二次函数y=ax2bxc的图象与性质
九年级数学二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解2)Word版含解析
专题2.13 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）类型六、两个二次函数图像的综合判断1．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．2．如图，抛物线F ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：2y a x b x c '''=++，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)；（2）若a 、b 、c 满足了22b ac =，⊥求b ：b ′的值；⊥探究四边形OABC 的形状，并说明理由．类型七、根据二次函数图象判断式的符号3．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点()1,2-和()1,0，且与y 轴相交于负半轴．第()1问：给出四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=．写出其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）第 ()2问：给出四个结论：⊥abc ＜0；⊥2a +b ＞0；⊥a +c =1；⊥a ＞1．写出其中正确结论的序号．4．抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示：（1）判断a ，b ，c ，24b ac -的符号；（2）当OA OB =时，求a ，b ，c 满足的关系．5．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型八、根据抛物线上的对称点求对称轴6．已知二次函数y=ax2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．7．已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如表：（1）写出二次函数图象的对称轴．（2）求二次函数的表达式．（3）当41x -<<-时，写出函数值y 的取值范围．8．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．9．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.类型九、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的最值10．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求DPQ 面积的最大值．11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）x 在什么范围内，y 随x 增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．12．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？类型十、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)图象中的将军饮马问题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l 1：y ＝x 2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l 2：y ＝﹣12x 2﹣32x+2的一个交点为A ，已知点A 的横坐标为2．点P 、Q 分别是抛物线l 1、抛物线l 2上的动点．（1）求抛物线l 1对应的函数表达式；（2）若点P 在点Q 下方，且PQ⊥y 轴，求PQ 长度的最大值；（3）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．16．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值． 类型十一、二次函数图象的平移17．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．18．已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．19．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x 轴交点的坐标；（2）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y 轴交点的坐标．类型十二、二次函数综合20．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 21．已知抛物线23y ax bx =++过()30A -,，()10B ,两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式．（2）设P 是该抛物线上的动点，当PAB 的面积等于ABC 的面积时，求P 点的坐标．22．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和⊥BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把⊥PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．参考答案：1．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）⊥函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，⊥a＝±2，⊥抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，⊥c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，⊥1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，⊥p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（1）C（3，0）；（2）⊥2：3；⊥矩形，理由见解析【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．（2）⊥与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．⊥探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC 是个平行四边形，已知了OA //BC ，只需看A ，B 的纵坐标是否相等，即OA 是否与BC 的长相等．根据抛物线F 的解析式可求出P 点的坐标，然后用待定系数法可求出OP 所在直线的解析式．进而可求出抛物线F 与直线OP 的交点B 的坐标，然后判断B 的纵坐标是否与A 点相同，如果相同，则四边形OABC 是矩形（⊥AOC ＝90°），如果B ，A 点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB 是个直角梯形．【详解】解：（1） ⊥a = 1，b =－2，c = 3⊥223y x x =-+=()212x -+⊥P （1，2）⊥过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，⊥D （1，0）由于抛物线F ′由抛物线F 平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a ＝a ′＝1；由于两条抛物线都与y 轴交于A 点，那么c ＝c ′＝3．⊥抛物线F ′：23y x b x '=++，代入D （1，0）得0=1+b ’+3解得b ’=-4⊥243y x x =-+=()()13x x --⊥点C 的坐标为（3，0）；（2）⊥抛物线2y ax bx c =++，令x =0，则y =c ，⊥A 点坐标（0，c ）．⊥22b ac =， ⊥244224442ac b ac ac ac c a a a --===， ⊥点P 的坐标为（2b a -，2c ）． ⊥PD ⊥x 轴于D ，⊥点D 的坐标为（2b a -，0）． 根据题意，得a =a ′，c = c ′，⊥抛物线F ′的解析式为2'y ax b x c =++．又⊥抛物线F ′经过点D （2b a-，0），⊥220()42b b a b c a a'=⨯+-+． ⊥2024b bb ac '=-+．又⊥22b ac =，⊥2032b bb '=-．⊥b :b ′=23．⊥由⊥得，抛物线F ′为232y ax bx c =++． 令y =0，则2302ax bx c ++=． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点D 的横坐标为2b a- ⊥点C 的坐标为（ba -，0）．设直线OP 的解析式为y kx =．⊥点P 的坐标为（,22b c a -）， ⊥22c b k a =-， ⊥22222ac ac b b k b b b =-=-=-=-， ⊥2b y x =-． ⊥点B 是抛物线F 与直线OP 的交点， ⊥22b ax bxc x ++=-． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点P 的横坐标为2b a-， ⊥点B 的横坐标为ba -． 把b x a =-代入2b y x =-，得22()222b b b ac y c a a a=--===． ⊥点B 的坐标为(,)b c a-． ⊥BC //OA ，AB //OC ．（或BC //OA ，BC =OA ），⊥四边形OABC 是平行四边形．又⊥⊥AOC =90°，⊥四边形OABC 是矩形．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．3．（1）正确的序号为⊥⊥；（2）正确的序号为⊥⊥⊥．【分析】（1）根据抛物线开口向上对⊥进行判断；根据抛物线对称轴x=-2b a在y 轴右侧对⊥进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方对⊥进行判断；根据x=1时，y=0对⊥进行判断；（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对⊥进行判断；根据0<-2b a<1可对⊥进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a ﹣b +c =2，a +b +c =0,整理有a+c=1，则可对⊥进行判断；根据a=1-c ，c<0可对⊥进行判断．【详解】（1）⊥由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；⊥因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x =2b a-＞0． 又⊥a ＞0，⊥b ＜0，错误；⊥由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，⊥c ＜0，错误；⊥由图象可知：当x =1时y =0，⊥a +b +c =0，正确．故（1）中，正确结论的序号是⊥⊥．（2）⊥⊥a ＞0，b ＜0，c ＜0，⊥abc ＞0，错误；⊥由图象可知：对称轴x =2b a -＞0且对称轴x =2b a -＜1，⊥2a +b ＞0，正确； ⊥由图象可知：当x =﹣1时y =2，⊥a ﹣b +c =2，当x =1时y =0，⊥a +b +c =0；a ﹣b +c =2与a +b +c =0相加得2a +2c =2，解得：a +c =1，正确；⊥⊥a +c =1，移项得：a =1﹣c ．又⊥c ＜0，⊥a ＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是⊥⊥⊥．【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =2b a-判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2﹣4ac ＞0；1个交点，b 2﹣4ac =0；没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．（1）240b ac ->；（2）10ac b -+=．【分析】（1）根据图形，开口向下得a ＜0，x =0时可得c ＞0，由对称轴可得b ＞0，与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）由于B 点坐标可以表示为：（0，c ），|OA |=|OB |，可知A （﹣c ，0）即可进行求解．【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a ＜0；x =0时，y =c ＞0；⊥对称轴x =02b a->，a ＜0，⊥b ＞0； 图象与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）当|OA |=|OB |时，即A 点坐标为（﹣c ，0），代入抛物线方程得y =ac 2﹣bc +c 两边同时除以c 得：ac ﹣b +1=0．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A 点的坐标代入抛物线方程．5．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系；（3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0．【详解】()1∵抛物线开口向下，∴0a <，∵对称轴12b x a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.6．（1）y=12x2﹣3x ；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a 、b 的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）⊥y=ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．⊥3660428a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ⊥二次函数解析式为y=12x 2﹣3x ； （2）⊥y=12x 2﹣3x=12（x ﹣3）2﹣92， ⊥抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 7．（1）x=2；（2）242y x x =---；（3）22y -<≤【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，（2）求二次函数解析式2y x bx c =-++，可知b,c 待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，（3）由于对称轴与x 轴交点横坐标，在41x -<<-，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．【详解】解：（1）⊥二次函数是轴对称图形，4x =-、0x =时的函数值相等，都是2-，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，⊥此函数图象的对称轴为直线4022x -+==-； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上将()1,1-，()0,2-代入2y x bx c =-++，得：112b c c --+=⎧⎨=-⎩， 解得：42b c =-⎧⎨=-⎩， ⊥二次函数的表达式为：242y x x =---；（3）⊥()224222y x x x =---=-++，⊥当2x =-时，y 取得最大值2，由表可知当4x =-时=2y -，当=1x -时1y =，⊥当41x -<<-时，22y -<≤．【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．8．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a -，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，⊥对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，⊥3a ﹣（﹣a ）＝4．⊥a ＝1，⊥二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，⊥﹣a ﹣3a ＝4，⊥a ＝﹣1，⊥二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）⊥a ＜0，对称轴为x ＝1，⊥x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，⊥t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，⊥t ≥﹣1，t +1≤3，⊥﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．9．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ⊥A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，⊥C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92， ⊥抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ⊥E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.10．（1）624,y x y x=-=；（2）4. 【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．【详解】解：（1）设直线AB 为,y kx b =+把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：420b k b =-⎧⎨+=⎩解得：24k b =⎧⎨=-⎩∴ 直线AB 为24,y x =-把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=()3,2,C ∴把()3,2C 代入：,m y x= 236m ∴=⨯=，6,y x∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，()666242424,PQ n n n n n n∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()222314,n n n =-++=--+即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．【详解】（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．12．(1)21322y x x =+-；(2)顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)=1x -时函数有最小值为2-．【分析】（1）抛物线的点过（1,0)3,0，可以设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x+3)，把点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得a 即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x -1)(x+3)， 将30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，解得12a =， 所以抛物线解析式为21322y x x =+-， 故答案为：21322y x x =+-； （2）抛物线解析式为21322y x x =+-， 配方可得，()221123=1222y x x x =+-+-（）， ⊥顶点()1,2-- ，对称轴=1x -，由（1）知，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故答案为：顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (3)由（2）可知，函数解析式为()21122y x =+-，开口向上，函数有最小值，当=1x - 时函数有最小值为2-， 故答案为：=1x -时函数有最小值为2-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（1）y ＝﹣x 2﹣3x+4（2）Q （﹣32，52） 【分析】（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4）＝﹣x 2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x ＝﹣32， 点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短14．（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣32，52）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣32，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短15．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，⊥点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，⊥抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）⊥点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．⊥设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），⊥点P在点Q下方，PQ⊥y轴，⊥点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），⊥PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，⊥当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯-⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；⊥PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2⊥当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣1，⊥点P的坐标为（﹣1，0）；⊥当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2，解得n＝3或n＝﹣43．⊥此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．Q点的纵坐标y Q，n2-2n-3-(-3)=-3-y Q，y Q=-n2+2n-3，点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣12（2﹣n）2﹣32（2﹣n）+2，解得，n＝0或n＝﹣3．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣3，⊥点P的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．16．（1）215322y x x =++；（2【分析】（1）利用132y x =+的解析式求解A 的坐标，把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解B 的坐标，线段BC 的长度， 如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,M MD MC =，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，再利用勾股定理求解BD =【详解】.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A 把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴=如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C - ∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD ==MBC ∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B 和点C 的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x ＝－2时，y 的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）和点C （2，3）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c得10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x +3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2＋2x +3得y ＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．18．（1）213y 22x x =--+；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．【详解】解：（1）把()1,0，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得： 10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 则抛物线解析式为213y 22x x =--+； （2）抛物线解析式为22131y (1)2222x x x =--+=-++， 抛物线213y 22x x =--+可以由抛物线212y x =-先向左平移1单位，再向上平移2个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 19．（1）顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）()0,3-． 【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【详解】解：（1）()22x 4321y x x =--＝－＋，顶点坐标为()2,1-， 当0y =时，2430x x -+=，解得1x =或3x =，即图象与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得()2,2212y x =-+--， 化简得23y x =-，当0x =时，3y =-，即平移后的图象与y 轴交点的坐标()0,3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．20．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【分析】1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，⊥抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝； 2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）； 3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4， 故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．21．（1）y=-x 2-2x +3；（2）P 坐标为（-，-3）或（-1-3）．【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．【详解】解：（1）把A与B坐标代入得：9330a ba b c-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；（2）由抛物线解析式得：C（0，3），⊥⊥ABC面积为12×3×4=6，⊥⊥P AB面积为6，即12×|Py|×4=6，即Py=3或-3，当P y=3时，可得3=-x2-2x+3，解得：x=-2或x=0（舍去），此时P坐标为（-2，3）；当y P=-3时，可得-3=-x2-2x+3，解得：x=-此时P坐标为（-，-3）或（-1-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出⊥DMC、梯形MDBO和⊥BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,。
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。
利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向 向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小； 最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。
它们之间的关系如下：系数 图象的特征 系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号 对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
九年级数学下册 12 二次函数yax2bxc的图象与性质(第5课时)教案 (新版)湘教版 教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质某某际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k 的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？学生回答，教师点评： 抛物线y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++,对称轴为x=-2b a ,顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -),当a ＞0时，若x ＞-2b a ，y 随x 增大而增大，若x ＜-2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，若x ＞-2b a ，y 随x 的增大而减小，若x<-2b a ，y 随x 的增大而增大.探究3 二次函数y=ax 2+bx+c 在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？ 学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.①y=14x 2-3x+21 ②y=-3x 2-18x-22 解：①y=14x 2-3x+21 =14(x 2-12x)+21 =14(x 2-12x+36-36)+21 =14(x-6)2+12. ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.②y=-3x 2-18x-22=-3(x 2+6x)-22=-3(x 2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3.【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化?③怎样求S的最大值呢?解:S=l (30-l)=- l2+30l (0＜l＜30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图象，如图.∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值X围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.四、运用新知，深化理解1.（中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（）A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)2.（某某某某中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴.(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；④.(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;④.【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴；（2）由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值X围及函数最值.15第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质
二次函数的性质
1 单调性和极值
二次函数在开口方向内是单调增或者单调减 的，它的极值就是顶点的y轴坐标。
2 范围和值域
二次函数的范围和值域取决于开口方向，范 围表示y值的取值范围，值域表示y值可能的 取值范围。
3 系数a的影响
系数a决定了二次函数的图像形态，a的正负 和绝对值大小都会影响函数的特性。
利用一元二次方程求根公 式可以直接求得二次函数 的零点。
2 完全平方公式
对二次函数进行平方，然 后进行合并和配凑，得到 二次函数的零点。
3 因式分解法
将二次函数进行因式分解， 找出能将二次函数化简为 两个一次函数相乘的因式， 得到二次函数的零点。
二次函数与其他函数的关系
线性函数和指数函数的对比
与线性函数相比，二次函数呈现出曲线状，而与指 数函数相比，二次函数的增长速度较为平缓。
二次函数y=ax^2+bx+c的 图像与性质
二次函数是由幂函数进一步演化而来的函数，表达式为y=ax^2+bx+c。其图像 呈现特定的形状和性质。
二次函数的定义和基本形式
定义
二次函数是一个含有二次项的多项式函数。
基本形式
二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c, 其中a、b和 c是实数常量，且a ≠ 0。
二次函数与多项式
二次函数是多项式函数的一种特殊形式，它是次数 为2的多项式。
二次函数的图像特点
开口方向和开口大小
二次函数的开口方向由a的正负 号决定，正系数表示开口向上， 负系数表示开口向下；a的绝对 值越大，开口越大。
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点 垂直于x轴的直线，顶点的坐标 为(-b/2a, c-b^2/4a)。
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质能量储备二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增a＞0a＜0通关宝典★ 基础方法点方法点1：利用抛物线的对称性解题如果抛物线上两点(x 1，m )，(x 2，m )的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x ＝x 1＋x 22对称；反过来，如果两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y 1＝y 2.例：如图所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为( ) A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)解析：∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称．又∵ A (0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3，∴ 点B 的坐标为(4，3)，故选D . 答案：D方法点2：比较两个二次函数值大小的方法 (1)把自变量直接代入解析式求值．(2)当点在对称轴同侧时，根据函数的增减性判断．(3)当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，均转化到同侧求解，或利用抛物线上的点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小． 例： 若A (413，y 1)，B (－1，y 2)，C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：把y ＝－x 2－4x ＋5配方，得y ＝－(x ＋2)2＋9，因为a ＝－1<0，所以当x >－2时，y 随x 的增大而减小．由抛物线的对称性知，y 1的值等于函数在x ＝－34处的函数值．又53>－34>－1>－2，所以y 3<y 1<y 2.答案：C★★易混易误点易混易误点1: 用配方法求抛物线的顶点坐标时出错例：用配方法求y ＝2x 2－8x ＋6的顶点坐标．分析：在二次函数y ＝2x 2－8x ＋6中a ＝2，为了便于配方，需逆用乘法分配律，将原解析式变形为y＝2(x2－4x＋3)，然后再把括号内的多项式进行配方．解：原二次函数变形为y＝2(x2－4x＋3)，∴y＝2(x2－4x＋4－4＋3)＝2[(x－2)2－1]＝2(x－2)2－2.∴顶点坐标为(2，－2)．常见错因：在解决本题中容易犯的错误是只在解析式的右边除以2，把二次项系数变为1，这不符合等式的基本性质，从而会造成错解．蓄势待发考前攻略考查二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象的顶点坐标、开口方向、对称轴及函数的增减性等，注重数形结合思想的运用，中考中既有考查基础知识的选择题、填空题，又有考查能力的综合题．完胜关卡。
二次函数y=ax2 bx c的图像和性质
M1(x1，0),M2(x2,0).则 线段
M1M 2 x1 x2
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：一般式平移
（1） y=ax2+bx+c沿对称轴平移:向上（下） 平移m个单位，变成 y=ax2+bx+c+m（或 y=ax2+bx+c-m）.
(2) y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，变成y=a（x+m)2+b(x+m)+c （或y=a（x-m)2+b(x-m)+c）.
用函数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：(1)用顶点坐标公式，可求出顶点 为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点 (1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0) 的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y ＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根 据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称 点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2， 2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6) 连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
2. 2抛' 当物线a y 0 a时x2， b图x 象c 的落图在象x与轴y的轴下一方定，相无交论，交x 为点任坐何标为实(数0 ，，c都) ；有 y 0 ．
抛物线y=axax2+bx+c=0 的 根的判别式判定：
Δ
抛物线 与x轴 的交点
抛物线
解：列表 y 2x2 8x 6 0
x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质ppt课件
而减小，则实数b的取值范围是(
D)
习
A.b≥－1
B.b≤－1
C.b≥1
D.b≤1
课 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
y
堂
练 象如图所示，则下列结论：
习 （1）a、b同号；
（2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等；
（3）4a＋b＝0；
（4）当其y中＝正－确2时的，是x的（值2）只能. 取0；
解：y=(x2-2x)+1
解：y=2(x2-2x)+6
y=(x2-2x+12)+1-1×12
y=2(x2-2x+12)+6-2×12
y=(x-1)2
y=2(x-1)2-4
顶点坐标为(1，0)
顶点坐标为(1，4)
探 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
索 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨 求
a、b异号
对称轴在y轴的_右___侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴交于__正___半轴
c＜0
与y轴交于__负___半轴
典 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
例 精
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
D
y
其中正确
析 的个数是(
)
A．1
B．2
当x＜h时,y随着x的增大而 增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小.
最值
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
二次函数yax2bxc的图像与性质
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
2
91 22
1 2
x
32
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
解法二：
Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
Q b 3 3 2a 212
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例已知二次函数
y m 1 x 2 2 m x 3 m 2 m 1
4 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例已知函数 y1x2 3x1，当x为何值时，
2
2
函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一：Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y1x2 3x1 1 x26x991
2
22
2
1x32
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
二次函数yax2bxc的图象与性质1
-2
-3
-4
y 1 x2 1
-5
2
-6
-7
y 1 x2 2
y 1 x2 3 2
抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的关系是： 形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同．
上加下减 抛物线之间的平移规律：
K>0时 抛物线y=ax2
向上平移 k个单位
抛物线 y=ax2+k
选作题 把抛物线y=-x2向上平移4个单位后，与x轴交于A
、B两点，与y轴交于点C求 ABC的面积。
课 后作业
练习：习题3.6的2,3题 预习：第二课时二次函数y=a(x-h)2 的图象与性质，并在练习本上画出函 数y=x2与y＝（x+2）2 、y＝（x-2 ）2的图象，观察它们之间有什么关系 ？
选做： 1.抛物线y=ax2＋k与y=-５x2的形状大小、开口 方向都相同,且其顶点坐标是(0,3)则其表达式 为 y=-５x2+３ 它是由抛物线y=-５x2向 上 平
移 ３ 个单位得到的．
2.抛物线y=ax2＋k与y=３x2的形状相同，且其顶 点坐标是（０，１），则其表达式 为y=３x2＋１ 或 y=-３x2＋１ .
y＝ax2
二次函数y=ax2的性质
a＞0
a＜0
图象
0
0
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y
8
x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
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第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、阅读课本：第14页～第15页上方．
二、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
三、探索新知：
1．求二次函数y＝1
2x
2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：将函数等号右边配方：y＝1
2x
2－6x＋21
2．画二次函数y＝1
2x
2－6x＋21的图象．
解：y＝1
2x
2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
六、目标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝1
2x
2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．。