2x2在x轴的 上 __方(除顶点外)。
y 2x2
2
1、根据左边已画好的函数图象
2 2 y x 3
填空: 2 2 y x 3 (2)抛物线 在x轴的 下 方(除顶点外), 增大而增大 ;
在对称轴的左侧,y随着x的
在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小,
二次函数y=ax² + bx+c(a ≠ 0)其图象又 是什么呢? 还记得如何用描 我们先研究二次函数y=ax2的图像 点法画一个函数 的图象吗? 你会画函数y=x2的图象吗? 选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
x … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0

当x 0时,y<0.
例1.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开 下,(1)求m的值和函数解析式;(2)x在何范围 口向上 内,y随x的增大而增大? y随x的增大而减小?

二次函数y=ax的图象和性质ppt

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利用二次函数解决实际问题
在实际问题中,可以利用二次函数的性质来解决一些优化问题,如利润最大化、 距离最短等问题。
THANK YOU.
与x轴交点
当y=0时,计算相应的x值,得出二 次函数图象与x轴的两个交点。
与y轴交点
将x=0代入二次函数表达式,得出y 值,即得到二次函数图象与y轴的交 点坐标。
02
a对二次函数图象和性质的影 响
a>0时,二次函数的图象和性质
总结词:开口向上
详细描述:当a大于0时,二次函数的图象开口向上,顶点为最低点,函数在x轴 上方,无交点在x轴下方。
y=ax^2+c的图象和性质
总结词
只有常数项
列表3
当x=0时,y=c为函数与y轴的交点纵坐标 。
列表2
当a>0时,函数图象开口向上,当a<0时 ,函数图象开口向下。
详细描述
y=ax^2+c是二次函数的一种特殊形式, 只有常数项。
列表1
函数图象的形状与a的符号有关,开口方 向和大小与a的值有关。
y=a(x-h)^2+k的图象和性质
y = ax^2 + bx + c (a, b, c是常数,a≠0)
二次函数的一般形式
一般形式
指二次函数经过整理化简后,一般有y=ax^2+bx+c的形式。
三个系数
a称为二次项系数,b称为一次项系数,c为常数项。
二次函数的图象
形状
二次函数的图象是一条抛物线,其 顶点坐标为(h,k)。
开口方向
当a>0时,抛物线开口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。
详细描述:y=ax^2+bx+c是二次 函数的的标准形式,其中a、b、c 为常数。

二次函数y=ax

二次函数y=ax

二次函数y=ax二次函数 y = ax 是二次函数中的一种较为简单的形式,其中 a 为常数且a ≠ 0 。

咱们先来理解一下这个函数的图像特点。

当 a > 0 时,函数图像是一条开口向上的抛物线。

比如说,a 取 2,那么函数就是 y = 2x ,图像从左下角向右上角延伸,并且越来越陡峭。

反之,当 a < 0 时,函数图像是一条开口向下的抛物线。

假设 a 是-2 ,函数变成 y =-2x ,图像就从左上角向右下角延伸。

这个函数的图像还具有一个重要的性质,那就是它一定经过原点(0, 0)。

这是因为当 x = 0 时,y = a×0 = 0 。

接下来看看它的单调性。

当 a > 0 时,函数在定义域内是单调递增的。

这意味着,随着 x 的增大,y 的值也越来越大。

而当 a < 0 时,函数在定义域内是单调递减的,x 增大,y 的值反而越来越小。

再说说它的对称轴。

二次函数 y = ax 的对称轴是 y 轴,也就是直线 x = 0 。

这是因为抛物线关于对称轴对称,而这个函数的图像左右对称,所以对称轴就是 y 轴。

那这个函数在实际生活中有什么用呢?比如说,在物理学中,如果我们研究一个物体自由落体的运动,假设其下落的距离与时间的关系可以用二次函数来近似表示,就可能会出现类似 y = ax 的形式。

在经济学中,也可能会用到这样的函数来简单模拟某种商品的需求或供给与价格之间的关系。

比如,某种商品的需求量与价格之间的关系可能近似为 y = ax ,其中 a 是一个正数,表示价格对需求量的影响程度。

在数学解题中,二次函数y =ax 也是其他更复杂二次函数的基础。

通过对它的深入理解,我们能够更好地掌握和解决更复杂的二次函数问题。

比如说,当我们要解决一个含有二次函数的方程时,如果它能化简为类似于 y = ax 的形式,那么求解就会相对简单。

又比如,在求函数的最值问题时,对于 y = ax ,如果 a > 0 ,那么函数没有最大值,只有最小值 0 ;如果 a < 0 ,则函数没有最小值,只有最大值 0 。

二次函数y=ax的图象和性质名师课件-ppt下载

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对称轴的右侧:y随x的增大 而减小。
二次函数y=ax2的性质 (教学提纲)二次函数y=ax的图象和性质名师课件-ppt下载【优质公开课推荐】
y=ax2
a>0
图象
a<0
开口 方向
开口向上
开口向下
对称性 顶点 最值 增减性
(教学提 纲)二 次函数y =a x 的图象和性质名 师课件- p pt 下载【优质公开 课推荐 】
关于y轴对称,对称轴是y轴即直线x=0 顶点坐标是原点(0,0)
当x=0时,y最小值=0 当x=0时,y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
(教学提 纲)二 次函数y =a x 的图象和性质名 师课件- p pt 下载【优质公开 课推荐 】
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空:
(教学提 纲)二 次函数y =a x 的图象和性质名 师课件- p pt 下载【优质公开 课推荐 】
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试一试:
1、函数y=2x2的图象的开口
,对称轴

,顶点是
;在对称轴的左
侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,
九年级数学
第22章
第一节
二次函数y=ax2的图象与性质
复习
二次函数的定义:
一一般般地地,,形形如如 y ax2 bx c (a、
b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次 函数,其中a为二次项系数,b为一次 项系数,c为常数项。
导入
1.你知道下列函数的图象分别是什么吗?
(1) y 2x
一条直线
2

22.1.2二次函数y=ax2图像与性质

22.1.2二次函数y=ax2图像与性质

y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · -3 -2 -1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y) 3.连线 如图,再用平 滑曲线顺次连接各点, -3 2 就得到y = x 的图象.
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线,它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线 开口向上,这条曲线叫做抛物线 y = x2 , 二次函数的图象都是抛物线, 它们的开口或者向 上或者向下. 一般地,二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=-2, m2=1 由①得:m>-1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5

y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?

二次函数y=ax

二次函数y=ax
第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图象和性质
第6课时
二次函数y=ax2+bx+c
的图象和性质
1
课堂讲解 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的
2
课时流程
逐点 导讲练
关系
当 x=
时,y有最大值,
1.必做: 完成教材P41 T6(3)(4)、T7(2)、 P42 T9
知1-导
所以y=ax2+bx+c的对称轴是:
b x 2a
b 4ac b 2 顶点坐标是: , 2 a 4 a
知1-讲
例1
把下面的二次函数的一般式化成顶点式:
y=2x2-5x+3. 导引:一般式化为顶点式有两种方法,一种是配方法,
另一种是代入公式法.
解法一:用配方法: y=2(x2-
知1-导
1 2 y= x -6x+21 2
配 方
1 y= (x-6)2+3. 2
你知道是怎样配方的吗? 1 2 y= (x -12x)+21 1. “提”:提出 2 二次项系数; 1 y= (x2-12x+36-36)+21 2 2.“配”:括 1 y= (x-6) 2+21-18 号内配成完全 2 平方式; 1 y= (x-6) 2+3 2 3.“化”:化成顶点式.
的位置,也可以由图象的位置来判断各项系数的符号.
知3-练
1 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则
下列结论正确的是( D )
A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0

二次函数y=ax的图象和性质

二次函数y=ax的图象和性质

二次函数y=ax的图象和性质26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质延津县初级中学说课人:任连鹏指导教师:周慧杰各位老师,大家好!今天,我说的是人教版初中数学九年级(下册)第二十六章《二次函数》第一节的第二课时二次函数y=ax2的图象。

我将从以下6个方面进行说课:1.背景分析2.教学目标设计3.教学媒体设计4.课堂结构设计5.教学过程设计6.教学评价设计一、背景分析1、学习任务分析函数的教学是初中数学教学的重要内容之一,二次函数更是重中之重,本节课是在学生掌握了二次函数概念的情况下通过作二次函数y=ax2的图象研究其性质,它既是对前面学过的函数知识的延伸,又是进一步学习二次函数的基础。

所以本节课的教学重点:探索二次函数y=ax2的图象特征;在探究过程中所蕴含的数学思想方法有:类比、归纳、分类讨论、数形结合。

2、学生情况分析(1)知识基础:学生在八年级已经学过一次函数和反比例函数的图象和性质,会用描点法画图,具备一定的画图能力和探究能力。

但是,二次函数的图象是一条抛物线,给学生画图增加了难度;再者,探究图象性质时又分为a>0和a<0两种情况,其中渗入了数学上的分类讨论、数形结合、归纳等数学思想,探究难度较大。

所以,学生在学习中可能遇到的难点是:(2)学习难点:①画二次函数y=ax2的图象;②探究二次函数的性质.二、教学目标设计根据课程标准,我确定以下3个教学目标。

(1)会用描点法画出二次函数y=ax2的图象;(2)能确定抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点和增减性;(3)在探究的过程中,体会分类讨论、数形结合等数学思想在数学学习中的作用.三、教学媒体设计本节课主要学习二次函数y=ax2的图象,通过作函数图象理解函数的性质。

本节课最大的学习障碍是画抛物线,为了节省时间,给学生直观的认识,更为了突出重点,突破难点,我选用了以下教学媒体。

1、ppt课件:使问题的呈现更加形象、直观。

2、网格纸:为学生活动赢得更多的时间。

二次函数y=ax的图象和性质ppt

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二次函数y=ax的图象和性质 ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 二次函数的定义和一般形式 • 二次函数y=ax的图象 • 二次函数y=ax的性质 • 二次函数y=ax的应用 • 总结与回顾
01
二次函数的定义和一般形式
二次函数的定义
二次函数是函数的一种,定义为一个变量x与一个常量a的二 次方和,即y=ax。
描述现实问题
二次函数模型可以描述许多现实问题,如物体下落、人口增长、 金融投资等。
建立数学模型
利用二次函数建立数学模型,可以对实际问题进行定量分析和预 测。
解决环境问题
通过建立二次函数模型,可以解决一些环境问题,如污染物排放 、生态平衡等。
05
总结与回顾
回顾二次函数y=ax的图象和性质
二次函数y=ax的图象是抛物线 抛物线的开口方向与a的符号有关
利用y=ax进行数形结合分析
理解函数的单调性
通过观察函数图象,可以直观理解二次函数的单 调性和凸凹性,有助于进行函数的分析和计算。
寻找极值点
利用数形结合的方法,可以容易地找到二次函数 的极值点,为解决实际问题提供帮助。
分析函数的最值
通过数形结合,可以容易地分析出二次函数在指 定区间内的最值。
利用y=ax进行数学建模
y=ax图象的对称性和顶点坐标
对称性
y=ax的图象关于原点(0,0)对称。
顶点坐标
图象的顶点坐标为(0,0),无最大值或最小值。
Байду номын сангаас=ax图象与x轴交点及截距的意义
与x轴交点
当y=ax的图象与x轴有交点时,交点坐标为(h,0),此时x=h称为二次函数的零点 。
截距
当y=ax的图象在x轴上有截距时,截距为c,即当x=c时,y=0。

人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章2211二次函数共26张

人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章2211二次函数共26张
1.由实际生活引入二次函数
喷泉(1)
课件说明
? 本课是在已经学习了一次函数的基础上,继续进 行函数的学习,学习二次函数的定义,这是对函数知 识的完善与提高.
? 学习目标: 通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.
? 学习重点: 理解二次函数的定义.
你知道吗?
函数
在某变化过程中的两个变量x、y,当变量x 在某个范围内取一个确定的值,另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
解:由题意得:
(0<x<20)
x m
y m2
x m
(40-2x )m
①∵2m+n=2 ②∵2m+n=2 ③∵2m+n=2 ④∵ m-n=2 ⑤ ∵ m-n=2
m-n=2 m-n=1
m-n=0
2m+n=1 2m+n=0
∴ m=4/3 ∴ m=1
n=-2/3
n=0
∴ m=2/3 n=2/3
∴ m=1 n=-1
(3)
这些函数有什 认真观察以上出现的三个函数解析式,分别么说共出同哪点些? 是常数、自变量和函数.
函数解析式
自变量 函数
y=6x2
x
y
n
d
x
y
这些函数 自变量的最高次项都是 二次的!
函数(1)(2)(3)有什么共同 点?
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 的函数,叫做 二次函数 .
(1) y=3(x-1)2+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t2
(4) y=(x+3)2-x2
(5)y= _1x_2-x

部编版人教数学九上《22.1.2 二次函数y=ax

部编版人教数学九上《22.1.2 二次函数y=ax

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(最新精品导学案)22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质.2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数形的结合与转化,体会数学内在的美感.阅读教材第29至32页,自学“例1”“思考”“探究”,掌握用描点法画出函数y=ax2的图象,理解其性质.自学反馈学生独立完成后集体订正:1.画函数图象的一般步骤:________、________、________.2.在同一坐标系中画出函数y=x2、y=12x2和y=2x2的图象.根据y≥0,可得出y有最小值,此时x=0,所以以(0,0)为对称点,再对称取点.3.观察上述图象的特征:形状是________,开口________,图象关于________对称,其顶点坐标是________,其顶点是________(填“最高点”或“最低点”).4.找出上述三条抛物线的异同:________________________________.可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较和寻找规律.5.在同一坐标系中画出函数y=-x2、y=-12x2和y=-2x2,并找出它们图象的异同.归纳:一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0),当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a 越大,抛物线的开口越小;当a <0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a 越大,抛物线的开口越大.活动1 小组讨论例1 填空:(1)函数y =(-2x)2的图象是抛物线,顶点坐标是(0,0),对称轴是y 轴,开口方向是向上;(2)函数y =x 2、y =12x 2和y =-2x 2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.解:根据抛物线y =ax 2中a 的值来判断,上面最外面的抛物线为y =12x 2,中间为y =x 2,在x 轴下方的为y =-2x 2.解析式需化为一般式,再根据图象的特征解答,避免发生错误.抛物线y =ax 2中,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,||a 越大,开口越小.例2 已知函数y =(m +2)xm 2+m -4是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的m 的值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求这个最低点;当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值为多少?当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?解:(1)由题意,得⎩⎨⎧m 2+m -4=2,m +2≠0.。

二次函数y=ax

二次函数y=ax

二次函数y=ax二次函数 y = ax 是一种较为简单的二次函数形式,其中 a 为常数且a ≠ 0 。

首先,我们来看看当 a > 0 时函数的特点。

当 a 大于 0 时,二次函数 y = ax 的图像是一条开口向上的抛物线。

这条抛物线经过原点(0, 0),因为当 x = 0 时,y = 0。

随着 x 值的增大,y 值也随之增大;反之,当 x 值减小,y 值也减小。

例如,当 a = 2 时,函数为 y = 2x 。

我们取几个 x 的值来看看对应的 y 值。

当 x = 1 时,y = 2;当 x =-1 时,y =-2 。

可以明显地看出,x 为正数时,y 为正数;x 为负数时,y 为负数。

而且,x 的绝对值越大,y 的绝对值也越大。

接下来,我们再探讨当 a < 0 时的情况。

当 a 小于 0 时,二次函数y = ax 的图像是一条开口向下的抛物线。

同样经过原点(0, 0)。

此时,随着 x 值的增大,y 值减小;x 值减小,y 值增大。

比如,当 a =-2 时,函数为 y =-2x 。

当 x = 1 时,y =-2;当 x =-1 时,y = 2 。

与 a > 0 时相反,x 为正数时,y 为负数;x 为负数时,y 为正数。

并且,x 的绝对值越大,y 的绝对值也越大。

那么,二次函数 y = ax 在实际生活中有哪些应用呢?比如说,在物理学中,自由落体运动的位移与时间的关系就可以用类似的二次函数来表示。

假设一个物体从静止开始自由下落,其下落的距离 y 与时间 x 的关系就可以表示为 y = 05gx²(其中 g 为重力加速度),如果我们只考虑与 x 的一次项关系,就可以简化为类似于 y = ax 的形式。

在经济学中,成本与产量之间的关系有时也可以用二次函数来近似表示。

假设生产某种产品的成本 y 与产量 x 之间存在一定的关系,在某些情况下,可能会呈现出类似 y = ax 的关系,通过研究这种关系,可以帮助企业做出合理的生产决策。

22.1.2 二次函数y=ax

22.1.2 二次函数y=ax

22.1二次函数的图象和性质(第2课时)一、内容和内容解析1.内容二次函数y=ax2的图象和性质.2.内容解析一次函数、二次函数和反比例函数是初中阶段研究的三种基本的代数函数.本章“二次函数”介于八年级下册中的“一次函数”与九年级下册中的“反比例函数”之间.它们的内容结构等有许多相似的地方,本章的学习过程可以类比一次函数开展,通过观察函数图象,认识图象特征,了解函数性质.本章从二次函数y=ax2出发,再依次讨论y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k 的图象和性质,逐步深入,最终得出一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象特征及性质.因此二次函数y=ax2是本章后续内容研究的基础.本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点对二次函数y=ax2的图象特征进行描述.并学习二次函数y=ax2的性质:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大.本节课类比一次函数的研究方法,对于y=ax2的研究分别从a>0,a<0两种情况入手,在具体的研究过程中,始终是从特殊到一般,例如a>0时,a从具体的数字1开始,再到12,2等;在每一次具体的函数研究过程中,都是从图象入手.此外,a<0的情况又是类比a>0的学习方法开展研究,最终经历以上探究过程,得出一般的二次函数y=ax2的图象特征和性质.基于以上分析,确定本节课的教学重点:观察函数y=ax2的图象,数形结合地得出它的图象特征和性质.二、目标和目标解析1.目标(1)会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象,了解抛物线的有关概念.(2)通过观察图象能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质.(3)在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中,进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.2.目标解析达成目标(1)的标志是:学生能够选取适当的自变量的值,描点,连线;知道二次函数的图象是抛物线,能指出抛物线的对称轴和顶点.达成目标(2)的标志是:知道抛物线y=ax2的对称轴,顶点,开口方向,开口大小,最高(低)点;对于函数y=ax2,通过观察它的图象知道y随x的增大如何变化.达成目标(3)的标志是:在探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中,学生知道类比一次函数的研究方法,从给定a值的特殊的二次函数入手,先画出函数图象,再通过观察图象得出二次函数y=ax2的图象特征和性质,即知道研究什么和用什么方法研究.三、教学问题诊断分析学生在学习一次函数时,对于函数图象及性质的研究内容和研究方法已经有了一定的了解,会用描点法画函数图象;知道要从形状和y随x的增大如何变化上描述函数的图象和性质;知道可以从图象、列表、解析式三个角度研究函数的性质;具有一定的数形结合思想,知道图象“从左至右的变化”对应“函数随自变量的增大的变化”.在学习函数图象时已经画过二次函数y=x2(x≥0)的图象.在本节课上,学生要面对曲线型函数图象,在用研究一次函数的方法研究二次函数时,出现了新的研究内容:对称性和最大(小)值.分段讨论二次函数y随x的增大如何变化也是学生没有接触过的.虽然在研究一次函数时学生知道通过观察函数图象研究函数性质,但是仍然有许多学生不能很好地用图象来解释问题.本节课的教学难点是:分段讨论二次函数y随x的增大如何变化.四、教学过程设计1.复习研究函数的一般方法问题1对于函数的图象和性质的研究我们并不陌生,你认为我们可以从哪些方面研究函数的图象和性质?师生活动:面对这样一个宏观的问题,学生可能会回答得比较杂乱无章,甚至没有思考方向,此时教师可追问:如何研究一次函数的图象和性质的?引导学生回顾一次函数的相关研究内容和方法:通过描点法画出一次函数的图象,观察图象得出图象的特征和性质,如位置,形状,函数随自变量的增大如何变化.经历从特殊到一般的探究过程,先研究特殊的一次函数——正比例函数y=k x的图象和性质,再研究一般的一次函数y=k x+b的图象和性质;在这个过程中,分k>0,k<0两种情况讨论,由k 取具体的数字入手,最后归纳出一般的情况.在学生回顾的过程中,教师适时进行归纳总结,并进行板书.设计意图:通过此问题进行研究框架的搭建,虽然二次函数与一次函数研究对象有差异,复杂程度有差异,但研究的思想方法都是从特殊到一般.复习回顾一次函数的研究内容和研究方法,帮助学生体会函数的研究内容和研究方法,为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫.2.类比探究二次函数y =ax 2的图象和性质问题2 类比一次函数的研究内容和研究方法,画出二次函数y =x 2的图象,你能说说它的图象特征和性质吗?师生活动:(1)学生独立用描点法画出二次函数y =x 2的图象,此时教师应关注学生能否选取适当的自变量的值(如形状不明时是否知道通过加密点来画图),描点连线,正确画出图象,若存在问题教师可追问:你是如何描点画图的?(2)概括特征.尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述二次函数y =x 2的图象特征.教师给出抛物线的相关概念:二次函数的图象是一条抛物线;二次函数y =ax 2+bx +c 的图象叫做抛物线y =ax 2+bx +c .每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.(3)从图象上看函数随自变量的增大如何变化?设计意图:教师引导学生概括观察的角度和方法.尝试类比探究特殊的二次函数y =x 2的图象和性质,并以它为观察对象,了解抛物线的相关概念.问题3 在同一直角坐标系中画出函数y =21x 2,y =2x 2的图象.函数y =21x 2,y =2x 2的图象与函数y =x 2的图象相比,有什么共同点?有什么不同点?当a >0时,二次函数y =ax 2的图象有什么特点?师生活动:学生独立用描点法画出函数y =21x 2,y =2x 2的图象. 教师追问1:他们有哪些共同点?师生活动:类比研究二次函数y =x 2的角度和方法,尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点等方面分别描述函数y =21x 2,y =2x 2的图象特征. 教师追问2:这种共同点是由什么因素引起的?教师追问3:它们有哪些不同点?是由什么因素决定的?师生活动:教师引导学生归纳:一般地,当a >0时,抛物线y =ax 2的开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a 越大,抛物线的开口越小.设计意图:经历从特殊到一般的研究过程,归纳出二次函数y =ax 2(a >0)的图象特征. 问题4 类比a >0时的研究过程,研究当a <0时,二次函数y =ax 2的图象特征. 师生活动:有了问题3的研究经验,学生应该能够有意识地将a 赋值研究,教师在巡视时若发现有学生仍不能达到这个要求,可继续追问.教师追问:你打算怎么研究当a <0时,二次函数y =ax 2的图象和性质?刚才我们是如何研究的a >0时的情况?用了什么方法?研究了哪些内容?师生活动:教师帮助学生梳理研究思路,获得以下结论:一般地,当a <0时,抛物线y =ax 2 的开口向下,对称轴是y 轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a 越小,抛物线的开口越小.设计意图:经历从特殊到一般的研究过程,从特殊的数值入手,归纳出二次函数y =ax 2(a<0)的图象特征.问题5 你能说出二次函数y =ax 2 的图象特征和性质吗?师生活动:学生相互补充,师生共同梳理归纳:一般地,抛物线y =ax 2的对称轴是y 轴,顶点是原点.当a >0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a <0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.对于抛物线y =ax 2,a 越大,抛物线的开口越小.如果a >0,当x <0时,y 随x 的增大而减小,当x >0时,y 随x 的增大而增大.如果a <0,当x <0时,y 随x 的增大而增大,当x >0时,y 随x 的增大而减小.设计意图:整体梳理二次函数y =ax 2的图象特征和性质.3.巩固练习(1)教科书第32页练习.(2)已知抛物线y =-32x 2,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而 ;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而 .师生活动:在第(1)题中,不画图象,直接根据解析式,利用探究所得结论,说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点.在第(2)题中,分段判断y 随x 的增大的变化情况.设计意图:利用所学知识解决问题.4.小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学了哪些主要内容?(2)本节课是如何研究二次函数y =ax 2的图象和性质的?设计意图:通过小结,让学生梳理本节课所学内容,掌握本节课的核心内容——二次函数y =ax 2 的图象和性质,梳理研究的方法,体会数形结合在函数研究中的重要作用.5.布置作业教科书习题22.1第3,4题.五、目标检测设计1.(1)抛物线y =2x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点是 .(2)抛物线y =32-x 2的开口向 , 对称轴是 ,顶点是 . 设计意图:考查学生对二次函数y =ax 2的图象特征的掌握情况.2.二次函数221x y =的图象是一条 ,当x <0时,y 随x 的增大而 ,当x >0时,y 随x 的增大而 .设计意图:考查学生对二次函数y =ax 2的性质的掌握情况.3.已知抛物线y =ax 2开口向下,且|a |=3,则a = .设计意图:考查学生对二次函数y =ax 2的图象特征的掌握情况,以及分类讨论思想.4.二次函数y =ax 2的图象如图所示,其顶点是 , 当x <0时,y 随x 的增大而 , 当x >0时,y 随x 的增大而 .设计意图:考查学生对二次函数y =ax 2的性质的掌握情况,以及数形结合思想.。

二次函数y=ax

二次函数y=ax

向下 (h ,k) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时, y随着x的增大而减小。
增 减 性
极值
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质,能否利用这些知识 1 2 来讨论二次函数 y x 6 x 21图象和 2 性质
还有什么方 法平移呢
你能用上面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗?
y 2x 4x 1
2
你能把 y ax bx c
2
改写成 y a(x h) k 吗?
2
用配方法
你知道吗?
y ax2 bx c b c a(x x ) a a 2 2 2 b b b c a x x a 2a 2a a
分析:这种函数形式并不是我们所熟 悉的二次函数,所以考虑将其变形
配方可得: y 1 ( x 6) 2 3 2
根据前面的知识,我们知道:其变形过程如 下所示
1 2 向右平移6个 1 2 向上平移3 1 2 y x y ( x 6) y ( x 6 ) 3 单位 长度 个单位长度 2 2 2
b 2 2 1 2a 2 2 1 2 4 3 ( 2) 2 4ac b 2 y 1 1 4a 4 2 顶点坐标:(2,1) 对称轴: x
(1) y 2x2 - 12x 13
1 2 y x - 2x 3 2
解: a 1 0 2 开口方向:向上。

【教学课件】22.1.2《二次函数y=ax

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1 4
,
所以y=
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【内化导行】
问题4 例3 一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是y轴,且经过点 (-1, ). (3)根据图象指出,当x>0时,若x增大,y怎样变化?当x<0时,若x增大, y怎样变化?
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(4)当x取何值时,y有最大(或最小)值,其值为多少?
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第二十一章
一元二次方程
22.1.2
图象和性质
2 二次函数y=ax 的
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【情感预热】
问题1 (1)二次函数的定义是什么? [回答]定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的
函数,叫做二次函数.
(2)回顾一次函数的研究过程,我们先探究的是最简单的正比例函数, 想想二次函数该从哪个最简单的二次函数入手呢? [回答]学习一次函数时,先研究正比例函数,同样在学习二次函数时, 也是先从最简单的二次函数入手,研究b,c都等于0的情况,即最简单的二
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【合作互动】
问题3 (3)总结抛物线y=ax2的图象和性质?
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【内化导行】
问题4 例1 已知a≠0,b<0,则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象 可以是图中的( C )
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【内化导行】
问题4 例2 下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中,错误的是( C A.它的图象的顶点是原点 B.当a<0,在x=0时,y取得最大值 )
[结论]一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口

【教学课件】22.1.2《二次函数y=ax

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y = x2
9
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6
3
-3 3
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知识点详解
可以看出:
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴,抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点(0,0) 叫做抛物线y = x2 的顶点,它是抛物线y = x 2 的最低点。 实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 顶点是抛物线的最低点或最高点。
知识点详解
二次函数 y = x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球时球在空中所
经过的路线,只是这条曲线开口向上,这条曲线叫做抛物线 y = x2 。 二次函数的图象都是抛物线, 它们的开口或者向上或者向下。 一般地, 二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
y = x2
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知识点详解
1 2 在同一直角坐标系中,画出函数 y x , y 2 x 2 的图象。 2 解:分别填表,再画出它们的图象,如图 x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 y x 2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 2 y x2
8 6 4 2
···
···
y
2
4
1 2 x 2
-4
-2
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知识点详解
x
··· -2 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 1.5
2
··· ···
y 2 x 2 ···
8
4.5

九年级数学 二次函数y=ax的图象和性质

九年级数学  二次函数y=ax的图象和性质

1 x2 -
x
1 x
(否) (否)
(否)
(是)
(-(yx57=²))xy²=+(xx³++235)²(否(²)(268x))vy==120²π+ r(否)
小试牛 刀圆的半径是1cm,假设
半径增加xcm时,圆的面积 增加ycm².
(1)写出y与x之间的函 数关系表达式;
(2)2c当m 圆的半径分别增 加1cm, ,2cm时,圆的
的函数叫(a做,bx,的c是二常次函数.
提示数: ,a≠ 0)
有何 特点?
(1)关于自变量的代数式一定
是二次整式,a,b,c为常数,且
a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,
在实践中感
1.下列悟函数中,哪些是二
(次1)函y=3数(x?- (是)(2)y = x +
1()²3+)1 s=32t²
(是)(4) y =
解: 果园共有 (100+x)棵树,平 均每棵树结(6005x)y=个(1橙00子+x,)(60
0=--5x) 5x²+100x+6000
亲历知识的发生
和设发人展民币一年教
育储蓄的年利率是x,
一年到期后,银行将
本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如
果存款是100元,那么
?
请你写出两年后的本
yx=+息 (11不00和00(.考xy+虑(1元)利²=)1息的00税表x²)达+2.0式0
二(解次2)(函k1数为)?何根值据时题kk,意2y0得k是 x0的
∴k=1时,y是x的一次
(2)函当数k2。- k≠0,即k≠0且k≠1时
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《二次函数y=ax²的图象和性质》教学设计
一、指导思想
初三数学备课以数学新课程标准为指导,以探索中考思路和提高数学教学质量为目标,以传授数学知识为重点。

在教学中积极倡导自主、合作、探究的学习方式,为学生的全面发展而努力。

认真落实学校年度工作思路的具体要求,转变教育观念,在教学实践中不断探索,学习、借鉴经验不断总结完善教学方法,使学生从容面对中考。

二、教学内容分析
二次函数y=ax²的图象和性质是人教版数学九年级上册第二十二章第三节第二课时的内容,是学生在学习了一次函数的图象和性质、二次函数的基本概念之后引入的新内容。

它既是前面所学知识的应用、拓展,又是对前面所学一次函数图象与性质的一次升华,还是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用。

三、学情分析
九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数的图象和性质、二次函数的基本概念等内容,从学习情况看,他们对函数的理解和掌握情况并不理想。

通过课下的了解,学生们对二次函数有一定的畏难情绪,对学习非常的不利。

所以我们在教学过程中,要想方设法的调动学生的积极性,帮助他们突破重难点。

四、教学目标
1.知识与技能:能利用描点法作出二次函数y=ax²图象,并根据图象认识和理解二次函数的性质.
2.通过观察、思考、交流等过程,得到二次函数的性质.
3.让学生积极合作交流,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。

五、教学重难点
1.教学重点二次函数y=ax²与y=-ax²的图象特点.
2.教学难点二次函数y=ax²图象的特点的探索过程.
六、教法探究法
七、教学过程
教学环节教学内容设计意图
复习旧知引入新知1、一次函数___的图象是___。

特别的,正比例函数__其图象是____。

2、描点法画出函数图象的步骤___、
____、____。

3、我们把形如____的函数叫做二次函
数。

这一环节由学
生以口头回答的
形式独立完成。

设计意图:温故知
新,为本节内容做
铺垫。

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